2019—2020 学年上学期期中考试高一年级数学试题
一、选择题
1.已知集合 ，集合 ， 为自然数集，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意首先求得集合 B，然后进行交集运算即可.
【详解】由题意可得： ，故 .
故选：B.
【点睛】本题主要考查集合的表示方法，交集的定义与运算，属于基础题.
2.已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意利用中间值比较所给的数与 0、1、2 的大小即可得到 a,b,c 的大小关系.
【 详 解 】 由 题 意 可 知 ： ， ， ， 则
.
故选：B.
【点睛】本题主要考查指数函数和对数函数的性质，实数比较大小的方法等知识，意在考查
学生的转化能力和计算求解能力.
3.下列所给 4 个图象中，与所给 3 件事吻合最好的顺序为 （ ）
（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；
（2）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来 了赶时间开始加速；
（3）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间.
为
{ }4,5,6,7A = { }| 3 6,B x x x N= ≤ < ∈ N A B =
{ }4,5,6 { }4,5 { }3,4,5 { }5,6,7
{ }3,4,5B = A B = { }4,5
2log 3a = 1.22.1b = 0.3log 3.8c = a b c
a b c< < c a b< < b c a< < c b a< <
( )2log 3 1,2a = ∈ 1.2 12.2 1.1 2b >= > 0.3log 3.8 0c = <
c a b<
y xα= α 1c 2c 3c 4c n 2 1
2
1
2
−
2−
0x 3 2xe x= − 0x
( )1,0− 10, 2
1 ,12
( )1,2
( ) 2 3xf x e x= + − 0x
( ) 11 5 0f e
− = − < ( )0 2 0f = − < 1 2 02f e = − ( ) 22 1 0f e= + >
0x 1 ,12
6.函数 的单调递增区间为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据复合函数的单调性“同增异减”，注意函数的定义域，转化求解即可．
【详解】函数 ，
令 ， ，
则有 ，在定义域内是增函数，
只需求解 ， ，的增区间即可．
函数 开口向上，对称轴 ．
， ，解得 或 ，
增区间为： ．
故选：D．
【点睛】本题考查了复合函数 单调性的求解，根据“同增异减”即可求解 属于基础题．
7.已知偶函数 在 上递增，且 ，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意结合函数的奇偶性脱去 f 符号求解不等式即可确定实数 x 的取值范围.
【详解】函数为偶函数，则不等式 等价于 ，
结合函数的单调性脱去 f 符号可得： ，解得： ，
的
( ) ( )2
2log 4f x x x= − ( )
( ),0−∞ ( )2,+∞ ( ),2−∞ ( )4,+∞
( ) ( )2
2log 4f x x x= −
2 4x x u− = 0u >
( ) 2logf u u=
2 4x x u− = 0u >
2 4u x x= − 2x =
0u > 2 4 0x x− > 0x < 4x >
∴ ( )4,+∞
.
( )f x [0, )+∞ 2( ) 3f x f < x
2 2,3 3
−
1 2,3 3
20, 3
20, 3
2( ) 3f x f <
( ) 2
3f x f <
2
3x < 2 2
3 3x− < 1a ≠ xy a= log ( )ay x= −A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意利用函数的定义域和函数的单调性排除错误选项即可确定满足题意的函数图像.
【详解】函数 的定义域为 ，据此可排除选项 A,C；
函数 与 的单调性相反，据此可排除选项 D，
故选：B.
【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从
函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数
的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排
除、筛选选项．
10.已知定义域为 的函数 都可以表示成一个奇函数 与一个偶函数 之
和，若 （ 为自然对数的底），则（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】
log ( )ay x= − ( ),0−∞
xy a= log ( )ay x= −
( , )−∞ +∞ ( )f x ( )g x ( )h x
( ) xf x e= e
( ) x xg x e e−= − ( ) x xh x e e−= + ( ) x xg x e e−= + ( ) x xh x e e−= −
( ) 2
x xe eg x
−−= ( ) 2
x xe eh x
−+= ( ) 2
x xe eg x
−+= ( ) 2
x xe eh x
−−=由题意首先写出一般函数构造奇函数、偶函数的式子，然后确定题中所给函数需要构造的奇
函数、偶函数的解析式即可.
【详解】注意到 为奇函数， 为偶函数，
且 ，
故当 时， ， .
故选：C.
【点睛】本题主要考查函数的表示方法，函数的奇偶性及其应用等知识，意在考查学生的转
化能力和计算求解能力.
11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基人，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、
牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 ，用 表示不超过x
的最大整数，则 称为高斯函数，例如 ， ，已知函数
，则函数 的值域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
采用分离常数法可将函数化简为 ，进而求得 的值域；根据 定义可
求得 的所有可能的值，进而得到函数的值域.
【详解】
，即
或 的值域为
故选：
【点睛】本题考查新定义运算问题的求解，关键是能够通过分离常数的方式求得已知函数的
( ) ( ) ( )
2
f x f xg x
− −= ( ) ( ) ( )
2
f x f xh x
+ −=
( ) ( ) ( )g x h x f x+ =
( ) xf x e= ( ) 2
x xe eg x
−−= ( ) 2
x xe eh x
−+=
Rx∈ [ ]x
[ ]y x= [ 3,5] 4− = − [2,1] 2=
3 1( ) 1 3 3
x
xf x = −+ [ ( )]y f x=
{0,1} {1} { 1,0,1}− { 1,0}−
( ) 2 1
3 1 3xf x = − +
( )f x [ ]x
( )f x
( ) 3 1 3 1 1 1 1 1 2 111 3 3 1 3 3 1 3 3 3 1 3
x x
x x x xf x
+ −= − = − = − − = −+ + + +
3 0x
> 10 11 3x
∴ < b ( )y f x=
y b= m
(3, )+∞ (3,8) ( , 3)−∞ − ( 8, 3)− −
( )f x
2 2 4y x mx m= − + y m=
( )f x
x m= 2 2 4x x mx m> − +
2 22 4m m m m> − + 0m > 2 22 4m m m m> − +
2 3 0m m− > 0m > 3m >
m (3, )+∞二、填空题
13.、计算 ．
【答案】0
【解析】
试题分析：
-0.1+0.5-0.4=0
考点：指数对数的运算。
14.对任意实数 都有 ，且当 时， ，则
______.
【答案】18
【解析】
【分析】
由题意结合函数的解析式和函数的奇偶性即可求得 的值.
【详解】由题意可知函数为奇函数，故：
.
故答案为：18．
【点睛】本题主要考查函数值的求解，函数奇偶性的应用，属于基础题.
15.已知 ， ，且函数 是 上的单调函数，则实
数 的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意分别考查函数在每一段上的单调性和函数在 x=0 处函数值的性质，得到关于 a 的不等
式，分别求解不等式即可确定实数 a 的取值范围.
【详解】由题意可知，
1
3
2.5log 6.25 ln (0.064)e
−+ − =
1
3
2.5log 6.25 ln (0.064)e
−+ − =
x ( ) ( )f x f x− = − 0x < 3( ) 1f x x x= − − (9)f =
( )9f
( ) ( ) ( ) ( )39 9 9 1 9 18f f= − − = − − × − − − =
0a > 1a ≠ ( ) ( )
( )
2 (4 3) 3 0
log ( 1) 2 0a
x a x a xf x x x
+ − +
− ≥
1 1
4 2x< ≤ 1 1( ]4 2A = ，
1m = 0 1x< ≤ 11 4 14
x−< ≤ 1( 1]4B = ，
( ) 1( 1]2RC A B∩ = ，
11( 4 ]4
mB −= ， m A B= 1 14 2
m− = 1
2m =
1
2m = A B=
( ) nf x x= ( 3,9)A −
n
[ 1,2]x∈ − ( ) ( ) 3 4 0g x f x ax a= + + − ≥ a
2n = 7, 2
−∞
( )9 3 n= − 2n =
( ) 2f x x= ( ) 2 3 4g x x ax a= + + −
( )g x [ ]1,2− ( )h a ( )y g x=
( ) ( ) ( ){ }max 1 , 2h a g g= −又存在 使得 ，所以
于是 或者
解得 或 ,据此可知： .
所以，实数 的取值范围是
【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次
函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②
对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．
19.已知函数
（1）若函数 的图象经过 P（3，4）点，求 a 的值；
（2）比较 与 大小，并写出比较过程；
（3）若 ，求 a 的值.
【答案】⑴ . ⑵当 时， ;当 时， .
⑶ 或 .
【解析】
【详解】⑴∵函数 的图象经过 ∴ ，即 .
又 ，所以 .
⑵ ，
当 时， 在 上为增函数，∵ ，∴ .
即 .当 时， 在 上为减函数，
∵ ，∴ .即 .
⑶由 知， .所以， （或 ）.
[ ]1,2x∈ − ( ) 0g x ≥ ( ) 0h a ≥
( )1 4 5 0g a− = − ≥ ( )2 7 2 0g a= − ≥
4
5a ≤ 7
2a ≤ 7
2a ≤
a 7, 2
−∞
1( ) ( 0 1)xf x a a a−= > ≠且
( )y f x=
1(lg )100f ( 2.1)f −
(lg ) 100f a =
2a = 1a > 1(lg ) ( 2.1)100f f> − 0 1a< < 1(lg ) ( 2.1)100f f< −
1
10a = 100a =
( )y f x= (3,4)P 3-1 4a = 2 4a =
0a > 2a =
31(lg ) ( 2)100f f a−= − = 3.1( 2.1)f a−− =
1a > xy a= ( , )−∞ +∞ 3 3.1− > − 3 3.1a a− −>
1(lg ) ( 2.1)100f f> − 0 1a< < xy a= ( , )−∞ +∞
3 3.1− > − 3 3.1a a− −< 1(lg ) ( 2.1)100f f< −
(lg ) 100f a = lg 1 100aa − = lg 1lg 2aa − = lg 1 log 100aa − =∴ .∴ ，
∴ 或 ，所以， 或 .
20.已知实数 满足： ，函数 .
（1）求实数 的取值范围；
（2）求函数 的最大值与最小值，并求取得最大值与最小值时的 值.
【答案】（1） ；（2）当 时， 有最小值 0，当 时， 有最大值 2.
【解析】
【分析】
(1)由题意化简所给的不等式，得到指数不等式，然后求解指数不等式即可确定实数 的取值
范围；
(2)首先化简函数的解析式，然后结合二次函数的性质和(1)中求得的函数的定义域即可确定
函数的最值和函数取得最值时对应的自变量的值.
【详解】（1）实数 满足 ，
化简可得： ，
即 ，
得 ，∴ ，
故得 的取值范围为 .
（2）
化简可得：
(lg 1) lg 2a a− ⋅ = 2lg lg 2 0a a− − =
lg 1a = − lg 2a = 1
10a = 100a =
x 19 4 3 27 0x x+− ⋅ + ≤ 2 2( ) log log2 2
x xf x
= ⋅
x
( )f x x
[1,2] 2x = ( )f x 1x = ( )f x
x
x 19 4 3 27 0x x+− × + ≤
( )2
3 12 3 27 0x x− ⋅ + ≤
( )( )3 3 3 9 0x x− − ≤
3 3 9x≤ ≤ 1 2x≤ ≤
x [1,2]
2 2( ) log log2 2
x xf x
=
( )2 2 2( ) log log 2 log 2
xf x x
= −
( )( )2 2 2 2log log 2 log log 4x x= − −
( )( )2 2log 1 log 2x x= − −
2
2
3 1log 2 4x = − − ∵ ，
∴ ，
∴ ．
当 时， 有最小值 0，当 时， 有最大值 2．
【点睛】本题主要考查指数不等式与二次不等式的解法，二次函数在给定区间求值域的方法，
换元的方法与数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
21.自 2018 年 10 月 1 日起， 中华人民共和国个人所得税 新规定，公民月工资、薪金所得
不超过 5000 元的部分不必纳税，超过 5000 元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表
分段累计计算：
全月应纳税所得额 税率
不超过 1500 元的部分 3
超过 1500 元不超过 4500 元的部分 10
超过 4500 元不超过 9000 元的部分 20
超过 9000 元不超过 35000 元 25
如果小李 10 月份全月的工资、薪金为 7000 元，那么他应该纳税多少元？
如果小张 10 月份交纳税金 425 元，那么他 10 月份的工资、薪金是多少元？
写出工资、薪金收入 元 月 与应缴纳税金 元 的函数关系式．
【答案】（1） ；（2） 元；（3）
【解析】
【分析】
[1,2]x∈
2log [0,1]x∈
2
2
3 10 log 22 4x ≤ − − ≤
2log 1, 2x x= = ( )f x 2log 0, 1x x= = ( )f x
《 》
( )%
…… ……
( )1
( )2
( )3 (0 14000)(x x< ≤ / ) (y )
95 9900
0,0 5000,
0.03 150,5000 6500,
0.1 605,6500 9500,
0.2 1555,9500 14000
x
x xy x x
x x
< ≤
− < ≤= − < ≤
− < ≤由分段累进思想，先算第一部分，再算第二部分，即可得到所求值；
考虑第一段 1500 元的税，再考虑 3000 元的税，进而算出第三部分的应交的，即可得到所
求值；
分别考虑交税的前三部分，运用分段累进思想即可得到所求解析式．
【详解】解： 元 ，
应交税为 元 ；
小张 10 月份交纳税金 425 元，
由分段累进可得 ； ；
， ，
则他 10 月份的工资、薪金是 元；
时，可得
，
即为 ．
【点睛】本题考查分段函数的实际应用，以及分析问题和解决问题的能力，属于中档题
22.对于定义域为[0，1]的函数 f（x），如果同时满足以下三个条件：
①对任意的 x∈[0，1]，总有 f（x）≥0
②f（1）=1
③若 x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，都有 f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2） 成立；则称函数 f（x）为
理想函数．试证明下列三个命题：
（1）若函数 f（x）为理想函数，则 f（0）=0；
（2）函数 f（x）=2x﹣1（x∈[0，1]）是理想函数；
（3）若函数 f（x）是理想函数，假定存在 x0∈[0，1]，使得 f（x0）∈[0，1]，且 f[f
( )1
( )2
( )3
( )1 7000 5000 2000(− = )
1500 3% 500 10% 95(× + × = )
( )2
1500 3% 45× = ( )4500 1500 10% 300− × =
425 45 300 80− − = 80 20% 400÷ =
5000 1500 3000 400 9900+ + + =
( )3 0 14000x< ≤
( )
( )
( )
0,0 5000,
5000 0.03,5000 6500,
45 6500 0.1,6500 9500,
45 3000 0.1 9500 0.2,9500 14000
x
x xy x x
x x
< ≤
− × < ≤= + − × < ≤
+ × + − × < ≤
0,0 5000,
0.03 150,5000 6500,
0.1 605,6500 9500,
0.2 1555,9500 14000
x
x xy x x
x x
< ≤
− < ≤= − < ≤
− < ≤
.（x0）]=x0，则 f（x0）=x0．
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析
【解析】
试题分析：（1）取特殊值可得 f（0）≤0 且 f（0）≥0，故 f（0）=0；（2）证明函数 f（x）
=2x﹣1（x∈[0，1]）满足条件①②③；（3）由条件③可证得，对任给 m、n∈[0，1]，当 m＜
n 时，有 f（n）≥f（m），再用反证法证明．
试题解析：
（1）取 x1=x2=0，代入 f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2），可得 f（0）≥f（0）+f（0）
即 f（0）≤0，由已知∀x∈[0，1]，总有 f（x）≥0 可得 f（0）≥0，
∴f（0）=0；
（2）①显然 f（x）=2x﹣1 在[0，1]上满足 f（x）≥0；②f（1）=1．
③若 x1≥0，x2≥0，且 x1+x2≤1，
则有 f（x1+x2）﹣[f（x1）+f（x2）]=2x1+x2﹣1﹣[（2x1﹣1）+（2x2﹣1）]
=（2x2﹣1）（2x1﹣1）≥0，
故 f（x）=2x﹣1 满足条件①②③，
故 f（x）=2x﹣1 为理想函数．
（3）由条件③知，任给 m、n∈[0，1]，当 m＜n 时，由 m＜n 知 n﹣m∈[0，1]，
∴f（n）=f（n﹣m+m）≥f（n﹣m）+f（m）≥f（m）．
若 f（x0）＞x0，则 f（x0）≤f[f（x0）]=x0，矛盾；
若 f（x0）＜x0，则 f（x0）≥f[f（x0）]=x0，矛盾．
综上有 f（x0）=x0．
点睛：本题属于新定义问题，主要考查学生的阅读理解能力和应用新知识解题的能力，此类
问题常以所给新定义为载体，考查其他的数学知识。解决此类问题的关键在于要时刻抓住所
给的新定义，并以此为依据在计算、推理的基础上，将所给的问题解决。
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