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湖南师范大学附属学校2020 届高三5 月模拟
理科数学试题卷
本试卷共 6 页，满分 150 分，考试用时 120 分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在
本试卷上无效。
3．考试结束后.将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．设集合 A = {(x，y) | x + y = 2}，B = {(x ，y) | y = x 2} ，则 A B =
A． {(1,1)} B．{(−2, 4)} C． {(1,1)},{(−2, 4)} D． Φ
2．已知 （ii 为虚数单位），则复数 z =
A. 1+ i B.1− I C.−1+ i D.−1− i
3．现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖. 有人走访了四人，甲说：“乙、丁
都未获奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”，丁说：“是乙获奖”，四人所说话中只
有一位是真话，则获奖的人是
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．已知直线a,b 表示不同的直线,则a / /b 的充要条件是
A．存在平面 α ,使 a / /α,b / /α B．存在平面 α ,使 a ⊥α,b ⊥α
C．存在直线 c ,使a ⊥ c,b ⊥ c D．存在直线c ,使a,b 与直线c 所成的角都是60
5．函数 f (x) = 2x − 4sin x ， x ∈[−
π
2,
π
2]的图像大致是
A. B.
2(1 ) 1i iz
− = +理科数学试卷第 1页 共 6页
3
C. D.
6． 的展开式中的常数项为
A. 240 B. 180 C. -60 D.-80
7．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元 222 年，赵爽
为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，又称“赵爽
弦图”（以弦为边长得到的正方形是由 4 个全等的直角三角形再
加上中间的一个小正方形组成的，如图 1，类比“赵爽弦图”，可
类似地构造如图 2 所示的图形，它是由 6 个全等的三角形与中间 图1
E D
C
D
F B C
E
F A
A 图 2 B
的一个小正六边形组成的一个大正六边形，设 A′F ′ = 2F ′A ,若在大正六边形中随机取一点，则此
点取自小正六边形的概率为
A.
2 13
13 B.
4
13 C.
2 7
7 D.
4
7
8．关于函数 f (x) = 有下述三个结论：
①函数 f (x) 的图象既不关于原点对称，也不关于 y 轴对称；
②函数 f (x) 的最小正周期为 π ； ③ ∃x0 ∈ R ， f (x0 ) = 2−1．
其中正确结论的个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
9．设a,b, c 分别是∆ABC 的内角 A,B,C 的对边，已知(b + c)sin (A + C ) = (a + c)(sinA − sinC )，设 D
是 BC 边的中点，且∆ABC 的面积为 ，则 等于
A．2 B．4 C．-4 D．-2
10．已知椭圆 ，作倾斜角为3π
4
的直线交椭圆 C 于 A,B 两点,线段 AB 的
中点为 M,O 为坐标原点OM 与 MA 的夹角为θ,且 tanθ =3，则b =
A．1 B． C． D． 6
2
3 62( 1)( )x x x
− +
| sin | | cos |2 2
x x+
( )AB DA DB⋅ +
2 2
2: 1(0 2)4
x yC bb
+ = < <
3
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11．在四面体 ABCD中，AB = AC = 2 3，BC= 6，AD⊥底面ABC，G 为∆∆ΒC 的重心，且直
线 DG 与平面 ABC 所成的角是30°，若该四面体ABCD 的顶点均在球O 的表面上，则球O的
表面积是
A. 24π B. 32π C. 46π D. 49π
12．已知函数 f(x)=
m
x －1－nln x(m>0,0≤n≤e)在区间[1，e]内有唯一零点，则n + 2
m + 1
的取值范围为
A. B. C. D.
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．执行如图所示的程序框图，输出S 的值是
14．在锐角三角形 ABC 中，sin 2C = 3 cos 2C + 3, c cos B + b cos C = 2 ，则△ABC 的面积的取值
范围为 。
15．已知双曲线 ,O 是坐标原点,F 为 C 的右焦点,过 F 的直线与 C 的两条
渐近线的交点分别为 A, B , 且 OAB 为直角, 记 △OAF 和 △OBF 的面积分别为 S△OAF , S△OBF , 若 ,则
双曲线C 的离心率为 。
16．已知数列{an}的前 n 项和Sn=2an−2n+1，若不等式2n2−n−3 0, a ∈ N* ) , Sn = pan+1( p ≠ 0 且 p ≠ −1, n ∈ N* )
(1)求数列{an }的通项公式;
(2)在① ak +1 , ak +3 , ak + 2 ,② ak + 2 , ak +1 , ak +3 这两个条件中任选一个,补充在下面的问题中,要使问题成立,
对任意的正整数k,若将 ak +1 , ak + 2 , ak +3 按 的顺序排列后构成等差数列,且公差为 dk ,求p 的值
2
2[ , 1]1 2
e e
e e
+ ++ + 2
2[ , 1]1
e ee e
+ ++ +
2[ , 1]1 ee
++ [1, 1]2
e +
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > >
3
5
OAF
OBF
S
S
∆
∆
=
开始 n = 1, S = 0 S = S + tan n π
3
n = n + 1
n < 2019 ?
是
否
输 S 结束
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及对应的dk .
18．如图，在四棱锥 P − ABCD 中， PA ⊥ 底面 ABCD ，底面 ABCD 为平行四边形， AB ⊥ AC ，且
PA = AB = 3， AC = 2 ， E 是棱 PD 的中点．
(1)求证： PB / / 平面 AEC ；
(2)求直线 PC 与平面 AEC 所成角的正弦值；
(3)在线段 PB 上（不含端点）是否存在一点 M ，使得二面角 M − AC − E 的余弦值为 10
10
？若存
在，确定M 的位置；若不存在，说明理由．
19．已知圆C 1: x2 + y2 = 2 ，圆C2: x2 + y2 = 4，如图，C1 ，C2 分别交 x 轴正半轴于点 E ， A ．射线
OD 分别交C1 ， C2 于点 B ， D ，动点 P 满足直线 BP 与 y 轴垂直，直线 DP 与 x 轴垂直．
（1）求动点 P 的轨迹C 的方程；
（2）过点 E 作直线l 交曲线C 与点 M ， N ，射线OH ⊥ l 与点 H ，且交曲线 C 于点 Q ．问：
1 + 1 的值是否是定值？如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请说明理由．
| MN | | OQ |2
20．在党中央的正确领导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治， 二
月份“新冠肺炎”疫情得到了控制．甲、乙两个地区采取防护措施后，统计了从 2 月 7 日到 2月 13
日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数，绘制成如图折线图：理科数学试卷第 4页 共 6页
（1）根据图中甲、乙两个地区折线图的信息，写出你认为最重要的两个统计结论；
（2）治疗“新冠肺炎”药品的研发成了当务之急，某药企计划对甲地区的 A 项目或乙地区的 B 项
目投入研发资金，经过评估，对于 A 项目，每投资十万元，一年后利润是 1.38 万元、1.18 万
元、1.14 万元的概率分别为1
6
、1
2
、1
3
；对于 B 项目，利润与产品价格的调整有关，已知 B ．项
目产品价格在一年内进行 2 次独立的调整，每次价格调整中，产品价格下调的概率都是
p(0 < p < 1) ，记 B 项目一年内产品价格的下调次数为ξ，每投资十万元，ξ取 0、1、2 时，一年
后相应利润是 1.4 万元、1.25 万元、0.6 万元．记对 A 项目投资十万元，一年后利润的随机变
量为ξ1 ，记对 B 项目投资十万元，一年后利润的随机变量为ξ2 ．
(i) 求ξ1 ，ξ2 的概率分布列和数学期望 Eξ1 ， Eξ2 ；
(ii) 如果你是投资决策者，将做出怎样的决策？请写出决策理由．
21．设函数 f (x) = xlnx − aex ，ϕ(x) =1
2
mx2 + x ，其中a ∈ R ， e 是自然对数的底数．
（Ⅰ）若 f (x) 在(0, +∞) 上存在两个极值点，求a 的取值范围；
（Ⅱ）当f ´(1
e)=00 ，设F (x) = f (x) −ϕ(x) ，m ∈ R ，若F (x) 在 (0, +∞) 上存在两个极值点 x 1，x2 ，且 x1 < x2 ，
求证：x1 x2 >e2 ．
2
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一
题计分。
22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]
x = 2 + 2 cosϕ
在直角坐标系 xOy 中，曲线C1 的参数方程为 y = 2sinϕ (ϕ为参数，以原点O 为极点， x 轴的
正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为ρ= 4sinθ.理科数学试卷第 0页 共 6页
（1）求曲线C1 的普通方程和C2 的直角坐标方程；
（2）已知曲线C3 的极坐标方程为θ=α(0 1，求 a 的取值范围；
（2）若 a
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