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赣州市 2020 年高三适应性考试文科数学参考答案 1 赣州市 2020 年高三适应性考试 文科数学参考答案 一、选择题 题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C A A C B C A A C B B 12.解：（法一）由题意， 2, 3 , 2e b a c a   ，双曲线方程为 2 2 23 3x y a  设直线 :l x c my  ，即 2x a my  直线与双曲线联立方程组，消去 x 可得： 2 2 23 1 12 9 0, 0m y may a      令    1 1 2 2, , ,A x y B x y ，则 1 2 2 12 3 1 may y m    ①， 2 1 2 2 9 3 1 ay y m   ② ∵ 3AF FB  ,∴ 1 23y y  与①②联立方程组可解得： 2 1 15m  ， 1 15k m    （法二）根据圆锥曲线统一定义， 1 2 2AF BF ed d    ， 1 2,d d 分别是 ,A B 到右准线的距离 分别过 ,A B 作准线的垂线，垂足为 1 1,A B 令  0BF t t  ，则 1 1 33 , ,2 2 t tAF t BB AA   延长 AB 交右准线于点 P ，∵ 1 1/ /BB AA ∴ 1 1 1 , 23 BBPB PB tPA AA    1PBB 为所求直线的倾斜角 或倾斜角的补角 1 15cos ,sin , tan 154 4 k        二、填空题 13． 1 ； 14． 2 ； 15. 2 0x y   ； 16. 13 6 ． 16.解：如图，连结 EF 交 1 1A D 的延长线于点G ，连结 AG ，交 1DD 于点 M , 延长 FE 交 1 1A B 的延长线于点 H ,连结 AH 交 1BB 于点 N ，连结 ,EN MF ,赣州市 2020 年高三适应性考试文科数学参考答案 2 则五边形 ANEFM 即为平面 AEF 截正方体的截面. 易得 ,M N 分别为 1DD 和 1BB 的三等分点，则 2 21 1 13 2 3 6NE             取 BC 中点 R ， 1CC 上靠近C 点的三等分点 S ， 易得 / / , / / ,PR EF RS NE RS NE ∴平面 / /PRS 平面 AEF , ∵平面 PRS  平面 1 1BCC B RS , ∴Q 在线段 RS 上， 13 6RS  . 三、解答题 17.解：（1）设等差数列 na 的公差为 d ， 由题意得： 1 1 1 3 3 9 3 4 8 a d a d a d       即 1 1 3 2 a d a d     ……………………………………………1 分 所以 1 2, 1a d  ………………………………………………………………………………3 分 所以 1na n  …………………………………………………………………………………5 分 （2）      1 2 1 1 2 1n n nb n n n            1 2 3 32 2 3 2 4 2 1 2 2 n n n nT n             …………………………………6 分 令  1 2 32 2 3 2 4 2 1 2n nM n          ………①  2 3 4 12 2 2 3 2 4 2 1 2n nM n           ………②………………………………7 分 ① ②得：      1 2 3 1 12 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 21 2 n n n n nM n n                  ………8 分 12nn    ……………………………………………………………………………………9 分 所以 12n nM n   ……………………………………………………………………………10 分 所以 2 1 32 2 n n n nT n     …………………………………………………………………12 分赣州市 2020 年高三适应性考试文科数学参考答案 3 18．解:（1） 5 1 1 55 2 68 3 80 4 92 5 100 1299i i i x y             3x  ， 55 68 80 92 100 395 795 5y       …………………………………………2 分 5 2 1 1 4 9 16 25 55i i x        2 1299 5 3 79 114 11.455 5 3 10b        …………………………………………………………2 分 79 11.4 3 44.8a     ………………………………………………………………………3 分 ∴ 11.4 44.8y x  ……………………………………………………………………………4 分 当 6x  时， 11.4 6 44.8 113.2y     ， 即预测 2020 年一年内该乡镇约有 113 贫困户脱贫…………………………………………5 分 ∴预测 6 年内该乡镇脱贫总户数有55 68 80 92 100 113 508 500       即预测到 2020 年底该乡镇 500 户贫困户能全部脱贫………………………………………6 分 （2）由题意可得：按分层抽样抽取的 5 户脱贫户中 有 1 户五保户 a ，1 户低保户b ，3 户扶贫户 , ,c d e ………………………………………7 分 从这 5 户中选 2 户，共有 10 种情况：                    , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,a b a c a d a e b c b d b e c d c e d e …………………9 分 记 2 户不都是扶贫户为事件 A ,则事件 A 共有 3 种情况：     , , , , ,c d c e d e ∴   3 10P A  …………………………………………………………………………………11 分   3 71 10 10P A    ． ∴求抽取的 2 户不都是扶贫户的概率为 7 10 …………………………………………………12 分 19．解：（1）证明：取 BC 的中点 D ，连结线段 DM ；由 2AC BC  , 120ACB   ， 得 2 3AB  ，则 1 2 3 3 3BM AB  ………………2 分 在 BDMV 中， 30DBM   ，由余弦定理可得，赣州市 2020 年高三适应性考试文科数学参考答案 4 2 2 2 cos30DM BD BM BD BM      3 3  ；  2 2 2BD DM BM  ， BD DM  ……………………………………………………3 分 由于 PBCV 为等边三角形， D 为 BC 的中点，则 PD BC ……………………………4 分 BC 平面 PDM ……………………………………………………………………………5 分 BC  PM …………………………………………………………………………………6 分 （2）（法一）由（1）知 BC  平面 PDM ， BC  平面 ABC ,则平面 ABC  平面 PDM ……………………………………………7 分 作 PN  DM ，垂足为 N ，平面 ABC  平面 PDM DM ，则 PN 平面 ABC ， PN 即为三棱锥 P ABC 的高………………………………………………………………8 分 由 1 1 1 52 2 sin1203 3 2 3P ABC ABCV S PN PN         o V 得 15 3PN  ………………………………………………………………………………10 分 在等边三角形 PBC 中， 2BC  ，则 3PD  在直角三角形 PDN 中， 5sin 3 PNPDM PD    ，则 2cos 3PDM  ； 在 PDM 中， 2 2 2 cosPM DM PD DM PD PDM      2 ………………12 分 （法二）∵ 1 6 P BDM BDM P ABC BCA V S V S      …………………………………………………………8 分 ∴ 5 1 1 18 3 3P BDM B PDM PDM PDMV V S BD S       ， 3PD  ∴ 5 1 33 sin6 2 3PDMS PDM     ……………………………………………10 分 ∴ 5 2sin ,cos3 3PDM PDM    …………………………………………………11 分 在 PDM 中， 2 2 2 2 cos 2PM PD DM PD DM PDM      ∴ 2PM  …………………………………………………………………………………12 分赣州市 2020 年高三适应性考试文科数学参考答案 5 20．解：（1）联立方程组 2 2 2 2 2 1 2 1 9 14 c a c a b a b           解得： 2, 3, 1a b c   …………………3 分 ∴椭圆 C 的焦点坐标为  1,0 ∵ 0p  ，∴ 1, 22 p p  抛物线 E 的标准方程为 2 4y x …………………………………………………………5 分 （2）设      1 1 2 2,0 , , ,B ,M t A x y x y 假设直线l 方程为 x t my  ，代入 2 4y x 中，得： 2 4 4 0, 0y my t     1 2 1 24 , 4y y m y y t    ……………………………………………………………………7 分    2 2 2 2 2 1 1 11MA x t y m y     ，  2 2 2 21MB m y  ……………………………8 分 ∴   2 2 1 2 2 2 22 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 y y m y y m y yMA MB              2 2 1 2 1 2 22 2 2 1 2 21 1 16 8 1 1 1 16 4 y y y y m t m m ty y        整理得：  2 2 24 2 0m t t t    对任意的 m 恒成立……………………………………10 分 ∴ 2 2 4 0 2 0 t t t       ∴ 2t  即存在点  2,0M …………………………………………………12 分 注：若用其他解法，相应给分 21．解：  f x 的定义域为 0,   1 ln ln 1 22 2 a af x x a x xx x                   ln 1x a x x   ……………………………………………………………………………1 分 若 0a≤ ，  f x 在  0,e 上单调递减，在 e, 上单调递增； 若 0a  ，当 ea  时，  f x 在 0, 上单调递增；赣州市 2020 年高三适应性考试文科数学参考答案 6 当 ea  时，  f x 在 e,a 上单调递减，在   0,e , ,a  上单调递增； 当 0 ea  时，  f x 在 ,ea 上单调递减，在   0, , e,a  上单调递增； 综上所述： 当 0a ≤ 时，  f x 在 (0,e) 上单调递减，在(e, ) 上单调递增………………3 分 当 ea  时，  f x 在  0, 上单调递增………………………………………………4 分 当 ea  时，  f x 在 e,a 上单调递减，在    0,e , ,a  上单调递增……………5 分 当 0 ea  时，  f x 在 ,ea 上单调递减，在   0, , e,a  上单调递增…………6 分 （2）      2 e 2 ( 1) e 2e 2 12 a a aaf a a a a a a               2 2 e 1 2 a aa a        ……………………………………………………………………7 分 令   2 e 1 2 a ag a a    ，    e 1ag a a a     ，   e 1aa   ………………8 分 ∵ 0 2a  ∴   0a  ，  a 在  0,2 上单调递增，    0 0a   …………………………9 分   0g a  ，  g a 在 0,2 上单调递增，    0 0g a g  ……………………………10 分 ∴ 2 e 12 a a a   而 2 0a   ∴      2e 2 1 2af a a a a      ……………………………………………………11 分 ∴    e 2 1af a a   ……………………………………………………………………12 分 22．解：（1）由 22 2 2 2 x t y t      得 2 0x y   ………………………………………………2 分 由 3 cos tan x y       得 2 2 2 2 2 1 1 tan3 cos tan x y         则 2 2 13 x y  …………………………………5 分赣州市 2020 年高三适应性考试文科数学参考答案 7 （2）由 2 2 13 x y  可知  2,0M  为左焦点，直线 2 0x y   过右焦点  2,0N 又直线斜率 31 3ABk   （一条渐近线的斜率），所以点 ,A B 在双曲线的右支 ∴ MA MB =   2 2NA a NB a NA NB     ……………………………………7 分 令点 ,A B 对应的参数分别为 1 2,t t 由 22 2 2 2 x t y t      代入 2 2 13 x y  得 2 2 2 1 0t t   ……………………………………8 分 则 1 2 2 2t t  ， 1 2 1t t   ， ∴ MA MB = 1 2 2 2NA NB t t    ……………………………………………10 分 23．解：（1）法一：由 4a b  得：  1 1 1 1 1 1 2 14 4 b aa ba b a b a b                 ≥ 当且仅当“ b a a b  ”即 2a b  时等号成立 ∴ 1 1 a b  的最小值为1…………………………………………………………………………5 分 法二：∵ 0, 0a b  ， 4a b  ， ∴ 2 1 1 4 1 2 a b a b a b ab a ba b         ≥ 即 2a b  时等号成立，∴ 1 1 a b  的最小值为1 法三：由柯西不等式得：  21 1 1 1 4a b a ba b a b               ≥ 又 4a b  ，进而得： 1 1 1a b  ≥ ，故 1 1 a b  的最小值为1. 当且仅当“ 2a b  ”时等号成立 注：其它解法相应给分 （2）法一：由    22 22 a b a b ≥赣州市 2020 年高三适应性考试文科数学参考答案 8 得： 2 2 21 1 1 1 1 2a b a ba b a b                      ≥ …………………………………………8 分 由（1）知: 1 1 1a b  ≥ 进而得： 2 2 21 1 1 1 1 25 2 2a b a ba b a b                      ≥ ≥ 当且仅当“ 2a b  ”时等号成立…………………………………………………………10 分 法二：由    22 22 a b a b ≥ 得：   2 22 2 2 2 1 1 1 1 1 1 18,2 2 2a b a b a b a b         ≥ ≥ ≥ 由 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 254 8 42 2a b a ba b a b                     ≥ 当且仅当“ 2a b  ”时等号成立. 法三：由柯西不等式得：   2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 11 12 2a b a b a ba b a b a b                                           ≥