数列与不等式-高中数学必备考试技能之回扣溯源、查缺补漏（2020版）（解析版）

高中数学必备考试技能之回扣溯源、查缺补漏【2020 版】 回扣 4：　数列与不等式 一．知识汇总*经典提炼 通项公式 数列 中的项用一个公式表示， 一般 数列 前 项和 累加法 型 累乘法 型 转化法 简单 的递 推数 列解 法 待定 系数法 。 比较系数得出 ，转化为等比数列。 解决递推数列问题的 基本思想是“转化”， 即转化为两类基本数 列----等差数列、等比 数列求解。 概念 满足 （常数）， 递增、 递减、 常数数列。 通项 公式 。 。 等差 数列 前 项 和公式 为等差数列。 概念 满足 （ 的常数），单调性由 的正负， 的范围确定。 数 列、 等 差 数 列 等 比 数 列 等比 数列 通项 公式 ， { }na ( )na f n= { }na n 1 2n nS a a a= + + + 1 1 , 1, , 2.n n n S na S S n− ==  − ≥ 1 ( )n na a f n+ = + 1 ( )n na a f n+ = 1 1 1 1( 0,1, 0)n n n n n n n a aa pa q p p q qp p + + + += + ⋅ ≠ ≠ ⇔ = + 1 1( 0,1, 0) ( )n n n na ca d c d a c aλ λ+ += + ≠ ≠ ⇔ + = + λ 1n na a d+ − = 0d > 0d < 0d = 1 ( 1) ( )n ma a n d a n m d= + − = + − m n p qa a a a m n p q+ = + ⇔ + = + 2 2m n pa a a m n p+ = ⇔ + = { }na n 1 1 ( )( 1) 2 2 n n n a an nS na d +−= + = 2 3 2, , ,m m m m mS S S S S− −  1 :n na a q+ = 0q ≠ 1a q { }na 1 1 n n m n ma a q a q− −= = m n p qa a a a m n p q= ⇔ + = + 2 2m n pa a a m n p= ⇔ + = 前 项 和公式 公比不等于 时， 成等比数列。 （1） ； （2） ； （3） ； 两个实数的顺序关系： （4） ； （5） ； 不等式的 性质 （6） 的 充 要 条 件 是 。 一元二次 不等式 解一元二次不等式实际上就是求出对应的一元二次方程的实数根（如果有实数根），再结合对 应的函数的图象确定其大于零或者小于零的区间，在含有字母参数的不等式中还要根据参数 的不同取值确定方程根的大小以及函数图象的开口方向，从而确定不等式的解集． 基本 不等式 （ ） （ ）； （ ）； ≤ ≤ ≤ （ ）； 。 二元一次 不等式组 二元一次不等式 的解集是平面直角坐标系中表示 某一侧所 有点组成的平面区域。二元一次不等式组的解集是指各个不等式解集所表示的平面区域的公 共部分。 二．核心解读*方法重温 1.已知数列的前 n 项和 Sn 求 an，易忽视 n＝1 的情形，直接用 Sn－Sn－1 表示.事实上，当 n＝1 时，a1＝S1； 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1. [回扣问题 1]　在数列{an}中，a1＋a2 2＋a3 3＋…＋an n＝2n－1(n∈N*)，则 an＝________. 解析　依题意得，数列{an n }的前 n 项和为 2n－1， 当 n≥2 时，an n＝(2n－1)－(2n－1－1)＝2n－1， n 11 1 (1 ) , 1,1 1 , 1. n n n a a qa q qS q q na q  −− = ≠= − −  = 1− 2 3 2, , ,m m m m mS S S S S− −  a b b c a c> > ⇒ >， 0 0a b c ac bc a b c ac bc> > ⇒ > > < ⇒ ⇒ + > + 0a b a b> ⇔ − > 0a b a b= ⇔ − = 0a b a b< ⇔ − < a b c d a c b d> > ⇒ + > +， 0 0a b c d ac bd> > > > ⇒ >， *0 1 n nn na b n n a b a b> > ∈ > ⇒ > >N， ， ； 1 1a b a b > ⇔ < 0ab > 2 a bab +≤ 0, 0a b> > 2a b ab+ ≥ , 0a b > 2( )2 a bab +≤ ,a b∈R ba ab + 2 ab 2 ba + 2 22 ba + , 0a b > 2 2 2a b ab+ ≥ 0Ax By C+ + > 0Ax By C+ + = 又a1 1＝21－1＝1＝21－1，因此an n＝2n－1(n∈N*)， 故 an＝n·2n－1. 答案　n·2n－1 2.等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件，并灵活整体代换进行基本运算.如等差数列{an}与{bn} 的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn，已知Sn Tn＝ n＋1 2n＋3，求an bn时，无法正确赋值求解. [回扣问题 2]　等差数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn，Tn，且Sn Tn＝3n－1 2n＋3，则a8 b8＝________. 解析　a8 b8＝2a8 2b8＝a1＋a15 b1＋b15＝S15 T15＝3 × 15－1 2 × 15＋3＝4 3. 答案　4 3 3.运用等比数列的前 n 项和公式时，易忘记分类讨论.一定分 q＝1 和 q≠1 两种情况进行讨论. [回扣问题 3]　等比数列{an}的各项均为实数，其前 n 项和为 Sn，已知 S3＝7 4，S6＝63 4 ，则 a8＝________. 解析　设数列{an}的公比为 q，若 q＝1， 则 S6＝2S3 与题设矛盾，∴q≠1. 则{S3＝a1（1－q3） 1－q ＝7 4， S6＝a1（1－q6） 1－q ＝63 4 ， 解得{a1＝1 4， q＝2， 所以 a8＝a1q7＝1 4×27＝32. 答案　32 4.利用等差数列定义求解问题时，易忽视 an－an－1＝d(常数)中，n≥2，n∈N*的限制，类似地，在等比数列中， bn bn－1＝q(常数且 q≠0)，忽视 n≥2，n∈N*的条件限制. [回扣问题 4]　已知数列{an}中，a1＝a2＝1，an＋1＝an＋1 2(n≥2)，则数列{an}的前 9 项和等于________. 解析　由 a2＝1，an＋1＝an＋1 2(n≥2)， ∴数列{an}从第 2 项起是公差为1 2的等差数列， ∴S9＝a1＋a2＋a3＋…＋a9 ＝1＋8a2＋8（8－1） 2 ×1 2＝23. 答案　23 5.利用错位相减法求和，切忌漏掉第一项和最后一项；裂项相消求和，相消后剩余的前、后项数要相等. [回扣问题 5]　已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a3＝6，S4＝20. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{ 1 Sn }的前 n 项和 Tn. 解　(1)设数列{an}的公差为 d， 由 a3＝6，S4＝20， 得{a1＋2d＝6， 2a1＋3d＝10，解得{a1＝2， d＝2， 因此 an＝2＋2(n－1)＝2n. (2)由(1)知 Sn＝ （2＋2n）n 2 ＝n(n＋1)， 从而 1 Sn＝ 1 n（n＋1）＝1 n－ 1 n＋1 ∴Tn＝(1－1 2 )＋(1 2－1 3 )＋…＋(1 n－ 1 n＋1)＝1－ 1 n＋1＝ n n＋1. 6.对于通项公式中含有(－1)n 的一类数列，在求 Sn 时，切莫忘记讨论 n 为奇数、偶数；遇到已知 an＋1－an－1 ＝d 或an＋1 an－1＝q(n≥2)，求{an}的通项公式时，要注意对 n 的讨论. [回扣问题 6]　若 an＝2n－1，bn＝(－1)n－1an，则数列{bn}的前 n 项和 Tn＝________. 解析　bn＝(－1)n－1an＝(－1)n－1(2n－1). 当 n 为偶数时，Tn＝a1－a2＋a3－a4＋…＋an－1－an＝(－2)×n 2＝－n. 当 n 为奇数时，Tn＝Tn－1＋bn＝－(n－1)＋an＝n. 故 Tn＝{－n，n 为偶数， n，n 为奇数. 答案　{－n，n 为偶数， n，n 为奇数 7.解形如 ax2＋bx＋c>0 的一元二次不等式时，易忽视系数 a 的讨论导致漏解或错解，要注意分 a>0，a0 的解集是实数集 R；命题乙：00 恒成立， 当 a≠0 时，需满足{a > 0， Δ＝（2a）2－4a < 0， 解得 00，b>0)， ∴2a＋b＝(2a＋b)(1 a＋2 b )＝4＋b a＋4a b ≥8， 当且仅当b a＝4a b ，即 a＝2，b＝4 时，取等号. 故 2a＋b 的最小值为 8. 答案　8 9.求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如y－2 x＋2是指已知区域内的点(x，y)与 点(－2，2)连线的斜率，而(x－1)2＋(y－1)2 是指已知区域内的点(x，y)到点(1，1)的距离的平方等. [回扣问题 9]　若变量 x，y 满足{x＋y ≤ 2， 2x－3y ≤ 9， x ≥ 0， 则 x2＋y2 的最大值是(　　) A.4 B.9 C.10 D.12 解析　满足条件{x＋y ≤ 2， 2x－3y ≤ 9， x ≥ 0 的可行域如图阴影部分(包括边界)所示，x2＋y2 是可行域上的动点(x，y)到原点(0，0)距离的平方，显然， 当 x＝3，y＝－1 时，x2＋y2 取得最大值，最大值为 10. 答案　C 10.求解不等式、函数的定义域、值域时，其结果一定要用集合或区间表示，另外一元二次不等式的解集表 示形式受到二次项系数符号的影响. [回扣问题 10]　已知关于 x 的不等式 ax2＋bx＋c －1 2}，则 ax2－bx＋c>0 的解 集为________. 解析　∵ax2＋bx＋c －1 2}， ∴a0 化为 ax2－5 2ax＋a>0， 由于 a x 2 0 4 0 k k k >  = − > ( 1,2)− 2 1 a b + 1 2 2 2 l ( )1,2− 2 2 0a b− − + = 2 12 a b+ = 2 1 2 1 2 1 4 1 4( ) (4 ) (4 2 ) 42 2 2 a b b a b a a b a b a b a b ++ = + = + + ≥ + × = 4b a a b = 2a b= 2a b = { }na { }nb { }nc 1 1a = 1 1 2 1 n n na a+ = + − 1 n n b na = + 11n n n c a b = − { }nb { }na { }nb { }nc nS 1 2n na n = − 2n nb = 22 2n n nS += − 1 1 2 1 n n na a+ = + − 1 1 2 11 2 2 n n n n n na a a+  + + = + = +    1 2n nb b+ = { }nb 1 1 1 2a + = 2n nb = 1 12 2 n n n n n aa n + = ⇒ = − 故 , . (2)由(1) . 所以 相减可得 故 , . 化简得 8．（2020·山东省高三二模）已知数列 的前 项和为 ，数列 满足 ， （1）求数列 、 的通项公式； （2）求 . 【答案】（1） ； （2） 【解析】（1） ， 当 时， ， 当 时， 也满足 ，所以 ， 又数列 满足 ，所以 . （2）当 ， 时， ； 1 2n na n = − 2n nb = 1 21 12 2 2 2 n n n n n n n nc n −= − = − = − 1 2 3 1 2 3 ...2 2 2 2n nS n= + + + + 2 3 4 1 1 2 3 1...2 2 22 2 1 2n nn n nS + −= + + + + + 1 2 3 4 1 1 1 1 111 1...2 2 2 22 2 2nn n nS +  −   = + + + + + − 1 1 112 21 112 2 2 n n n nS +  −  = − − 1 11 2 1 22 n nnS n += − − 22 2n n nS += − { }na n 0 1 2 1n n n n n nS C C C C −= + + + + { }nb 2logn nb a= { }na { }nb ( ) 12 2 2 2 2 1 2 3 4 1 n n nT b b b b b+= − + − + + − 12n na -= 1nb n= − 2 2 ,2 ,2 n n n n T n n n  − =  −  为偶数 为奇数 0 1 2 1 2 1n n n n n n nS C C C C −= + + + + = − 2n ≥ 1 1 2n n n na S S − −= − = 1n = 1 1a = 12n na -= 12n na -= { }nb 2logn nb a= 1nb n= − 2n k= *k N∈ ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 2 1 2n k kT b b b b b b−= − + − + + − ( )1 2 2kb b b= − + + + ( )( )1 2 2 1k = − + + + −  22k k= − + 当 ， 时， . 所以 ， ，即 . 2 1n k= − *k N∈ ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 2 3 2 2 2 1n k k kT b b b b b b b− − −= − + − + + − + ( )( ) ( )21 2 2 3 4 1k k = − + + + − + −  22 3 1k k= − + ( ) ( ) 2 2 2 , 2 2 3 1, 2 1n k k n kT k k n k − + ==  − + = − *k N∈ 2 2 ,2 ,2 n n n n T n n n  − =  −  为偶数 为奇数