三角函数与平面向量-高中数学必备考试技能之回扣溯源、查缺补漏（2020版）（解析版）

高中数学必备考试技能之回扣溯源、查缺补漏【2020 版】 回扣 3：　三角函数与平面向量 一．知识汇总*经典提炼 定义 任意角 的终边与单位圆交于点 时， ． 同角三角 函数关系 。 基 本 问 题 诱导公式 ， ， ， “奇变偶不变，符号看象限”． 值域 周期 单调区间 奇偶性 对称中心 对称轴 （ ） 增 减 奇函数 （ ） 增 减 偶函数 三 角 函 数 的 性 质 与 图 象 ( ) 增 奇函数 无 上下平移 图象平移 得 图象， 向上， 向下。 平移变换 左右平移 图象平移 得 图象， 向左， 向右。 轴方向 图象各点把横坐标变为原来 倍得 的图象。 三 角 函 数 的 图 象 与 性 质 图 象 变 换 伸缩变换 轴方向 图象各点纵坐标变为原来的 倍得 的图象。 α ( , )P x y sin ,cos ,tan yy x x α α α= = = 2 2 sinsin cos 1, tancos αα α αα+ = = 360 ,180α α°± °± α− 90 ,270α α°± °± siny x= x∈R [ ]1,1− 2kπ 2 , 22 2k k π ππ π − + +   32 , 22 2k k π ππ π + +   ( ,0)kπ 2 x k ππ = + cosy x= x∈R [ ]1,1− 2kπ [ ]2 ,2k kπ π π− + [ ]2 ,2k kπ π π+ ( ,0)2k ππ + x kπ= tany x= 2x k ππ≠ + R kπ ,2 2k k π ππ π − + +   ,02 kπ     ( )y f x= k ( )y f x k= + 0k > 0k < ( )y f x= ϕ ( )y f x ϕ= + 0ϕ > 0ϕ < x ( )y f x= ω 1( )y f xω= y ( )y f x= A ( )y Af x= 中心对称 图象关于点 对称图象的解析式是 对称变换 轴对称 图象关于直线 对称图象的解析式是 。 和差角公式 倍角公式 正弦 余弦 变换 公式 正切 定理 。 变形 （ 外 接 圆 半 径）。 正弦 定理 类型 三角形两边和一边对角、三角形两角与一边。 射影定理： 定理 。 变形 等。 余弦 定理 类型 两边及一角（一角为夹角时直接使用、一角为一边对角时列方程）、三边。 基本 公式 。 面积 公式 导出 公式 （ 外接圆半径）； （ 内切圆半径）。 基本思想 把要求解的量归入到可解三角形中。在实际问题中，往往涉及到多个三角形，只要 根据已知逐次把求解目标归入到一个可解三角形中。 三 角 恒 等 变 换 与 解 三 角 形 实际 应用 常用术语 仰 角 视线在水平线以上时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角。 ( )y f x= ( , )a b 2 (2 )y b f a x= − − ( )y f x= x a= (2 )y f a x= − sin( ) sin cos cos sin α β α β α β ± = ± sin 2 2sin cosα α α= cos( ) cos cos sin sin α β α β α β ± =  2 2 2 2 cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin α α α α α = − = − = − tan tantan( ) 1 tan tan α βα β α β ±± =  2 2tantan 2 1 tan αα α= − 2 2tansin 2 1 tan αα α= + 2 2 1 tancos2 1 tan αα α −= + 2 1 cos2sin 2 αα −= 2 1 cos2cos 2 αα += sin sin sin a b c A B C = = 2 sin , 2 sin , 2 sina R A b R B c R C= = = R cos cosa b C c B= + cos cosb a C c A= + cos cosc a B b A= + 2 2 2 2 2 2 2 2 22 cos , 2 cos , 2 cosa b c bc A b a c ac B c a b ab C= + − = + − = + − 2 2 2 2 2( )cos 12 2 b c a b c aA bc bc + − + −= = − 1 1 1 1 1 1sin sin sin2 2 2 2 2 2a b cS a h b h c h ab C bc A ac B= ⋅ = ⋅ = ⋅ = = = 4 abcS R = R 1 ( )2S a b c r= + + r 俯 角 视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角。 方 向 角 方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方 向旋转到目标的方向线所成的角（一般是锐角，如北偏西 30°）。 方 位 角 某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角。 向量 既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段的长度叫做该向量的模。 向量 长度为 ，方向任意的向量。【 与任一非零向量共线】 平行向量 方向相同或者相反的两个非零向量叫做平行向量，也叫共线向量。 向量夹角 起点放在一点的两向量所成的角，范围是 。 的夹角记为 。 重 要 概 念 投影 ， 叫做 在 方向上的投影。【注意：投影是数量】 基本定理 不共线，存在唯一的实数对 ，使 。若 为 轴 上的单位正交向量， 就是向量 的坐标。 一般表示 坐标表示（向量坐标上下文理解） 共线条件 （ 共线 存在唯一实数 ， 重 要 法 则 定 理 垂直条件 。 。 法则 的平行四边形法则、三角形法则。 。加法 运算 算律 ， 与加法运算有同样的坐标表示。 法则 的三角形法则。减法 运算 分解 。 。 平 面 向 量 各 种 运 算 数乘 概念 为向量， 与 方向相同， 。 0 0 0 [ ]0,π ,a b  ,a b< >  ,a b θ< >=  cosb θ b a 1 2,e e  ( , )λ µ 1 2a e eλ µ= +   1 2,e e  ,x y ( , )λ µ a ,a b  0b ≠  ⇔ λ a bλ=  1 1 2 2 1 2 2 1( , ) ( , )x y x y x y x yλ= ⇔ = 0a b a b⊥ ⇔ =     1 1 2 2 0x y x y+ = a b+  1 2 1 2( , )a b x x y y+ = + +  a b b a+ = +    ( ) ( )a b c a b c+ + = + +      a b−  1 2 1 2( , )a b x x y y− = − −  MN ON OM= −   ( , )N M N MMN x x y y= − − aλ ⋅  0λ > a ( , )a x yλ λ λ= 与 方向相反， 。运算 算律 ， ， 与数乘运算有同样的坐标表示。 概念 。 主要 性质 ， 。 ，数量 积运 算 算律 ， ， 。 与上面的数量积、数乘等具有同样 的坐标表示方法。 二．核心解读*方法重温 1.三角函数值是一个比值，是实数，这个实数的大小和点 P(x，y)在终边上的位置无关，只由角的终边位置 决定. [回扣问题 1]　已知角 α 的终边为射线 y＝2x(x≥0)，则 cos 2α＋cos α＝________. 解析　∵α 的终边为射线 y＝2x(x≥0)， 不妨在射线上取点 P(1，2)，则 cos α＝ 1 5 ， ∴cos 2α＋cos α＝2cos2α－1＋cos α＝2×( 1 5 )2 －1＋ 1 5 ＝ 5－3 5 . 答案　 5－3 5 2.求函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意 A 与 ω 的符号，当 ω       1 2 1 2a b x x y y= +   2 a a a=    a b a b≤ ⋅     2 2a x y= + 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2x x y y x y x y+ ≤ + ⋅ + a b b a=      ( )a b c a c b c+ = +         ( ) ( ) ( )a b a b a bλ λ λ= =         [回扣问题 3]　要得到函数 y＝sin (4x－π 3)的图象，只需将函数 y＝sin 4x 的图象(　　) A.向左平移 π 12个单位长度 B.向右平移 π 12个单位长度 C.向左平移π 3个单位长度 D.向右平移π 3个单位长度 解析　∵y＝sin(4x－π 3)＝sin[4(x－ π 12)]， ∴要得到 y＝sin (4x－π 3)的图象，只需将函数 y＝sin 4x 的图象向右平移 π 12个单位长度. 答案　B 4.运用二次函数求三角函数最值时，要注意三角函数取值范围. [回扣问题 4]　若函数 f(x)＝ 3sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)(0