2020年高考数学6月大数据精选模拟卷01（江苏卷）（临考预热篇 解析版）

数学-6 月大数据精选模拟卷 01（江苏卷）（临考预热篇） 数学 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：高中全部内容。 一、填空题：本题共 14 个小题，每题 5 分，满分 70 分. 1.已知 , ,若 ，则实数 的取值范围为 . 【答案】 【解析】因为 ， ,所以 2 在不等式 的解集中，即 解得 2.已知 ，其中 是实数， 为虚数单位，则 = . 【答案】-2 【解析】由题意得 ， 由复数相等的充要条件得， 所以 所以 . 3.已知双曲线 的离心率 是 2，则双曲线 C 的渐进线方程为 . 【答案】 . 【解析】由题可得 得 所以双曲线 C 的渐进线方程 4.将一枚质地均匀且各面分别标有数字 1,2,3,4 的正四面体连续抛掷两次，记面朝下的数字依次为 和 ，则 点 在直线 上的概率为 . 【答案】 RU = { }0))(1( >−−= axxxA ACU ∈2 a [ )+∞,2 RU = ACU ∈2 0))(1( ≤−− axx 0)2)(12( ≤−− a .2>a iinim 24)1)(( 2 +=++ nm, i mn iminnimiinim 2422)(2)1)(( 2 +=+−=+=++    = =− ,22 ,42 m n    = −= ,1 ,2 m n 2−=mn )0,0(1: 2 2 2 2 >>=− bab y a xC e xy 3±= ,2)(1 2 =+= a be ,3= a b .3xy ±= a b ),( ba xy 2= 8 1【解析】根据题意易知 的所有可能情况有（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4）， （3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），共 16 个， 若点 在直线 上，则 ，而满足 的 有（1,2），（2,4），共 2 个,故所求概率为 . 5.如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 . 【答案】21 【解析】由伪代码可知， 6.若函数 的图像在 处的切线 与两坐标轴分别交于点 A，B，则线段 AB 的长 为 . 【答案】 【解析】由 得 所以 因为 所以切线 的方程为 即 令 得 令 得 ， 所以 . 7.已知样本数据 的平均数与方差分别是 和 ，若 且样本数据 的平均数与方差分别是 和 ，则 = . 【答案】4040 【解析】：根据题意，得 解得 又 ， 所以 . ( )ba, ),( ba xy 2= ab 2= ab 2= ( )ba, 8 1 .216543210 222222 =+−+−+−=S 2ln2)( 3 +−= xxxf 1=x l 22 2ln2)( 3 +−= xxxf ,23)( 2 xxxf −=′ ,1)1( =′f ,3)1( =f l ,13 −=− xy .2+= xy ,0=x ,2=y ,0=y 2−=x 22=AB 202021 ,,, xxx ⋅⋅⋅ m n ),2020,2,1(2 ⋅⋅⋅=+−= ixy ii 202021 ,,, yyy ⋅⋅⋅ n m 2020 22 2 2 1 xxx +⋅⋅⋅++    = =+− , ,2 mn nm    = = ,1 ,1 n m ( )[ ]2 2020 2 2 2 1 )()(2020 1 mxmxmxn −+⋅⋅⋅+−+−×= [ ] 1(22020 1 202021 2 2020 2 2 2 1 =+⋅⋅⋅++−+⋅⋅⋅++= xxxxxx 40402 2020 2 2 2 1 =+⋅⋅⋅++ xxx S ForEnd iSS ToFromiFor S i intPr )1( 61 0 2⋅−+← ←8.已知函数 与 均是定义在 上的奇函数，且 ，若 则 = . 【答案】1 【解析】因为 与 都是定义在 上的奇函数，且 ①， 所以用 代替 得 ， ②联立①②，解得 所以 所以 9.已知函数 满足 ，则当 取得最小值时，函数 的最 小正周期 T= . 【答案】 【 解 析 】 由 题 意 知 直 线 是 函 数 的 图 像 的 一 条 对 称 轴 ， 所 以 ，即 因为 所以当且仅当 时， 取值最小值 2， 此时 ，其最小正周期 . 10．如图，在直四棱柱 中，底面 是平行四边形，点 是棱 的中点，点 是 棱 靠近 的三等分点，且三棱锥 的体积为 2，则四棱柱 的体积为 ______． 【答案】12 【解析】由题意，设底面平行四边形 的 ，且 边上的高为 ，直四棱柱 的高为 ，则直四棱柱 的体积为 ， 又由三棱锥 的体积为 ， )(xf )(xg { }0≠∈ xRx 2( ) ( ) 1 sin 2xf x g x x b x+ = − + ,2 5)4()2 1( =+ π gf b )(xf )(xg { }0≠∈ xRx 2( ) ( ) 1 sin 2xf x g x x b x+ = − + x− x 2( ) ( ) 1 sin 2xf x g x x b x− = − − )0(2sin)(),0(1)( ≠=≠−= xxbxgxxxxf ,2 5 2sin2 12)4()2 1( =+−=+ ππ bgf .1=b )0)(6sin(2)( >+= ωπωxxf )6()6( xxf −=+ ππ ω )(xf π 6 π=x )0)(6sin(2)( >+= ωπωxxf )(266 Zkk ∈+=+⋅ ππππω )(62 Zkk ∈+=ω 0>ω 0=k ω )62sin(2)( π+= xxf π=T 1 1 1 1ABCD A B C D− ABCD E 1BB F 1CC 1C 1A AEF− 1 1 1 1ABCD A B C D− ABCD AB a= AB b 1 1 1 1ABCD A B C D− h 1 1 1 1ABCD A B C D− V Sh abh= = 1A AEF− 1 1 1 1 1 1 1 1 23 3 2 6A AEF F AA EV V S h ah b abh− −= = = × × = =解得 ，即直四棱柱的体积为 。 11.已知实数 则 的最大值是 . 【答案】 【解析】因为 所以 令 ，则由基本不等式得 ， 原式 易知 在 上单调递增，所以 当且仅当 ，即 时取等号，所以原式 所以 的最大值为 12.已知平面四边形 ABCD 中, ,且 ,则 . 【答案】3 【解析】解法一 ①， ② ① +②得 12abh = 12 ,0,0 >> ba 2222 9 3 ba ab ba ab +++ 2 3 ,0,0 >> ba 4224 33 2222 910 )3(4 9 3 bbaa abba ba ab ba ab ++ +=+++ . 4)3( )3(4 109 )3(4 2 2 2 2 2 ++ + = ++ + = a b b a a b b a a b b a a b b a a b b at 3+= 32≥t .4 4 4 4 2 ttt t + =+= ttu 4+= [ )+∞,32 ,3 38 32 432 =+≥u 32=t 3= b a ,2 3 3 38 4 4 4 =≤ + = tt 2222 9 3 ba ab ba ab +++ .2 3 8,4 22 =−= ADABBC 2 1=⋅ BDAC =CD 2)()( CDBCDCCDADBCADCDBCDCADBDAC −⋅+⋅+⋅=+⋅+=⋅ 2 1−= 2 1)()( 2 −=⋅+⋅+⋅+−=+⋅+=⋅ ADBCBABCADABABADBABCABBDAC ,1)()( 22 −=+⋅+⋅+−−⋅=+⋅ ADBABCADABABCDBCDCCDBCAD ,122 −=⋅+⋅+−−⋅+⋅∴ BDBCADABABCDBCDCBDAD ,1)()( 22 −=+⋅+−−+⋅∴ DCBDBCABCDABBDAD又 解法二因为 即 又 13.已知函数 有两个极值点 且 则 的取值范围 为 . 【答案】(0,2) 【解析】因为 所以 所以 是方程 的两根, ,从而 因为 且 ,所以 , 记 则 易知 在 上单调递增，所以 从而 在 上单调递增,所以 因为 所以 的取值范围为 所以 的取值范围是(0,2). 14.在平面直角坐标系 中，已知圆 直线 与圆 O 相交于 .12222 −=−−+∴ ABCDBCAD .3,9,8,4 222 ==∴=−= CDCDADABBC ,8)()(,8 22 22 =+−+∴=− CDACCBACADAB ,822 222 =⋅−−−⋅+ CDACCDACCBACAC ∴ ,8)(2 22 =−−⋅+ CDCDCBACCB .82 22 =−⋅+∴ CDDBACCB .3,9,2 1,4 2 ==∴−=⋅= CDCDDBACBC )(ln)(2 1)( 2 Raxaxxf ∈++= ,, 21 xx ,21 xx < )( 2 1 xf x xaaxxxaxxf ln2 1 2 1ln)(2 1)( 222 +++=++= ,11)( 2 x axx xaxxf ++=++=′ 21, xx 012 =++ axx 2 42 2,1 −±−= aax .1, 2121 =−=+ xxaxx 21 xx < 0,0 21 >> xx 2 22 1,1 xxax −−=> .ln2 1 1 ln)(2 1 )( 22 2 2 2 2 2 1 2 xxx x xax x xf += ++ = )1(ln2 1)( ≥+= xxxxxg 1ln2 1)( 2 ++−=′ xxxg )(xg′ ),1[ ∞ 02 1)1()( >=′≥′ gxg )1(ln2 1)( ≥+= xxxxxg [ )+∞,1 .2 1)1()( =≥ gxg ,12 >x 1 2 )( x xf ),,2 1( +∞ )( 2 1 xf x xOy ,16: 22 =+ yxO )0(03: >=+− ttyxLA,B 两点，且 若点 E，F 分别是圆 O 与 轴的左、右两个交点，且 点 M 是圆 O 上任一点，点 N 在线段 MF 上，且存在常数 使得 则点 N 到 L 距离 的最小值为 . 【答案】1 【解析】圆 的圆心 O（0,0），半径 因为直线 与圆 O 相交于 A,B 两点， 且 ， 圆心 O 到直线 的距离 ，又 直线 的方程为 因为点 E，F 分别是圆 O 与 轴的左、右两个交点， ， ， ， 设 则 因为 即 . 又点 N 在线段 MF 上，即 共线， 因为点 M 是圆 O 上任意一点， 将 代入上式，可得 即 点 N 在以 为圆心，半径为 的圆 Q 上（且在圆 O 的内部的一段圆弧上）. 圆 心 Q 到 直 线 的 距 离 点 N 到 直 线 距离的最小值为 1. 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．(本题满分 14 分) 已知点 （其中 为角 终边上的一点，且 （1）求实数 的值； .72=AB x ,3DFED = λ .3 2 DMDEDN += λ 16: 22 =+ yxO ,4=r )0(03: >=+− ttyxl 72=AB ∴ l 3716 =−=d , )3(1 22 −+ = td ∴=∴> ,6,0 tt l .063 =+− yx x DFED 3= )0,4(−E )0,4(F )0,2(D ).0,6(−=ED ),,(),,( yxNnmM ),,2(),,2( nmDMyxDN −=−= ,3 2,3 2 nyDMDEDN =∴+= λ yn 2 3= FNFM, .22 3),4()4( −=∴−=−∴ xmxnym ,1622 =+ nm ynxm 2 3,22 3 =−= ,16)2 3()22 3( 22 =+− yx ∴=+− ,9 64)3 4( 22 yx )0,3 4(Q 3 8 063: =+− yxl ∴=−′>= −+ + =′ ,13 8,3 8 3 11 )3(1 63 4 22 dd 063: =+− yxl )1,( −xP )0>x α .5 3)4sin( =+ πα x（2）若角 终边上一点 与点 P 连线的中点在 轴上，求 的值. 解：（1）因为 ，所以 为第四象限角，则 为第一象限或第四象限角， 又 所以 为第一象限角，所以 因此 又 所以 又 所以 （2）因为点 与点 P 连线的中点在 轴上， 所以 所以 所以 从而 16．(本题满分 14 分) 已知直四棱柱 的底面是菱形，且 ， 为棱 的中点 为线段 的中点． （1）求证：直线 ； （2）求证： 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析 【解析】（Ⅰ）延长 C1F 交 CB 的延长线于点 N，连结 AN．因为 F 是 BB1 的中点，所以 F 为 C1N 的中点，B β )1,( −′xQ y )4 3cos( πβα +− 0>x α 4 πα + ,5 3)4sin( =+ πα 4 πα + ,5 4)4cos( −+ πα .10 2 5 4 2 2 5 3 2 2 4)4(sinsin −=×−×=    −+= ππαα , 1 1sin 2x+ −=α ,10 2 1 1 2 −= + − x ,0>x .7=x )1,( −′xQ y ,0=+′ xx ,7−=′x ,10 27cos,10 2sin −=−= ββ )4sin()24cos()4 3cos( πβαππβαπβα +−−=++−=+− .50 217)10 2(5 4)10 27(5 3)4(sin =      −×−−×−=    −+= βπα 1 1 1 1ABCD A B C D− F 1BB M 1AC / /MF ABCD平面 1 1 1AFC ACC A⊥平面 平面为 CN 的中点．又 M 是线段 AC1 的中点，故 MF//AN． （Ⅱ）证明：连 BD，由直四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 可知： 平面 ABCD, 又∵BD 平面 ABCD， 四边形 ABCD 为菱形， 在四边形 DANB 中，DA∥BN 且 DA=BN，所以四边形 DANB 为平行四边形． 故 NA∥BD， 平面 ACC1A1． ACC1A1． 17．(本题满分 14 分) 如图所示，在某海滨城市 A 附近的海面出现台风活动.据监测，目前台风中心位于城市 A 的东偏南 60°方向、 距城市 A300km 的海面点 P 处，并以 20km/h 的速度向西偏北 30°方向移动.如果台风影响的范围是以台风中 心为圆心的圆形区域，半径为 km，将问题涉及范围内的地球表面看成平面，判断城市 A 是否会受到 上述台风的影响.如果会，求出受影响的时间；如果不会，说明理由. 1NA AFC⊂又 平面 100 3【答案】城市 A 在 h 后会受到影响，持续的时间为 （h） 【解析】如图所示，设台风的中心 xh 后到达位置 Q，且此时 . 在△AQP 中，有 =60°-30°=30°，且 ， ， 因此由正弦定理可得 . 从而可解得 ，所以 =60°或 =120°. 当 时， ，因此 ， ； 当 =120°时， ，因此 ， . 这就说明，城市 A 在 h 后会受到影响，持续的时间为 （h）. 18．(本题满分 16 分) 已知椭圆 的两个焦点分别为 ，点 A 是椭圆上的任意一点， 的最大值为 4，且椭圆 C 的两条准线间的距离为 8. （1）求椭圆 C 的方程. （2）设点 是椭圆上一点，圆 . ①若直线 直线 过点 P,且 ，直线 被圆 E 所截得的弦长为 ，求 的值。 ②过点 P 作两条直线 与相切且分别交椭圆于点 M，N，试判断直线 MN 的斜率是否为定值。 若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由。 解：（1）易知 5 3 5 3 100 3kmAQ = APQ∠ 300AP km= 20PQ xkm= 100 3 300 20 sin30 sin sin x AQP PAQ° = =∠ ∠ 300sin30 3sin 2100 3 AQP ° ∠ = = AQP∠ AQP∠ 60AQP∠ =  180 30 60 90PAQ ° ° ° °∠ = − − = 100 320 sin30x °= 10 3x = AQP∠ 180 30 120 30PAQ ° ° ° °∠ = − − = 20 100 3x = 5 3x = 5 3 10 3 5 3 5 3− = )0(1: 2 2 2 2 >>=+ bab y a xC 21,FF 21 AFAF ⋅ )0)(2 3,( −+ ,0, >−=−∴t ,0)( >′ tϕ ,)1( )1( )1( 41)( 2 2 2 + −=+−= tt t tttϕ 1>t ,0)( >′ tϕ )(tϕ ),1( +∞ ),1( +∞ .0)1()( => ϕϕ t 0)2( 21 =′′ ),3 4x在（ 上 在（ 上单调递减， 所以 为 的极值点，此时 综上所述， 或 数学Ⅱ(附加题) 21．【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则 按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.[选修 4-2：矩阵与变换]（本小题满分 10 分） 已知矩阵 . （1） 求 ； （2） 求矩阵 M 的特征值. 解：（1）由于 所以 所以 （3） 设矩阵 M 的特征多项式为 ，则 令 即 解得 ， 故矩阵 M 的特征值为 2 和 3. B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 在平面直角坐标系 中,曲线 ,曲线 的参数方程为 ( 为参数).以坐标 原点 O 为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1) 求曲线 的极坐标方程; )4,4x )(,0)( xgxg ∈−= ∗ = ∑ xNnxfCxF n i i i n i n ),2,1,0)(( nixfi ⋅⋅⋅= x ),0()( >= xeixf x i )2(ln),2(ln 20192 FF )0()( >+= xix xxfi . 1 21∏ = ⋅⋅⋅= n m nm aaaa )()( 1 ∏ = ∗∈+= n m n Nnmx mxF解.(1)由于 所以 又 所以 所以 所以 (2)因为 所以 所以 时结论成立. ② 假设 时结论成立， 即 则 时， [ ] )0,()()1()( 0 >∈−= ∗ = ∑ xNnxfCxF n i i i n i n ⋅−+⋅⋅⋅+−+−= n n n nnn CxfCxfCxF )1()()1()()1()( 1 11 0 00 ),0,)(( >∈ ∗ xNnxfn ),0()( >= xexf ix i ,)1()()1()()1()()1()( 111000 nxnxn n nx n x nn eeCeCeCxF −=−+⋅⋅⋅+−+−= ,1)21()1()2(ln 222ln 2 =−=−= eF .1)21()2(ln 2019 2019 −=−=F ,)( ix xxfi += ,1 1 11)1()( 1 0 1 +=+−=    +−= ∑ = xx x ix xCxF i ii n 1=n )( ∗∈= Nkkn ,)()2)(1( !)1()( 0 kxxx k ix xCxF k i i k i k +⋅⋅⋅++=    +−= ∑ = 1+= kn ∑∑ = + + = ++     +⋅−+=    +−= k i i k i k i i k i k ix xCix xCxF 1 1 1 0 11 )1(1)1()( +    ++−+=++−+ ∑ = −+ + + k i i k i k ik k k ix xCCkx xC 1 11 1 1 )()1(11)1( ∑∑ + = − = + + +     +−+    +−=++− 1 1 1 0 1 1 1 )1()1(1)1( k i i k i k i i k ik k k ix xCix xCkx xC ∑∑ = + = −−     ++−−=    +−−= k i i k i k k i i k i k ix xCxFix xCxF 0 1 1 11 1)1()()1()(， 所以 时，结论成立. 综合①②可知， =+⋅    ++ +−−= ∑ = 11 1)1()( 1 x x ix xCxF k i i k i k )1(1)( +⋅+− xFx xxF kk 1)1()3)(2( ! )()2)(1( ! +⋅++⋅⋅⋅++−+⋅⋅⋅++= x x kxxx k kxxx k )1()3)(2)(1( )!1( )1)(()2)(1( !!)1( kxxxx k kxkxxx kxkkx ++⋅⋅⋅+++ +=+++⋅⋅⋅++ ⋅−⋅++= 1+= kn )()2)(1( !)( nxxx nxFn +⋅⋅⋅++= ).( 1 ∗ = ∈+= ∏ Nnmx mn m