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第二章 函数
1.关于函数图象的考查：
（1）函数图象的辨识与变换，五年三考；
（2）函数图象的应用问题，运用函数图象理解和研究函数的性质，数形结合思想分析与解决问题的能力，
五年五考；
2.关于函数性质的考查：以考查能力为主，往往以常见函数（二次函数、指数函数、对数函数）为基本考察
对象，以绝对值或分段函数的呈现方式，与不等式相结合，考查函数的基本性质，如奇偶性、单调性与最
值、函数与方程（零点）、不等式的解法等，考查数学式子变形的能力、运算求解能力、等价转化思想和数
形结合思想.其中函数与方程考查频率较高.涉及函数性质的考查，五年五考；
3.常见题型，由于对导数考查的回归，除将函数与导数相结合考查外，对函数独立考查的题目，不少于两道，
近三年趋向于稳定在选择题、填空题，难度基本稳定在中等或以下.
预测 2020 年将保持对数形结合思想的考查，主要体现在对函数图象、函数性质及其应用的考查，客观题应
特别关注分段函数相关问题，以及与数列、平面解析几何、平面向量、立体几何的结合问题.主观题依然注
意与导数的结合.
一．选择题
1．（2020 届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考）函数 的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
2
sin 1xy xx
= + −2
【答案】D
【解析】
当 时，函数值 ，符合要求的只有选项 D.
故选：D.
2．（2020 届浙江省绍兴市高三 4 月一模）已知 ，且 ，若 ，则 的图象可能
是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
，
.
结合图象 ，故排除 B，C.
又 ，故排除 A.
D 选项满足.
故选：D.
3．（2020 届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考）设函数 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
【答案】C
【解析】
1x＝ 1 0y sin＝ ＞
0a > 1a ≠ log 2 1>a | |
ay x x
= −
log 2 1a
>
1 2a∴ < <
(1) 1 0f a= − <
( 1) 1 0f a− = − −
( )y f x ax b= − −
1, 0a b> > 1, 0a b> < 1, 0a b< > 1, 0a b<
( )g x b=
0x ≤ ( ) ( 1)xg x e x a′ = + +
1a > 0b > ( )g x ( , ( 1))a−∞ − + ↓ ( ( 1),0)a− + ↑ (0, )+∞ ↓ ( )g x
( )g x b=
1a > 0b < ( )g x ( , ( 1))a−∞ − + ↓ ( ( 1),0)a− + ↑ (0, )+∞ ↓ ( )g x
( )g x b=
1a < 0b > ( )g x (0, )+∞ ↑ ( )g x
( )g x b=
1a < 0b < ( )g x (0, )+∞ ↑ ( )g x15
此时方程 最多只有 2 个实数根，所以 D 选项错误．
故选： .
22．（2020 届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初）已知函数 满足：对任意的实数 ， ，都有
成立，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
令 ，
令 ，
，
，
，
，
，
.
故选:A.
二.单填空题
23．（2020 届浙江省台州市温岭中学 3 月模拟）已知正实数 满足 ， 的值为
____________.
【答案】
【解析】
( )g x b=
B
( )f x x y
( ) ( ) ( ) 4f x y f x f y xy+ = + + ( ) ( )2 2 64f f− ⋅ ≥ 2
3f =
8
9
16
9
40
9
16
3
0, (0) 2 (0), (0) 0x y f f f= = = ∴ =
2, 2, (0) 0 ( 2) (2) 16x y f f f= − = = = − + −
( ) ( ) 4( 2) (2) 1 2 2 6 , ( 2) 0, (2) 06, f ff ff f∴ − + = >∴ − ⋅ ≥ − >
( 2) (2) 2 ( 2) (2), ( 2) (2) 64f f f f f f∴ − + ≥ − ⋅ − ⋅ ≤
( 2) (2) 64, ( 2) (2) 8f f f f∴ − ⋅ = − = =
4 2 2 2 16( ) ( ) 2 ( )3 3 3 3 9f f f= + = +
2 4 2 4 32 2 48(2) ( ) ( ) ( ) 3 ( ) 83 3 3 3 9 3 9f f f f f= + = + + = + =
2 8( )3 9f∴ =
a ( )98 aaa a= ( )log 2a a
19
2716
正实数 满足 ，
，
由 ，得 ，
，
.
故答案为： .
24．（2020·浙江镇海中学高三 3 月模拟）若函数 在 上有零点，则 的
最小值为____．
【答案】
【解析】
设函数的零点为 ，则由 得到 ，
所以 ，
，
当 时， 有最小值 ，故填 ．
25．（2020 届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初）已知 ， ，函数
（其中 表示对于 ，当 时表达式 的最大值），则
的最小值为______.
【答案】
【解析】
设 ，对称轴方程为 ，
当 ，
a ( )98 aaa a=
9 log 8aa a a∴ =
1log 8 9a a = 8log 8 9a
= −
8log 2 27a
∴ = −
( ) 8 19log 2 log 2 1 127 27a aa∴ = + = − + =
19
27
2 1( ) ( )3f x x a x b= + + + [ 1,1]− 2 3a b−
1
3
−
[ ]0 1,1x ∈ − ( )0 0f x = 2
0 0
1
3b x a x = − − +
( )2 2 2
0 03 3 1 3a b a x a x− = + + +
2 2
0 0
3 3 2 1
2 4 3 3a x x = + + + −
0
2 , 13x a= − = 2 3a b− 1
3
− 1
3
−
,m n R∈ m n<
( ) ( ) ( )2max
m t n
f x x t x R≤ ≤
= + ∈ max
m t n≤ ≤ x∈R [ ],t m n∈ ( )2x t+
( )f x
2
2
n m−
2( ) ( ) , [ , ]h t x t t m n= + ∈ t x= −
2
max, , ( ) ( ) ( ) ( )2 2
m n m nx x f x h t h n x n
+ +− ≤ ≥ − = = = +17
在 单调递增，
当 ，
在 单调递减，
，
所以 的最小值为 .
故答案为: .
26．（2020·浙江学军中学高三 3 月月考）已知 ，且满足 ，则
的最小值是_____.
【答案】
【解析】
由已知， ，所以 ，令 ， ，则
， ，所以
，当且仅当 时，等号成立.
故答案为： .
27．（2020·浙江省温州市新力量联盟高三上期末）已知函数 ，若存在 ，使得
关于 的函数 有三个不同的零点，则实数 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
，
因为 ，则 ，所以
, ( )2
m nn f x
+− < − [ , )2
m n+− +∞
2( ) ( ) ( )2 2
m n n mf x f
+ −≥ − =
2
max, , ( ) ( ) ( ) ( )2 2
m n m nx x f x h t h m x m
+ +− > < − = = = +
, ( )2
m nm f x
+− > − ( , )2
m n+−∞ −
2 2( ) ( ) ( ) ( )2 2 2
m n m n n mf x f
+ − −> − = =
( )f x
2
2
n m−
2
2
n m−
,a b∈R 2 4 3 8 0ab a b− + − = 2 22 3 8a b a b+ + −
412 2 4
−
2 4 3 8 0ab a b− + − = (2 3)( 2) 2a b+ − = 2 3a x+ = 2b y− =
3, 22
xa b y
−= = + 2xy = 2 2 3 32 3 8 2( 2)( 2)2 2
x xa b a b y y
− ++ + − = × + + − =
2 21 41 1 412 2 24 4 2 4x y x y+ − ≥ × × − = 412 2 4
− 5 1
4 42 , 2x y
−= =
412 2 4
−
( ) 2f x x x a x= − + ( ]2,3a ∈
x ( ) ( )y f x tf a= − t
251, 24
( ) ( )
( )
2
2
2 ,
2 ,
x a x x af x x a x x a
− − ≥= − + + >
2 2log log 1x y+ = 2 2
x y
x y
−
+
1
4
( ) ( )2 2 2 2
1 1 1
4( ) 2 ( ) 4 442
x y x y x y
x y x y xy x y x y x yx y x y
− − −= = = ≤ =+ − + − + − + −− −
4
x y
= −
2 2
x y
x y
−
+
1
4
1
421
30．（2020 届浙江省温丽联盟高三第一次联考）已知 ，且 ，若函数
恰有两个不同的零点 ， ，则实数 的值__________.
【答案】 或
【解析】
由题意令 得 ，
记 ，
作函数 与 的图象，
由函数 在定义域 内恰有两个不同的零点 ， ，
可知 不合题意，故 ，
如图所示，要使函数 恰有两个不同的零点，则应有直线 与函数 的图象
相切或者直线 经过点 ，
①当直线 与函数 的图象相切时，
联立方程 ，消去 得 ，
由△ 得 ，所以 （舍去）或 ；
②当直线 经过点 时，有 ，
1( ) 1f x a x ax
= − − +− (1, )x∈ +∞
( )y f x= 1x 2x ( )1 2x x< a
5 1
2
+ 3
2
( ) 0f x = 1| |1 a x ax
− = −−
1( ) | |, ( )1g x a h x x ax
= − = −−
( )g x ( )h x
( )y f x= (1, )+∞ 1x 2 1 2( )x x x<
0a 0a >
( )y f x= y x a= − 1( ) | |1g x ax
= −−
y x a= − 1(1 ,0)a
+
y x a= − 1( ) | |1g x ax
= −−
1
1
y x a
y a x
= − = − −
y 2 (2 1) 2 1 0x a x a− + + + =
0= 2(2 1) 4(2 1) 0a a+ − + = 1
2a = − 3
2a =
y x a= − 1(1 ,0)a
+ 10 1 aa
= + −22
所以 ，得 ；
故答案为： 或 ．
31．（2020 届浙江省嘉兴市高三 5 月模拟）已知函数 若 ，则实数 的
取值范围为___．
【答案】
【解析】
，
令 ，即 或 ，
解得 或 ，
， 或 ，
或 或 或 ，
解得 或 ，
故答案为： .
三.双填空题
32．（2020·浙江 3 月高考模拟）《九章算术》中记载了“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，
适足。问人数、豕价各几何？”.其意思是“若干个人合买一头猪，若每人出 100，则会剩下 100；若每人出
90，则不多也不少。问人数、猪价各多少？”.设 分别为人数、猪价，则 ___， ___.
【答案】10 900
2 1 0a a− − = 1 5
2a
+=
5 1
2
+ 3
2
( )
ln , 0
1 2, 02
x
x x
f x
x
>
= − ≤
( ( )) 0f f a ≤ a
[ ]2
1log 3,0 ,ee
− ∪
( )
ln , 0
1 2, 02
x
x x
f x
x
>
= − ≤
( ) 0f x ≤ ln 0
0
x
x
≤
>
1 2 02
0
x
x
− ≤
≤
0 1x< ≤ 1 0x− ≤ ≤
( ( )) 0f f a ≤ ∴ ( )0 1f a< ≤ ( )1 0f a− ≤ ≤
∴ 0 ln 1
0
a
a
< ≤
>
10 2 12
0
a
a
< − ≤
≤
1 ln 0
0
a
a
− ≤ ≤
>
11 2 02
0
a
a
− ≤ − ≤
≤
2log 3 0a− ≤ ≤ 1 a ee
≤ ≤
[ ]2
1log 3,0 ,ee
− ∪
,x y x = y =23
【解析】
由题意可得 ，解得 .
故答案为 10 900
33．（2020 届浙江省温丽联盟高三第一次联考）若 ，则 的值为__________；若
（ 且 ），则实数 的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
∵ ，∴ ，
∴ ；
∵ ，即 ，
∴ ，解得 ，
故答案为： ； ．
34．（2020·浙江省温州市新力量联盟高三上期末）设函数 则 f[f（0）]=______；
若方程 f（x）=b 有且仅有 3 个不同的实数根，则实数 b 的取值范围是______．
【答案】 （ ， ）
【解析】
函数 则 f[f（0）]＝f（e0）＝f（1） ．
x≤0 时，f（x）≤1，x＞0，f（x）＝﹣x2+x ，对称轴为：x ，开口向下，
100 100
90 0
x y
x y
− =
− = 10 y 900x = =，
3log 4 1x = 4 4x x−+
30 log 14a
< < 0a > 1a ≠ a
10
3
30, 4
3log 4 1x = 4log 3x =
4 4log 3 log 3 1 104 4 4 4 3 3 3
x x −−+ = + = + =
30 log 14a
< < 3log 1 log log4a a a a< <
0 1
31 4
a
a
< >
30 4a< <
10
3
30, 4
( )
2
0
1 04
xe x
f x
x x x
≤= − + +
，
， ＞
1
4
1
4
1
2
( )
2
0
1 04
xe x
f x
x x x
≤= − + +
，
， ＞
1
4
=
1
4
+ 1
2
=24
函数的最大值为：f（ ） ，x→0 时，f（0）→ ，
方程 f（x）＝b 有且仅有 3 个不同的实数根，则实数 b 的取值范围是：（ ， ）．
故答案为 ；（ ， ）．
35．（2020 届浙江省杭州市建人高复高三 4 月模拟）已知 ，若 ，则
_______， ______；
【答案】
【解析】
，
，
，
，
，
1
2
1 1 1 1
4 2 4 2
= − + + = 1
4
1
4
1
2
1
4
1
4
1
2
2 , 0( )
( ), 0
x xf x
f x x
≥= − −
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