一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1.已知集合A = { -1,0,1,2,3 }
，B = { x|x( x - 2 ) ≤ 0 }
，则A ∩ B =
A. { 0,1,2,3 } B. { 0,1,2 } C. {1,2 } D. {1,2,3 }
2.设p：α = 30°或α = 150°，q：sinα = 1
2，则p是q成立的
A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3.下列函数中，定义域、值域相同的函数是
A. y = 2
x
B. y = lnx C. y = x-1 D. y = x-2
4. 在空间中，已知a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是
A. 若a ⊥ c，b ⊥ c，则a ⊥ b
B. 若a⫽α，b⫽α，则a⫽b
C. 若a⫽α，b ⊂ α，则a⫽b
D. 若α⫽β，a ⊥ α，b ⊥ β，则a⫽b
5.等差数列{ }an 中，a3
+ a7
+ a15
= 8，a8
= 3，则a9
=
A. 2 B. 5
C. 11 D. 13
6. 执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是
A. - 2 B. - 2
2
C. 0 D. 2
2
7. 从直线 l:3x + 4y = 10
上的动点 P 作圆 x2 + y2 = 1
的两条切线，切点为 C，D，则四边形
OCPD（O为坐标原点）面积的最小值是
A. 3 B. 2 C. 1 D. 2
8. 某病毒引起的肺炎的潜伏期平均为 7 天左右，短的约 2~3 天，长的约 10~14 天，甚至有 20
余天 . 某医疗机构对 400名确诊患者的潜伏期进行统计，整理得到以下频率分布直方图 .
根据该直方图估计：要使90%的患者显现出明显病状，需隔离观察的天数至少是
频率
组距0.10
0.08
0.04
0.02
0.01
1 5 9 13 17 21 潜伏期（天）
（第
8
题图）
A.12 B.13 C.14 D.15
9. 双曲线的光学性质是：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反
向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上 .已知双曲线 C: x2
16 - y2
9 = 1的左、右焦点分别
为 F1，F2，从 F2 发出的光线射向 C 上的点 P( 8,y0
)
后,被 C 反射出去，则入射光线与反射光
线形成的角的余弦值是
A. 13
14 B. - 11
14 C. 11
14 D. - 13
14
10.《九 章 算 术》中 给 出 了 解 方 程 的“遍 乘 直 除”的 算 法 解 方 程 组．比 如 对 于 方 程 组
ì
í
î
ïï
ïï
3x + 2y + z = 39,
2x + 3y + z = 34,
x + 2y + 3z = 26,
将其中数字排成长方形形式，然后执行如下步骤：第一步，将第二行
的数乘以 3，然后不断地减第一行，直到第二行第一个数变为 0；第二步，对第三行做同
样的操作，其余步骤都类似；其本质就是在消元．那么其中的a，b的值分别是
3 2 1 39 3 2 1 39 3 2 1 39
2 3 1 34 → 0 5 1 a → 0 5 1 a → …
1 2 3 26 1 2 3 26 0 b 8 39
A. 24，4 B. 17，4 C. 24，0 D. 17，0
开始
k = 1,S = 0
S
=
S
+
ksin( kπ
2
+ π
4 )
k = k + 1
k < 2020?
输出S
结束
是
否
（第
6
题图）
文科数学试题A 第1页（共4页） 文科数学试题A 第2页（共4页）
姓名 准考证号
试题类型：A
秘密★启用前
文科数学
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡
上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。11. 在底面是正方形的四棱锥 P-ABCD 中，四条侧棱全相等，∠APC 为锐角，AB = 2，若其外
接球的表面积为9π，则四棱锥P-ABCD的体积为
A. 2 B. 4 C. 4
3 D. 8
3
12. 已知函数f ( )x = x2 - ax + 1
与g ( )x = 2lnx - x + b
x - 1 零点完全相同，则ab ∈
A. ( 2,
5
2 ) B. ( 5
2, 29
10 ) C. ( 29
10, 10
3 ) D. ( 10
3 , 17
4 )
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量a = ( -2,3 )
，b = (1,m )
，且a ∥ b，则m = ▲ .
14. 已知复数z = 5
1 - 2i，则zˉ = ▲ .
15. 已知函数 f ( x ) = sinωx + 3 cosωx．若 ω=1，则 f ( π
6 ) = ▲ ．若该函数 f ( x )
图象的
对称轴与函数h( x ) = 3cos( 2x + φ ) - 1
图象的对称轴完全相同，则f ( π
6 ) = ▲ .
16. 设函数f ( x ) = log
2
2 x4 - 2x
，数列{ }an 满足an
= f ( n2020 )，则a1
+ a2
+ ⋯ + a4039
= ▲ .
三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17.（12分）
在DABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，acosC + ccosA - 2bsinB = 0.
（1）求B；
（2）若B为锐角，sin A2 = 6 - 2
4 ，BC边上的中线长AD = 7，求DABC的面积.
18.（12分）
如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，平面 AA1C1C⊥平面 ABC，AA1
=
AC = BC，∠ACB = 90°.
（1）求证：平面AC1B⊥平面A1BC；
（2）若∠A1 C A = 60°，求直线BA1与平面BB1C1C所成角的正切值.
19.（12分）
已知抛物线 C:y2 = 2px( p ∈ N )
的焦点为 F，C的准线与 x轴交于 Q，M（m,4）为 C上一点，
由M作C的准线的垂线，垂足为N，若四边形MNQF的面积为14.
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点 E（2,0）的直线 l与 C交于 A,B两点,求 λ的值，使
FA·
FB + λ
EA·
EB为定值，并求
出这个定值.
20.（12分）
某研究所在研究某种零件的使用寿命和维护成本的关系时，得到以下数据：
零件寿命x（月）
维护成本y（千元）
1
10
3
25
5
60
7
105
9
170
（1）若x与y之间存在线性相关关系y = a + bx①，试估计a,b的值a
̂
,b
̂
；
（2）若x与y之间存在非线性相关关系y = c + dx2②，可按与（1）类似的方法得到c
̂ = 8,d
̂ = 2，
且模型②残差平方和为 6. 计算模型①的残差平方和，并指出哪个模型的拟合效果
更好；
（3）利用（2）中拟合效果较好的模型，计算当零件使用多少个月时报废，可使得零件的
性价比（即零件寿命与维护成本的比值）最高.
参考公式：若
( xi
,yi
)( i = 1,2,⋯,n )
是线性相关变量 x,y 的 n 组数据，其回归直线 y = a +
bx的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
ì
í
î
ï
ïïï
ï
ïïï
b
̂ =
∑
i = 1
n ( xi
- xˉ )( yi
- yˉ )
∑
i = 1
n ( xi
- xˉ )2
,
a
̂ = yˉ - b
̂
xˉ.
21.（12分）
已知函数f ( )x = ae
x
- ex，g ( )x = lnx - b( )x - 1 e
x，其中a,b ∈ R.
（1）讨论f ( )x 在区间( )0, +∞ 上的单调性；
（2）当a = 1时，f ( )x g ( )x ≤ 0
，求b的值.
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一
题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22.［选修4-4：坐标系与参数方程］（10分）
过点P（2，0）的直线l与抛物线C:y2 = 2x相交于A，B两点.
（1）求AB中点轨迹的直角坐标方程；
（2）若P满足 || || PA - || PB =2 2 时,求l的方程.
23.［选修4-5：不等式选讲］（10分）
已知函数f ( x ) = x - x²
．
（1）求不等式f ( || x ) ≤ -x² + x + 2
的解集；
（2）若0 < a < 1
m（m≥2，且m∈N），b＜a－a²，求证：b＜
1
m + 1 ．
A
B
C
A1
B1
C1
（第
18
题图）
文科数学试题A 第3页（共4页） 文科数学试题A 第4页（共4页）
A
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