江苏省南通市2020届高三第三次调研考试数学试题（PDF版无答案）.pdf

南通市2020届高三第三次调研测试 数学I 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1. 本试卷共4页，包含填空题（共14 题） 、解答题（共6题），满分为160分，考试时间 为120分钟。考试结束后，请将答题卡交回。 2. 答题前，请您务必将自己的姓名 、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写 在 答题卡上 。 3. 作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位 置作答一律无效。如有作图需要，可用 2B铅笔作答 ，并请加黑、加粗，描写清楚。 参考公式： 柱体的体积 公式： V柱体= Sh, 其中S为柱体的底面积，h为高． 锥体的体积公式： V锥体 叶 Sh, 其中S为锥体的底面积，h为高． 一、填空 题：本大题 共14小题，每小题 5 分 ，共计 70 分． 请把答案填写在答题卡相应位置上． 1. 已知集合A = { -1, 0, 1 }, B = {O, 2 }, 则AUB = .A. • 2. 设复数z满足(3-i)z:;::.Jfo, 其中i为虚数单位，则z的模 是A. 3. 右图是 一 个算法流程图，则输出的K的值是 � ． 4. 某校高 一 、 高二、 高三年级的学生人数之比为4 : 4 : 3. 为了解 学生对防震减灾 知识的掌握情况，现采用分层抽样的方法抽取 n名学生进行问卷检测.·· 若 高 一年级抽取了20 名学生，则n的 值是 ＿�． 5. 今年我国中医药选出的 “三药三方” 对治疗新冠肺炎 均 有显著效果，功不可没． “ 三药 ” 分 了（第3题） 别 为 金花清感颗粒、连花清瘟胶 囊、血 必净注射 液； “三方” 分别为清肺排毒汤、化湿败毒 方、宣 肺败毒方．若某医生从 “ 三药三方 ” 中随机选出2种，则恰好选出1 药1方的概率 是�． 6. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y 2 = 4x 的准线是双曲线王·一L= l(a>O) 的左准线 ，矿2 则实数a 的值是�- 7. 已 知cos(a+ /3)= 音， sin /3 =¾, a, /3 均为锐角， 则si na 的值是—A_ . 8. 公园里设置 了一 些石凳供游客休息，这些石凳是经过正方体各棱的中点截去8个 一样的四面 体得到的（如图所示）．设石凳的体积为片 ，正 方体的体积 V 为 v;' 则土的值是 � ． 乃 9. 已知x>l, y>l, xy=lO, 则 4 —+— lgx lgy 的最小值是�·一""'"""'"""'""'". 10. 已知等比数 列饥｝的 前n项和为Sn . 若4S2 , S4 , - 2S3 成等差 数列，且a 2+a 3= 2 , 则a 6 的值是 .A （第8题） 11. 海伦(Hero n, 约公元1世纪） 是古希腊亚历山大时期的数学家，以他的名字命名的“ 海伦 公式 ” 是几何学中的著名公式， 它给出 了利用三角形的三边长a, b, C 计算其面积的公式 Sf:.ABC = -Jp(p -a )(p-b )(p- C) , 其中p =a+! +c . 若a = S, b = 6 , c= 7 , 则 借助 “ 海伦 公式 ” 可求得!::.A BC的内切圆的半径r的值是 A 12. 如图，'6.ABC为等边三角形，分别延长BA, CB, AC到点D, 凡F, 使得AD = BE= CF. 若瓦=2AD, 且DE=Ji了，则石礼石订勺值是 � ． k(I-1卢O ) 的左准线 ， 矿 2 则实数 a 的值是�- 7 . 已 知cos(a+ /3)= 音 ， sin /3 = ¾ , a, /3 均为锐角 ， 则si na 的值是—A_ . 8 . 公园里设 置 了 一 些石凳供游客休息，这些石凳是经过正方体各棱的中点截去8个 一 样的四面 体得到的（如图所示）．设 石凳的体积为片 ， 正 方体的体积 V 为 v;' 则土的值是 � ． 乃 9. 已知x >l, y >l, xy = lO , 则 — + — 4 lg x l gy 的最小值是 � ·一""'"""'"""'""'". 10. 已知等比数 列饥｝ 的 前n 项和为S n . 若4 S 2 , S 4 , - 2S 3 成等差 数 列 ， 且a 2 +a 3 = 2 , 则 a 6 的值是 .A （第8题） 11. 海伦(Hero n, 约公元1世纪） 是古希腊亚历山大时期的数学家， 以他的名字命名的 “ 海伦 公式 ” 是几何学中的著名公式， 它给出 了利用三 角 形的三边长a, b, C 计算其面积的公式 S f:.ABC = -Jp(p - a )(p -b )(p - C) , 其中 p = a+ ! + c . 若a = S, b = 6 , c = 7 , 则 借助 “ 海伦 公式 ” 可求得!::. A BC的内切圆的半径r的值是 A 12. 如 图， '6.AB C 为等边 三 角形 ，分 别 延长BA, CB, A C到 点 D, 凡F, 使 得 AD = BE = CF. 若瓦=2AD, 且 DE = Ji了 ， 则石礼石订勺值 是 � ． k(I-1卢b>O )的左、右焦点分 别 为 F;, F;_ , a 2 b 2 过点F; 的直线交椭圆于M, N两点． 已知椭圆的短轴长为2-fi,, 离心率为五；．3 Cl)求椭圆的标准方程； (2)当直线MN的斜率为＄时 ，求F;M +F;N 的值； (3)若以MN为直径的圆与x轴相交的右交点为 P( t, 0), 求实数t的取值范围． 19. (本小题满分16分） y （第18题） 已知 包｝是各项均为正数的无穷数列， 数列｛九｝满足bn= an ·an+inE N*), 其 中常数K为 正整数． X 巫 (1 )设数列包｝ 前n项的积兀= 2 2 '当k= 2时， 求数列{bn} 的通项公式； (2) 若{a n }是首项为1 , 公差d为整数的等差数列，且b 2 -b1=4, 求数列 {t} 的前2020 项的和； (3 )若仇｝是等比数列， 且对于任意的nE N* , a n • an+ 2 k = a;+k , 其 中k ;::=2, 试问： 包｝是 等比 数列吗？请 证明你的结论． 20. (本小题满分16分 ） 已 知函 数f(x)= El旦， g(x)=.£: 业旦，其中 e是 自然对数的底数．X er (1 ) 若函 数f(x)的极大值为l, 求实数a 的值；e (2 )当 a=e时 ，若曲线y=f(x)与y=g(x) 在x =x:。 处的 切线互相垂直 ， 求 Xo 的值； (3)设函数h(x)= g(x)- f(x) , 若h(x)> 0对任意的 XE (0 ,1 ) 恒成立， 求实数 a 的取值范围 ． （第17题） 数学I试卷 第 3页（共 4页） 数学I试卷 第 4页（ 共4 页）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 ． 15. (本小题满分14分） 在 b. A BC 中， 角 A, B, C 所 对的 边 分 别 为 a , b, C . 已 知 5 ( sin C - sin B ) = 5sin A - 8 sin B . b + c (1 ) 求 cosC的值； ( 2) 若 A= C, 求 sinB 的值． 16. (本小题满分14分） 如图， 在直 三棱柱 ABC - A1Bp1 中， AC ..LBC, D, E分别 是 AiB 1 , BC的中点． 求证： (1) 平面 ACD..L平面BCC1B1; (2 ) B1E II平 面A CD. （第16题） 17. (本小题满分14分） 某单位科技活动纪念章的结构如图所示， 0是半径分别 为1 cm, 2c m的两个同心圆 的圆心 ． 等腰6.ABC的顶点 A 在外圆上， 底 边 BC 的两个端点都在内圆上， 点O, A在 直线B C 的 同 侧． 若线段 BC 与劣弧玩沛f围成的弓形面积为S口 6.0A B与 6.0A C 的面积之和为S2 . 设 LB OC = 2 0. (1 ) 当0 = 3 匹时， 求s 2 -s1的值； (2) 经研究发现当S 2 -S 1 的值最大时， 纪念章最美观． 求当 纪念章最美观时， cos (} 的值． （求导参考 公式： (sin 2 x) ',,;, 2c os2 x , ( cos2 x) ' =-2 s in 2 x ) A 18. (本小题满 分16 分 ） a 王 如图，在平面 直角坐标系xOy中， 已知椭圆 + =l (a >b>O )的左、右焦点分 别 为 F;, F;_ , 2 b L 2 过点F; 的直线交椭圆于M , N两点． 已知椭圆的短轴长为2-fi,, 离心率为五； 3 ． Cl)求椭圆的标准方程； ( 2) 当直线 MN的斜率为＄时 ，求 F;M +F;N 的值； (3) 若以MN 为直径的圆与x轴相交的右交点为 P( t, 0) , 求实数t的取值范围． 19. (本小题满分16分） y （第18题） 已知 包｝是各项均为正数的无穷数列， 数列｛九｝满足b n = a n ·a n+ inE N*), 其 中常数K为 正整数． X (1 ) 巫 设 数列包｝ 前n项的积兀= 2 2 '当 k= 2时， 求 数列{ bn} 的通项公式； (2 ) 若{a n }是首项为1 , 公差d为整数的等差数列，且b 2 -b1= 4, 求数列 {t} 的前2020 项的和； (3 ) 若仇｝是等比数列， 且对于任意的n E N* , a n • a n + 2 k = a ; +k , 其 中 k ;::= 2, 试问： 包｝是 等比 数列吗？请 证 明你的结论． 20. (本小题满分1 6分 ） 已 知函 数f(x) = El旦 ， g(x) =.£: 业旦， 其中 e是 自然对数的底数． X e r (1 ) 若函 数f (x)的极大值为l , 求实数a 的值； e ( 2 ) 当 a=e 时 ，若 曲线y=f(x)与y=g(x) 在x =x: 。 处的 切线互相垂直 ， 求 Xo 的值； (3) 设函数h(x) = g(x)- f(x) , 若h(x) > 0 对任意的 XE (0 ,1 ) 恒成立， 求实数 a 的取值范围 ． （第17题） 数学I试卷 第 3页（ 共 4页） 数学I试卷 第 4 页（ 共 4 页）南通市2020届高三第三次调研测试 数学 II C 附加题） c. [选修4-5: 不等式选讲］（本小题满分10分） 2 2 y 已知x>I, y> I , 且 x+y=4, 求证： －－ ＋ 立-�8-x- I y-I 注意事项 考生在答题前请 认真阅读本注意事项及各题答题要求 1. 本试卷共 2页， 均为非选择题 （第21-23 题）。 本卷 满分为40分，考试时间为30分钟。 考试结束后，请将答题卡交回 。 2. 答题前， 请您务必将自己的姓名、 考试证号等用书写黑色 字迹 的0.5 毫米签字笔填写在 答题卡上，并用2 B铅笔正确填涂考试号。 3. 作答试题必须用书写黑色字迹的0.5 毫米签 字笔写在答题卡上的指定位置， 在其它位置 作答 一 律无效。如有作图需要，可用2 B铅笔作答，并请加黑；加粗，描写清楚。 21 . 【选做题 】本题包括A、B, C三小 题， 请选定其中两题 ，井在答题卡相应的答题区域内作答 若多做 ，则按 作答的前两题评 分 ． 解 答时 应 写出文字说明、证明过程或演算步骤． A. [选修4-2: 矩阵与变换］（本小题满分10分） 已知m eR, 1 ｀是矩阵 M =[�7] 的一 个特征向量，求 M 的逆矩阵 M主 B. [选修4-4: 坐标系与参数方程］（本小题满分10分） 在极坐标系中， 圆C的方程为p = 2rsin8(r > 0). 以极点为坐标原点，极轴 为x 轴正半轴建 x=.J3 +t , 立平 面直角坐标系，直线l的参数方程为 { (1为参数）．若直线1与圆C恒有公 y=l+拉 共点，求r 的取值范围． 【必做题 】第22、 23题，每小题10分， 共计 2 0 分 ．请 在答题卡指定区域内作 答，解 答 时应写 出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22. (本小题满分 10分） 某“芝麻开门”娱乐活动中，共有 5扇门，游戏者根据规则开门，并根据打开门的数量获取 相应奖励．已知开每扇门相互独立， 且规则相同．开每扇门的规则是：从给定的6把钥匙（其 中有且只有1把钥匙能打开门）中，随机地逐把抽取钥匙进行试开，钥匙使用后不放回．若 门被打开，则转为开下一扇门；若连续4次未能打开，则放弃这扇门，转为开下 一扇门；直 至5扇门都进行了试开，活动结束． ( 1)设随机变量X为试开第一扇门所用的钥匙数，求X的分布列及数学期望E(X); ( 2)求恰好成功打开4扇门的概率． 23. (本小题满分10分） 如图，在平面 直角坐标系xOy中，已知 抛物线y2 = 2px(p>O)的 焦 点为F, 准线与 x轴的交 点为E. 过点F的直线与抛物线相交于A, B两点，EA, EB分别与y轴相交于M, N两点． 当 AB .Lx 轴 时， EA=2. ( 1 )求抛物线的方程； (2)设.6.EAB面积为 s,' s 求土的取值范围．s 2 l::.EMN 面积为 S2 , y X （第23题） 数学II I , 且 x+y=4, 求证： － 立 �8- x - I ＋ y - - I 注意事项 考生在答题前 请 认真阅读本注意事项及各题答题要求 1. 本试卷共 2页 ， 均为非选择题 （第 2 1- 23 题 ）。 本卷 满分为40分， 考试时间为30分钟。 考试结束后，请将答题卡交回 。 2 . 答题前， 请您务必将自己的姓名、 考试证 号等用书写黑色 字迹 的0 . 5 毫米签 字笔填写在 答题卡上，并用 2 B铅笔正确填涂考试号。 3 . 作答试题必须用书写黑色字 迹的0 . 5 毫米签 字笔写在答题卡上的指定位置， 在其它位置 作答 一 律无效。如有作图需要，可用 2 B铅笔作答，并请加黑；加粗，描写清楚。 21 . 【 选做题 】本 题包括 A、 B, C三小 题， 请选定其中两 题 ， 井在答题卡相应的答 题 区域内作答 若多 做 ，则按 作 答的前两题评 分 ． 解 答 时 应 写 出文字说明、证明过程或演算步骤． A. [选修4-2: 矩阵与变换］（本小题满分10分） 已知m eR , 1 ｀ 是矩阵 M =[�7] 的 一 个特征向量，求 M 的逆矩阵 M 主 B . [选修4-4: 坐标系与参数方程］（本小题满分10分） 在极坐标系中， 圆C的方程为p = 2 rsin8(r > 0 ). 以极点为坐标原点， 极轴 为 x 轴正半轴建 x=.J3 +t , 立平 面直角坐标系，直线l的参数方程为 { (1为参数）．若直线1与圆C恒有公 y = l + 拉 共点，求 r 的取值范围． 【必做 题 】第22 、 23题，每小 题10 分 ， 共计 2 0 分 ． 请 在答题卡指定区域内 作 答 ， 解 答 时 应 写 出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22 . (本小题满分 10分 ） 某“芝麻开门”娱乐活动中，共有 5 扇门，游戏者根据规则开门，并根据打开门的数量获取 相应奖励．已知开每扇门相互独立， 且规则相同．开每扇门的规则是：从给定的6把钥匙（其 中有且只有1把钥匙能打开门）中，随机地逐把抽取钥匙进行试开，钥匙使用后不放回．若 门被打开，则转为开下一扇门；若连续4次未能打开，则放弃这扇门，转为开下 一 扇门；直 至5扇门都进行了试开，活动结束． ( 1 )设 随机变量X为试开第 一 扇门所用的钥匙数，求X的分布列及数学期望E(X); ( 2)求恰好成功打开4扇门的概率． 23. (本小题满分 10分 ） 如图，在平面 直角坐标系 x Oy中，已知 抛物线y 2 = 2px(p>O) 的 焦 点为F , 准线与 x 轴的交 点为E. 过点F的直线与抛物线相交于 A, B 两点， EA, EB分别与y轴相交于M , N两点． 当 AB .Lx 轴 时， EA= 2. ( 1 )求抛物线的方程； (2)设.6.EAB面积为 s,' s s 求土的取值范围． 2 l::.EMN 面 积 为 S 2 , y X （第23题） 数学 II