2020年银川九中、石嘴山三中、平罗中学三校联考
（文科）数学试卷
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1.已知全集，，，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
2. 设复数满足，则在复平面内的对应点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3．某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个.命中个数的茎叶图如下图，则下面结论中错误的一个是
A．甲的极差是29
B．甲的中位数是24
C．甲罚球命中率比乙高
D．乙的众数是21
4.《周髀算经》中一个问题：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为
A.15.5 尺 B.12.5 尺 C.10.5 尺 D.9.5 尺
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5.已知函数，则
A. 是偶函数，且在R上是增函数 B. 是奇函数，且在R上是增函数
C. 是偶函数，且在R上是减函数 D. 是奇函数，且在R上是减函数
6．已知向量，则在方向上的投影为
A． B． C． D．
7.一位老师将三道题（一道三角题，一道数列题，一道立体几何题）分别写在三张卡纸上，安排甲、乙、丙三位学生各抽取一道.当他们被问到谁做立体几何题时，甲说：“我抽到的不是立体几何题”，乙说：“我喜欢三角，可惜没抽到”，丙说：“乙抽到的肯定不是数列题”.事实证明，这三人中只有一人说的是假话，那么抽到立体几何题的是
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 不确定
8.若为两条不同的直线，为平面，且，则“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9.已知其中，，.则的单调递减区间是
A. B.
C. D.
10.若数列的前n项和为，满足，，则的前20项和为
A． B． C． D．
11.三棱锥中，平面，，，，则该三棱锥外接球的表面积为
A. B. C. D.
12.过抛物线C：x2＝4y的准线上任意一点P作抛物线的切线PA，PB，切点分别为A，B，则A点到准线的距离与B点到准线的距离之和的最小值是
A．7 B．6 C．5 D．4
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二、填空题（本大题共5小题，共20分）
13.已知实数，满足不等式组，则的最大值为 .
14.《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？答曰：二千一百一十二尺，术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”，这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”，就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为底面圆的周长的平方高，则由此可推得圆周率的取值为 .
15.若双曲线的两条渐近线斜率分别为，，若，则该双曲线的离心率为 .
16．已知函数，若函数有且仅有三个零点，则实数的取值范围是 .
三、解答题（本大题共7小题，共70分）
17.（本小题满分12分）
如图，四棱锥中，底面ABCD，且底面ABCD为平行四边形，若，，.
（1）求证：；
（2）若与底面ABCD所成的角为，求点D到平面PBC的距离.
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18.（本小题满分12分）
已知分别为的内角的对边..
（1）若，，求；
（2）已知，当的面积取得最大值时，求的周长.
19.（本小题满分12分）
某工厂有25周岁以上(含25周岁)的工人300名，25周岁以下的工人200名．为了研究工人的日平均生产件数是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)根据“25周岁以上(含25周岁)组”的频率分布直方图，求25周岁以上(含25周岁)组工人日平均生产件数的中位数的估计值(四舍五入保留整数)；
(2)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；
(3)规定日平均生产件数不少于80的工人为生产能手，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？
生产能手
非生产能手
总计
25周岁以上(含25周岁)组
25周岁以下组
总计
P(K2≥k0)
0.100
0.050
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828
附：，
P(K2≥k0)
0.100
0.050
0.010
0.001
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k0
2.706
3.841
6.635
10.828
20．（本小题满分12分）
已知椭圆：，其短轴长为，离心率为，双曲线（，）的渐近线方程为，离心率为，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的右焦点为，过点作斜率不为的直线交椭圆于，两点，设直线和的斜率分别为，，试判断是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.[
[来源:学科网ZXXK]
21.（本小题满分12分）
已知函数，.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，若方程在区间上有唯一解，求的取值范围.
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请考生在22，23，题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
22．（10分）已知直线：与曲线：，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求直线和曲线的极坐标方程；
（2）将直线绕极点逆时针方向旋转,得到的直线，这两条直线与曲线分别交于异于极点的，两点，求的面积.
23．（10分）已知函数的最小值为．
（1）求的值；
（2）若为正实数，且，证明：．
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