理科数学（二）试题 B 第 1 页 共 6 页
秘密 ★ 启用前 试卷类型： B
2020 年广州市普通高中毕业班综合测试（二）
理科数学
本试卷共 6 页，23 小题， 满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，
用 2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号，并将试卷类型（B）填涂在答题
卡的相应位置上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的
答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不
能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目
指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答
案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1．若集合 2A x y x ， 2 0B x x x ，则 AB
A． 0,1 B． 0,1 C． 0,2 D． 0,2
2． 已知复数 1izb bR ，
2i
z
是纯虚数，则b
A． 2 B． 1
2 C． 1
2 D．1
3．若 3
3log 2a ， 1ln 2b ， 0.20.6c ，则 a ，b ， c 的大小关系为
A．c b a B．c a b C． bac D． a c b
4．首项为 21 的等差数列从第8 项起开始为正数，则公差 d 的取值范围是
A． 3d B． 7
2d C． 73 2d D． 73 2d
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5．《周髀算经》中提出了 “方属地，圆属天”，也就是人们常说的“天圆地方”．我国古代
铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想．现
将铜钱抽象成如图所示的图形，其中圆的半径为 r ，正方形的边长为
a 0 ar ，若在圆内随机取点，得到点取自阴影部分的概率是 p ，
则圆周率 的值为
A．
2
21
a
pr B．
2
21
a
pr C． 1
a
pr D． 1
a
pr
6．在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， E 是棱 AB 的中点，动点 F 是侧面 11ACC A （包括边界）
上一点，若 EF∥平面 11BCC B ，则动点 的轨迹是
A．线段 B．圆弧
C．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分
7．函数 12f x x x 的图像大致是
A． B． C． D．
8．如图，在梯形 ABCD中， //AB CD ， AB AD ， =2 2AB AD DC ， E 是 BC 的中
点， F 是 AE 上一点， 2AF FE ，则 =BF
A． 11
23AB AD B． 1
3
1
2AB AD
C． 11
23AB AD D．
2
1
3
1AB AD
F E
D C
BA
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9．已知命题 p ： 2 1 n
x x
的展开式中，仅有第 7 项的二项式系数最大，则展开式中的常
数项为 495 ；命题 q ：随机变量 服从正态分布 ，且 4 0.7P ，则
0 2 0.3P ．现给出四个命题：① ，② ，③ ，④ ，
其中真命题的是
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
10．设数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 1 2a ， 1 2n
nnaa *nN ，则 2020 =S
A．
202022
3
B．
20202 +2
3 C．
202122
3
D．
20212 +2
3
11．过双曲线C ：
22
221xy
ab 0, 0ab右焦点 2F 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为
P ，与双曲线交于点 A ，若 223F P F A ，则双曲线 的渐近线方程为
A． 1
2yx B． yx C． 2yx D． 2
5yx
12．若关于 x 的不等式 2 1e ln 2
x a x a恒成立，则实数 a 的取值范围是
A． 0,2e B． ,2e C． 20, 2e D． 2,2e
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题5 分，共 20 分。
13．已知角 的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，若点 2, 1P 在角 的
终边上，则sin 2 = ．
14．下表是某厂1~4 月份用水量（单位：百吨）的一组数据
月份 x （万元） 1 2 3 4
用水量 y （万元） 2.5 3 4 4.5
由散点图可知，用水量 与月份 之间有较明显的线性相关关系，其线性回归方程是
ˆˆ 1.75y bx ，预测 6 月份该厂的用水量为 万元．
2,2 N
pq pq ()pq ()pq
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15．过抛物线 2 4yx 焦点 F 的直线交该抛物线于 A ， B 两点，且 4AB ，若原点O 是
△ ABC 的垂心，则点C 的坐标为_______．
16．正四棱锥 P ABCD 的底面边长为 2 ，侧棱长为 22 ．过点 A 作一个与侧棱 PC 垂直
的平面 ，则平面 被此正四棱锥所截的截面面积为 ，平面 将此正四棱锥分
成的两部分体积的比值为 ．（第一个空 2 分，第二个空 3 分）
三、解答题：共 70 分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考
题，每个试题考生都必须做答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求做答。
（一）必考题：共 60 分。
17．（12 分）
△ ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知 1a ，
3B ，△ 的
面积为 33
4
．
（1）求△ 的周长；
（2）求 cos BC 的值．
18．（12 分）
如图，在三棱柱 111 CBAABC 中，侧面 CCBB 11 为菱形， 1ABAC ， 11B C BC O ．
（1）求证： ABCB 1 ；
（2）若 601 CBB ， AC BC ，且点 A 在侧面 上的投影为点O ，求二面
角 CAAB 1 的余弦值．
O
B1
C1
A1
C
B
A
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19．（12 分）
已知点 A ，B 的坐标分别是 2,0 ， 2,0 ，动点 ,M x y 满足直线 AM 和 BM
的斜率之积为 3 ，记 M 的轨迹为曲线 E ．
（1）求曲线 E 的方程；
（2）直线 y kx m与曲线 E 相交于 P ，Q 两点，若曲线 E 上存在点 R ，使得四边
形OPRQ 为平行四边形（其中O 为坐标原点），求m 的取值范围．
20．（12 分）
当今世界科技迅猛发展，信息日新月异．为增强全民科技意识，提高公众科学素养，某
市图书馆开展了以“亲近科技、畅想未来”为主题的系列活动，并对不同年龄借阅者对科技
类图书的情况进行了调查．该图书馆从只借阅一本图书的借阅者中随机抽取100名，数据统
计如下表：
借阅科技类图书（人） 借阅非科技类图书（人）
年龄不超过50 岁 20 25
年龄大于 岁 10 45
（1）是否有99% 的把握认为年龄与借阅科技类图书有关？
（2）该图书馆为了鼓励市民借阅科技类图书，规定市民每借阅一本科技类图书奖励积
分 2 分，每借阅一本非科技类图书奖励积分1分，积分累计一定数量可以用积分换购自己喜
爱的图书。用上表中的样本频率作为概率的估计值．
（i）现有3 名借阅者每人借阅一本图书，记 此 3 人增加的积分总和为随机变量 ，求
的分布列和数学期望；
（ii）现从只借阅一本图书的借阅者中选取16 人，则借阅科技类图书最有可能的人数是
多少?
附：
2
2 ()
( )( )( )( )
n ad bck a b c d a c b d
，其中 n a b c d ．
2P K k 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
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21．(12 分)
已知函数 ln sinf x x x ax 0a ．
（1）若 1a ，求证：当 1, 2x
时， 21f x x；
（2）若 fx在 0, 2π 上有且仅有1个极值点，求 a 的取值范围．
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一
题计分。
22．[选修 4－4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为 cos ,
2 sin
x
y
（ 为参数）．以坐标原点
O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 2
2
4
1 3sin
．
（1）写出曲线 1C 和 2C 的直角坐标方程；
（2）已知 P 为曲线 2C 上的动点，过点 作曲线 1C 的切线，切点为 A ，求 PA 的最大
值．
23．[选修 4－5：不等式选讲]（10 分）
已知函数 1 2 2f x x x 的最大值为 M ，正实数 a ，b 满足 a b M ．
（1）求 222ab 的最小值；
（2）求证： aba b ab ．
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