2020 年高考数学模拟试卷（理科）（5 月份）
一、选择题（共 12 小题）.
1．已知全集 U＝R，集合 A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x| ퟐ풙 ― ퟒ ≤ 2}，则 B∩（∁UA）＝（ ）
A．[2，3] B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）
C．（3，4] D．[3，4]
2．已知复数 z =
푎
2 ― 푖 + 1（i 为虚数单位，a∈R）为纯虚数，则实数 a＝（ ）
A．5
2 B． ―
5
2 C．0 D．2
3．已知函数 f（x） = {풆풙，풙＜ퟏ
ퟒ ― 풎풙，풙 ≥ ퟏ，若 f（m）＝1，则实数 m 的值是（ ）
A．0 B． ퟑ C．0 或 ퟑ D．0 或 ퟑ或 ― ퟑ
4．若 l，m，n 是三条不相同的直线，α，β 是两个不同的平面，则下列命题中为真命题的
是（ ）
A．若 l∥m，m∥α，则 l∥α B．若 α⊥β，n⊥α，m∥n，则 m∥β
C．若 α⊥β，l⊥α，m∥β，则 l∥m D．若 l⊥α，l∥n，n⊥β，则 α∥β
5．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：“松长六尺，竹长两尺，
松日自半，竹日自倍，何日竹逾松长？”如图是解决此问题的一个程序框图，其中 a 为
松长、b 为竹长，则菱形框与矩形框处应依次填（ ）A．a＜b？；a＝a +
푎
2 B．a＜b？；a＝a+2a
C．a≥b？；a＝a +
푎
2 D．a≥b？；a＝a+2a
6．在等比数列{an}中，已知 a1a3＝4，a9＝256，则 a8＝（ ）
A．128 或﹣128 B．128 C．64 或﹣64 D．64
7．2020 年新型肺炎疫情期间，山东省某市派遣包含甲，乙两人的 12 名医护人员支援湖北
省黄冈市，现将这 12 人平均分成两组，分别分配到黄冈市区定点医院和黄冈市英山县医
院，则甲、乙不在同一组的概率为（ ）
A． 5
11 B． 6
11 C．1
2 D．2
3
8．函数 f（x） =
5(푥2 ― 푐표푠푥)
푒푥 + 푒―푥 的大致图象是（ ）
A． B．C． D．
9．直线 l：x﹣y + ퟐ = 0 将圆 O：x2+y2＝4 分成的两部分的面积之比为（ ）
A．（4π ― ퟑ）：（8π + ퟑ） B．（4π﹣3 ퟑ）：（8π+3 ퟑ）
C．（2π﹣2 ퟑ）：（10π+2 ퟑ） D．（2π﹣3 ퟑ）：（10π+3 ퟑ）
10．设无穷等差数列{an}的各项都为正数，且其前 n 项和为 Sn，若 S2017＝2017，则下列判
断错误的是（ ）
A．a1009＝1 B．a1010≥1 C．S2016＞2016 D．S2019≥2019
11．函数 f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜
휋
2）的图象如图所示，先将函数 f（x）图象上
所有点的横坐标变为原来的 6 倍，纵坐标不变，再将所得函数的图象向左平移7휋
2 个单位
长度，得到函数 g（x）的图象，则下列结论
正确的是（ ）
A．函数 g（x）是奇函数
B．函数 g（x）在区间[﹣2π，0]上单调递增
C．函数 g（x）图象关于（3π，0）对称
D．函数 g（x）图象关于直线 x＝﹣3π 对称
12．定义在[0，+∞）上的函数 f（x）满足：f（x）+f'（x） =
푥
푒푥，풇(
1
2) =
1
2푒．其中 f'（x）
表示 f（x）的导函数，若存在正数 a，使得풇(푥2 ― 푥
4 ) ≥
1
푎 +
푎
8푒成立，则实数 x 的取值范围是（ ）
A．[﹣1，2] B．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）
C．[﹣1，0]∪[1，2] D．[﹣2，﹣1]∪[1，2]
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知向量→
풂 = （﹣2，1），→
풃 = （4，3），→
풄 = （﹣1，λ），若（→
풂 + →
풃）∥→
풄，则 λ
＝ ．
14．二项式(
1
푥 ―
3푥
2 )ퟔ的展开式中的常数项是 ．（用数字作答）
15．在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，∠BAC＝120°且 AB＝AC＝3，BB1＝4，则此三棱柱外
接球的表面积为 ．
16．已知椭圆 C：푥2
푎2 +
푦2
푏2 = 1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F1，F2，且椭圆 C 与双曲线
C'：2푥2
푎2 ― 풚ퟐ = 1 共焦点，若椭圆 C 与双曲线 C'的一个交点 M 满足|MF1|•|MF2|＝2，则
△MF1F2 的面积是 ．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考
题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：
共 60 分．
17．在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，且푐표푠(퐵 + 퐶)
푐표푠퐶 =
푎
2푏 + 푐．
（1）求角 A 的大小；
（2）若 a = ퟒ ퟑ，b = ퟒ ퟐ，求△ABC 的面积．18．现有一种水上闯关游戏，共设有 3 个关口，如果在规定的时间内闯过了这 3 个关口，
那么闯关成功，否则闯关失败，结束游戏．假定小张、小王、小李闯过任何一个关口的
概率分别为2
3，1
2，1
2，且各关口能否顺利闯过相互独立．
（1）求小张、小王、小李分别闯关成功的概率；
（2）记小张、小王、小李三人中闯关成功的人数为 X，求 X 的分布列及数学期望．
19．如图，四边形 ABCD 为正方形，PA∥CE，AB＝CE =
1
2PA，PA⊥平面 ABCD．
（1）证明：PE⊥平面 DBE；
（2）求二面角 B﹣PD﹣E 的正弦值的大小．
20．已知抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F，过点 P（2，0）的直线 l 交抛物线 C 于 A（x1，y1）
和 B（x2，y2）两点．
（1）当 x1+x2＝8 时，求直线 l 的方程；
（2）若过点 P（2，0）且垂直于直线 l 的直线 l'与抛物线 C 交于 M，N 两点，记△ABF
与△MNF 的面积分别为 S1 与 S2，求 S1S2 的最小值．
21．已知函数 g（x）＝ex﹣ax2﹣ax，h（x）＝ex﹣2x﹣lnx．其中 e 为自然对数的底数．
（1）若 f（x）＝h（x）﹣g（x）．
①讨论 f（x）的单调性；
②若函数 f（x）有两个不同的零点，求实数 a 的取值范围．
（2）已知 a＞0，函数 g（x）恰有两个不同的极值点 x1，x2，证明：풙ퟏ + 풙ퟐ＜풍풏(ퟒ풂ퟐ)．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．如果多做，则按所做
的第一题计分．[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．以平面直角坐标系 xOy 的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴并取相同的单位长度建
立极坐标系，已知过点 A（﹣1，﹣2）且斜率为 1 的直线 l1 与曲线 C：{풙 = ퟑ + ퟒ풄풐풔휶，
풚 = ퟒ + ퟒ풔풊풏휶
（α 是参数）交于 P，Q 两点，与直线 l2：ρcosθ+2ρsinθ+4＝0 交于点 N．
（1）求曲线 C 的普通方程与直线 l2 的直角坐标方程；
（2）若 PQ 的中点为 M，比较|PQ|与|MN|的大小关系，并说明理由．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知函数 f（x）＝3|x﹣2|﹣3．
（1）求不等式1
3[풇(풙) + ퟑ]＞|x+1|的解集；
（2）若关于 x 的不等式 f（x）≥mx+m 恒成立，求实数 m 的取值范围．参考答案
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．已知全集 U＝R，集合 A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x| ퟐ풙 ― ퟒ ≤ 2}，则 B∩（∁UA）＝（ ）
A．[2，3] B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）
C．（3，4] D．[3，4]
【分析】求出集合 B，∁UA，由此能求出 B∩（∁UA）．
解：∵全集 U＝R，集合 A＝{x|﹣2＜x＜3}，
B＝{x| ퟐ풙 ― ퟒ ≤ 2}＝{x|2≤x≤4}，
∴∁UA＝{x|x≤﹣2 或 x≥3}，
∴B∩（∁UA）＝{x|3≤x≤4}，
故选：D．
2．已知复数 z =
푎
2 ― 푖 + 1（i 为虚数单位，a∈R）为纯虚数，则实数 a＝（ ）
A．5
2 B． ―
5
2 C．0 D．2
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为 0，且虚部不为 0 列式求解．
解：∵z =
푎
2 ― 푖 + 1 =
푎(2 + 푖)
(2 ― 푖)(2 + 푖) +ퟏ =
2푎 + 5
5 +
푎
5풊为纯虚数，
∴{2푎 + 5
5 = ퟎ
푎
5 ≠ ퟎ
，解得 a = ―
5
2．
故选：B．3．已知函数 f（x） = {풆풙，풙＜ퟏ
ퟒ ― 풎풙，풙 ≥ ퟏ，若 f（m）＝1，则实数 m 的值是（ ）
A．0 B． ퟑ C．0 或 ퟑ D．0 或 ퟑ或 ― ퟑ
【分析】讨论字母 m 的范围，求出 f（m）的表达式，列出方程求出符合条件的 m 值．
解：因为函数 f（x） = {풆풙，풙＜ퟏ
ퟒ ― 풎풙，풙 ≥ ퟏ，
当 m＜1 时，有 f（m）＝em，
em＝1 解得 m＝0 满足条件；
当 m≥1 时，有 f（m）＝4﹣m2，
∴4﹣m2＝1
解得 m = ퟑ （ ― ퟑ舍）
总之，m = ퟑ或 0；
故选：C．
4．若 l，m，n 是三条不相同的直线，α，β 是两个不同的平面，则下列命题中为真命题的
是（ ）
A．若 l∥m，m∥α，则 l∥α B．若 α⊥β，n⊥α，m∥n，则 m∥β
C．若 α⊥β，l⊥α，m∥β，则 l∥m D．若 l⊥α，l∥n，n⊥β，则 α∥β
【分析】对于 A，l∥α 或 l⊂α；对于 B，m∥β 或 m⊂β；对于 C，l 与 m 相交、平行或异
面；对于 D，由面面垂直的判定定理得 α∥β．
解：对于 A，若 l∥m，m∥α，则 l∥α 或 l⊂α，故 A 错误；
对于 B，若 α⊥β，n⊥α，m∥n，则 m∥β 或 m⊂β，故 B 错误；
对于 C，若 α⊥β，l⊥α，m∥β，则 l 与 m 相交、平行或异面，故 C 错误；
对于 D，若 l⊥α，l∥n，n⊥β，则由面面垂直的判定定理得 α∥β，故 D 正确．故选：D．
5．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：“松长六尺，竹长两尺，
松日自半，竹日自倍，何日竹逾松长？”如图是解决此问题的一个程序框图，其中 a 为
松长、b 为竹长，则菱形框与矩形框处应依次填（ ）
A．a＜b？；a＝a +
푎
2 B．a＜b？；a＝a+2a
C．a≥b？；a＝a +
푎
2 D．a≥b？；a＝a+2a
【分析】由程序框图模拟程序的运行，结合题意即可得解．
解：竹逾松长，意为竹子比松高，即 a＜b，
但这是一个含当型循环结构的程序框图，当不满足条件时，退出循环，故菱形框中条件
应为 a≥b？，
松日自半，则表示松每日增加一半，即矩形框应填 a＝a +
푎
2．
故选：C．
6．在等比数列{an}中，已知 a1a3＝4，a9＝256，则 a8＝（ ）
A．128 或﹣128 B．128 C．64 或﹣64 D．64【分析】由已知结合等比数列的性质可求 a2，然后结合等比数列的通项公式即可求解．
解：由等比数列的性质可得，a1a3 = 풂ퟐ
ퟐ = 4，
∴a2＝2 或﹣2，
∵a9＝256，当 a2＝2 时，q7＝128 即 q＝2，则 a8＝128，
当 a2＝﹣2 时，q7＝﹣128 即 q＝﹣2，则 a8＝﹣128，
故选：A．
7．2020 年新型肺炎疫情期间，山东省某市派遣包含甲，乙两人的 12 名医护人员支援湖北
省黄冈市，现将这 12 人平均分成两组，分别分配到黄冈市区定点医院和黄冈市英山县医
院，则甲、乙不在同一组的概率为（ ）
A． 5
11 B． 6
11 C．1
2 D．2
3
【分析】设“甲、乙不在同一组”为事件 M，12 名医护人员平均分配到两所医院的基本
事件总数为 n = 푪ퟔퟏퟐ = 924，甲、乙在同一组包含的基本事件个数 m = ퟐ푪ퟒퟏퟎ = 420，由此
能求出甲、乙不在同一组的概率．
解：设“甲、乙不在同一组”为事件 M，
12 名医护人员平均分配到两所医院的基本事件总数为 n = 푪ퟔퟏퟐ = 924，
甲、乙在同一组包含的基本事件个数 m = ퟐ푪ퟒퟏퟎ = 420，
∴甲、乙不在同一组的概率 P＝1 ―
푚
푛 = 1 ―
420
924 =
6
11．
故选：B．
8．函数 f（x） =
5(푥2 ― 푐표푠푥)
푒푥 + 푒―푥 的大致图象是（ ）
A． B．C． D．
【分析】直接利用函数的奇偶性及特殊点的函数值，运用排除法得解．
解：函数的定义域为 R，且풇( ― 풙) =
5[( ― 푥)2 ― 푐표푠( ― 푥)]
푒―푥 + 푒푥 =
5(푥2 ― 푐표푠푥)
푒푥 + 푒―푥 = 풇(풙)，
∴函数 f（x）为偶函数，故排除 B 选项；
又풇(ퟎ) = ―
5
2，故排除 C 选项；
当|x|＞1 时，x2＞cosx，故当|x|＞1 时，f（x）＞0，故排除 D 选项．
故选：A．
9．直线 l：x﹣y + ퟐ = 0 将圆 O：x2+y2＝4 分成的两部分的面积之比为（ ）
A．（4π ― ퟑ）：（8π + ퟑ） B．（4π﹣3 ퟑ）：（8π+3 ퟑ）
C．（2π﹣2 ퟑ）：（10π+2 ퟑ） D．（2π﹣3 ퟑ）：（10π+3 ퟑ）
【分析】根据题意，设直线 l 与圆 O：x2+y2＝4 交于点 M、N，过点 O 作 OP⊥MN，垂
足为点 P，求出|OP|的值，结合直线与圆的位置关系可得∠MON =
2휋
3 以及|MN|＝2 ퟑ；
进而计算可得 S△MON 和 S 扇形 OMN 的值，据此可得直线 l 将圆 O 分成的两部分的面积，计
算即可得答案．
解：根据题意，设直线 l 与圆 O：x2+y2＝4 交于点 M、N，过点 O 作 OP⊥MN，垂足为
点 P，
则点 O 到直线 l 的距离|OP| = | 2|
1 + 1 = 1，
又由圆 O：x2+y2＝4 的半径|OM|＝r＝2，则∠MOP =
휋
3，则∠MON =
2휋
3 ；
同时|MP| = |푶푴|ퟐ ― |푶푷|ퟐ = ퟒ ― ퟏ = ퟑ，则|MN|＝2 ퟑ，且 S△MON =
1
2 × |OP|×|MN| = ퟑ，
则 S 扇形 OMN =
1
2 ×
2휋
3 × r2 =
4휋
3 ，
则劣弧对应的弓形的面积 S1 =
4휋
3 ― ퟑ，另一部分的面积 S2＝πr2﹣S1＝4π﹣（4휋
3 ― ퟑ）
=
8휋
3 + ퟑ，
故两部分的面积之比
푆1
푆2
=
4휋
3 ― 3
8휋
3 + 3
=
4휋 ― 3 3
8휋 + 3 3 = （4π﹣3 ퟑ）：（8π+3 ퟑ）；
故选：B．
10．设无穷等差数列{an}的各项都为正数，且其前 n 项和为 Sn，若 S2017＝2017，则下列判
断错误的是（ ）
A．a1009＝1 B．a1010≥1 C．S2016＞2016 D．S2019≥2019
【分析】由 S2017＝2017 =
2017(푎1 + 푎2017)
2 = 2017a1009，可得 a1009．由无穷等差数列{an}
的各项都为正数，可得公差 d≥0．进而判断出结论．
解：S2017＝2017 =
2017(푎1 + 푎2017)
2 = 2017a1009，
∴a1009＝1．
∵无穷等差数列{an}的各项都为正数，∴公差 d≥0．
∴a1010≥1．
S2016 =
2016(푎1 + 푎2016)
2 1008（a1009+a1008）≤1008×2＝2016，S2019＝S2017+a2018+a2019≥2017+2＝2019，
综上可得：只有 C 错误．
故选：C．
11．函数 f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜
휋
2）的图象如图所示，先将函数 f（x）图象上
所有点的横坐标变为原来的 6 倍，纵坐标不变，再将所得函数的图象向左平移7휋
2 个单位
长度，得到函数 g（x）的图象，则下列结论
正确的是（ ）
A．函数 g（x）是奇函数
B．函数 g（x）在区间[﹣2π，0]上单调递增
C．函数 g（x）图象关于（3π，0）对称
D．函数 g（x）图象关于直线 x＝﹣3π 对称
【分析】首先利用函数的图象求出函数的关系式，进一步利用函数的图象的伸缩变换和
平移变换的应用求出函数 g（x）的关系式，最后利用函数的性质的应用求出结果．
解：根据 T = ퟒ × (
7휋
12 ―
휋
3) = 흅，所以 ω =
2휋
휋 = ퟐ，
由于函数的图象过（7휋
12， ― ퟏ），所以ퟐ ×
7휋
12 + φ = ퟐ풌흅 +
3휋
2 ，
由于|φ|＜
휋
2，解得 φ =
휋
3，
故 f（x）＝sin（2x +
휋
3），
先将函数 f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的 6 倍，纵坐标不变，再将所得函数的图象向左平移7휋
2 个单位长度，
得到 g（x）＝sin[
1
3 × (풙 +
7휋
2 ) +
휋
3] = ―풄풐풔
1
3풙．
①故函数 g（x）为偶函数，故错误．
②令1
3풙 ∈ [ퟐ풌흅，ퟐ풌흅 + 흅]，所以 x∈[6kπ，3π+6kπ]，故[﹣2π，0]⊄[6kπ，3π+6kπ]，故
错误．
③令1
3풙 =
휋
2 +풌흅（k∈Z），解得 x =
3휋
2 +ퟑ풌흅（k∈Z），所以函数的对称中心为（3휋
2
+ퟑ풌흅，ퟎ）（k∈Z），故错误
④令1
3풙 = 풌흅解得 x＝3kπ，当 k＝﹣1 时，x＝﹣3π，故正确．
故选：D．
12．定义在[0，+∞）上的函数 f（x）满足：f（x）+f'（x） =
푥
푒푥，풇(
1
2) =
1
2푒．其中 f'（x）
表示 f（x）的导函数，若存在正数 a，使得풇(푥2 ― 푥
4 ) ≥
1
푎 +
푎
8푒成立，则实数 x 的取值范
围是（ ）
A．[﹣1，2] B．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）
C．[﹣1，0]∪[1，2] D．[﹣2，﹣1]∪[1，2]
【分析】由已知可得[exf（x）]′ = 풙，结合其结构特点考虑构造函数 g（x）＝exf（x），
结合导数可判断相应函数的单调性，结合单调性即可求解不等式．
解：由 f（x）+f'（x） =
푥
푒푥，可得，풆풙[풇(풙) + 풇′(풙)] = 풙，
即[exf（x）]′ = 풙，
令 g（x）＝exf（x），则 f（x） =
푔(푥)
푒푥 ，且품′(풙) = 풙，
故풇′(풙) =
푥 ― 푔(푥)
푒푥 ，令 h（x） = 풙 ―품(풙)，x＞0，则풉′(풙) =
1 ― 2푥
2 푥 ，
当 x ∈ (ퟎ，
1
2)时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，当 x ∈ (
1
2， + ∞)时，h′（x）＜0，h
（x）单调递减，
故 h（x）max＝h（1
2）＝0，则 f′（x）≤0，
故 f（x）在（0，+∞）上单调递减，
因为1
푎 +
푎
8푒 ≥
1
2푒，当且仅当1
푎 =
푎
8푒即 a＝2 ퟐ풆时取等号，
由题意풇(푥2 ― 푥
4 ) ≥
1
2푒 = f（1
2），
因为 f（x）在[0，+∞）上单调递减，
则ퟎ ≤ 푥2 ― 푥
4 ≤
1
2，
解可得，﹣1≤x≤0 或 1≤x≤2，
故选：C．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知向量→
풂 = （﹣2，1），→
풃 = （4，3），→
풄 = （﹣1，λ），若（→
풂 + →
풃）∥→
풄，则 λ＝ ﹣
2 ．
【分析】根据题意，用坐标表示出→
풂 + →
풃，根据两直线平行的坐标表示列式子计算即可得
答案．
解：由题，→
풂 + →
풃 = (ퟐ，ퟒ)，→
풄 = ( ― ퟏ，흀)，
∵（→
풂 + →
풃）∥→
풄，
∴2λ＝﹣4，λ＝﹣2．
故答案为：﹣2．
14．二项式(
1
푥 ―
3푥
2 )ퟔ的展开式中的常数项是 ―
135
2 ．（用数字作答）
【分析】先求出其通项公式，再令 x 的指数为 0 即可求解．
解：因为二项式(
1
푥 ―
3푥
2 )ퟔ的展开式得通项为：Tr+1 = ∁풓ퟔ•（1
푥）6﹣r•( ―
3푥
2 )
풓
= （ ―
3
2）r•∁풓ퟔ•
x2r﹣6；
令 2r﹣6＝0 得 r＝3；
故二项式(
1
푥 ―
3푥
2 )ퟔ的展开式中的常数项是：（ ―
3
2）3•∁ퟑퟔ = ―
135
2 ．
故答案为： ―
135
2 ．
15．在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，∠BAC＝120°且 AB＝AC＝3，BB1＝4，则此三棱柱外
接球的表面积为 52π ．
【分析】由题意可知直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，AB＝AC＝3，∠BAC＝120°，AA1＝
4，底面 ABC 的小圆半径为 2，连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的
半径，即可求出三棱柱的外接球的表面积．
解：由题意可知直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，AB＝AC＝3，∠BAC＝120°，AA1＝4，
∴底面小圆 ABC 的半径 r 满足：2r =
3
푠푖푛30° = 6，即 r＝3，
连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径，外接球的半径为：R =
ퟑퟐ + ퟐퟐ = ퟏퟑ∴三棱柱的外接球的表面积为：4π•R2＝52π；
故答案为：52π．
16．已知椭圆 C：푥2
푎2 +
푦2
푏2 = 1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F1，F2，且椭圆 C 与双曲线
C'：2푥2
푎2 ― 풚ퟐ = 1 共焦点，若椭圆 C 与双曲线 C'的一个交点 M 满足|MF1|•|MF2|＝2，则
△MF1F2 的面积是 1 ．
【 分 析 】 先 将 双 曲 线 的 方 程 化 成 标 准 形 式 ， 再 由 椭 圆 和 双 曲 线 的 定 义 可 得
{|푴푭ퟏ| + |푴푭ퟐ| = ퟐ풂
|푴푭ퟏ| ― |푴푭ퟐ| = ퟐ ⋅
2
2 풂 = ퟐ풂，解得{|푴푭ퟏ| =
2 + 2
2 풂
|푴푭ퟐ| =
2 ― 2
2 풂
，再代入|MF1|•|MF2|＝2，即可
解得 a 的值，从而得|MF1|、|MF2|和|F1F2|的长，由勾股定理可知，△MF1F2 是直角三角
形，因此푺△푴푭ퟏ푭ퟐ =
1
2 ⋅ |푴푭ퟏ| ⋅ |푴푭ퟐ|．
解：将双曲线 C'：2푥2
푎2 ― 풚ퟐ = 1 化成标准形式为
푥2
푎2
2
― 풚ퟐ = ퟏ，
不 妨 设 点 M 在 双 曲 线 的 右 支 上 ， 则 根 据 椭 圆 和 双 曲 线 的 定 义 ， 有
{|푴푭ퟏ| + |푴푭ퟐ| = ퟐ풂
|푴푭ퟏ| ― |푴푭ퟐ| = ퟐ ⋅
2
2 풂 = ퟐ풂，解得{|푴푭ퟏ| =
2 + 2
2 풂
|푴푭ퟐ| =
2 ― 2
2 풂
．
∵|MF1|•|MF2|＝2，
∴2 + 2
2 풂 ⋅ 2 ― 2
2 풂 = ퟐ，解得 a＝2 或﹣2（舍负），
∴|푴푭ퟏ| = ퟐ + ퟐ，|푴푭ퟐ| = ퟐ ― ퟐ，双曲线的焦距|푭ퟏ푭ퟐ| = ퟐ 푎2
2 + ퟏ = ퟐ ퟑ．
显然有|푴푭ퟏ|ퟐ +|푴푭ퟐ|ퟐ = |푭ퟏ푭ퟐ|ퟐ，
∴△MF1F2 是直角三角形，
∴푺△푴푭ퟏ푭ퟐ =
1
2 ⋅ |푴푭ퟏ| ⋅ |푴푭ퟐ| =
1
2 × (ퟐ + ퟐ) × (ퟐ ― ퟐ) = ퟏ．故答案为：1．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考
题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：
共 60 分．
17．在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，且푐표푠(퐵 + 퐶)
푐표푠퐶 =
푎
2푏 + 푐．
（1）求角 A 的大小；
（2）若 a = ퟒ ퟑ，b = ퟒ ퟐ，求△ABC 的面积．
【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求 cosA，进而可求 A；
（2）由已知结合余弦定理可求 c，然后结合三角形的面积公式即可求解．
解：（1）∵푐표푠(퐵 + 퐶)
푐표푠퐶 =
푎
2푏 + 푐 =
―푐표푠퐴
푐표푠퐶 ，
由正弦定理可得， 푠푖푛퐴
2푠푖푛퐵 + 푠푖푛퐶 =
―푐표푠퐴
푐표푠퐶 ，
所以 2sinBcosA+sinCcosA＝﹣sinAcosC，
所以 2sinBcosA+sinCcosA+sinAcosC＝0，
即 2sinBcosA+sin（C+A）＝0，
所以 2sinBcosA+sinB＝0，
因为 sinB≠0，
故 cosA = ―
1
2，
因为 A 为三角形的内角，故 A =
2휋
3 ，
（2）∵a = ퟒ ퟑ，b = ퟒ ퟐ，
由余弦定理可得，ퟒퟖ = ퟑퟐ + 풄ퟐ ―ퟐ × ퟒ ퟐ풄 × ( ―
1
2)，解可得 c = ퟐ ퟔ ―ퟐ ퟐ，
∴S△ABC =
1
2풃풄풔풊풏푨 =
1
2 × ퟒ ퟐ × (ퟐ ퟔ ―ퟐ ퟐ) ×
3
2 = 12﹣4 ퟑ
18．现有一种水上闯关游戏，共设有 3 个关口，如果在规定的时间内闯过了这 3 个关口，
那么闯关成功，否则闯关失败，结束游戏．假定小张、小王、小李闯过任何一个关口的
概率分别为2
3，1
2，1
2，且各关口能否顺利闯过相互独立．
（1）求小张、小王、小李分别闯关成功的概率；
（2）记小张、小王、小李三人中闯关成功的人数为 X，求 X 的分布列及数学期望．
【分析】（1）记小张、小王、小李闯关成功的事件分别为：A，B，C，求出概率．
（2）易知 X 的所有可能取值为：0，1，2，3；求出概率，得到随机变量的分布列，然
后求解期望即可．
解：（1）记小张、小王、小李闯关成功的事件分别为：A，B，C，则 P（A） = (
2
3)ퟑ =
8
27；P（B） = (
1
2)ퟑ =
1
8；P（C） = (
1
2)ퟑ =
1
8；
（2）易知 X 的所有可能取值为：0，1，2，3；P（X＝0） =
19
27 ×
7
8 ×
7
8 =
931
1728；P（X＝
1） =
8
27 ×
7
8 ×
7
8 +
19
27 ×
1
8 ×
7
8 +
19
27 ×
7
8 ×
1
8 =
658
1728；
P（X＝2） =
8
27 ×
1
8 ×
7
8 +
8
27 ×
7
8 ×
1
8 +
19
27 ×
1
8 ×
1
8 =
131
1728，
P（X＝3） =
8
27 ×
1
8 ×
1
8 =
8
1728．所有随机变量的分布列为：
X 0 1 2 3
P 931
1728
658
1728
131
1728
8
1728
故 E（X）＝0 ×
931
1728 +ퟏ ×
658
1728 +ퟐ ×
131
1728 +ퟑ ×
8
1728 =
59
108．
19．如图，四边形 ABCD 为正方形，PA∥CE，AB＝CE =
1
2PA，PA⊥平面 ABCD．（1）证明：PE⊥平面 DBE；
（2）求二面角 B﹣PD﹣E 的正弦值的大小．
【分析】（1）连结 AC，推导出 BD⊥AC，PA⊥BD，PA⊥AD，从而 BD⊥平面 APEC，
进而 BD⊥PE，推导出 PE⊥DE，由此能证明 PE⊥平面 DBE．
（2）以 A 为原点，AD，AB，AP 所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，利用
向量法能求出二面角 B﹣PD﹣E 的正弦值．
【解答】（1）证明：连结 AC，∵四边形 ABCD 是正方形，∴BD⊥AC，
∵PA⊥平面 ABCD，∴PA⊥BD，PA⊥AD，
∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面 APEC，
∵PE⊂平面 APEC，∴BD⊥PE，
设 AB＝1，则 AD＝1，PA＝2，∴PD = ퟓ，
同理解得 DE = ퟐ，要梯形 PACE 中，解得 PE = ퟑ，
∴PE2+DE2＝PD2，∴PE⊥DE，
∵BD∩DE＝D，∴PE⊥平面 DBE．
（2）解：以 A 为原点，AD，AB，AP 所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，
令 AB＝1，则 CE＝，AP＝2，
∴P（0，0，2），E（1，1，1），D（1，0，0），B（0，1，0），→
푬푷 = （﹣1，﹣1，1）， →
푫푷 = （﹣1，0，2）， →
푩푷 = （0，﹣1，2）， →
푩푫 = （1，﹣1，
0），
设平面 DPE 的法向量→
풏 = （x，y，z），
则{→
풏 ⋅
→
푬푷 = ―풙 ― 풚 + 풛 = ퟎ
→
풏 ⋅
→
푫푷 = ―풙 + ퟐ풛 = ퟎ
，取 z＝1，得→
풏 = （2，﹣1，1），
设平面 BPD 的法向量 →
풎 = （a，b，c），
则{ →
풎 ⋅
→
푩푫 = 풂 ― 풃 = ퟎ
→
풎 ⋅
→
푫푷 = ―풂 + ퟐ풄 = ퟎ
，取 c＝1，得 →
풎 = （2，2，1），
设二面角 B﹣PD﹣E 的平面角为 θ，
则 cosθ =
|
→
푚 ⋅
→
푛|
|
→
푚| ⋅ |
→
푛|
=
6
6 ，
∴二面角 B﹣PD﹣E 的正弦值 sinθ = ퟏ ― (
6
6 )ퟐ =
30
6 ．
20．已知抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F，过点 P（2，0）的直线 l 交抛物线 C 于 A（x1，y1）
和 B（x2，y2）两点．
（1）当 x1+x2＝8 时，求直线 l 的方程；（2）若过点 P（2，0）且垂直于直线 l 的直线 l'与抛物线 C 交于 M，N 两点，记△ABF
与△MNF 的面积分别为 S1 与 S2，求 S1S2 的最小值．
【分析】（1）判断直线 l 的斜率一定不为 0，可设直线 l 的方程为 x＝my+2，联立抛物
线的方程，运用韦达定理和直线方程，化简整理，解方程可得 m，进而得到所求直线方
程；
（2）设直线 l 的方程为 x＝my+2，联立抛物线的方程，运用韦达定理和三角形的面积公
式，可得 S1，同理可得 S2，化简整理，由基本不等式，可得 S1S2 的最小值．
解：（1）直线 l 过定点 P（2，0），在 x 轴上，且直线 l 与抛物线相交，则斜率一定不
为 0，
可设直线 l 的方程为 x＝my+2，联立抛物线的方程 y2＝4x，可得 y2﹣4my﹣8＝0，
可得 y1+y2＝4m，y1y2＝﹣8，所以 x1+x2＝my1+2+my2+2＝m（y1+y2）+4＝4m2+4，
因为 x1+x2＝8，所以 4m2+4＝8，解得 m＝±1，
所以直线 l 的方程为 x﹣y﹣2＝0 或 x+y﹣2＝0；
（2）设直线 l 的方程为 x＝my+2，联立抛物线的方程可得 y2﹣4my﹣8＝0，
可 得 y1+y2 ＝ 4m ， y1y2 ＝ ﹣ 8 ， 则 S1 =
1
2|PF| • |y1 ﹣ y2| =
1
2 (풚ퟏ + 풚ퟐ)ퟐ ― ퟒ풚ퟏ풚ퟐ =
1
2
ퟏퟔ풎ퟐ + ퟑퟐ = 2 풎ퟐ + ퟐ，
因为直线 MN 与直线 l 垂直，且当 m＝0 时，直线 l 的方程为 x＝2，此时直线 l'的方程为
x＝0，
但此时直线 l'与抛物线 C 没有两个交点，所以不符题意，所以 m≠0，所以直线 l 的斜率
为1
푚，
因此直线 MN 的斜率为﹣m（m≠0），由点斜式方程可得直线 l'的方程为 y﹣0＝﹣m（x
﹣2），即 mx+y﹣2m＝0，
联立抛物线的方程 y2＝4x，消去 y，可得 m2x2﹣（4m2+4）x+4m2＝0，设 M（x3，y3），N（x4，y4），可得 x3+x4 =
4푚2 + 4
푚2 ，x3x4＝4，则 y3﹣y4＝m（2﹣x3）﹣
m（2﹣x4）＝﹣m（x3﹣x4），
因此|y3 ﹣y4|＝|m|•|x3 ﹣x4|＝|m|• (풙ퟑ + 풙ퟒ)ퟐ ― ퟒ풙ퟑ풙ퟒ = |m|• (
4푚2 + 4
푚2 )ퟐ ― ퟒ × ퟒ =
|푚|
푚2
(ퟒ + ퟒ풎ퟐ)ퟐ ― ퟏퟔ풎ퟐ =
1
|푚| ퟏퟔ + ퟑퟐ풎ퟐ，
所以 S2 =
1
2|PF|•|y3﹣y4| =
1
2 × 1 ×
1
|푚| ퟏퟔ + ퟑퟐ풎ퟐ =
2
|푚| ퟐ풎ퟐ + ퟏ，
所 以 S1S2 ＝ 2 풎ퟐ + ퟐ•
2
|푚| ퟐ풎ퟐ + ퟏ = 4
(푚2 + 2)(2푚2 + 1)
푚2 = 4 ퟓ + ퟐ풎ퟐ +
2
푚2 ≥ 4
ퟓ + ퟐ ퟐ풎ퟐ ⋅
2
푚2 = 4 ퟓ + ퟐ × ퟐ = 12，
当且仅当 2m2 =
2
푚2即 m＝±1 时等号恒成立，
所以 S1S2 的最小值为 12．
21．已知函数 g（x）＝ex﹣ax2﹣ax，h（x）＝ex﹣2x﹣lnx．其中 e 为自然对数的底数．
（1）若 f（x）＝h（x）﹣g（x）．
①讨论 f（x）的单调性；
②若函数 f（x）有两个不同的零点，求实数 a 的取值范围．
（2）已知 a＞0，函数 g（x）恰有两个不同的极值点 x1，x2，证明：풙ퟏ + 풙ퟐ＜풍풏(ퟒ풂ퟐ
)．
【分析】（1）①求出 f（x）并求导，解关于导函数的不等式即可得到单调区间；②显
然 a＞0，分析可知只需 f（x）的最小值小于 0 即可满足条件，进而得解；
（2）依题意，将所证不等式转化为证明(풙ퟏ ― 풙ퟐ)풆
푥1―푥2
2 ＞풆풙ퟏ―풙ퟐ ―ퟏ，再通过换元构造新
函数即可得证．解：（1）f（x）＝h（x）﹣g（x）＝ex﹣2x﹣lnx﹣ex+ax2+ax＝ax2+（a﹣2）x﹣lnx（x＞
0），
①풇′(풙) = ퟐ풂풙 + (풂 ― ퟐ) ―
1
푥 = 2푎푥2 + (푎 ― 2)푥 ― 1
푥 =
(2푥 + 1)(푎푥 ― 1)
푥 （x＞0），
（i）当 a≤0 时，f′（x）＜0，函数 f（x）在（0，+∞）上递减；
（ii）当 a＞0 时，令 f′（x）＞0，解得풙＞
1
푎；令 f′（x）＜0，解得ퟎ＜풙＜
1
푎，
∴函数 f（x）在(ퟎ，
1
푎)递减，在(
1
푎， + ∞)递增；
综上，当 a≤0 时，函数 f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当 a＞0 时，函数 f（x）在(ퟎ，
1
푎)上单调递减，在(
1
푎， + ∞)上单调递增；
②由①知，若 a≤0，函数 f（x）在（0，+∞）上单调递减，不可能有两个不同的零点，
故 a＞0；
且当 x→0 时，f（x）→+∞；当 x→+∞时，f（x）→+∞；
故要使函数 f（x）有两个不同的零点，只需풇(풙)풎풊풏 = 풇(
1
푎) = 풂 ⋅ (
1
푎)ퟐ +
푎 ― 2
푎 ―풍풏
1
푎＜ퟎ，
即풍풏풂 ―
1
푎 +ퟏ＜ퟎ，
又函数풚 = 풍풏풙 ―
1
푥 +ퟏ在（0，+∞）上为增函数，且풍풏ퟏ ―
1
1 +ퟏ = ퟎ，故풍풏풂 ―
1
푎 +ퟏ＜ퟎ
的解集为（0，1）．
故实数 a 的取值范围为（0，1）；
（2）证明：g′（x）＝ex﹣2ax﹣a，依题意，{풆풙ퟏ ― ퟐ풂풙ퟏ ― 풂 = ퟎ
풆풙ퟐ ― ퟐ풂풙ퟐ ― 풂 = ퟎ，两式相减得，ퟐ풂 =
푒
푥1 ― 푒
푥2
푥1 ― 푥2
(풙ퟏ＜풙ퟐ)，
要证풙ퟏ + 풙ퟐ＜풍풏(ퟒ풂ퟐ)，即证
푥1 + 푥2
2 ＜풍풏ퟐ풂，即证풆
푥1+푥2
2 ＜푒
푥1 ― 푒
푥2
푥1 ― 푥2
，两边同除以풆풙ퟐ，即证(풙ퟏ ― 풙ퟐ)풆
푥1―푥2
2 ＞풆풙ퟏ―풙ퟐ ―ퟏ，
令 t＝x1﹣x2（t＜0），即证풕풆
푡
2 ― 풆풕 +ퟏ＞ퟎ，
令풉(풕) = 풕풆
푡
2 ― 풆풕 +ퟏ(풕＜ퟎ)，则풉′(풕) = ― 풆
푡
2[풆
푡
2 ―(
푡
2 +ퟏ)]，
令풑(풕) = 풆
푡
2 ―(
푡
2 +ퟏ)，则풑′(풕) =
1
2(풆
푡
2 ―ퟏ)，
当 t＜0 时，p′（t）＜0，p（t）在（﹣∞，0）上递减，
∴p（t）＞p（0）＝0，
∴h′（t）＜0，
∴h（t）在（﹣∞，0）上递减，
∴h（t）＞h（0）＝0，即풕풆
푡
2 ― 풆풕 +ퟏ＞ퟎ，故풙ퟏ + 풙ퟐ＜풍풏(ퟒ풂ퟐ)．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．如果多做，则按所做
的第一题计分．[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．以平面直角坐标系 xOy 的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴并取相同的单位长度建
立极坐标系，已知过点 A（﹣1，﹣2）且斜率为 1 的直线 l1 与曲线 C：{풙 = ퟑ + ퟒ풄풐풔휶，
풚 = ퟒ + ퟒ풔풊풏휶
（α 是参数）交于 P，Q 两点，与直线 l2：ρcosθ+2ρsinθ+4＝0 交于点 N．
（1）求曲线 C 的普通方程与直线 l2 的直角坐标方程；
（2）若 PQ 的中点为 M，比较|PQ|与|MN|的大小关系，并说明理由．
【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转
换．
（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用和弦长公式的应用求出|MN|和|PQ|的长，
进一步比较出结果．
解：（1）曲线 C：{풙 = ퟑ + ퟒ풄풐풔휶，
풚 = ퟒ + ퟒ풔풊풏휶 （α 是参数）转换为直角坐标方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16．
直线 l2：ρcosθ+2ρsinθ+4＝0 根据{풙 = 흆풄풐풔휽
풚 = 흆풔풊풏휽 转换为直角坐标方程为 x+2y+4＝0．
（2）已知过点 A（﹣1，﹣2）且斜率为 1 的直线 l1 的直角坐标方程为 x﹣y﹣1＝0．
所以{ 풙 ― 풚 ― ퟏ = ퟎ
(풙 ― ퟑ)ퟐ + (풚 ― ퟒ)ퟐ = ퟏퟔ ，整理得 x2﹣8x+9＝0，
设点 P（x1，y1），Q（x2，y2），
所以中点 M（
푥1 + 푥2
2 ，
푦1 + 푦2
2
），
根据一元二次方程根和系数关系式的应用，
解得 x1+x2＝8，x1x2＝9，
整理得：M（4，3）．
联立{풙 + ퟐ풚 + ퟒ = ퟎ
풙 ― 풚 ― ퟏ = ퟎ ，解得{풙 = ―
2
3
풚 = ―
5
3
，即 N（ ―
2
3， ―
5
3），
所以|MN| = ( ―
2
3 ― ퟒ)ퟐ + ( ―
5
3 ― ퟑ)ퟐ = 14 2
3
．
根据弦长公式：|PQ| = ퟏ + 풌ퟐ|풙ퟏ ― 풙ퟐ| = ퟏ + ퟏퟐ ⋅ (풙ퟏ + 풙ퟐ)ퟐ ― ퟒ풙ퟏ풙ퟐ = ퟐ ퟏퟒ．
由于14 2
3 ―ퟐ ퟏퟒ = ퟐ ퟐ(
49
9 ― ퟕ)＜ퟎ，
所以|PQ|＞|MN|．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知函数 f（x）＝3|x﹣2|﹣3．
（1）求不等式1
3[풇(풙) + ퟑ]＞|x+1|的解集；
（2）若关于 x 的不等式 f（x）≥mx+m 恒成立，求实数 m 的取值范围．【分析】（1）不等式1
3[풇(풙) + ퟑ]＞|x+1|化为|x﹣2|＞|x+1|，去掉绝对值求出 x 的取值范
围；
（2）画出函数 f（x）与函数 y＝mx+m 的图象，结合图象求出满足条件时 m 的取值范
围．
解：（1）由函数 f（x）＝3|x﹣2|﹣3，则不等式1
3[풇(풙) + ퟑ]＞|x+1|可化为1
3[3|x﹣2|﹣3+3]
＞|x+1|，
得|x﹣2|＞|x+1|，
等价于（x﹣2）2＞（x+1）2，
整理得 6x＜3，
解得 x＜
1
2，
所以所求不等式的解集为（﹣∞，1
2）；
（2）函数 f（x）＝3|x﹣2|﹣3 = {ퟑ풙 ― ퟗ，풙 ≥ ퟐ
ퟑ ― ퟑ풙，풙＜ퟐ ；
画出函数 f（x） = {ퟑ풙 ― ퟗ，풙 ≥ ퟐ
ퟑ ― ퟑ풙，풙＜ퟐ 与函数 y＝mx+m 的图象，如图所示；
由图象知函数 y＝f（x）图象的最低点 N（2，﹣3），
函数 y＝mx+m 可化为 y＝m（x+1），其图象恒过点 M（﹣1，0），又直线 MN 的斜率为 ―3 ― 0
2 ― ( ― 1) = ― 1，．
直线 y＝m（x+1）以 M（﹣1，0）为中心，在直线 l 和 MN 之间转动时（含边界）满足
条件；否则不满足条件；
所以﹣3≤m≤﹣1，
即不等式 f（x）≥mx+m 恒成立时，实数 m 的取值范围是[﹣3，﹣1]．
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