数学试题（文科） 第 1 页，共 18 页
惠州市 2020 届高三第一次模拟考试
文科数学 2020.6
全卷满分 150 分，时间 120 分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在
答题卡上。
2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂
黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。
3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在
本试卷上无效。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．设集合 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知 为虚数单位，下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知 ，则 是 的（ ）条件。
A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
4．已知数据 的方差为 4，若 ，
则新数据 的方差为（ ）
A. B. C. D.
5．函数 的图象大致形状是（ ）
A B C D
{ }| 0A x x= > { }| 1B x y x= = − A B =
{ }| 0x x > { }| 0 1x x< ≤ { }| 0 1x x≤ < { }| 1x x ≥
i
(1 )i i+ 2(1 )i i− 2 2(1 )i i+ 2 3 4i i i i+ + +
,a b R∈ a b ( ) 2f x a x< ⋅ a数学试题（文科） 第 6 页，共 18 页
21．（本小题满分 12 分）
已知椭圆 ： 的两个焦点分别是 ，
直线 ： 与椭圆交于 两点．
（1）若 为椭圆短轴上的一个顶点，且 是直角三角形，求 的值；
（2）若 ，且 ，求证： 的面积为定值．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。
答题时请在答卷中写清题号并将相应信息点涂黑。
22．（本小题满分 10 分）[选修 4－4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）．以坐标
原点 O 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
（1）求曲线 的普通方程和 的直角坐标方程；
（2）设 是曲线 上一点，此时参数 ，将射线 绕坐标原点 逆时针旋转 交曲
线 于点 ，记曲线 的上顶点为 ，求 的面积。
23．（本小题满分 10 分）[选修 4－5：不等式选讲]
已知函数 ．
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）设 ， ， 的最小值为 ，若 ，求 的最小值。
C
2
2
2 1( 0, 1)x y a aa
+ = > ≠ 1 2F F、
l ( , )y kx m k m R= + ∈ A B、
M 1 2MF F∆ a
=2a 1
4OA OBk k⋅ = − OAB∆
xOy 1C 2 cos
sin
x
y
ϕ
ϕ
= =
ϕ
x 2C 2ρ =
1C 2C
P 1C 4
πϕ = OP O 3
π
2C Q 1C T OTQ∆
( ) | 2 | | |f x x a x a= + + −
1a = ( ) 4 | 2 |f x x≥ − +
0a > 0b > ( )f x t 3 3t b+ = 1 2
a b
+数学试题（文科） 第 7 页，共 18 页
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文科数学参考答案与评分细则
一、选择题：
1.【解析】集合 B= ，则 A = ，故选 A ．
2.【解析】对于 A， 不是纯虚数；对于 B， 是实数；
对于 C， 为纯虚数；对于 D， 不是纯虚
数．故选 C．
3.【解析】若 ，则 ，则 是 成立的必要不充分条件，
故选 B．
4.【解析】新数据 的方差为： ．故选 A．
5.【解析】 根据指数函数图象，可知选 B．
另解： ，可排除 CD， ，可排除 A，故选 B．
6.【解析】根据“柱脚”的三视图可知，该“柱脚”是由半圆柱和一个三棱柱组合而成，半圆柱
的底面半圆的直径为 ，高为 ，故半圆柱的体积为 ，三棱柱的底面三
角形的一边长为 ，该边上的高为 ，该三棱柱的高为 ，故该三棱柱体积为
，所以该“柱脚”的体积为 ．故选：C．
7.【解析】 根据正弦定理得：
即：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A C B A B C D A C D A A
}{ 1x x ≥ B∪ { }0x x >
(1 ) 1i i i+ = − 2 2(1 ) 2 2i i i+ = = −
2 2(1 ) 2i i i+ = − 2 3 4 1 1 0i i i i i i+ + + = − − + =
2 2log loga b< 0 a b< < a b< 0 a b< <
1 2 2020,y y y， 2( 2) 4=16− ×
, 0
, 0
x
x
xy
x
π
π
>= − 1( 1) 1f π− = − > −
4 2 21 2 2 42 π π× × × =
4 2 2
1 4 2 2 82
× × × = 8 4π+
2 )cos cos ,a c B b C− =（
2sin sin )cos sin cos ,A C B B C− =（
2sin cos sin cos cos sinA B B C B C= + 2sin cos sin( ) sin ,A B B C A∴ = + =数学试题（文科） 第 8 页，共 18 页
又 ，
故
选 D.
8. 【 解 析 】 易 知 푓(푥)是 偶 函 数 ， 不 等 式 等 价 为 ， 当 时 ，
在区间 上单调递增， 解得： .故选 A.
9.【解析】 点퐴在抛物线 上，且 ，点푃在抛物线的准线上，
由抛物线的定义可知： ，设 则 解得： ，
又 直线푙的斜率为 .故选
C.
10.【解析】 选项 A 错误，同时和一个平面平行的两条直线不一定平行，可能相交，可能异
面；选项 B 错误，两平面平行，两平面内的直线不一定平行，可能异面；
选项 C 错误，一个平面内垂直于两平面交线的直线，只有在两个平面互相垂直时才与另一
个平面垂直；选项 D 正确，由 得 又 故选 D.
11.【解析】函数 的最小正周期为 ，可得 ， 向右平移 个单位后得到的
函数为 ，此函数为奇函数，又 ，所
以 故函数 ， 正确； 的递
增区间为 ，故 B 错；
10 , sin 0, cos 2A A Bπ< < ∴ > ∴ =
10 , , | | | | cos cos 2 3 3.3 3 2B B AB BC AB BC B ac
π ππ< < ∴ = ∴ = − ⋅ = − = − × × = −
∴ )3
1(|)12(| fxf x
xexf x +=)( ),0[ +∞ ,3
1|12|
0
1 1 0m
∆ >
− + >
2m > ( )2,+∞
21 +67
' xy e= 1xe = 0x = ( )0,1 1m =
( 1,2)a b− = − ( ) ( 1) ( 1) 3 2 0a b a x∴ − ⋅ = − × − + × = 7x =
( )2 0.05 0.15 0.05 1x+ + + = 0.25x =数学试题（文科） 第 10 页，共 18 页
所以学习时长在 的频率 ，解得 .
16.【解析】椭圆的 ，若动点 Q 满足 且
，
可得 三点共线，且同向，由 ，可
得 Q 的轨迹为以 为圆心，6 为半径的圆，双曲线 的一条渐近线方程设为
，由圆心到渐近线的距离为 ，所以点 到双曲线
一条渐近线距离的最大值为 。
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，
每个考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17．（本小题满分 12 分）
【解析】（1）解法一：设等差数列 的公差为 ，
由 知 ，得 ，……………………2 分
又由 ，得 ， ……………………3 分
由上可得等差数列 的公差 ，………………4 分
………………………………………………………6 分
解法二：设等差数列 的公差为 ，
由 知 ，得 ，………………………2 分
由 ，得 ，可得 ，………………4 分
[ )9,11 252 0.5x n
= = 50n =
13, ( 1,0)a F= −
1 ( R, 0)F P PQλ λ λ= ∈ >
2| |=| |PQ PF
1, ,F P Q 1 1 2 1| | | | | | | | | | 2 6QF PQ PF PF PF a= + = + = =
1F
2 2
14 3
x y− =
3 2 0x y− = 3 21= 73+4
Q
2 2
14 3
x y− = 21 +67
{ }na d
1 3 2=2a a a+ 3 23 9S a= = 2 3a =
4 5 6 5+ =3 27a a a a+ = 5 9a =
{ }na 5 2 25 2
a ad
−= =−
2 ( 2) 2 1na a n d n∴ = + − = −
2 1na n∴ = −
{ }na d
1 3 2=2a a a+ 3 23 9S a= = 2 3a =
4 5 6 3+ 18a a a S+ − = 9 18d = 2d =
2 ( 2) 2 1;na a n d n∴ = + − = −数学试题（文科） 第 11 页，共 18 页
…………………………………………………………6 分
（2）由题意得， ………………………………7 分
所以 …………………9 分
…………11 分【两个求和公式各 1
分】
所以 …………………………………………………………12 分
18.（本小题满分 12 分）
【解析】（1）证明：由已知可得
--------------------1 分
，且 面 ABCD，
，---------------------------------------2 分
， ，---------------------3 分
， ， -----4 分【步骤不全，本得分
点不给分】
∴ ----------------------------------------------------5 分
，所以 -----------------6 分
（2）解法一：
又 平面 ， 平面 ，
2 1na n∴ = −
2 2(2 1) 4 4 1nb n n n= − = − +
2 2 24(1 2 ) 4(1 2 )nT n n n= + + + − + + + +
( 1)(2 1) ( 1)4 46 2
n n n n n n
+ + += × − × +
( )2
3
( 1)(2 1) 1 4 24 4 1 2 2 2 16 2 3 3
4
3
n n n n n n n n
n n
+ + + = × − × + = + + − + +
−=
nT = 34
3
n n−
2 2BD BC= =
BCBDCDBCBD ⊥∴=+∴ ,222
/ /FC EA AE ⊥
FC ABCD∴ ⊥ 面
BC ABCD⊂ 面 BD FC∴ ⊥
FC BC C= BC BCF⊂ 面 FC BCF⊂ 面
BD BCF⊥ 面
BD BDF⊂且 面 BDF BCF⊥面 面
EA AD EA CD⊥ ⊥，
ADCDABADCDAB ⊥∴⊥ ,,//
EA ⊂ EAD AD ⊂ EAD EA AD A=
A B
C
D
E
F
A B
C
D
E
F
A B
C
D
E
F数学试题（文科） 第 12 页，共 18 页
…………………………………………7 分
又 平面 ，
即三角形 为直角三角形…………………………………………………8 分
设点 到平面 的距离为 ,
，……………………………………………………………9 分
即 ……………………………………………10 分
，……………………11 分
点 到平面 的距离为 2. ………………………………………12 分
解法二： ， 面 ， 面 ，所以 面
则点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离，………………7 分
过 作 ，垂足为 ，
面 ， 面 ， 面
又 面 ， 面 ，
面 ………………………………………………………8 分
又 面 ，
又 ， 平面 ， 平面 ，
，
则 为点 到平面 的距离…………………9 分【上述证明过程可适当简化】
，
，即 到平面 的距离为 2， ……………………………11 分
点 到平面 的距离为 2. ………………………………………………12 分
EADCD 平面⊥∴
ED ⊂ EAD CD DE∴ ⊥
ECD
B ECD h
BCDECDEB VV −− =∴
BCDCDE SAESh ∆∆ ⋅⋅=⋅
3
1
3
1
1
2 42 21 4 2
2
BCD
CDE
AE CD ADAE Sh S CD DE
∆
∆
⋅ ⋅ ⋅⋅ ×∴ = = = =
⋅ ⋅
∴ B ECD
/ /AB CD AB ⊄ ECD CD ⊂ ECD / /AB ECD
B ECD A ECD
A DEAM ⊥ M
EA ⊥ ABCD AD ⊂ ABCD CD ⊂ ABCD
CDEAADEA ⊥⊥∴ ，
ADCDABADCDAB ⊥∴⊥ ,,//
EA ⊂ EAD AD ⊂ EAD EA AD A=
CD∴ ⊥ EAD
AM ⊂ EAD CD AM∴ ⊥
DEAM ⊥ ED ⊂ ECD CD ⊂ ECD ED CD D=
ECDAM 平面⊥∴
AM A ECD
2AD AE= = EA AD⊥
2=∴ AM A ECD
∴ B ECD数学试题（文科） 第 13 页，共 18 页
【解法二的给分要点为：写出距离的平行转移得 1 分，作出并证明 AM 为点面距离得 2 分，
计算出 AM 得 2 分，回答所求结果 1 分】
19.（本小题满分 12 分）
【解析】（1）根据题意填写 2×2 列联表如下，
选做 22 题 选做 23 题 合计
文科人数 110 40 150
理科人数 800 100 900
总计 910 140 1050
…………2 分
由表中数据，计算 ，……………………………………3
分
………………………………………………………4 分
……………………………………………………5 分
所以有 的把握认为“选做题的选择”与“文、理科的科类”有关；…………………6 分
（2）由分层抽样的方法可知在被选取的 6 名学生中理科生有 4 名，文科生有 2 名，…………7
分
记 4 名理科生为 a、b、c、d，2 名文科生为 E、F，
从这 6 名学生中随机抽取 2 名，全部可能的基本事件共 15 种……………………………8
分
分 别 是 ： ab 、 ac 、 ad 、 aE 、 aF 、 bc 、 bd 、 bE 、 bF 、 cd 、 cE 、 cF 、 dE 、 dF 、
EF…………9 分
【本步骤没有列举或列举不全，本得分点不给分】
被抽中的 2 名学生均为理科生的基本事件是：ab、ac、ad、bc、bd、cd，有 6
种，……10 分
故 所 求 的 概 率 为
2
2 1050 (110 100 800 40)
910 140 150 900K
× × − ×= × × ×
350 26.92313
= ≈
26.923 10.828>
0 099.9数学试题（文科） 第 14 页，共 18 页
………………………………………………………………11 分
所以被抽中进行测试的 2 名学生均为理科生的概率为 ………………………………12
分
20.（本小题满分 12 分）
【解析】（1）当 时，函数
..................1 分
当 时， ，当 时， ，...................2 分
所以函数 的单调增区间为 ，单调减区间为 ...............3 分
x
＋ 0
单调增 极大值 单调减 .......4 分
【注意：无列表，本得分点不给分】
当 时，函数 取极大值 ，无极小值. ....................5 分
（2）令 ，
根据题意，当 时， 恒成立．
...................6 分
①当 ， 时， 恒成立，
6 2.15 5P = =
2
5
1a = − 2( ) ln , (0, ),f x x x x x= − + − ∈ +∞
21 2 1 (2 1)( 1)'( ) 2 1 ,x x x xf x x x x x
+ − − += − + − = − = −
'( ) 0f x > 10 2x< < '( ) 0f x < 1
2x >
( )f x 1(0, )2
1( , )2
+∞
1(0, )2
1
2
1( , )2
+∞
'( )f x −
( )f x
1
2x = ( )f x 1 3( ) ln 22 4f = − −
2( ) ( ) 2 ln (1 2 )g x f x ax ax x a x= − = + − +
(1, )x∈ +∞ ( ) 0g x <
' 1 (2 1)( 1)( ) 2 (2 1) ax xg x ax a x x
− −= − + + =
10 2a< < 1( , )2x a
∈ +∞ '( ) 0g x >数学试题（文科） 第 15 页，共 18 页
所 以 在 上 是 增 函 数 ， 且 ， 所 以 不 符 合 题
意；...............8 分
②当 ， 时， 恒成立，
所以 在 上是增函数，且 ，所以不符合题意； .............10
分
③当 时， ，恒有 ，故 在 上是减函数，
于是 对任意 都成立”的充要条件是 ，
即 ，解得 ，.......................................................................11 分
故 ． ...............................................................................................12 分
21.（本小题满分 12 分）
【解析】（1） 为椭圆短轴上的一个顶点，且 是直角三角形，
所以 为等腰直角三角形， .....................1 分
当 时， ，解得 ， .....................................2 分
当 时， ，解得 ；..............................3 分
所以 或 .............................................................................4 分
（2）证明：当 时， ，设
， ........................................................................5 分
由 ，整理得 ................................6 分
，
( )g x 1( , )2a
+∞ 1( ) ( ( ), )2g x g a
∈ +∞
1
2a ≥ (1, )x∈ +∞ '( ) 0g x >
( )g x (1, )+∞ ( ) ( (1), )g x g∈ +∞
0a < (1, )x∈ +∞ '( ) 0g x < ( )g x (1, )+∞
( ) 0g x < (1, )x∈ +∞ (1) 0g ≤
(2 1) 0a a− + ≤ 1a ≥ −
1 0a− ≤ <
M 1 2MF F∆
1 2MF F∆ 1OF OM∴ =
1a > 2 1 1a − = 2a =
0 1a< < 21 a a− = 2
2a =
2a = 2
2
2a = 2 24 4x y+ = 1 1 2 2( , ) , ( , ) A x y B x y 1 2 1 24x x y y∴ = −
1
4OA OBk k⋅ = −
1 2
1 2
1
4
y y
x x
∴ ⋅ = −
2 24 4x y
y kx m
+ =
= +
2 2 2(1 4 ) 8 4 4 0k x kmx m+ + + − =
' 2 264 16 16 0k m∆ = − + >数学试题（文科） 第 16 页，共 18 页
，......................................................................7 分
.............................................................8 分
................9 分
....................................................................................................10 分
到直线 的距离为 ，....................................11 分
所以 的面积为定值 1. ...........................................................................................12 分
22．（本小题满分 10 分）
【解析】（1）由 ，--------------------------------------------1 分
所以 的普通方程为 ，---------------------------2 分
由 -----------------------------------------------------3 分
可得 --------------------4 分
（2）设点 的横坐标为 ，则由已知可得 ，
2
1 2 1 22 2
8 4 4, 1 4 1 4
km mx x x xk k
− −∴ + = =+ +
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2( )( ) ( )y y kx m kx m k x x km x x m∴ = + + = + + +
2 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2
4 4 8 4
1 4 1 4 1 4
m k k k m m kmk k k
− − −= + + =+ + +
2 2 2
2 2
2 2
4 4 44 2 4 11 4 1 4
m m k m kk k
− −∴ = − × ∴ − =+ +
2
2 2 2 2
1 2 1 2 2 2
8 4 41 ( ) 4 1 ( ) 41 4 1 4
km mAB k x x x x k k k
− −∴ = + ⋅ + − = + ⋅ −+ +
2 2
2
2
4 14 1 1 4
k mk k
+ −= + ⋅ +
2 2
2
4 1
1 4
k m
k
+ ⋅= +
O y kx m= +
2
2 21 4 1 4
m md
k k
= =
+ +
2 2 2 2
2 22
1 1 4 1 2 12 2 1 4 1 41OAB
k m m mS AB d k kk
∆
+ ⋅∴ = = = =+ ++
OAB∆
2 2cos sin 1ϕ ϕ+ =
1C
2
2 12
x y+ =
2 2 2x yρ = +
2 2
2 : 2C x y+ =的直角坐标方程为
Q Qx 1 | | | |2OTQ QS OT x∆ = ⋅数学试题（文科） 第 17 页，共 18 页
且直角坐标 ，极坐标 ，-----------------------------------------------------6
分
其中 ，极坐标 ，-------------------------------------8 分
， ----------------------------------------------------------------9
分
所以 ---------------------------------------------------10
分
【注意：点 P 的极角不是 ，点 Q 的极角不是 】
23．（本小题满分 10 分）
【解析】（1）当 时， ，
则不等式 ，可化为： .-------------------------------
-1 分
①当 时， ，解得： ，即 ；---
---2 分
②当 时， ，解得： ，即 ；
----3 分
③当 时， ，解得： ，即 .----------------
---4 分
所以不等式 的解集为 ----------------------------
1(1, )
2
P 6( , )2P θ
1 2sin ,cos
3 3
θ θ= = ( 2, )3Q
πθ +
1 12 cos( )3 3 2Qx
πθ= + = −
1 1 1 2 31 ( ) .2 4 63 2OTQS∆ = × × − = −
4
π
4 3
π π+
1a = ( ) | 2 | | 1|f x x x= + + −
( ) 4 | 2 |f x x≥ − + 2 | 2 | | 1| 4x x+ + − ≥
2x ≤ − 2 | 2 | | 1| 3 3 4x x x+ + − = − − ≥ 7
3x ≤ − 7
3x ≤ −
2 1x− < < 2 | 2 | | 1| 5 4x x x+ + − = + ≥ 1x ≥ − 1 1x− ≤ <
1x ≥ 2 | 2 | | 1| 3 3 4x x x+ + − = + ≥ 1
3x ≥ 1x ≥
( ) 4 | 2 |f x x≥ − + [ )7, 1,3
−∞ − − +∞ 数学试题（文科） 第 18 页，共 18 页
---5 分
【注 1：若计算结果错误，分段讨论区间正确可得 1 分】
【注 2：若结果不是区间或集合的形式，至少扣 1 分】
（2） ----------------------------------------------6
分
的最小值为 ， ， 即 ，-----------------------------7
分
且
----------------------8 分
当且仅当 ，
即 ， 时取等号---------9 分【没有此步骤，本得分点不给分】
故 ---------------------------------------------------------------------------10
分
( ) | 2 | | | | ( 2 ) ( ) | 3f x x a x a x a x a a= + + − ≥ + − − =
( )f x t 3t a∴ = 3 3 3a b∴ + = 1a b+ =
0, 0a b> >
1 2 1 2 2 2( )( ) 3 2 3 2 2 3b a b aa ba b a b a b a b
∴ + = + + = + + ≥ ⋅ + = +
2b a
a b
=
2 1a = − 2 2b = −
min
1 2( ) 2 2 3.a b
+ = +
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