2020年三明市高三毕业班质量检查测试文科数学答案及评分细则.pdf

文科数学答案 第 1 页 （共 7 页） 2020 年三明市高三毕业班质量检查测试 文科数学参考答案和评分细则 评分说明： 1. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要 考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和 难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半； 如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4．只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C B A D D B D A A C C 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13． 2 14． 8 15． 3 4  16．①②④ 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：（1）设等差数列 na 的公差为 ( 0)dd ，因为 1 2 4,,S S S 成等比数列， 所以 41 2 2 SSS  ， .................................................... 1 分 所以 )()( 43211 2 21 aaaaaaa  ， 那么  )64(2 11 2 1 daada  ， ....................................... 2 分 所以 2d  或 0d  （舍去）， .......................................... 4 分 又因为 1 1a  ， 则 2 1( *)na n n  N . ................................................ 5 分 （2）由（1）得 2 (2 1) 2nn nnb a n     ， 所以数列{}nb 的前 n 项和 nT  231 2 3 2 5 2 (2 1) 2nn         ①， ............... 6 分 文科数学答案 第 2 页 （共 7 页） nT2 2 3 11 2 3 2 2 3 2 (2 1) 2nnnn         （ ） ②， .............. 7 分 由①②相减得 2 3 12 2 2 2 2 2 2 (2 1) 2nn nTn            .............. 9 分 2 3 12 2(2 2 2 2 ) (2 1) 2nnn           2 12 (1 2 )2 (2 1) 212 n nn       ......................... 10 分 216 2 (2 1) 2nnn      16 (2 3) 2nn      ． ........... 11 分 所以 16 (2 3) 2n nTn    . ........................................... 12 分 18． （解法一） （解法二） 解法一：（1）取 BE 中点 F ，连接 PF ，QF ， 因为 //QF BC , BCAD // ，所以 //QF AD， ............................ 1 分 因为QF  平面 ADE ， AD  平面 ， 所以 //QF 平面 ， ............................................... 3 分 又 //PF AE ，同理可得 //PF 平面 ， ............................... 4 分 又 FPFQF  ，QF PF , 平面 PQF ， 所以平面 // 平面 ， ......................................... 5 分 又 PQ  平面 ，所以 //PQ 平面 . ............................. 6 分 （2）设点 P 到平面 ADE 的距离 d ,连接 AC 、 PD ， 因为 24AD , 2AP ， ABAD  ， 所以 42422 1 APDS ， ...................................... 7 分 又 EC  面 ABCD ，则 EC 为三棱锥 APDE  的高， 所以 4343 1 3 1   ECSV APDAPDE ， ............................ 8 分 文科数学答案 第 3 页 （共 7 页） 因为在 ABC 中， 22 BCAB ， BCAB  ， 所以 4AC ， ...................................................... 9 分 所以在直角 ACE 中， 5AE ， 因为在等腰三角形 ADE 中， 5DE AE， 42AD  ， 所以 34217242 1 ADES ， ................................ 10 分 因为 APDEADEP VV   ， .............................................. 11 分 所以 43423 1  d ，所以 17 343d . .............................. 12 分 （求距离也可以根据 DEQAADEQADEP VVV   ） 解法二：（1）分别取 AD ， DE 中点G ， I ，连接 BG ，QI ， 取 AG 的中点 H ，连接 PH ， IH ， 因为 为中位线，所以 BGPH // ， BGPH 2 1 ， .................... 1 分 同理 CDQI // ， CDQI 2 1 ， ........................................ 2 分 又 BCADGD  2 1 , BCAD // ，即 BCGD  ， BCGD// ， 所以四边形 BCDG 为平行四边形， ..................................... 3 分 所以 CDBG  ， CDBG // ，则 QIPH  ， QIPH // ， 所以四边形 HPQI 为平行四边形,，则 PQHI // ， ........................ 4 分 又 PQ  平面 ADE ， HI 平面 ， 所以 //PQ 平面 . ................................................ 6 分 （2）同解法一.….................................................... 12 分 19．解：（1）抛物线 2: 2 ( 0)C y px p的焦点 ( ,0)2 pF ..................... 1 分 因为焦点 到直线 4 3 4 0xy   的距离为 8 5 , 所以 5 8 34 424 22    p , ................................................. 3 分 解得 2p 或 6p  （舍去）． ........................................ 4 分 文科数学答案 第 4 页 （共 7 页） 所以抛物线C 的方程为 xy 42  ． ...................................... 5 分 (２)设 ),( 11 yxA ， )( 2,2 yxB ，依题意 0m  ， 联立方程组 2 4, 2, yx y mx     消去 y 得 04)44(22  xmxm ， ................................... 6 分 所以 0 ， 由韦达定理可得 221 44 m mxx  ， 221 4 mxx  ， ......................... 8 分 又因为 211  mxy ， 222  mxy ， 所以 12 12 12 yykk xx   ................................................. 9 分 12 12 22mx mx xx  ....................................... 10 分 1 2 1 2 12 2 2( )mx x x x xx  22 2 4 4 422 4 mm mm m     2 ................ 12 分 20．解：（1）根据揽收快件重量的频率分布直方图，得到其价格的频率分布表如下： 价格 8 10 12 14 16 频率 0.45 0.25 0.15 0.1 0.05 所以平均价格为8 0.45 10 0.25 12 0.15 14 0.1 16 0.05         ........ 2 分 10.1 元． ........................................... 4 分 （2）①表中数据填写如下： ................................................................... 6 分 计算可得：    222 2 2 1 0.4 0.2 0.4 0.3 0.1 0.46Q         ； ..................... 7 分    222 2 0.1 0.1 0.1 0.03Q       ． ................................. 8 分 因为 21QQ ，所以模型乙的拟合效果较好. ............................. 9 分 每天揽收快递件数 ix /百件 2 3 4 5 8 每件快递的平均成本 iy /元 5.6 4.8 4.4 4.3 4.1 模型甲 预报值  1ˆiy 5.2 5.0 4.8 4.6 4.0 残差  1ˆie 0.4 0.2 0.4 0.3 -0.1 模型乙 预报值  2ˆiy 5.5 4.8 4.5 4.3 4.0 残差  2ˆie 0.1 0 0.1 0 -0.1 文科数学答案 第 5 页 （共 7 页） ②模型乙的回归方程为  2 4ˆ 3.5y x， 当一天揽收件数为 1000 时，则收发一件快递的平均成本为 43.5 3.910 ， .................................................................. 10 分 可以估计该网点当天的总利润为 10.1 3.9 1000 6200   元. ........... 12 分 21．解法一：（1）因为 ( ) ln ( 0)f x x ax x   ，所以 11'( ) axf x axx    .... 1 分 当 0a≤ 时， 0'( )fx ，即函数 ()fx在(0, ) 单调递增； ................ 3 分 当 0a  时，令 ，即10ax，解得 10 x a ； 令 0'( )fx ，即10ax，解得 1x a ， 综上所述：当 时，函数 在 单调递增； 当 时，函数 在 1(0, )a 单调递增，在 1( , )a  单调递减．. ......... 5 分 （2） 当 1a  时， ( ) ln ( 0)f x x x x   ， 欲证 3 4() 5f x x x ，只需证 3 4ln 5x x x x   ，即证明 3 01 ln5x x x   （*）， 令 3 1( ) ln ( 0)5h x x x x x    ， ...................................... 6 分 所以 3 2 1 1 15 5'( ) 3 55 xxh x x xx     ， ............................... 7 分 令 3( ) 15 5( 0)x x x x    ≥ ，易知函数 ()x 在[0, ) 单调递增， 又 (0) 5, (1) 11   ，所以存在唯一 0 (0,1)x  ，使得 0( ) 0x  ， ....... 9 分 所以当 0(0, )xx 时， ( ) 0x  ，即 '( ) 0hx ； 当 0( , )xx  时， ( ) 0x  ，即 '( ) 0hx ； 所以函数 ()hx 在 0(0, )x 单调递减，在 0( , )x  单调递增． 当 0xx 时， 3 min 0 0 0 0 1( ) ( ) ln5h x h x x x x    ， ...................... 11 分 文科数学答案 第 6 页 （共 7 页） 因为 0 (0,1)x  ，所以 0ln 0x  ，所以 0( ) 0hx  ，即 0( ) ( ) 0h x h x ≥ ， 所以不等式（*）成立，即当 1a  时， 3 4() 5f x x x . ................. 12 分 解法二：（1）同解法一. ............................................... 5 分 （2）当 1a  时， ( ) ln ( 0)f x x x x   ，由（1）知 ()fx在(0,1) 为增函数，在(1, ) 为 减函数，所以 max( ) (1) 1f x f   ，所以 ( ) 1fx ≤ ，即ln 1xx≤ . ....... 7 分 欲证 3 4() 5f x x x ，只需证 3 4ln 5x x x x   ，即证 3 1ln 5x x x ， 即证 3 11 5x x x   ，即只需证 3 4 105xx   （*）， .................... 8 分 令 3 4( ) 1( 0)5h x x x x    ，则 2 4'( ) 3 5h x x， 令 '( ) 0hx 得 2 15 15x  ；令 '( ) 0hx 得 2 150 15x ， 所以函数 ()hx 在 2 15(0, )15 为减函数，在 2 15( , )15  为增函数， ......... 10 分 所以 min 2 15 16 15( ) ( ) 1 015 225h x h    ，所以不等式（*）成立， 即当 时， 3 4() 5f x x x .. ..................................... 12 分 22．（1）将曲线 1C 的参数方程化成普通方程: 2 2 1x m y   , P 的直角坐标为(1,1) . 因为 P 在 1C 上，所以 21 1 1m   ，解得 1m  ． ....................... 3 分 因为 P 在 2C 上，所以 2= 2n ，解得 1n  ． .......................... ５分 （2）曲线 1C 化为极坐标方程： 2cos ． ............................. 6 分 设 A 的极坐标为 11( , ) ， B 的极坐标为 22( , ) ，则 112cos ， 222sin ． 因为 A ， B 分别是 0 与 1C ， 2C 的交点，所以 1 2 0  ． 文科数学答案 第 7 页 （共 7 页） 所以 10 20 2cos , 2sin .      ................................................... 8 分 故  1 2 0 0 02 2 4cos 2sin 2 5sinOA OB             ， ......... 9 分 其中 为锐角，且 tan 2  ． 因为  0sin 1 ≤ ，当 0 = 2  时等号成立． 所以 2 OA OB 的最大值为 25． ................................... 10 分 23.（1）当 3x  时，原不等式化为    3 2 3 3 0xx      ， 解得 3x  ； ..................................................... 1 分 当 33 2x  ≤ 时，原不等式化为   3 2 3 3 0xx     ， 解得 3x  ，故此时 x  ； ........................................ 2 分 当 3 2x ≥ 时， 原不等式化为   3 2 3 3 0xx     ， 解得 3x  ． ....................................................... 3 分 所以，  33M x x x   或 ． .................................. 5 分 （2）欲证 33mn m n   成立,只需证   2233mn m n   成立． ................................................................... 6 分 因为   2233mn m n   2 2 2 23 3 9m n m n    ............................................ 7 分   2233mn   ............................................... 8 分 又由 ,m n M ，得 2 3m  ， 2 3n  ． .................................. 9 分 所以   223 3 0mn m n    ，即   2233mn m n   成立， 所以 33mn m n   成立． ...................................... 10 分