六年级下册数学素材-数与代数概念部分（西师大版）

西师大版六年级数学下册知识要点总结 知识点总结 总复习（数与代数概念部分） 一、数的意义： 1、整数：像—3、—2、—1、0、1、2、3……这样的数统称为整数。整数 的个数是无限的。没有最小的整数，也没有最大的整数，自然数是整数的 一部分。 2、自然数：用来表示物体个数的数。像 1、2、3、4、5……叫做自然数。 一个物体也没有用 0 表示。自然数的个数是无限的，最小的自然数是 0，没 有最大的自然数。 3、小数：把整数“1”平均分成 10 份、100 份、1000 份……这样的一分或 几份的数是十分之几、百分之几、千分之几……可以用小数表示。 4、小数的分类： （1）纯小数和带小数：整数部分是 o 的小数叫做纯小数，整数部分不是 o 的小数叫做带小数。 （2）有限小数和无限小数：小数部分的位数是有限的小数叫做有限小数； 小数部分的位数是无限的小数叫做无限小数。 （3）循环小数：一个小数，从小数部分的某一位起一个数字或几个数字依 次不断地重复出现，这样的小数叫做循环小数。 （4）循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这 个小数的循环节。 (5）纯循环小数和混循环小数：循环节从小数部分第一位开始的，叫做 纯循环小数；循环节不是从第一位开始的，叫做混循环小数。 5、计数单位：个、十、百、千以及十分之一、百分之一、千分之一都是计 数单位。 6、数位：各个计数单位所占的位置叫做数位。 7、十进制计数法：“十进制计数法”是世界各国最常用的一种计数方法。 它的特点是每相邻的两个计数单位之间的进率都是“十”就是 10 个较低的 计数单位可以进成一个较高的计数单位（既通常说的“逢十进一”），这 种以“十”为基础进位的计数方法，叫做十进制计数法。 8、整数和小数数位顺序表： 9、分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做 分数。 （1）分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份的数就是 这个分数的分数单位。 （2）分数的分类：真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于 1。假分数：分子比分母大或者分子等于分母的分数叫做假分数，假分数≧ 1 10、百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数，百分数 也叫百分率或百分比。百分数的分数单位是 1%。百分数的分母是 100。 11、分数和百分数的关系：分数既可以表示一个数（后面可加数量单位）； 也可以表示两个数的比（两数之间的关系）。而百分数只表示一个数占另 一个数的百分比（两数之间的关系），不能表示具体的数。因此百分数不 带单位。 12、 正 数 和 负 数 ： 像 1/3、 +2、 0.5、 +4.5… 这 样 的 数 叫 做 正 数 ； 像 ― 1/2、―5.5、―6…这样的数叫做负数。 （不能认为：一个数的前面加上“+”号这个数就是正数，也不能认为： 一个数的前面加上“—”号这个数就是负数）。比如：“—a”这个数我们就不能判断是负数，因为 a 可能：是正数、是负数、0 都有可能；所以我们 无法判断。 自然数是等于或大于 0 的整数，也可以说是不小于 0 的整数，既是非负整 数。0 既不是正数也不是负数。 二、数的读法和写法。 1、读法：从高位到低位，一级一级的往下读，每一级末尾的 0 都不读出来， 其他数位的连续的几个 0 都只读一个。 2、写法：从高位到低位，一级一级的往下写，哪一个数位上一个单位也没 有，就在那个数为上写 0。 （一）、小数的读法与写法： 读法：通常是整数部分按整数的读法去读，小数点读作“点”，小数部分 按从左向右的顺序只读出数字。 写法：写小数时，整数部分按整数部分的写法去写，小数点写在个位的右 下角，小数部分按从左向右的顺序 依次写出每一个数位上的数字。 （二）、分数的读法与写法： 读法：读分数时，先读分数的分母，再读“分之”最后读分子。读带分数 时，要先读整数部分，再读“又”字，最后按分数部分的读法读分数部分。 （分数线的读法：“分之”）， 写法：写分数时，要先写分数线，再写分母，最后写分子，写带分数时， 要先写整数部分，再写分数部分，整数部分要对其分数线，二者要紧凑。 （三）、百分数的读法与写法： 读法：百分数的读法与分数相同。 写法：百分数通常不写成分数形式，而是在原来的分子后面加上百分号 “%”来表示。写百分数时，先写分子，再写百分号。 （四）、数的大小比较： 1、整数的大小比较：比较两个整数的大小，首先要看它们的位数，如果位 数不相同，那么位数多的那个数就大；如果位数相同，就先从高位比起， 相同数位上的数大的那个数就大； 2、小数的大小比较：先比较它们的整数部分，整数部分大的那个数就大； 整数部分相同的，十分位上数大的那个数就大；十分位上的数字相同，百 分位上的数大那个数就大。…以此类推。 3、分数的大小比较：分母相同的分数，分子大的那个分数就大；（因为分 母相同，分数单位就相等，分子大的就意味着含有的分数单位多。）；分子相同的分数相比较，分母小的那个分数大。（分子相同含有的分数单位 数相同，分母小的分数分数单位就大）分子、分母都不同的分数相比较， 先通分，转化成同分母分数后，再比较大小。 4、正数和负数的大小比较：负数都比正数小。0 大于一切负数，0 小于一 切正数。 5、两个负数相比较：如果 a＞b（a、b 均为正数），则－a＜－b。就是在 不看负数符号的情况下：数大的那个数反而小。 三、数的性质： 1、分数的性质：分子和分母同时乘上或者除以相同的数（0 除外），分数 的大小不变。（注意：分数的分单位有变化，分子、分母都有变化） 2、约分和通分：把一个分数化成和原分数相等的，且分子分母都比原分数 小的的分数叫做约分；把异分母分数分别化成和原分数相等的同分母分数， 叫做通分。 3、最简分数：分子和分母只有公因数 1 的分数叫做最简分数。 4、小数的基本性质：小数的末尾添上或去掉 0，小数的大小不变。（注意： 小数的位数有变化，精确度有变化。） 5、小数点的位置移动引起小数的大小变化规律：小数点每向右移动一位、 两位、三位···这个数就扩大到原来的 10 倍、100 倍、1000 倍···； 小数点每向左移动一位、两位、三位···该数就缩小到原数的 1/10、1/100、 1/1000···。 四、数的改写： 1、把多位数改写成以”万“或者以”亿”单位的数。 （1）直接改写：把多位数改写成以”万“或者以”亿”单位的数，先把原 来的小数点向左移动 4 位或者 8 位，再在数后面加上“万”或“亿”字， 中间用“=”连接。 （2）省略尾数改写成近似数：先用“四舍五入法”省略万位或者亿位后面 的尾数，再在这个数的后面写上“万”字或者“亿”字。得出的是近似数， 中间用“≈”连接。 2、求小数的近似数：根据要求，要把小数保留到哪一位，就把这一位后面 的尾数按照“四舍五入法”省略，中间用“≈”。 3、小数、分数、百分数的互化： 小数化成分数方法：先看小数点后面有几位小数，就在 1 的后面添上几个 0 做分母，原来的小数去掉小数点后做分子。能约分的要约成最简分数。 分数化成小数方法：用分子除以分母。小数化成百分数的方法：把小数的小数点向右移动两位，（位数不足时用 0 补足）同时在后面添上“%”。 百分数化成小数的方法：把百分数的分子的小数点向左移动两位，同时去 掉后面的“%”。 百分数化成分数的方法：先把百分数的改写成分母是 100 的分数，然后约 成最简分数。 分数化成百分数的方法：先把分数化成小数，在把小数化成百分数。 4、判断一个分数能否化成有限小数的方法：一个最简分数，如果分母中除 了含有质因数 2 和 5 以外，不含有其它质因数， 这个分数就能化成有限 小数；如果分母中含有了 2 和 5 以外的其他质因数，这个分数就不能化成 有限小数。 五、数的整除： 1、整除：整数 a 除以整数 b（b≠0），除得的商正好是整数且没有余数， 我们就说数 a 能被数 b 整除。（也可以说 b 能整除 a）。 2、因数和倍数：如果 a×b=c（a、b、c 都是非 0 整数）那么 a、b 就叫做 c 的因数，c 就叫做 a、b 的倍数。 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是 1，最大的因数 是它本身。 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最 大的倍数。 3、公因数和最大公因数：几个数的公有的因数，叫做这几个数的公因数； 其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。 4、公倍数和最小公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其 中最小的那个数叫做这几个数的最小公倍数。。 5、求两个数的最大公因数的方法：一般采用列举法，就是把两个数的因数 一一列举出来，然后找出两个数的公因数，其中最大的那个数就是这两个 数最大公因数。也可以采用短除法。 短除法求最大公因数的方法：把两个数写在的横线上，先用着这两个数 的公有质因数做除数，如果两个数的商是互质数，除数就是这两个数的所 得的商就是这两个数的最大公因数。如果两个数的商不互质，就按照上面 的方法继续除，直到两个数的商最后是互质数为止，然后把所有的除数连 乘起来，所得的积就是这两个数的最大公因数。 6、求两个数的最小公倍数的方法：一般也采用列举法，把两个数的倍 数数根据需要按从小到大的顺序列举一部分，然后找出两个数的公有的倍数，其中最小的那个公倍数就是这两个数的最小公倍数。也可以采用短除 法。 短除法求最小公倍数的方法：把两个数写在的横线上，先用着这 两个数的公有质因数做除数，所得的商写在横线下的相对应的位置，如果 两个数的商是互质数，就把除数和最后的两个商连乘起来，所得的积就是 这两个数的最小公倍数；如果两个数的商不互质， 就按照上面的方法继续 除，直到两个数的商最后是互质数为止，然后把所有的除数和最后所得商 连乘起来，所得的积就是这两个数的最小公倍数。 7、求两个数的最大公因数和最小公倍数的特殊方法： 如果两个数中，较大数是较小数的倍数，较小数就是较大数的因数， 则较大数是这两个数的最小公倍数；较小数是这两个数的最大公因数。 如果两个数是互质数，则它们的最大公因数是 1，最小公倍数是这 两个数的乘积。 8、奇数和偶数、在自然数中，是 2 的倍数的数叫做偶数，不是 2 的倍数的 数叫做奇数，最小的偶数是 0，最小的奇数是 1。 9、2、5、3 的倍数的特征。 （1）2 的倍数的特征：个位上是 0、2、4、6、8 的数都是 2 的倍 数。 （2）5 的倍数的特征：个位上是 0 或 5 的数都是 5 的倍数。 （3）3 的倍数特征：一个数各个数位上的数字的和是 3 的倍数， 这个数就是 3 的倍数。 10、质数和合数：一个数，如果只有 1 和它本身两个因数，这样的数叫做 质数（或素数）；一个数，如果除了 1 和它本身还有别的因数，这样的数 叫做合数。质数有且只有两个因数，合数至少有三个因数。 1 既不是质数 也不数合数。 11、质因数与分解质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其 中每个质数都是这个合数的质因数。把一个合数用质数相乘的形式表示出 来，就是分解质因数。 12、分解质因数的方法：把一个合数分解质因数，通常用短除法，分解质 因数时，先用这个合数的质因数（通常用最小的开始）去除，得出的商如 果是质数，就把除数和商写成相乘的形式；得出的商如果是合数，就照上 面的方法继续下去，直到得出商是质数为止，然后把各个除数和最后的商 写成连乘的形式。 13、大于 0 的自然数的分类方法：（1）根据是否是 2 的倍数，自然数可分为：奇数和偶数。 （2）根据所含因数的个数，自然数可分为：1、质数、合数。 六、数的运算： 1、加法的意义：把两个数（或几个数）合并成一个数的运算。 2、减法的意义：已知两个数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。 3、乘法的意义： （1）一个数乘整数，就是求几个相同加数和的简便运算。 （2）一个数乘小数，可以看作是求这个数的十分之几，百分之几···是 多少？ （3）一个数乘分数，就是求这个数的几分之几是多少。 4、除法的意义：以这两个数的积和其中的一个因数，求另一个因数的运算。 5、计算方法： 1、加法的计算方法。 （1）整数和小数：相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十， 要向前一位进 1。（2）分数：同分母分数相加，分母不变只把分子相加。 异分母分数相加，先通分，再按照同分母分数加法法则进行计算。 2、减法的计算方法： （1）整数和小数：相同数位对齐，从低位减起，哪一位上的数不够减，从 前一位退 1，在本位上加 10 后再减。 （2）分数：同分母分数相减，分母不变，只把分子相减。（分子之差做分 子）异分母分数相减，先通分，再按照同分母分数减法法则进行计算。 3、乘法的计算方法： ⑴整数乘法的计算方法：相同数位对齐，从末尾乘起，用第二个因数 的每一位上的数去乘第一个因数，用哪一位的数去乘，乘得的积的末尾就 要和那一位对齐，最后把每次乘得的积的相加。 ⑵小数乘法的计算方法：计算小数乘法，末尾对齐，先按照整数乘法 的计算方法算出积，再看因数中一共有几位小数， 就从积的末尾起向 左数出几位，点上小数点。 ⑶分数乘法的计算方法：分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相 乘的积作分母（能约分的要先约分）。 ⑷除法的计算方法：整数除法的计算方法：从被除数的高位除起，除的 时候，除数有几位数就先看被除数的前几位，如果前几位不够除，再多看 一位，除到被除数的哪一位，就把商写在哪一位的上面，每次除得余数必 须比除数小。⑸小数除法的计算方法：除数是整数的小数除法，要按照整数除法的 计算方法去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐。如果除到被除数的 末尾仍有余数，就在余数的末尾添上 0 继续除。除数是小数的除法：先移 动除数的小数点，使它变为整数，除数的小数点向右移动几位，被除数的 小数点也要向右移动相同位数（位数不够时，在被除数的末尾用 0 补足）， 然后按除数是整数的小数除法的计算方法进行计算。 ⑹分数除法的计算方法：甲数除以乙数（0 除外）等于甲数乘乙数的倒 数。 倒数：乘积为 1 的两个数互为倒数。 七、四则运算的验算方法： 1、加法的验算方法 （1）用加法验算：调换两个加数的位置再加一遍。 （2）用减法验算：和—一个加数=另一个加数。 2、减法的验算方法： （1）用加法验算：差+减数=被减数。 （2）用减法验算：被减数—差=减数。 3、乘法的验算方法： （1）用乘法验算：调换两个因数的位置再称一遍。 （2）用除法验算：积÷一个因数=另一个因数。 4、除法的验算方法： （1）用乘法验算：如果没有余数，商×除数=被除数，如果有余数，商× 除数+余数=被除数。 （2）用除法验算：被除数÷商=除数 或（被除数－余数）÷商=除数 八、0 与 1 在四则运算中特性： a+0=a a×0=0 0÷a=0 a－0=a a×1=a a－a=0 a÷1=a 1÷a=1/a (在上面算式中 a 作除数时 a≠0） 九、运算定律： 1、加法的交换律：a+b=b+a 2、加法的结合律：a+b+c=a+（b+c） 3、乘法的交换律：a×b=b×a 4、乘法的结合律：a×b×c=a×（b×c） 5、乘法的分配率：（a+b）×c=a×c+b×c 十、运算性质：1、减法的运算性质：a-(b+c)=a-b-c a-(b-c)=a-b+c 2、除法的运算性质（除数不为 0）： a ÷(b×c)=a÷b ÷c a÷(b÷c)=a÷b×c (a+b)÷c=a÷c+b÷c (a-b)÷c=a÷c-b÷c 十一、运算顺序： 1、加法和减法叫做一级运算，乘法和除法叫做第二级运算。 2、在一个没有括号的算式里，如果只含有同一级运算，要从左往右依次计 算；如果含有两级运算，要先算第二级运算，后算第一级运算。 3、在一个有括号的算式里，要先算小括号里面的，再算中括号里面的。 十二、解决问题： 1、复合应用题：用两步或两步以上计算来解答的应用题。分析此问题，一 般采用分析法或综合法。 分析法：从要求问题入手，逐步找出解答问题所需要的信息，求得问 题的解决。 综合法：从已知条件入手，利用已知条件看能解决什么问题，从而 求得问题的解决。 2、解决问题的一般步骤：首先理解题意，找出已知条件何所求问题；其次。 分析数量关系，确定先算什么，再算什么，最后算什么；再次，确定每一 步该怎样算，列出算式，算出得数；最后进行检验，写出答案。 3、几种常见的数量关系： （1）路程=速度×时间 （2）总价=单价×数量 （3）工作总量=工效×时间 （4）总产量=单产量×数量（5）收入--支出=结余（6）利息=本金×利息× 时间 十三、式与方程： 1、用字母表示数的意义：用字母表示数是代数的基本特点。既简单明了， 又能表达数量关系的一般规律。 2、用字母代表数的作用： （1）用字母代表任何数。 （2）用字母表示常见的数量关系。 （3）用字母表示运算定律。（4）用字母表示计算公式。 3、（1）数字与字母、字母与字母相乘时，乘号可以简写成“·”或者省 略不写。数与数相乘，乘号不能省略。 4、等式与方程：表示相等关系的式子叫做等式。含有未知数的等式叫做方 程。 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 解方程：求方程中未知数的过程叫做解方程。 5、等式的性质： （1）等式两边都加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 （2）等式两边都乘上（或除以）同一个不为零的数，左右两边仍然相等。 （3）根据等式的性质可以解方程。 6、列方程解应用题的步骤： （1）找出未知数并用 X 表示。 （2）找出应用题中数量间的相等关系，并更具等量关系列出方程。 （3）解方程，求未知数的值。 （4）检验写答语。 十四、常见的计量单位及其进率： （一）意义： （1）物体的多少、长短、大小、轻重、快慢等。这些可以测定的客观事物 的特征叫做量。 （2）把一个要测定的量同一个作为标准的量相比较叫做计量。用来作为计 量标准的量叫做计量单位。 （二）常用的计量单位及其进率。 （1）货币单位及其进率：1 元=10 角 1 角=10 分 （2）长度单位及其进率： 1 千米=1000 米 1 米=10 分米=100 厘米 1 分米=10 厘米 1 厘米=10 毫米 （3）面积单位及其进率： 1 平方千米=1000000 平方米 1 平方千米=100 公顷 1 公顷=10000 平方米 1 平方米=100 平方分米 1 平方分米=100 平方厘米 1 平方厘米=1000 平方毫米 质量单位及其进率： 1 吨=1000 千克 1 千克=1000 克 时间单位及其进率： （1）1 年有 12 个月,年有 365 天，闰年有 366 天。（2）1、3、5、7、8、10、12 月是大月，每月 31 天；4、6、9、11 月是小 月，每月有 30 天；二月既不是大月也不是小月，平年二月 28 天，闰年二 月有 29 天。 （3）按四个季度分，1、2、3 月份属第一季度，4、5、6 月份是第二季度， 7、8、9 月份是第三季度，10、11、12 是第四季度。 （4）每个月分上、中、下三旬，上旬、中旬各有 10 天，下旬的天数大月 11 天，小月有 10 天。闰年二月下旬 9 天，平年 8 天 （5）1 星期=7 日 1 日=24 小时 1 小时=60 分 1 分=60 秒 1 世纪=100 年 （6）平年闰年判断的方法：公历年份能被 4 整除，整百，整千年份能整除 400 的是闰年，反之是平年。 （三）计量单位的改写：1、名数的意义：计量的结果，要用数表示，并且 还要带上单位的名称，通常把他们合起来叫做名数 。只带一个名称的叫单 名数；带两个或两个以上单位名称的叫复名数。如：2 千克 50 克，8 平方 米 20 平方分米 5 平方厘米。 2、名数的改写：把高级单位的名数改写成低级单位的名数用进率去乘， 把低级单位的名数改写成高级单位名数用进率去除。当进率是 10、100、 1000···是也可以把小数点向右（左） 移动一位，两位、三位···。 位数不足时，用零补足。 十五、比和比例： （1）比和比例的意义、各部分名称、基本性质。 （2）比和分数、除法的关系 （3）求比值和化简比 意义 方法 结果 求 比值 前项除以后项所 得的商 根据比值的意义，用前项除以后项 一 个 商 （ 整 数 、 小 数 或 分 数）化 简 比 把两个数的比化成 最简单的整数比 比的前项和后项都乘或除以一个相同的数（0 除外）； 也可以根据求比值的方法，用前项除以后 项 一个比