盐城市2020届高三年级四模 数学试卷.pdf

数学Ⅰ 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答题卡相应位置上． ▲ . 2．已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 z(3 + i) = 10,则 |z| 的值为 ▲ . 3．从数字 0, 1, 2 中任取两个不同的数字构成一个两位数，则所得的两位数大于 10 的概率为 ▲ . 4．如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售 量的频率分布直方图，图中小矩形从左向右所对应的区间依次为 [0, 50), [50, 100), [100, 150), [150, 200), [200, 250]. 若一个月以 30 天计算，估计这家面包 店一个月内这种面包的日销售量少于 100 个的天数为 ▲ 天. O 50 100 150 200 250 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 频率 组距 日销售量/个 （第4题图） 5．执行如图所示的流程图，输出 k 的值为 ▲ . 6．若双曲线 x2 a2 - y2 b2 = 1(a > 0, b > 0) 的渐近线为 y = ± 2x，则其离心率的 值为 ▲ . 7．若三棱柱 ABC - A1B1C1 的体积为 12, 点 P 为棱 AA1 上一点，则四梭锥 P - BCC1B1 的体 积为 ▲ . 8．“ω = 2”是“函数 f x  = sin(ωx + π 6 ) 的图象关于点 5π 12 , 0  对称”的 ▲ 条件. (选填“充分 不必要”、“必要不充分”、“充要”、 “既不充分也不必要”之一) 9．在 △ ABC 中， C = B + π 4 ， AB = 3 2  4 AC，则 tan B 的值为 ▲ . 10．若数列 {an} 的前 n 项和为 Sn, an = 2n - 1 + (-1)n(2n - 1)，则 2a100 - S100 的值为 ▲ . 11．若集合 P = {(x, y)|x2 + y2 - 4x = 0}, Q = {(x, y)| |x + 2| y ≥ 15  }, 则 P ∩ Q 表示的曲线的长度为 ▲ . 12．若函数 f(x) = m + ex, x > 0 e2x - 1, x ≤ 0 的图象上存在关于原点对称的相异两点，则实数 m 的最大值是 ▲ . 13．在 △ ABC 中， AB = 10， AC = 15, ∠ A 的平分线与边 BC 的交点为 D,点 E 为边 BC 的中点， 若 AB  ∙ AD  = 90,则 AB  ∙ AE  的值是 ▲ . 14．若实数 x, y 满足 4x2 + 4xy + 7y2 = l, 则 7x2 -4xy + 4y2 的最小值是 ▲ . N （第5题图） 盐城市 2020 届高三年级第四次模拟考试 1．若集合 A = {x|x ≤ m}， B = {x|x ≥ - 1}, 且 A ∩ B = {m}，则实数 m 的值为二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分 14 分） 若函数 f(x) = M sin(ωx + φ) (M > 0, ω > 0, 0 < φ < π) 的最小值是 -2，最小正周期是 2π ， 且图象 经过点 N(π 3 , 1)． （1）求 f(x) 的解析式； （2）在 △ ABC 中，若 f(A) = 8 5 , f(B) = 10 13 ，求 cosC 的值． 16．（本小题满分 14 分） 如图，在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 是菱形， PC ⊥ BC，点 E 是 PC 的中点，且平面 PBC ⊥ 平面 ABCD. 求证：（1）求证: PA// 平面 BDE； （2）求证:平面 PAC ⊥ 平面 BDE． B C D P E （第16题图 ) A17．（本小题满分 14 分） 如图，在一旅游区内原有两条互相垂直且相交于点 O 的道路 l1, l2，一自然景观的边界近似为圆形， 其半径约为 1 千米，景观的中心 C 到 l1, l2 的距离相等，点 C 到点 O 的距离约为 10 千米. 现拟新建四 条游览道路方便游客参观，具体方案:在线段 OC 上取一点 P，新建一条道路 OP，并过点 P 新建两 条与圆 C 相切的道路 PM, PN(M, N 为切点 )，同时过点 P 新建一条与 OP 垂直的道路 AB (A, B 分 别在 l1, l2 上 ). 为促进沿途旅游经济，新建道路长度之和越大越好，求新建道路长度之和的最大值. (所有道路宽度忽略不计) A B O P M N C ι2 ι1 （第17题图） 18．（本小题满分 16 分） 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆 C : x2 a2 + y2 b2 = 1(a > b > 0) 的短轴长为 2， F1， F2 分别是椭 圆 C 的左、右焦点，过点 F2 的动直线与椭圆交于点 P, Q, 过点 F2 与 PQ 垂直的直线与椭圆 C 交于 A、 B 两点.当直线 AB 过原点时， PF1 = 3PF2． （1）求椭圆的标准方程； （2）若点 H(3, 0)，记直线 PH, QH, AH, BH 的斜率依次为 k1, k2, k3, k4； ①若 k1 + k2 = 2 15 ，求直线 PQ 的斜率； ②求 (k1 + k2) (k3 + k4) 的最小值． F1 F1 A Q B H P x y (第18题图）19．（本小题满分 16 分） 如果存在常数 k 使得无穷数列 an  满足 amn = kaman 恒成立，则称 an  为 P(k) 数列． （1）若数列 an  是 P(1) 数列， a6 = 1， a12 = 3，求 a3； （2）若等差数列是 bn  是 P(2) 数列，求数列 bn  的通项公式； （3）是否存在 P(k) 数列 cn  ，使得 c2020, c2021, c2022, ⋅ ⋅ ⋅ 是等比数列？若存在，请求出所有满足条件 的数列 cn  ；若不存在，请说明理由. 20．（本小满分 16 分） 设函数 f(x) = - 3 x + x3 + ax2ln - 2ax. （1）若 a = 0 时，求函数 f(x) 的单调递增区间； （2）若函数 f(x) 在 x = 1 时取极大值，求实数 a 的取值范围； （3）设函数 f(x) 的零点个数为 m，试求 m 的最大值．数学Ⅱ(附加题) 21．【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若 多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.[选修 4 — 2：矩阵与变换]（本小题满分 10 分） 已知矩阵 A = a 2 b 1        ，若矩阵 A 属于特征值 3 的一个特征向量为 α  = 1 1        ，求该矩阵属于另一个特 征值的特征向量. B.[选修 4 — 4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分） 在极坐标系中，已知直线 l : ρ θcos + 2ρ θ = msin （m 为实数），曲线 C： ρ = 2 θ +cos 4sinθ，当直 线 l 被曲线 C 截得的弦长取得最大值时，求实数 m 的值． C．[选修 4-5：不等式选讲]（本小题满分 10 分） 已知实数 x， y， z 满足 x + y + 2z = 1，求 x2 + y2 + z2 的最小值．【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22.（本小题满分 10 分） 如图，抛物线 C : y2 = 2px(p > 0) 的焦点为 F，过点 P(2, 0) 作直线 l 与抛物线交于 A, B 两点，当直 线 l 与 x 轴垂直时 AB 的长为 4 2  . （1）求抛物线的方程； （2）若 △ APF 与 △ BPO 的面积相等，求直线 l 的方程. A B F PO y x (第22题图） 23.（本小题满分 10 分） 若有穷数列 an  共有 k 项（k ≥ 2），且 a1 = 1, ar + 1 ar  = 2(r - k) r + 1  当 1 ≤ r ≤ k - 1 时恒成立.设 Tk = a1 + a2 + ⋅ ⋅ ⋅ + ak. （1）求 T2， T3； （2）求 Tk.