山东省新高考质量测评联盟2020届高三数学5月联考试题（Word版附解析）

山东新高考质量测评联盟 5 月联考试题 高三数学 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 是函数的定义域， 是不等式的解集，分别求出后再由集合的运算法则计算． 【详解】由题意 ， ， ， ∴ ． 故选 B． 【点睛】本题考查集合的运算，解题时需先确定集合 中的元素，然后才可能利用集合运 算法则计算． 2.若复数 满足 （ 为虚数单位），则复数 的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先利用复数的运算法则化简 ,再根据复数的定义得出答案. 【详解】因为 , { | 1 }A x y x= = − { | ( 1)( 3) 0}B x x x= + − < ( )R A B = [1,3) (1,3) ( 1,0] [1,3)−  ( 1,0] (1,3)−  A B { |1 0} { | 1}A x x x x= − ≥ = ≤ { | 1 3}B x x= − < < { | 1}RC A x x= > ( ) { |1 3} (1,3)RC A B x x= < < = ,A B z ( ) 21 2 1z i i− + = − i z 4 5 − 4 5 i 4 5 4 5 i− z ( ) 21 2 1z i i− + = −所以 , 所以复数 的虚部为 , 故选:A. 【点睛】本题考查了复数的定义及其运算,属于基础题. 3.已知直线 ，则“ ”是“直线 与圆 相切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】 由题可知直线 过圆 上一定点 ,若直线 与圆 相切,则 ,据此计算出 ,从而得出结论. 【详解】直线 过定点 , 又点 在圆 上, 若直线 与圆 相切, 则 即有 , 因此“ ”是“直线 与圆 相切”的充要条件. 【点睛】本题考查了直线与圆相切的应用,考查了充分必要条件的判断,难度不大. 4.如图所示，在梯形 中， ， ， ， ， ， ， 分别为边 ， 的中点，则 （ ） ( ) ( )( ) 21 2 1 22 2 4 2 4 1 2 1 2 1 2 1 2 5 5 5 i i iz ii i i i − − − − −= = = = = − −− + − + − + − − z 4 5 − 2 2: 2 2l y k x  − = +    1k = l 2 2 1x y+ = l 2 2 1x y+ = 2 2,2 2A  −    l 2 2 1x y+ = OA l⊥ 1k = 2 2: 2 2l y k x  − = +    2 2,2 2A  −    2 2,2 2A  −    2 2 1x y+ = l 2 2 1x y+ = OA l⊥ 1 1 11OA k k = − = − =− 1k = l 2 2 1x y+ = ABCD 2A π∠ = //AB CD 2AB = 1CD = 2AD = E F CD BC AE AF⋅ = A. B. C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 分析】 先利用直角建立直角坐标系,求出对应点的坐标,再利用坐标法求数量积即可. 【详解】在梯形 中, , 则可建立以 为原点, 方向为 轴正方向的直角坐标系,如下图所示: 由题可得 , 因此 , 所以 , 所以 , 故选:B. 【点睛】本题主要考查数量积的求法,可建立直角坐标系利用坐标法解决问题,也可以 为基底表示出 向量,然后再求解,题目难度不大. 5.函数 的部分图像大致为（ ） 【 5 4 11 4 ABCD 2A π∠ = A ,AB AD  ,x y (0,0), (2,0), (0,2), (1,2)A B D C 1 3( ,2), ( ,1)2 2E F 1 3( ,2), ( ,1)2 2AE AF= =  3 1124 4AE AF⋅ = + =  ,AB AD  ,AE AF  ( ) ( )1 ln 1 x x e x f x e − = +A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先判断出函数 是奇函数,可排除 A,C 选项,再取 ,由 排除 D 选项,即可得出 答案. 【详解】 ,其定义域为: , 又 , 所以 为奇函数,故排除 A,C 选项, 又当 时, , 所以排除 D 选项, 故选:B. 【点睛】本题考查根据解析式判断函数图像,考查函数性质的基本应用,常用排除法解决此类问 题,一般利用函数的奇偶性,单调性,特殊值等进行选项排除. 6.设函数 ，则当 ， 表达式的展开式中二项式系数最 大值为（ ） A. 32 B. 4 C. 24 D. 6 【答案】D ( )f x 1 2x = 1( ) 02f < ( ) ( )1 ln 1 x x e x f x e − = + ( ,0) (0, )−∞ +∞ ( ) ( ) ( )1 ln 1 ln ( )1 1 x x x x e x e x f x f xe e − − − − − − = = = −+ + ( )f x 1 2x = 1( 1) ln1 2( ) 02 1 e f e − × = < + ( ) ( )4 3 1 1 1, 1 x xf x x x  + >=  + ≤ 0 1x< < ( )( )f f x【解析】 【分析】 先根据解析式化简得 ,故其展开式共有 5 项,则其中二项式系数最大值为 . 【详解】 , 当 时, , 故 , 而 的展开式共有 5 项, 故其中二项式系数最大值为 , 故选:D. 【点睛】本题主要考查二项展开式的性质应用,难度不大. 7.2019 年 10 月 20 日，第六届世界互联网大会发布了 15 项“世界互联网领先科技成果”，其中 有 5 项成果均属于芯片领域，分别为华为高性能服务器芯片“鲲鹏 920”、清华大学“面向通用 人工智能的异构融合天机芯片”、“特斯拉全自动驾驶芯片”、寒武纪云端 AI 芯片、“思元 270”、 赛灵思“Versal 自适应计算加速平台”．现有 3 名学生从这 15 项“世界互联网领先科技成果”中 分别任选 1 项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则至少有 1 名学生选择“芯片领域”的概 率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先计算出每名学生选择“芯片领域”的概率为 ,再根据独立事件的概率计算公式计算出 3 名学 生均没有选择“芯片领域”的概率,进而得出答案. 【详解】根据题意可知,1 名学生从 15 项中任选 1 项,其选择“芯片领域”的概率为 , ( )( ) 43( 2)f f x x= + 2 4C ( ) ( )4 3 1 1 1, 1 x xf x x x  + >=  + ≤ 0 1x< < 3( ) 1 1f x x= + > ( )( ) 43 3( 1) ( 2)f f x f x x= + = + 43( 2)x + 2 4 6C = 89 91 2 91 98 125 19 27 1 3 5 1 15 3 =故其没有选择“芯片领域”的概率为 , 则 3 名学生均没有选择“芯片领域”的概率为 , 因此至少有 1 名学生选择“芯片领域”的概率为 , 故选:D. 【点睛】本题主要考查概率的计算,涉及了独立事件,对立事件及独立重复事件的概率计算,难 度不大. 8.已知直线 双曲线 相交于不同的两点 和 ， 为双 曲线 的左焦点，且满足 ，则双曲线 的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 设双曲线的右焦点为 ,连接 ,则根据题意可知四边形 为矩形,因此在 中,由 , ,可计算出 ,从而求出离心 率. 【详解】设双曲线的右焦点为 ,如下图所示,连接 , 因为 ,结合双曲线的对称性可知四边形 为矩形, 又直线 的斜率为 ,则 , 故在 中, , 因此 , 2 3 2 2 2 8 3 3 3 27 × × = 8 191 27 27 − = 3y x= ( )2 2 2 2: 1 0, 0x yC a ba b − = > > A B F C AF BF⊥ C 3 3 1+ 3 1 2 + 2F 2 2,AF BF 2AFBF 2Rt BFF 2 60BOF∠ =  2 2FF c= 2BF BF− = 3 2c c a− = 2F 2 2,AF BF AF BF⊥ 2AFBF AB 3 2 60BOF∠ =  2Rt BFF 2 60BF O∠ =  2 2FF c= 23 ,BF c BF c= =即有 , 故选:C. 【点睛】本题考查了双曲线离心率的求法,需要学生综合运用所学知识,属于中档题. 二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的四个 选项中，有多项符合题目要求．全部选对得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的 得 0 分． 9.2019 年以来，世界经济和贸易增长放缓，中美经贸摩擦影响持续显现，我国对外贸易仍然 表现出很强的韧性．今年以来，商务部会同各省市全面贯彻落实稳外贸决策部署，出台了一 系列政策举措，全力营造法治化、国际化、便利化的营商环境，不断提高贸易便利化水平， 外贸稳规模、提质量、转动力取得阶段性成效，进出口保持稳中提质的发展势头，下图是某 省近五年进出口情况统计图，下列描述正确的是（ ） A. 这五年，2015 年出口额最少 B. 这五年，出口总额比进口总额多 C. 这五年，出口增速前四年逐年下降 D. 这五年，2019 年进口增速最快 【答案】ABD 【解析】 【分析】 观察白色条形图可分析选项 A,观察 5 组条形图可分析选项 B,观察虚线折线图可分析选项 C, 观察实线折线图可分析选项 D. 【详解】对于选项 A,观察 5 个白色条形图可知,这五年中 2015 年出口额最少,故 A 正确; 对于选项 B,观察五组条形图可得,2015 年出口额比进口额稍低, 但 2016 年至 2019 年出口额都高于进口额,并且 2017 年和 2018 年出口额都明显高于进口额, 故这五年,出口总额比进口总额多,故 B 正确; 23 2 3 1 3 1 cc c a e a − = ⇒ = = = + −对于选项 C,观察虚线折线图可知,2015 年到 2016 年出口增速是上升的,故 C 错误; 对于选项 D,从图中可知,实线折线图 2019 年是最高的,即 2019 年进口增速最快,故 D 正确. 故选:ABD. 【点睛】本题考查条形统计图的性质应用,考查数据分析能力,属于基础题. 10.将函数 图象上的各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再向左平移 个单位，得到 的图象，下列说法正确的是（ ） A. 点 是函数 图象的对称中心 B. 函数 在 上单调递减 C. 函数 的图象与函数 的图象相同 D. 若 ， 是函数的零点，则 是 的整数倍 【答案】BC 【解析】 【分析】 先利用图象变换规律求出函数 ,再结合余弦函数的图象和性质进行分析,得出结论. 【详解】将函数 图象上的各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,可得到函 数 的图象, 再向左平移 个单位,可得到函数 的图象, 对于选项 A,令 ,求得 ,故 A 错误; 对于选项 B 若 ,则 , , 故 在 上单调递减,故 B 正确; 对于选项 C, , 即函数 的图象与函数 的图象相同,故 C 正确; 对于选项 D,若 , 是函数 的零点,则 是 的整数倍,故 D 错误; 2cos 1y x= + 1 2 12 π ( )f x ,06 π     ( )f x ( )f x 50, 12 π    ( )f x ( ) 22sin 2 13g x x π = + +   1x 2x 1 2x x− π ( )f x 2cos 1y x= + 1 2 2cos2 1y x= + 12 π ( ) 2cos(2 ) 16f x x π= + + 6x π= ( ) 1f x = 5(0, )12x π∈ 2 (6 6x π π+ ∈ )π ( ) 2cos(2 ) 16f x x π= + + 5(0, )12 π 2 2( ) 2cos(2 ) 1 2cos(2 + ) 1 2sin(2 ) 1 ( )6 3 2 3f x x x x g x π π π π= + + = − + = + + = ( )f x ( )g x 1x 2x ( )f x 1 2x x− 2 π故选:BC. 【点睛】本题主要考查函数 的图象变换规律,考查余弦函数的图象和性 质应用,难度不大. 11.已知棱长为 1 的正方体 ，过对角线 作平面 交棱 于点 ，交 棱 于点 ，以下结论正确的是（ ） A. 四边形 不一定是平行四边形 B. 平面 分正方体所得两部分的体积相等 C. 平面 与平面 不可能垂直 D. 四边形 面积的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】 由平行平面的性质可判断 A 错误;利用正方体的对称性可判断 B 正确;当 ､ 为棱中点时,通 过线面垂直可得面面垂直,可判断 C 错误;当 与 重合, 与 重合时,四边形 的面 积最大,且最大值为 ,可判断 D 正确. 【详解】如图所示, 对于选项 A,因为平面 ,平面 平面 ,平面 平面 , 所以 ,同理可证 ,所以四边形 是平行四边形,故 A 错误; 对于选项 B,由正方体的对称性可知,平面 分正方体所得两部分的体积相等,故 B 正确; 对于选项 C,在正方体 中,有 , cos( )y A x bω ϕ= + + 1 1 1 1ABCD A B C D− 1BD α 1AA E 1CC F 1BFD E α α 1DBB 1BFD E 2 E F E A F 1C 1BFD E 2 1 1 1 1//ABB A CC D D 1BFD E  1 1ABB A BE= 1BFD E  1 1 1CC D D D F= 1//BE D F 1 //D E BF 1BFD E α 1 1 1 1ABCD A B C D− 1,AC BD AC BB⊥ ⊥又 ,所以 平面 , 当 ､ 分别为棱 的中点时, 有 ,则 平面 , 又因为 平面 , 所以平面 平面 ,故 C 错误; 对于选项 D,四边形 在平面 内的投影是正方形 , 当 与 重合, 与 重合时,四边形 的面积有最大值, 此时 ,故 D 正确; 故选:BD. 【点睛】本题考查了正方体的几何性质与应用问题,也考查了点线面的位置关系应用问题,属于 中档题. 12.对于函数 ，下面结论正确的是（ ） A. 任取 ，都有 恒成立 B. 对于一切 ，都有 C. 函数 有 3 个零点 D. 对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 【答案】ABC 【解析】 【分析】 先在坐标轴中画出 的图象,根据图象可判断 A 选项,结合解析式可判断 B 选项,再画 1BD BB B∩ = AC ⊥ 1BB D E F 1 1,AA CC //AC EF EF ⊥ 1BB D EF ⊂ 1BFD E 1BFD E ⊥ 1BB D 1BFD E ABCD ABCD E A F 1C 1BFD E 1 2 1 2S D E BE= ⋅ = ⋅ = ( ) ( ) 1 3cos , ,2 2 1 32 , ,2 2 x x f x f x x π  ∈ −    =    − ∈ +∞    1 2 1, ,2x x  ∈ − +∞  ( ) ( )1 2 2f x f x− ≤ 1 ,2x  ∈ − +∞  ( ) ( )( )*2 2 Nkf x f x k k= + ∈ ( ) 1ln 2y f x x = − −   0x > ( ) kf x x ≤ k 1 ,2  +∞  ( )y f x=出 与 的图象,数形结合可判断 C,D 选项. 【详解】在坐标轴上作出函数 的图象如下图所示: 由图象可知 的最大值为 1,最小值为 ,故选项 A 正确; 由题可知 , 所以 即 ,故选项 B 正确; 作出 的图象，因为 ， 由图象可知 与 有 3 个交点,故选项 C 正确; 结合图象可知,若对任意 ,不等式 恒成立, 即 时,不等式 恒成立, 又 , 所以 ,即 在 时恒成立, 设 ,则 , 故 时, ,函数 在 上单调递减, 所以 时, , 又 ,所以 ,即 ,故选项 D 错误. 故选:ABC. 【点睛】本题主要考查分段函数的周期性及数形结合法在处理函数问题中的应用,有一定难度. 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 1ln( )2y x= − ky x = ( )f x ( )f x 1− ( ) ( ) ( )1 3 12 , ( , ) ( 2) , ( , )2 2 2 2 1f x f x x f x f x x= − ∈ +∞ ⇒ + = ∈ − +∞ *1( 2 ) ( ) ( )( )2 kf x k f x k N+ = ∈ ( ) 2 ( 2 )kf x f x k= + 1ln( )2y x= − 1 1ln(2 ) ln2 2 3 2 − = < ( )y f x= 1ln( )2y x= − 0x > ( ) kf x x 2x n= (2 ) 2 kf n n 1 1(2 ) ( ) (0) ( )2 2 n nf n f= = 1( )2 2 nk n 2 2n nk *n N∈ 2( ) 2x xg x = 2 ln 4( ) 2x xg x − ⋅′ = [ )2,x∈ +∞ ( ) 0g x′ < ( )g x [ )2,+∞ [ )2,x∈ +∞ max( ) (2) 1g x g= = (1) 1g = max 2 12n n  =   1k13.函数 在点 处的切线方程为 ，则 ______． 【答案】-1 【解析】 【分析】 先对 求导,然后利用切线斜率 ,列式求解即可. 【详解】 ,则 , 故当 时, , 又函数 在点 处的切线方程为 , 所以 , 故答案为: . 【点睛】本题考查导数几何意义的应用,属于简单题. 14.已知 ， ，且 ，则 的最小值是______． 【答案】5 【解析】 【分析】 可变形为 ,再利用基本不等式即可得出答案. 【详解】 , ,且 , (当且仅当 即 时取等号), 故答案为:5. 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用,考查学生的分析计算能力,难度不大. 15.已知抛物线 焦点为 ，过点 斜率为 的直线 交该抛物线于点 ， （点 在第一象限），与该抛物线的准线交于点 ，则 ______． ( ) ( )sin 2f x a x a R= + ∈ ( )( )0, 0f 2y x= − + a = ( )f x k = (0)f ′ ( ) ( )sin 2f x a x a R= + ∈ ( ) cosf x a x′ = 0x = (0)f a′ = ( )f x ( )( )0, 0f 2y x= − + 1a = − 1− 1a > 0b > 1 1 11a b + =− +a b +a b 1 11 1 ( 1 )( ) 11a b a b a b − + + = − + + +− 1a > 0b > 1 1 11a b + =− 1 11 1 ( 1 )( ) 11a b a b a b a b ∴ + = − + + = − + + +− 11 1 11 a b b a −= + + + +− 13 2 51 a b b a −≥ + ⋅ =− 1a b− = 3, 2a b= = 2 4y x= F F 3 l A B A C CB AB =【答案】 【解析】 【分析】 由题意可得 ,则可求出直线 的方程,将之与抛物线方程联立,求出 点的坐标,进而求 出 ,即可得出答案. 【详解】由题意可得 ,抛物线准线方程为 , 则直线 的方程为: , 联立 ,解得 或 , 即 , , , , 所以 , ,则 , 故答案为: . 【点睛】本题考查抛物线的简单性质,难度不大. 16.已知正方体 的棱长为 ，其内有 2 个不同的小球，球 与三棱锥 的四个面都相切，球 与三棱锥 的三个面和球 都相切，则球 的 体积等于______，球 的表面积等于______． 【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 由题意可知三棱锥 是边长为 的正四面体,则球 是三棱锥 的内切球, 设其半径为 ,由 ，可知 ,设平面 1 2 (1,0)F l ,A B ,AB BC (1,0)F 1x = − l 3 3y x= − ( 1, 2 3)C − − 2 3 3 4 y x y x  = − = 3 2 3 x y = = 1 3 2 3 3 x y  =  = − (3A 2 3) 1(3B 2 3)3 − 8| | 3BC = 16| | 3AB = 8 | | 13 16| | 2 3 CB AB = = 1 2 1 1 1 1ABCD A B C D− 2 3 1O 1 1A CB D− 2O 1 1A CB D− 1O 1O 2O 4 3 π π 1 1A CB D− 2 6 1O 1 1A CB D− 1R 1 1 1 1 1 3A CB D CB DV S AO− = × ×  1 1 1 14 3 CB DS R= × × ×  1 1 4R AO=平 面 , 且 球 和 球 均 与 平 面 相 切 于 点 , 则 球 是 正 四 面 体 的内切球,设其半径为 ,则 ,最后代入数据计算即可. 【详解】因为正方体 的棱长为 , 所以三棱锥 是边长为 的正四面体, 的高为 , 设底面 的中心为 ,连接 ,则 , , 则球 是三棱锥 的内切球,设其半径为 , 则有 所以 , 所以球 的体积为 , 又球 与三棱锥 的三个面和球 都相切, 则设平面 平面 ,且球 和球 均与平面 相切于点 ,如下图所示, 则球 是三棱锥 的内切球,设其半径为 , 故 , 因此在正四面体 中, , 所以球 的表面积为 , //MNP 1 1CB D 1O 2O MNP E 2O A MNP− 2R 2 1 4R AE= 1 1 1 1ABCD A B C D− 2 3 1 1A CB D− 2 6 1 1CB D 3 2 1 1CB D O CO 2 3 2 2 23CO = × = 24 8 4AO = − = 1O 1 1A CB D− 1R 1 1 1 1 1 1 1 1 143 3A CB D CB D CB DV S AO S R− = × × = × × ×   1 1 14R AO= = 1O 4 3 π 2O 1 1A CB D− 1O //MNP 1 1CB D 1O 2O MNP E 2O A MNP− 2R 12 2AE AO R= − = A MNP− 2 1 1 4 2R AE= = 2O π故答案为: ; . 【点睛】本题主要考查三棱锥内切球的综合问题,考查学生的空间思维及想象能力,有一定难度. 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤． 17.已知数列 是等比数列，且 ，其中 成等差数列． （1）数列 的通项公式； （2）记 ，则数列 的前 项和 ． 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 (1)设数列 是公比为 的等比数列,运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式,解方 程可得公比,进而得到所求通项公式; (2)求得 ,运用数列的分组求和法,结合等差数列和等比数列的求和公式,计算可得所求和. 【详解】(1)设数列 的公比为 ,因为 , , 成等差数列, 所以 , 又因为 ,所以 ,即 , 所以 或 (舍去),所以 ; (2)由(1)知, , 所以 4 3 π π { }na 1 1a = 1 2 3, 1, 1a a a+ + { }na 2 , log , n n n a nb a n =   为奇数 为偶数 { }nb 2n 2nT 12n na -= 24 1 3 3 n n+ − { }na q nb { }na q 1a 2 1a + 3 1a + ( )2 1 32 1 1a a a+ = + + 1 1a = ( ) 22 1 2q q+ = + 2 2 0q q− = 2q = 0q = 12n na -= 12 , 1, n n nb n n −=  − 为奇数 为偶数 ( ) ( ) ( )0 2 2 2 2 2 1 2 3 2 2 1n nT n−= + + + +⋅⋅⋅+ + − ( ) ( )0 2 2 22 2 2 1 3 2 1n n−= + +⋅⋅⋅+ + + +⋅⋅⋅+ − ( )1 2 11 4 1 4 2 n n n+ −−= +−. 【点睛】本题考查等差数列和等比数列通项公式和求和公式的运用,考查数列的分组求和,难度 不大. 18.在① ，② 这两个条件中任 选一个，补充在下列问题中，并解答． 已知 的角 ， ， 对边分别为 ， ，而且______． （1）求 ； （2）求 周长的最大值． 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 (1) 选 ①, 先 利 用 正 弦 定 理 化 简 可 得 , 进 而 得 到 , 结 合 的 范 围 即 可 求 得 ; 选 ②, 先 利 用 正 弦 定 理 可 得 ,再利用余弦定理可得 ,结合 的范围即可求得 ; (2)由余弦定理可得 ,再利用基本不等式可得 ,进而求得 周长 的最大值. 【详解】(1)选①: 因为 , 所以 , 因为 ,所以 ,即 , 因为 ,所以 ,所以 ,即 ; 选②: 因为 , 所以 ,即 , 24 1 3 3 n n= + − 3 sin cosa c A a C= − ( ) ( )2 sin 2 sin 2 sina b A b a B c C− + − = ABC A B C , ,a b c 3c = C∠ ABC 3C π= 3 3 sin 3sin sin sin cosA C A A C= − 3sin cos 1C C− = C 3C π= 2(2 ) (2 ) 2a b a b a b c− + − = 1cos 2C = C 3C π= 2 2 3a b ab+ − = 2 3a b+  ABC 3 sin cosa c A a C= − sin 3sin sin sin cosA C A A C= − sin 0A ≠ 3sin cos 1C C− = 1sin 6 2C π − =   0 C π< < 5 6 6 6C π π π− < − < 6 6C π π− = 3C π= ( ) ( )2 sin 2 sin 2 sina b A b a B c C− + − = ( ) ( ) 22 2 2a b a b a b c− + − = 2 2 2a b c ab+ − =所以 , 因为 ,所以 ; (2)由(1)可知: , 在 中,由余弦定理得 ,即 , 所以 , 所以 ,当且仅当 时等号成立, 所以 ,即 周长的最大值为 . 【点睛】本题主要考查正､余弦定理在解三角形中的运用,同时还涉及了基本不等式的运用,考 查化简计算能力,属于中档题. 19.已知四棱锥 ，底面 矩形， ， ， ， 为 中点， ． （1）求证：平面 平面 ； （2）若 ，求二面角 的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】 (1)方法一:由 推出 ,结合 可 为 2 2 2 cos 1 2 2 a b cC ab + − == 0 C π< < 3C π= 3C π= ABC 2 2 2 cos 3a b ab C+ − = 2 2 3a b ab+ − = ( ) ( )2 2 33 3 4 a ba b ab ++ − = ≤ 2 3a b+ ≤ a b= 3 3a b c+ + ≤ ABC 3 3 P ABCD− ABCD 2AD = 2 2AB = 3PA = E CD PA BD⊥ PAE ⊥ PBD 3PE = D PC A− − 14 7 tan tanABD DAE∠ = ∠ ABD DAE∠ = ∠ 90BAE DAE∠ + ∠ = °推出 , 又 , 所以 平面 , 进而得证; 方法二: 由 推出 , 从 而 有 , 结 合 可 推 出 ,又 ,所以 平面 ,进而得证; (2)由勾股定理逆定理推出 ,结合 可得 平面 ,故以 为原点, ､ ､ 方向为 ､ ､ 轴正方向建立空间直角坐标系,再利用向量法求出二面角 的余弦值. 【详解】(1)方法一: 因为 , , 为 中点, 所以在 中, , 在 中, , 所以 ,所以 , 又因为 , 所以 ,所以 , 又因为 , , 所以 平面 , 又 平面 ,所以平面 平面 . 方法二: 由题意可知:在 中, , 在 中, ,即 , 所以 , 所以 , 又因为 , 所以 ,所以 , 又因为 , , 所以 平面 , BD AE⊥ BD PA⊥ BD ⊥ PAE AD DE AB AD = Rt RtABD DAE△ △ ABD DAE∠ = ∠ 90BAE DAE∠ + ∠ = ° BD AE⊥ BD PA⊥ BD ⊥ PAE PA AE⊥ PA BD⊥ PA ⊥ ABCD A AD AB AP x y z D PC A− − 2AD = 2 2AB = E CD Rt△ABD 2 2tan 22 2 ABD∠ = = Rt DAE 2tan 2DAE∠ = tan tanABD DAE∠ = ∠ ABD DAE∠ = ∠ 90BAE DAE∠ + ∠ = ° 90BAE ABD∠ + ∠ = ° BD AE⊥ BD PA⊥ PA AE A= BD ⊥ PAE BD ⊂ PBD PBD ⊥ PAE Rt ABD 2 2 22 2 AD AB = = Rt DAE△ 2 2 DE AD = AD DE AB AD = Rt RtABD DAE△ △ ABD DAE∠ = ∠ 90BAE DAE∠ + ∠ = ° 90BAE ABD∠ + ∠ = ° BD AE⊥ BD PA⊥ AE PA A= BD ⊥ PAE又 平面 ,所以平面 平面 . (2)因为 ,又 , , 所以 ,所以 , 又因为 ,且 与 相交, 所以 平面 , 故以 为原点, ､ ､ 方向为 ､ ､ 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系, 则 , , , , 所以 , , , 设平面 的一个法向量为 , 由 可得 , 令 ,则 ,所以 , 设平面 的一个法向量为 , 由 可得 , 令 ,则 ,所以 , 所以 , 由题意可知二面角 为锐二面角, BD ⊂ PBD PBD ⊥ PAE 6AE = 3PA = 3PE = 2 2 2AE PA PE+ = PA AE⊥ PA BD⊥ BD AE PA ⊥ ABCD A AD AB AP x y z ( )2,0,0D ( )0,0, 3P ( )2,2 2,0C ( )0,0,0A ( )2,0, 3DP = − ( )2,2 2, 3PC = − ( )2,2 2,0AC = PDC ( )1 , ,n x y z= 1 2 0 0 n DP n PC  ⋅ = ⋅ =     2 3 0 2 2 2 3 0 x z x y z − + = + − = 3x = 0, 2y z= = ( )1 3,0,2n = PAC ( )2 , ,n x y z= 2 2 0 0 n AC n PC  ⋅ = ⋅ =     2 2 2 0 2 2 2 3 0 x y x y z  + = + − = 2x = 1, 0y z= − = ( )2 2, 1,0n = − 1 2 6 14cos , 77 3 n n< >= = ⋅   D PC A− −所以二面角 的余弦值为 . 【点睛】本题考查了空间中的垂直证明,考查了向量法求二面角的余弦值,需要学生具备一定的 空间思维及计算能力,属于中档题. 20.已知椭圆 的离心率为 ，且经过点 ． （1）求椭圆 的方程； （2）若不过坐标原点的直线 与椭圆 相交于 、 两点，且满足 ，求 面积最大时直线 的方程． 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 (1)由题意列关于 , , 的方程组,求解 , 的值,则椭圆方程可求; (2)由题意可知,直线 的斜率存在,设直线 的方程为 , , , , ,联立直线方程与椭圆方程,化为关于 的一元二次方程,利用根与系数的关系及向量 等式可得 值,写出三角形面积公式,得到关于 的函数式,整理后利用基本不等式求最值,然后 求得 的方程. 【详解】(1)由题意得 ,解得 , 所以椭圆 的方程为 ; (2)由题意可知,直线 的斜率显然存在, 设直线 的方程为 , , , D PC A− − 14 7 ( )2 2 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > 6 3 3 3,2 2A       C l C M N OM ON OAλ+ =   MON△ l 2 2 13 x y+ = 1 6 3 3y x= − ± a b c a b MN MN ( 0)y kx m m= + ≠ 1(M x 1)y 2(N x 2 )y x k m MN 2 2 2 2 2 6 3 3 3 14 4 c a a b a b c  =   + =  = +  2 2 3 1 a b  =  = C 2 2 13 x y+ = MN MN ( )0y kx m m= + ≠ ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y由 得 , ① 所以 ,所以 , 因为 ,所以 , 所以 ,代入①得 且 , 所以 , 当且仅当 ,即 时上式取等号,此时符合题意, 所以直线 的方程为 . 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法,考查直线与椭圆位置关系的应用,结合了基本不等式求 最值,需要学生具备一定的计算分析能力,属于中档题. 21.2018 年 3 月份，上海出台了《关于建立完善本市生活垃圾全程分类体系的实施方案》，4 月 份又出台了《上海市生活垃圾全程分类体系建设行动计划（2018-2020 年）》，提出到 2020 年 底，基本实现单位生活垃圾强制分类全覆盖，居民区普遍推行生活垃圾分类制度．为加强社 区居民的垃圾分类意识，推动社区垃圾分类正确投放，某社区在健身广场举办了“垃圾分类， 从我做起”生活垃圾分类大型宣传活动，号召社区居民用实际行动为建设绿色家园贡献一份力 量，为此需要征集一部分垃圾分类志愿者． 2 2 13 x y y kx m  + =  = + ( )2 2 23 1 6 3 3 0k x kmx m+ + + − = ( )( ) ( )2 2 2 2 2 236 4 3 1 3 3 12 3 1 0k m k m k m∆ = − + − = + − > 1 2 2 2 1 2 2 6 3 1 3 3 3 1 kmx x k mx x k  + = − + − ⋅ = + ( )1 2 1 2 2 22 3 1 my y k x x m k + = + + = + OM ON OAλ+ =   1 2 2 1 2 2 6 3 3 1 2 2 3 3 1 2 kmx x k my y k λ λ  + = − = +  + = = + 1 3k = − 2 3 2 3 3 3m− < < 0m ≠ ( )2 1 2 1 2 1 2 1 1 42 2MONS m x x m x x x x= − = + −△ ( )2 2 2 2 12 3 1 3 4 31 2 3 1 4 k m m mm k + − −= =+ ( )2 2 2 23 3 4 3 3 3 4 3 3 4 4 2 2 m m m m− + −= ≤ ⋅ = 2 23 4 3m m= − 6 3m = ± MN 1 6 3 3y x= − ±（1）为调查社区居民喜欢担任垃圾分类志愿者是否与性别有关，现随机选取了一部分社区居 民进行调查，其中被调查的男性居民和女性居民人数相同，男性居民中不喜欢担任垃圾分类 志愿者占男性居民的 ，女性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占女性居民的 ，若研究得 到在犯错误概率不超过 0.010 的前提下，认为居民喜欢担任垃圾分类志愿者与性别有关，则被 调查的女性居民至少多少人？ 附 ， ， 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 （2）某垃圾站的日垃圾分拣量 （千克）与垃圾分类志愿者人数 （人）满足回归直线方程 ，数据统计如下： 志愿者人数 （人） 2 3 4 5 6 日垃圾分拣量 （千克） 25 30 40 45 已知 ， ， ，根据所给数据求 和回归直线方程 ，附： ， ． （3）用（2）中所求的线性回归方程得到与 对应的日垃圾分拣量的估计值 ．当分拣数据 与估计值 满足 时，则将分拣数据 称为一个“正常数据”．现从 5 个分 拣数据中任取 3 个，记 表示取得“正常数据”的个数，求 的分布列和数学期望． 【答案】（1）至少 20 人；（2） ；（3）分布列见解析， 3 5 1 5 ( ) ( )( )( )( ) 2 2 n ad bck a b c d a c b d −= + + + + n a b c d= + + + ( )2 0P K k≥ 0k y x y bx a= +   x y t 5 1 1 405 i i y y = = =∑ 5 2 1 90i i x = =∑ 5 1 885i i i x y = =∑ t y bx a= +   ( )( ) ( ) 1 2 1 n i i i n i i x x y y b x x = = − − = − ∑ ∑   a y bx= −  ix iy iy iy  2i iy y− ≤ ( ),i ix y X X  8.5 6y x= + ( ) 9 5E X =【解析】 【分析】 (1)设被调查的女性居民人数为 ,列出相关 列联表,由犯错误概率不超过 0.010,可知 ,据此列式求解即可; (2)先由 求出 ,再根据表格数据求出 ,最后利用公式直接求 ,从而得出回归直 线方程; (3)先将对应 代入回归方程求出对应的 ,可得“正常数据”有 3 个,则 的可能取值为 1,2,3,分 别求出对应概率,从而得出 的分布列和数学期望. 【详解】(1)设被调查的女性居民人数为 ,列 列联表如下: 不喜欢人数 喜欢人数 合计 男 女 合计 则 , 因为犯错误概率不超过 0.010,所以 ,即 , 因而被调查的女性居民至少 20 人; (2)由 ,解得 , 又 , 所以 , 5x 2 2× 2K 6.635≥ 40y = 60t = x ˆ,b a x iy X X 5x 2 2× 3x 2x 5x x 4x 5x 4x 6x 10x ( ) ( )( )( )( ) 2 2 n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + ( )23 4 2 10 5 5 4 6 x x x x x x x x x ⋅ − ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ 5 3 x= 5 6.6353 x ≥ 5 19.905x ≥ ( )1 25 30 40 45 405y t= + + + + = 60t = 2 3 4 5 6 45x + + + += = 5 1 5 22 1 885 5 4 40 8.590 5 16 i i i i i x y nxy b x nx = = − − × ×= = =− ×− ∑ ∑   40 8.5 4 6a y bx= − = − × =所以回归直线方程 ; (3)将 , , , , , 代入回归直线得: , , , , , 其中 , , ,符合 , , ,不符合 , 所以 的可能取值为 1,2,3, , , , 所以 的分布列为 1 2 3 故 . 22.已知函数 ． （1）讨论函数 的单调性； （2）当 时，求函数 在 上的零点个数． 【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）2 个 【解析】 【分析】 (1)对 求导后,根据 的正负对 的正负进行分情况讨论,得出对应单调性即可;  8.5 6y x= + 1 2x = 2 3x = 3 4x = 4 5x = 5 6x = 1 23y =  2 31.5y =  3 40y =  4 48.5y =  5 57y =  11 2 2y y− = ≤  22 1.5 2y y− = ≤  33 0 2y y− = ≤  2iiy y− ≤  44 3.5 2y y− = >  55 3 2y y− = >  2iiy y− ≤ X ( ) 1 3 3 5 31 10 CP X C = = = ( ) 2 1 3 2 3 5 32 5 C CP X C = = = ( ) 3 3 3 5 13 10 CP X C = = = X X P 3 10 3 5 1 10 ( ) 3 6 1 91 2 310 10 10 5E X = × + × + × = ( ) ( )ln 2xf x e ax a R= − − ∈ ( )f x 2a = ( ) ( ) ln 2 cosg x f x x= + − ,2 π − +∞   ( )f x a ( )f x′(2)方法一:对 求导后,对 , , 三种情况,结合零点存在性 定理分别讨论零点个数;方法二:对 求导后,对 , 两种情况,结合零点 存在性定理分别讨论零点个数. 【详解】(1) ,其定义域为 , , ①当 时,因为 ,所以 在 上单调递增, ②当 时,令 得 ,令 得 , 所以 在 上单调递减, 上单调递增, 综上所述, 当 时, 在 上单调递增, 当 时, 在 单调递减, 单调递增. (2)方法一:由已知得 , ,则 . ①当 时,因为 ,所以 在 单调递减, 所以 ,所以 在 上无零点; ②当 时,因为 单调递增,且 , , 所以存在 ,使 , 当 时, ,当 时, , 所以 在 递减, 递增,且 ,所以 , 又因为 , 所以 ,所以 在 上存在一个零点, ( )g x ,02x π ∈ −   0, 2x π ∈   ,2x π ∈ +∞   ( )g x ,02x π ∈ −   [ )0,x∈ +∞ ( ) ln 2xf x e ax= − − R ( ) xf x e a′ = − 0a ≤ ( ) 0f x′ > ( )f x R 0a > ( ) 0f x′ > lnx a> ( ) 0f x′ < lnx a< ( )f x ( ),ln a−∞ ( )ln ,a +∞ 0a ≤ ( )f x R 0a > ( )f x ( ),ln a−∞ ( )ln ,a +∞ ( ) 2 cosxg x e x x= − − ,2x π ∈ − +∞   ( ) sin 2xg x e x′ = + − ,02x π ∈ −   ( ) ( ) ( )1 sin 1 0xg x e x′ = − + − < ( )g x ,02 π −   ( ) ( )0 0g x g> = ( )g x ,02 π −   0, 2x π ∈   ( )g x′ ( )0 1 0g′ = − < 2 1 02g e ππ ′ = − >   0 0, 2x π ∈   ( )0 0g x′ = ( )00,x x∈ ( ) 0g x′ < 0, 2x x π ∈   ( ) 0g x′ > ( )g x [ )00, x 0 , 2x π     ( )0 0g = ( )0 0g x < 2 02g e ππ π  = − >   ( )0 02g x g π ⋅ − > ( )g x ,2 π +∞   02g π  >   ( )g x ,2 π +∞   ( )g x ,2 π − +∞   ( ) 2 cosxg x e x x= − − ,2x π ∈ − +∞   ( ) sin 2xg x e x′ = + − ,02x π ∈ −   ( ) ( ) ( )1 sin 1 0xg x e x′ = − + − < ( )g x ,02 π −   ( ) ( )0 0g x g> = ( )g x ,02 π −   [ )0,x∈ +∞ ( ) cos 0xg x e x′′ = + > ( )g x′ [ )0,+∞ ( )0 1 0g′ = − < ( ) sin 2 2 0g e eπ ππ π′ = + − = − > ( )0 0,x π∃ ∈ ( )0 0g x′ = ( )00,x x∈ ( ) 0g x′ < ( )0 ,x x∈ +∞ ( ) 0g x′ > ( )g x ( )00, x ( )0 ,x +∞ ( )0 0g = ( )0 0g x < ( ) 1 2 0g eππ π= + − > ( ) ( )0 0g x g π⋅ < ( )g x ( )0 ,x +∞ ( )g x [ )0,+∞ ( )g x ,2 π − +∞  