高三数学试题
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项符合题目要求.
1.已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
因为 ， ，所以 .故选 B.
2.设 ( 为虚数单位），其中 是实数，则 等于( )
A. 5 B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
由 ，得 ，
∴ ，解得 ，∴ ．故选 A．
3.已设 都是正数，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
由 和 分别求出 a，b 的关系，然后利用必要条件、充分条件及充分必
要条件的判断方法得答案．
【详解】由 ，
得 或 或 ，
{ }| 2 , 0xA y y x−= = <
1
2|B x y x
= =
A B∩ =
[ )1,+∞ ( )1,+∞ ( )0,+∞ [ )0,+∞
A B∩ = ( )1,+∞
( )( ) ( )2 i 3 i 3 5 ix y+ − = + + i ,x y ix y+
13 2 2
( )( ) ( )2 i 3 i 3 5 ix y+ − = + + ( ) ( )6 3 2 i 3 5 ix x y+ + − = + +
6 3
3 2 5
x
x y
+ =
− = +
3
4
x
y
= −
= i 3 4i 5x y+ = − + =
,a b 3 3a blog log＜ 3 3 3a b＞ ＞
3 3a blog log＜ 3 3 3a b＞ ＞
3 3a blog log＜
0 1b a＜ ＜ ＜ 0 1a b＜ ＜ ＜ 1a b＞ ＞由 ，得 ，
“ ”是“ ”的必要不充分条件．
故选： ．
【点睛】本题主要考查了必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法，考查了不等式的
性质，属于中档题．
4.甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知．3 人作出如下预测：甲
说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名．若甲、乙、丙 3 人的预测结
果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的是
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 无法预测
【答案】A
【解析】
【分析】
若甲的预测正确，则乙、丙的预测错误，推出矛盾！若乙的预测正确，甲、丙的预测错误，
推出矛盾！若丙的预测正确，甲、乙的预测错误，可推出三个人的名次．
【详解】若甲的预测正确，乙、丙的预测错误，则丙是第一名，甲不是第三名，则甲是第二
名，乙是第三名，矛盾！
若乙的预测正确，甲、丙的预测错误，则乙是第三名，甲的预测错误，那么甲是第三名，矛
盾！
若丙的预测正确，则甲、乙的预测错误，则甲是第三名，乙不是第三名，丙是第一名，则乙
是第二名．
因此，第三名是甲，故选 A．
【点睛】本题考查合情推理，突出假设法在推理中的应用，通过不断试错来推出结论，考查
推理分析能力，属于中等题．
5.《九章算术》是我国古代数学名著，其中有这样一个问题:“今有宛田，下周三十步，径十
六步，问为田几何？”意思说：现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中
给出计算方法：以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以 .在此问题中，
扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A. B. C. D.
3 3 3a b＞ ＞ 1a b＞ ＞
∴ 3 3a blog log＜ 3 3 3a b＞ ＞
B
4
4
15
15
8
15
4 120【答案】C
【解析】
【分析】
由题意，根据给出计算方法：扇形的面积等于直径乘以弧长再除以 ，再由扇形的弧长公式列
出方程，即可求解.
【详解】由题意，根据给出计算方法：以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长
再除以 ，
再由扇形的弧长公式，可得扇形的圆心角 （弧度），故选 C.
【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式的实际应用问题，其中解答中认真审题，正确理解
题意，合理利用扇形的弧长公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，
属于基础题.
6.若 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ）
A. 210 B. 180 C. 160 D. 175
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，得出二项式的指数 的值，再利用展开式的通项公式求出常数项是多少．
【详解】解： 展开式中只有第六项的二项式系数最大，
∴展开式中共有 11 项，n＝10；
∴展开式的通项公式为
令 ，得 ， 常数项是 ，故选 B．
【点睛】本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了逻辑推理与运算能力，是基础题目．
7.泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征.为了测量“泉标”高度，某同学在“泉
标”的正西方向的点 A 处测得“泉标”顶端的仰角为 45°，沿点 A 向北偏东 30°前进 100m 到达点
B，在点 B 处测得“泉标”顶端的仰角为 30°，则“泉标”的高度为（ ）
A. 50m B. 100m C. 120m D. 150m
4
4
30 15
8 4
l
r
α = = =
2
2 n
x x
−
n
2
2 n
x x
−
5510 2
1 10 102
2( ) ( ) ( 1) 2
r
r r r r r r
rT C x C xx
−−
+ = ⋅ − = − ⋅ ⋅
55 02
r− = 2r = ∴ 2 2
2 1 102 180T C+ = ⋅ =【答案】A
【解析】
【分析】
先设 DC＝x，然后在△ABC 中，利用余弦定理可得 ，再
求解即可.
【详解】解:根据题意，作出图形如图所示：
所以 AB＝100，∠BAC＝60°，∠DBC＝30°，
设 DC＝x，所以 AC＝x，BC ，
在△ABC 中，利用余弦定理的应用得 ，
得 ，
又 ，
解得 ，
故选:A
【点睛】本题考查了余弦定理的应用，重点考查了运算能力，属基础题.
8.已知函数 满足 ， ，且 与 的图像交点为
， ，…， ，则 的值为( )
A. 20 B. 24 C. 36 D. 40
【答案】D
【解析】
【分析】
根 据 已 知 条 件 判 断 和 都 关 于 中 心 对 称 ， 由 此 求 得
2 2 2 1( 3 ) 100 2 100 2x x x= + − × × ×
3x=
2 2 2 1( 3 ) 100 2 100 2x x x= + − × × ×
2 50 5000 0x x − =+
0x >
50x =
( )f x (2 ) (2 ) 6f x f x− + + = 3 1( ) 2
xg x x
−= − ( )f x ( )g x
( )1 1,x y ( )2 2,x y ( )8 8,x y 1 2 8 1 2 8x x x y y y+ + + + + + +
( )f x ( )g x ( )2,3的值.
【详解】由于 满足 ，当 时， ，所以 关于
中心对称.由于 ，所以 关于 中心对称.
故 和 都关于 中心对称.所以 与 的图像交点 ， ，…，
，两两关于 对称.所以 .
故选 D.
【点睛】本小题主要考查函数图像的对称性，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
二、多项选择题：本题共 4 小题，中学联盟每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的
选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的
得 0 分.
9.某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心 为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近
地点 （离地面最近的点）距地面 千米，远地点 （离地面最远的点）距地面 千米，并
且 三点在同一直线上，地球半径约为 千米，设该椭圈的长轴长、短轴长、焦距分
别为 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据条件数形结合可知 ，然后变形后，逐一分析选项，得到正确答案.
【详解】因为地球的中心是椭圆的一个焦点，
1 2 8 1 2 8x x x y y y+ + + + + + +
( )f x (2 ) (2 ) 6f x f x− + + = 0x = ( )2 3f = ( )f x
( )2,3
( )3 2 53 1 5( ) 32 2 2
xxg x x x x
− +−= = = +− − −
( )g x ( )2,3
( )f x ( )g x ( )2,3 ( )f x ( )g x ( )1 1,x y ( )2 2,x y
( )8 8,x y ( )2,3 1 2 8 1 2 8x x x y y y+ + + + + + + 8 2 8 3 40= × + × =
F
A m B n
F A B、 、 R
2 2 2a b c、 、
a c m R− = + a c n R+ = + 2a m n= +
( )( )b m R n R= + +
m a c R
n a c R
= − −
= + −并且根据图象可得 ，（*）
，故 A 正确；
，故 B 正确；
（*）两式相加 ，可得 ，故 C 不正确；
由（*）可得 ，两式相乘可得
，
，故 D 正确.
故选 ABD
【点睛】本题考查圆锥曲线的实际应用问题，意在考查抽象，概括，化简和计算能力，本题
的关键是写出近地点和远地点的方程，然后变形化简.
10.甲罐中有 5 个红球，2 个白球和 3 个黑球，乙罐中有 4 个红球，3 个白球和 3 个黑球．先从
甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 ， 和 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球
的事件；再从乙罐中随机取出一球，以 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中
正确的是（ ）
A.
B.
C. 事件 与事件 相互独立
D. ， ， 是两两互斥的事件
【答案】BD
【解析】
【分析】
由 题 意 ， ， 是 两 两 互 斥 的 事 件 ， 由 条 件 概 率 公 式 求 出 ，
对照四个选项判断即可.
m a c R
n a c R
= − −
= + −
a c m R∴ − = +
a c n R+ = +
2 2m n a R+ = − 2 2a m n R= + +
m R a c
n R a c
+ = −
+ = +
( )( ) 2 2m R n R a c+ + = −
2 2 2a c b− =
( )( ) ( )( )2b m R n R b m R n R∴ = + + ⇒ = + +
1A 2A 3A
B
( ) 2
5P B =
( )1
5| 11P B A =
B 1A
1A 2A 3A
1A 2A 3A 1( | )P B A
( ) ( ) ( ) ( )1 2 3P B P B A P B A P B A= ⋅ + ⋅ + ⋅【详解】由题意 ， ， 是两两互斥 事件，
，
，故 B 正确；
，故 A，C 不正
确；
， ， 是两两互斥的事件，故 D 正确.
故选：BD．
【点睛】本题考查了互斥事件和条件概率，考查了学生实际应用，转化划归，数学运算的能
力，属于中档题.
11.已知点 是双曲线 ： 的右支上一点， ， 为双曲线 的左、右焦点，
的面积为 20，则下列说法正确的是（ ）
A. 点 的横坐标为
B. 的周长为
C. 小于
D. 的内切圆半径为
【答案】ABC
【解析】
【分析】
设 的内心为 ，连接 ，设 ,利用 的面积为 20，可求得
P 点坐标； 的周长为 ，借助 P 点坐标，可得解；利用 ，
可求得 ，可研究 范围； 可求得内切圆半
径 r.
的1A 2A 3A
1 2 3
5 1 2 1 3( ) , ( ) , ( )10 2 10 5 10P A P A P A= = = = =
( )
1
1
1
1 5
( ) 52 11
1( ) 11
2
|P P BA
P AB A
×
= = =
( ) ( ) ( ) ( )1 2 3
5 5 2 4 3 4 9
10 11 10 11 10 11 22P B P B A P B A P B A= ⋅ + ⋅ + ⋅ = × + × + × =
1A 2A 3A
P E
2 2
116 9
x y− = 1F 2F E
1 2PF F∆
P 20
3
1 2PF F∆ 80
3
1 2F PF∠
3
π
1 2PF F∆ 3
4
1 2F PF∆ I 2 2IP IF IF、 、 ( )P m n， 1 2PF F∆
1 2PF F∆ 2 1 21|+| | | || FP FF FP +
1PFk 2PFk
1 2tan F PF 1 2F PF∠ ( )
1 2 1 2 1 2
1
2PF FS r PF PF F F∆ = + +【详解】设 的内心为 ，连接 ，
双曲线 ： 中的 ， ， ，
不妨设 ， ， ，
由 的面积为 20，可得 ，即 ，
由 ，可得 ，故 A 符合题意；
由 ，且 ， ，
可得 ， ，
则 ，
则 ，故 C 符合题意；
由 ，
则 的周长为 ，故 B 符合题意；
设 的内切圆半径为 ，可得 ，
可得 ，解得 ，故 D 不符合题意．
故选：ABC．
【点睛】本题考查了双曲线的性质综合，考查了学生综合分析，转化化归，数学运算的能力，
1 2F PF∆ I 2 2IP IF IF、 、
E
2 2
116 9
x y− = 4a = 3b = 5c =
( )P m n， 0m > 0n >
1 2PF F∆ 1 2
1 5 202 F F n cn n= = = 4n =
2 16 116 9
m − = 20
3m =
20 43P
， ( )1 5 0F − ， ( )2 5 0F ，
1
12
35PFk =
2
12
5PFk =
( )1 2
12 12
3605 35tan 0 312 12 3191 5 35
F PF
−
= = ∈×+ ×
，
1 2 3F PF
πω , ,A B C
1ω = ABC∆ ABC∆
ω
2π
2
π
ω
( ) 2 sin , ( ) 2 cosf x x g x xω ω= = 0>ω , ,A B C
1ω = ( ) 2 sin , ( ) 2 cosf x x g x xω ω= =
2π 2 22 2 22 2
⋅ + ⋅ =
( )1 2 1 1 22ABCS π π∆ ⋅ ⋅ +＝ ＝①当 时， 面积的最小值为 ；
②若存在 是等腰直角三角形，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，
则 ， 解得 的最小值为 ．
故答案为： ， ．
【点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能
力及思维能力，属于基础题型．
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或
演算步骤.
17.数列 满足：
（1）求 的通项公式；
（2）若数列 满足 ，求 的前 项和 .
【答案】（1） ;
（2） .
【解析】
【分析】
（1）利用 时， 求解；检验 成立即可求解
（2）由 ，得 ，利用错位相减求和即可
【详解】（1）令
时，
时， ， 满足
1ω = ABC∆ 2π
ABC∆
2 2 22 2 22 2
π
ω
⋅ + ⋅
⋅＝ ω
2
π
2π
2
π
{ }na 1 2 3a a a+ + +L ( )1 3 12
n
na+ = −
{ }na
{ }nb 3 n na b
na = { }nb n nT
13 −= n
na
13 2 1 1( )( )4 4 3
n
n
nT -+= -
2n ≥ 1n n na S S −= − 1 1a =
3 n na b
na = 11( 1)( )3
n
nb n -= -
1 2 3Sn na a a a= + + +
1n = 1 1a =
2n ≥ 1
1 3n
n n na S S -
-= - = 1 1a =所以 ；
（2）由 ，
①
②
① ②得
【点睛】本题考查利用前 n 项和求通项公式，考查错位相减求和，准确利用前 n 项和求出通
项公式是关键，是中档题
18.在锐角 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 ．
（1）求角 B 的大小；
（2）求 的取值范围
【答案】（1） ；（2）
【解析】
分析】
（1）根据正弦定理边化角，与两角和的正弦公式求得 B 的值；
（2）根据正弦定理边化角，再利用同角 三角函数关系结合角的范围求得取值范围．
【详解】（1）由 ，
根据正弦定理，有
即有
【
的
13 −= n
na
3 n na b
na = 11( 1)( )3
n
nb n -= -
1 2n nT b b b= + + = 21 12 ( )3 3 + ´ +
11( 1)( )3
nn --
2 31 1 1( ) 2 ( )3 3 3nT = + ´
11( 2)( )3
nn -+ -
1( 1)( )3
nn+ -
−
22 1 1( )3 3 3nT = + +
11 1( ) ( 1)( )3 3
n nn - - -
11 1[1 ( ) ]2 3 3
13 1 ( )3
n
nT
--
=
-
1( 1)( )3
nn- -
13 2 1 1( )( )4 4 3
n
n
nT -+= -
ABC∆ sin sin 3b A a B
π = +
c
a
3B
π= 1 ,22
sin sin 3b A a B
π = +
sin sin sin sin 3B A A B
π = +
1 3sin sin sin cos3 2 2
π = + = + B B B B则有 ，又 ，
所以，
（2）由（1）， ，则 ，又 为锐角三角形，
所以， 且 ，
所以 ，于是
则
又
所以， 的取值范围是
【点睛】本题主要考查了正弦定理、同角的三角函数关系以及两角和差的正弦公式，正确求
得角的范围是解题的关键．
19.如图，三棱柱 中， ， ，平面 平面 .
（1）求证： ；
（2）若 ，直线 与平面 所成角为 ， 为 的中点，求二
面角 的余弦值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】
tan 3B = 0 B π< <
3B
π=
3B
π= 2
3A C
π+ = ABC∆
0 2A
π< < 20 3 2A< − A
2 3 1sin cos sinsin 3 13 2 2 2sin sin sin 2tan 2
π − + = = = = + <
A A Ac C
a A A A A
3 1 1
2tan 2 2
+ >
A
c
a
1 ,22
1 1 1ABC A B C− CA CB= 1 45BAA∠ = ° 1 1AAC C ⊥ 1 1AA B B
1AA BC⊥
1 2 2BB AB= = BC 1 1ABB A 45° D 1CC
1 1 1B A D C− −
2
2（1）过点 C 作 CO⊥AA1，则 CO⊥平面 AA1B1B，CO⊥OB，推导出Rt△AOC≌Rt△BOC，从而 AA1⊥OB，
再由 AA1⊥CO，得 AA1⊥平面 BOC，由此能证明 AA1⊥BC．
（2）以 O 为坐标原点，OA，OB，OC 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，利用
向量法能求出二面角 B1﹣A1D﹣C1 的余弦值．
【详解】（1）过点 作 ，垂足为 ，
因为平面 平面 ，
所以 平面 ，故 ，
又因为 ， ， ，
所以 ，故 ，
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 平面 ，故 .
（2）以 为坐标原点， ， ， 所在直线为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系
，
因为 平面 ，
所以 是直线 与平面 所成角，
故 ，
所以 ， ，
， ， ， ， ， ，
C 1CO AA⊥ O
1 1AAC C ⊥ 1 1AA B B
CO ⊥ 1 1AA B B CO OB⊥
CA CB= CO CO= 90COA COB∠ = ∠ = °
Rt AOC Rt BOC∆ ≅ ∆ OA OB=
1 45A AB∠ = ° 1AA OB⊥
1AA CO⊥ 1AA ⊥ BOC 1AA BC⊥
O OA OB OC x y z
O xyz−
CO ⊥ 1 1AA B B
CBO∠ BC 1 1AA B B
45CBO∠ = °
2AB = 1AO BO CO= = =
( )1,0,0A ( )0,1,0B ( )0,0,1C ( )1 1,0,0A − ( )1 2,1,0B − ( )1,0,1D −设平面 的法向量为 ，则
，所以 ，
令 ，得 ，
因为 平面 ，
所以 为平面 的一条法向量，
，
，
所以二面角 的余弦值为 .
【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、
面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
20.为提高城市居民生活幸福感，某城市公交公司大力确保公交车的准点率，减少居民乘车候
车时间为此，该公司对某站台乘客的候车时间进行统计乘客候车时间受公交车准点率、交通
拥堵情况、节假日人流量增大等情况影响在公交车准点率正常、交通拥堵情况正常、非节假
日的情况下，乘客候车时间随机变量 满足正态分布 在公交车准点率正常、交通
拥堵情况正常、非节假日的情况下，调查了大量乘客的候车时间，经过统计得到如图频率分
布直方图.
（1）在直方图各组中，以该组区间的中点值代表该组中的各个值，试估计 的值；
（2）在统计学中，发生概率低于千分之三的事件叫小概率事件，一般认为，在正常情况下，
1 1A B D ( )1 1 1, ,n x y z=
1
1
0
0
n A D
n B D
⋅ = ⋅ =
1
1 1 1
0
0
z
x y z
=
− + =
1 1x = ( )1,1,0n =
OB ⊥ 1 1AAC C
OB 1 1AC D
( )0,1,0OB =
2cos , 2
n OBn OB
n OB
⋅= =
⋅
1 1 1B A D C− − 2
2
X ( )2,N µ σ
2,µ σ一次试验中，小概率事件是不能发生的在交通拥堵情况正常、非节假日的某天，随机调查了
该站的 10 名乘客的候车时间，发现其中有 3 名乘客候车时间超过 15 分钟，试判断该天公交
车准点率是否正常，说明理由.
（参考数据： ，
，
， ，
）
【答案】（1） ， （2）准点率正常，详见解析
【解析】
【分析】
（1）由频率分布直方图结合均值和方差公式可求出 和 ；
（2）由正态分布求得 再根据 n 次独立重复试验中事件发生 k 次的概率公式求有
3 名乘客候车时间超过 15 分钟的概率从而得出结论.
【详解】（1） ，
（2） ，
设 3 名乘客候车时间超过 15 分钟的事件为 ，
，
，
准点率正常
【点睛】考查正态分布，考查数学建模，数据分析，数学运算的数学素养.
21.已知椭圆 ，点 F 为抛物线的焦点，焦点 F 到直线 3x-4y+3=0 的距离为 d1，
焦点 F 到抛物线 C 的准线的距离为 d2，且 ．
(1)抛物线 C 的标准方程;
19.2 4.38, 21.4 4.63, 26.6 5.16≈ ≈ ≈
7 6 3 40.8413 0.2898,0.8413 0.3546,0.1587 0.0040,0.1587 0.0006≈ ≈ ≈ ≈
( ) 0.6826P Xµ σ µ σ− < < + = ( 2 2 ) 0.9544P Xµ σ µ σ− < < + =
( 3 3 ) 0.9973P Xµ σ µ σ− < < + =
10µ = 2 19.2σ =
µ σ
( 14.38)P x >
0.1 2 0.2 6 0.4 10 0.2 14 0.1 18 10µ = × + × + × + × + × =
( )2 2 2 2 22 8 0.1 4 0.2 (10 10) 0.4 19.2sσ = = × × + × + − × =
10 4.38 14.38µ σ+ = + =
A
1 ( )( 14.38) 0.15872
p XP x
µ σ µ σ− − < < +> = =
3 3 7
10( ) (0.1587) (0.8413) 0.139 0.003P A C= ≈ >
2: 2 ( 0)C y px p= >
1
2
3
5
d
d
=(2)若在 x 轴上存在点 M，过点 M 的直线 l 分别与抛物线 C 相交于 P、Q 两点，且
为定值，求点 M 的坐标.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据点到直线的距离公式以及抛物线的性质可求得 和 ，再结合 解出 即可
得抛物线的方程；（2）设点 的坐标为 ，设点 ， 的坐标分别为 ，
，设直线 的方程为 ，与抛物线方程联立可得 ， ，把根与系数
的关系代入可得 ，由其为定值可得 ，即得结果.
代入同理可得结论．
【详解】（1）由题意知，焦点 的坐标为 ，则 ， ，
又 ，解得： .故抛物线 的标准方程为 .
（2）设点 的坐标为 ，设点 ， 的坐标分别为 ， ，
显然直线 的斜率不为 0.设直线 的方程为 .
联立方程 消去 ，并整理得 ，
则 且 ， .
由 ， .
有 .
2 2
1 1
PM QM
+
2 4y x= ( )2,0M
1d 2d 1
2
3
5
d
d
= p
M ( ),0t P Q ( )1 1,x y
( )2 2,x y l x my t= + PM QM
( )
2
2 2 2 2
1 1 2
2 1
t m
m tPM QM
++ =
+ 2t =
F ,02
p
1
3 3 3 62
5 10
p
pd
+ += = 2d p=
3 6
310
5
p
p
+
= 2p = C 2 4y x=
M ( ),0t P Q ( )1 1,x y ( )2 2,x y
l l x my t= +
2
,
4 ,
x my t
y x
= +
=
x 2 4 4 0y my t− − =
( )216 0m t∆ = + > 1 2 4y y m+ = 1 2 4y y t=-
( )2 2 2
1 1 11PM x t y m y= − + = + ( )2 2 2
2 2 21QM x t y m y= − + = +
( ) ( ) ( )
2 2
1 2
2 2 2 2 22 2 2 2
1 2 1 2
1 1 1 1
1 1 1
y y
m y m y m y yPM QM
++ = + =
+ + +
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
16 8 2
16 1 2 1
m t t m
m t m t
+ += =
+ +若 为定值，必有 .
所以当 为定值时，点 的坐标为 .
【点睛】本题考查了抛物线的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、定点问
题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
22.已知函数 ．
讨论函数 的极值点的个数；
若函数 有两个极值点 ， ，证明： ．
【答案】(1)见解析 (2)见解析
【解析】
【分析】
先求出函数的导函数，通过讨论 a 的范围确定导函数的符号，从而得出函数的单调区间，
进而判断函数极值点个数；
由 可知当且仅当 时 有极小值 和极大值 ，且 ， 是方程的两个
正根，则 ， 根据函数 表示出
，令 ，通过对 求导即可证
明结论．
【详解】解： 函数 ，
，
， 当 时， ， ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
当 时， 有极小值；
2 2
1 1
PM QM
+ 2t =
2 2
1 1
PM QM
+ M ( )2,0
( ) ( )2 0f x lnx ax x a= − − + ≥
( )1 ( )f x
( )2 ( )f x 1x 2x ( ) ( )1 2 3 2 2f x f x ln+ > −
( )1
( )2 ( )1 10, 8a ∈
( )f x 1x 2x 1x 2x
1 2
1
2x x a
+ = 1 2
1 .2x x a
= ( ) 2f x lnx ax x= − − +
( ) ( )1 2
1 2 14f x f x lna lna
+ = + + + ( ) 1 2 14g a lna lna
= + + + ( )g a
( )1 ( ) ( )2 0f x lnx ax x a= − − + ≥
( ) ( ) 2 21 2 1 2 12 1 0 ax x ax xf x ax xx x x
− + − + −∴ = − − + > = −′ = 0x >
0a ≥ ∴ 0a = ( ) 1xf x x
′ −= 0x >
( )0,1x∈ ( ) 0f x′ < ( )f x
( )1,x∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x
∴ 1x = ( )f x当 时， ，故 ，
在 上单调递减，故此时 无极值；
当 时， ，方程 有两个不等的正根 ， ．
可得 ， ．
则当 及 时，
， 单调递减；
当 时， ； 单调递增；
在 处有极小值，在 处有极大值．
综上所述：当 时， 有 1 个极值点；
当 时， 没有极值点；
当 时， 有 2 个极值点．
由 可知当且仅当 时 有极小值点
和极大值点 ，且 ， 是方程的两个正根，
则 ， ．
；
令 ，
； ，
在 上单调递减，故 ，
．
1
8a ≥ 0≤ ( ) 0f x′ ≤
( )f x∴ ( )0,+∞ ( )f x
10 8a< < 0> ( ) 0f x′ = 1x 2x
1
1 1 8
4
ax a
− −= 2
1 1 8
4
ax a
+ −=
1 1 80, 4
ax a
− −∈
1 1 8 ,4
ax a
+ −∈ +∞
( ) 0f x′ < ( )f x
1 1 8 1 1 8,4 4
a ax a a
− − + −∈
( ) 0f x′ > ( )f x
( )f x∴ 1x x= 2x x=
0a = ( )f x
1
8a ≥ ( )f x
10 8a< < ( )f x
( )2 ( )1 10, 8a ∈
( )f x 1x
2x 1x 2x
1 2
1
2x x a
+ = 1 2
1
2x x a
=
( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 1[ ) 2 ln 2 1 2 14 4f x f x x x a x x x x lnx lnx a lna lna a
∴ + = + − + − − + = + + = + + +
( ) 1 2 14g a lna lna
= + + +
10 8a< = −
( ) ( )1 2 3 2 2f x f x ln∴ + > −【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值，注意分类讨论思想的运用，属于难
题．
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