大庆三模数学（理）参考答案.docx

‎2020大庆三模数学理科参考答案 一、选择题 ABACC BDDCA CD ‎13.2 14.1 15. 16,‎ ‎17.解（Ⅰ）因为，①‎ 当时，，② ...............................2分 由①-②得，即， ............................................4分 当时，，， ‎ 所以数列为等比数列，其首项为，公比为，‎ 所以； ..................................................................6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，‎ 所以， ........................................................8分 所以，‎ ‎........10分 因为 所以 ............................12分 ‎18.解（1）证明：连接AC,BD交点为O，∵四边形ABCD为正方形，∴‎ ‎∵，,∴,...........................................................2分 又∵,∴‎ 又,∴...........................................................4分 ‎（2）方法1：∵，过点P做,垂足为E ‎∴∵PA与底面ABCD所成的角为，∴,...............................................................6分 又，设,则 ‎ ‎ 过F做FE垂直于AB,垂足为F,则AF=‎ ‎ 如图所示，以A为坐标原点，为x,y轴的正方向建立空间直角坐标系 ‎..........8分 设面法向量为，‎ ‎,∴，‎ ‎，∴......................................................................9分 同理的法向量， ....................................................................10分 ‎ ....................................................................11分 ‎∴二面角的正弦值 ....................................................................12分 ‎（2）方法2∵，过点P做,垂足为E ‎∴∵PA与底面ABCD所成的角为，∴,.........................9分 设AB=a,则，AB=BC=CD=DA=a,AC=,由，得AP=，‎ PE=，AE=，过E做EF垂直AB，垂足为F,则AF=，‎ 如图所示，以A为坐标原点，为x,y轴的正方向建立空间直角坐标系 所以可得：A(0,0,0),B(a,0,0)C(a,a,0),D(0,a.0),‎ P(,,)，....................................................................8分 ‎，(0,a.0)，=(a,0,0)‎ 设面法向量为,,,‎ 令z=1.则，即，....................................................................9分 设的法向量，则,，‎ 令z=1.则，， ....................................................................10分 ‎(直接书写：同理可得，本次考试不扣此步骤分）‎ 所以， ..................................................................11分 则二面角的正弦值为 .....................................................................12分 ‎19.解（1）设零件经，，三道工序加工合格的事件分别记为，，，‎ 则，，，，，.‎ 设事件为“生产一个零件为二级品”，由已知，，是相互独立事件，则，.............................................2分 所以. .............................................4分 ‎（2）的可能取值为200，100，，...........................................5分 ‎，‎ ‎，‎ ‎，....................................................8分 则的分布列为 ‎200‎ ‎100‎ ‎-50‎ ‎. .........................10分 所以. .. .....................12分 ‎20.解：（1）当时，， ------------------------2分 所以，因为 ‎ 所以切线方程为， 整理得： -----------------------4分 ‎（2），因为，所以（）恒成立 设，则 ---------6分 设则（）.‎ 所以在上单调递增，又,‎ ‎,所以存在使得，‎ 当时，,即；当时，即.所以 在上单调递减，上单调递增.所以 . ----------8分 因为 所以,------------10分 设，当时，，所以在上单调递增.则，即.所以 因为，所以，所以的最大值为2. ----------------------------------12分 ‎21.方法一 解（1）由题有，. ∴，.....................................................2分 ‎∴.‎ ‎∴椭圆方程为 ...........................................................................4分 ‎（2）设：，将其与曲线的方程联立，得.‎ 即...........................................................................................6分 设，，则，‎ ‎............................................8分 将直线：与联立，得 ‎∴..........................................................................................9分 ‎∴......................................................10分 设.显然. 构造.‎ 在上恒成立,所以在上单调递增.‎ 所以，当且仅当，即时取“=”‎ 所以的取值范围是 ............................11分 当取得最小值1时，, 此时直线的方程为 ......................................12分（注：1.如果按函数的性质求最值可以不扣分；2.若直线方程按斜率是否存在讨论，则可以根据步骤相应给分.）‎ ‎21.方法二 解（1）由题有，. ∴，...................................................2分 ‎∴.‎ ‎∴椭圆方程为 ...........................................................................4分 ‎（2）方法1：设：，将其与曲线的方程联立，得.‎ 即...........................................................................................6分 设，，则，‎ ‎............................................8分 将直线：与联立，得 ‎∴..........................................................................................9分 ‎∴......................................................10分 设.显然. 构造.‎ 在上恒成立,所以在上单调递增.‎ 所以，当且仅当，即时取“=”‎ 所以的取值范围是.‎ 当取得最小值1时，, 此时直线的方程为 ......................................12分（注：1.如果按函数的性质求最值可以不扣分；2.若直线方程按斜率是否存在讨论，则可以根据步骤相应给分.）‎ ‎（2）方法2：当l的斜率不存在时，易得 ‎.......................6分 当l斜率存在时，可设设，‎ 由 得， ...........................8分 ‎ ...........................9分 依题意可知，则有直线TF：，又x=4，则 所以， ...........................10分 则得......................11分 综上可知，最小值为1，此时直线的方程为 ......................................12分 ‎（2）方法3：当l的斜率不存在时，易得 ‎...........................6分 当l斜率存在时，可设设，‎ 由 得，...........................8分 ‎...........................9分 依题意可知，则有直线TF：，又x=4，则 ‎，...........................10分 则得 设，则有，‎ 设 当t=1时，f(t)=16,则t>1时，f(t)>16,则...........................11分 综上可知，最小值为1，此时直线的方程为 ......................................12分 ‎22.解（1）曲线C的普通方程为...............................................2分 因为 ,所以 所以直线l的直角坐标方程为...................................4分 （2） 点P的坐标为（4,0）‎ 设直线m的参数方程为（t为参数，为倾斜角）..........6分 联立直线m与曲线C的方程得： ‎ 设A、B对应的参数分别为，则 所以...................................................8分 ‎.................................................................................10分 ‎23.解：（1）当时，....................2分 由，得.故不等式的解集为.......................4分 ‎（2）因为“，”为假命题，‎ 所以“，”为真命题，..........................................................6分 因为 所以，..................................................................................................8分 则，所以，‎ 即，解得，即的取值范围为......................................10分