全国名校2020年高三理科数学6月大联考（新课标Ⅰ卷考试版+全解全析）

理科数学试卷 第 1 页（共 4 页） 理科数学试卷 第 2 页（共 4 页） … … … … … … … … … ○ … … ○ … … ○ … … ○ … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 学校： 班级： 姓名： 准考证号： 绝密★启用前 全国名校 2020 年高三 6 月大联考（新课标Ⅰ卷） 理科数学 本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1．已知集合 ， ，则 A． B． C． D． 2．已知 为虚数单位， ，则复平面内与 对应的点在 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．若 ，则 A． B． C．2 D． 4．已知实数 满足 ，则 的大小关系是 A． B． C． D． 5．已知函数 （ ）的图象与 轴的交点中，两个相邻交点的距离 为 ，把函数 的图象上每一点的横坐标缩小到原来的一半，再沿 轴向左平移 个单 位长度，然后纵坐标扩大到原来的 2 倍得到函数 的图象，则下列命题中正确的是 A． 是奇函数 B． 的图象关于直线 对称 C． 在 上是增函数 D．当 时， 的值域是 6．函数 的图象大致为 7．在 中，已知 ， ，若以 为基底，则 可表示为 A． B． C． D． 8．记不等式组 表示的平面区域为 D，若平面区域 D 为四边形，则实数 k 的取值范围是 A． B． C． D． 9．1872 年，戴德金出版了著作《连续性与无理数》，在这部著作中以有理数为基础，用崭新 的方法定义了无理数，建立起了完整的实数理论．我们借助划分数轴的思想划分有理数， 可以把数轴上的点划分为两类，使得一类的点在另一类点的左边．同样的道理把有理数集 划分为两个没有共同元素的集合 A 和 B，使得集合 A 中的任意元素都小于集合 B 中的任意 元素，称这样的划分为分割，记为 A/B．以下对有理数集的分割不会出现的类型为 A．A 中有最大值，B 中无最小值 B．A 中无最大值，B 中有最小值 C．A 中无最大值，B 中无最小值 D．A 中有最大值，B 中有最小值 10．已知双曲线 的右顶点为 ， 为坐标原点， 为 的中点， 若 的渐近线与以 为直径的圆相切，则双曲线 的离心率等于 A． B． C． D． 11 ．已知函数 ， ，若 ， 满足 ，其中 ，则实数 a 的取值范围是 A． B． C． D． 12 ．如图，已知平面四边形 中， ，且 ， ， ，沿 直 线 将 折 起 到 的位置，构成一个四面体，当四面体 的体积最大 时，四面体 的外接球的体积等于 A． B． C． D． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．抛物线 上一点 M 到焦点的距离是它到 x 轴距离的 2 倍，则 M 点的坐标为________． 14．2020 年是中国全面建成小康社会目标实现之年，是脱贫攻坚收官之年，为确保脱贫攻坚 任务如期全面完成，某单位根据帮扶对象的实际精确定位，为帮扶对象制定 6 个农业种植 项目和 7 个农闲时间的务工项目，现需要从中选取 2 个农业种植项目和 4 个农闲时间的务 工项目，则农业种植项目甲与农闲时间的务工项目乙不同时被选取的方法有________ 种． { || | 2}P x x= > 2{ | 2 3 0}Q x x x= − − ≤ P Q = (2, )+∞ (1, )+∞ (2,3] [ 1,2)− i (2 i) 6 7iz− = + z 26cos 2cos2 1α α+ = − tanα = 2± 3± 3− , ,a b c lg2 22 , log , sina b a c b= = = , ,a b c a b c> > b c a> > a c b> > b a c> > ( ) sin 3 cosf x x xω ω= − 0ω > x π ( )f x x 3 π ( )g x ( )g x ( )g x 6x π= ( )g x [ , ]3 12 π− π [ , ]6 6x π− π∈ ( )g x [0,2] 2( ) cos sin(1 )3 1xf x x= ⋅ − + ABC△ 1 ( )2AD AB AC= +   1 3AE AD=  ,AD BE  DC 2 1 3 3AD BE+  2 3 AD BE+  1 3AD BE+  1 2 3 3AD BE+  2 1 3 1 2 y x x y y y kx ≤ −  + ≤ ≥ −  ≥ − 1 11 4 4k< < 1 11 4 4k< ≤ 1 11 3 3k< < 1 11 3 3k≤ ≤ 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > A O A OM C AM C 3 2 4 2 3 3 3 2 ( ) | 2| 2f x x= − + ( ) lng x ax x= − 0 (0,e)x∀ ∈ 1 2, (0,e)x x∃ ∈ 0( )f x = 1 2( ) ( )g x g x= 1 2x x≠ 5[ ,e)e 1( ,e)e 1[1 ,e)e + 1 5[1 , ]e e + P'CAB AC BC⊥ 6AC = 2 7BC = 2 14P'C P'B= = BC P'BC△ PBC△ PABC PABC 500 3 π 256 3 π 50π 96π 21 4y x=理科数学试卷 第 3 页（共 4 页） 理科数学试卷 第 4 页（共 4 页） / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / … … … … … … … … … 装 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 订 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 线 … … … … … … … … … … … … 考 生 注 意 清 点 试 卷 有 无 漏 印 或 缺 页 ， 若 有 要 及 时 更 换 ， 否 则 责 任 自 负 。 15．在 中，角 的对边分别为 ，若 ， ， ，则 的面积等于________． 16．已知函数 ,若方程 没有实数解，则实数 的取值范围为 ________． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．（12 分） 已知数列 满足 ，且对于任意 ，都有 ． （1）求数列 的通项公式； （2）若 ，数列 的前 项和为 ，求证： ． 18．（12 分） 如图，已知矩形 与平行四边形 所在的平面相互 垂直， ， ． （1）求证： ； （2）若直线 与平面 所成的角等于 ，求二面角 的平面角． 19．（12 分） 已知椭圆 的离心率 ，且过点 ． （1）求椭圆 的标准方程； （2）过点 的直线 与椭圆 有两个不同的交点 和 ，点 关于 轴的对称点为 ，判断直线 是否经过定点，若经过，求出该定点的坐标；若不经过，请说明理 由． 20．（12 分） 已知函数 ． （1）当 时，求函数 在 上的最大值和最小值； （2）已知 ，若 ， 恒成立，求实数 a 的取值 范围． 21．（12 分） 中国国家统计局 2019 年 9 月 30 日发布数据显示，2019 年 9 月中国制造业采购经理指数 （PMI）为 49.8%，反映出中国制造业扩张步伐有所加快．以新能源汽车、机器人、增材 制造、医疗设备、高铁、电力装备、船舶、无人机等为代表的高端制造业突飞猛进，则进 一步体现了中国制造目前的跨越式发展．已知某精密制造企业根据长期检测结果，得到生 产的产品的质量差服从正态分布 ，并把质量差在 内的产品称为优等 品，质量差在 内的产品称为一等品，优等品与一等品统称为正品，其余范 围内的产品作为废品处理．现从该企业生产的正品中随机抽取 1000 件，测得产品质量差 的样本数据统计如下： （1）根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为 100，用样本平均数 作 为 的近似值，用样本标准差 作为 的估计值，记质量差 ，求该企业生产 的产品为正品的概率 ；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表） （2）假如企业包装时要求把 件优等品和 （ ，且 ）件一等品装在同一个箱 子中，质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同则该箱产 品记为 A，否则该箱产品记为 B． ①试用含 的代数式表示某箱产品抽检被记为 B 的概率 ； ②设抽检 5 箱产品恰有 3 箱被记为 B 的概率为 ，求当 为何值时， 取得最大值， 并求出最大值． 参考数据：若随机变量 服从正态分布 ，则： ， ， ． （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一 题计分。 22．[选修 4−4：坐标系与参数方程]（10 分） 在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以 为极 点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 （ ）． （1）求曲线 的普通方程和直线 的直角坐标方程； （2）试判断曲线 与直线 的位置关系？若曲线 与直线 有两个公共点 ，试求 的最小值与最大值；若没有，请说明理由． 23．[选修 4−5：不等式选讲]（10 分） 已知函数 ． ABC△ , ,A B C , ,a b c 6cos 3A = 2C A= 2c = ABC△ ( ) e xf x ax−= − ( ) 2 0f x x+ = a { }na 1 1 2a = *,m t ∈N m t m ta a a+ = ⋅ { }na 2( 1) logn nb n a= − + ⋅ *1{ }( ) n nb ∈N n nS 1 12 nS≤ < 1 1BCC B 1 1ABB A 11 2AB AB= =， 1 5BB = 1 1 1AB AC⊥ 1AC 1 1ABB A 3 π 1C AC B− − 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 6 3e = ( 3,1)N C (3,0)M l C P Q P x P′ P Q′ 2( ) lnf x ax x= − 1 2a = ( )f x 1[ e]e , 21( ) 2 2ln2g x x ax x= + − (1 + )x∀ ∈ ∞, ( ) ( )f x g x< 2( , )N µ σ ( , )µ σ µ σ− + ( , 2 )µ σ µ σ+ + x µ s σ 2~ ( , )X N µ σ P 2 n 2n ≥ *n∈N n p ( )f p n ( )f p ξ 2( , )N µ σ ( ) 0.6827P µ σ ξ µ σ− < ≤ + ≈ ( 2 2 ) 0.9545P µ σ ξ µ σ− < ≤ + ≈ ( 3 3 ) 0.9973P µ σ ξ µ σ− < ≤ + ≈ xOy C 4cos 4 4sin x y θ θ =  = + θ O x T cos sin 1 0t tρ θ ρ θ− + + = t ∈R C T C T C T ,M N | |MN ( ) | 2 | | 3|f x x ax= + + −理科数学试卷 第 5 页（共 6 页） 理科数学试卷 第 6 页（共 6 页） / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / 考 生 注 意 清 点 试 卷 有 无 漏 印 或 缺 页 ， 若 有 要 及 时 更 换 ， 否 则 责 任 自 负 。 … … … … … … … … … 装 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 订 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 线 … … … … … … … … … … … … （1）当 时，求不等式 的解集； （2）若 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围． 全国名校 2020 年高三 6 月大联考（新课标Ⅰ卷） 理科数学·全解全析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C D B A C C B A D A A A 1．C 【解析】由 ，解得 或 ，所以集合 或 ；由 ， 即 ， 解 得 ， 所 以 集 合 ， 所 以 ．故选 C． 2．D 【解析】因为 ，所以 ，所以 ，所以复平面内与 对应的点为 ，在第四象限．故选 D． 3．B 【解析】由已知可得 ，∴ ， ，∴ ，即 ，故选 B． 4．A 【解析】因为 ，所以 ，即 ．因为 ， 所以 ．记 ，则 ，所以函数 在 上单调递增， 所以当 时， ，即 ，所以 ，即 b>c．综上， ．故选 A． 5．C 【解析】由题意，知 ，因为函数 的图象与 轴的交点中，两个相邻交点的距离为 ，所以函数 的最小正周期 ，所以 ， 所以 ；由题意，可得 ，是非奇非 偶 函 数 ， 故 A 错 误 ； 又 ， 所 以 B ， D 错 误 ； 由 ，得 ，所以函数 的单 调增区间为 ， ，所以函数 在 上是增函数，C 正确．故 选 C． 6．C 【解析】方法一：由题可知函数 的定义域为 ，因为 ，所以 ，所以函数 为奇函数，故可排除选项 A、 B．又 ， ，所以 ，故排除选项 D．故选 C． 方法二：因为 ， ，所以观察各选项中的图象可 知 C 符合题意，故选 C． 7．B 【解析】由 ，得 D 为 BC 的中点，由 ，得 ，所 以 ，故选 B． 8．A 【解析】如图，画出不等式组表示的平面区域．由题意，直线 恒过定点 ，则若平面区域 D 为四边形，k 的取值范围应该满足 ，又 ， ， ， ，所以 ．故选 A． 9．D 【解析】当 A，B 的分界点为某一有理数 时， ，则 A 中有最大值，B 中无最小 值．若 ，则 A 中无最大值，B 中有最小值．当 A，B 的分界点为某一无理数时，A 中 3a = ( ) 6f x < 1 2x∀ ≥ 2( ) 3f x x x≤ + + a | | 2x > 2x < − 2x > { | 2P x x= < − 2}x > 2 2 3 0x x− − ≤ ( 1)( 3) 0x x+ − ≤ 1 3x− ≤ ≤ { | 1 3}Q x x= − ≤ ≤ { | 2 3}P Q x x= < ≤ (2 i) 6 7iz− = + 6 7i (6 7i)(2 i) 5 20i 1 4i2 i (2 i)(2 i) 5z + + + += = = = +− − + 1 4iz = − z (1, 4)− 2 26cos 2(2cos 1) 1α α+ − = − 2 1cos 10 α = 2 9sin 10 α = 2tan 9α = tanα = 3± 0 lg2 lg10 1< < = 0 lg2 12 2 2< < 1 2a< < 2log lg2b a= = 0 1b< < ( ) sinf x x x= − ( ) 1 cos 0f x x′ = − ≥ ( )f x R (0,1)x∈ ( ) (0) 0f x f> = sinx x> lg2 sin(lg2)> a b c> > ( ) sin 3 cos 2sin( )3f x x x xω ω ω π= − = − ( )f x x π ( )f x 2 2T ω π= = π =1ω ( ) 2sin( )3f x x π= − ( ) 4sin[2( ) ] 4sin(2 )3 3 3g x x x π π π= + − = + π 2( ) 4sin6 3g π= = 2 3 2> 2 2 22 3 2k x k k π π π− + π ≤ + ≤ + π( ∈ )Z 12 12k x k k 5π π− + π ≤ ≤ + π( ∈ )Z ( )g x [ , ]12 12k k 5π π− + π + π k ∈Z ( )g x [ , ]3 12 π− π ( )f x R 2 3 11 3 1 3 1 x x x −− =+ + ( )f x− = 3 1cos( ) sin( )3 1 x xx − − −− ⋅ =+ 1 3cos sin( ) ( )1 3 x xx f x −⋅ = −+ ( )f x cos1 0> 2sin(1 )3 1 − =+ 1sin 02 > 1(1) cos1 sin 02f = × > 1( 1) cos1 sin( ) 02f − = × − < 1(1) cos1 sin 02f = × > 1 ( )2AD AB AC= +   1 3AE AD=  2 3ED AD=  DC BD= =  2 3ED BE AD BE+ = +    = 2y kx − (0, 2)A − AB ACk k k< < (4, 1)B − 4 5( , )3 3C 1 2 1 4 0 4ABk − += =− ACk = 5 2 113 4 403 + = − 1 11 4 4k< < a a A∈ a B∈理科数学试卷 第 7 页（共 4 页） 理科数学试卷 第 8 页（共 4 页） / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / … … … … … … … … … 装 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 订 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 线 … … … … … … … … … … … … 考 生 注 意 清 点 试 卷 有 无 漏 印 或 缺 页 ， 若 有 要 及 时 更 换 ， 否 则 责 任 自 负 。 无最大值，B 中无最小值，故选 D． 10 ． A 【 解 析 】 由 题 意 ， 双 曲 线 的 右 顶 点 为 ， 渐 近 线 方 程 为 ， 即 ．由 为 的中点，可知 ．故以 为直径的圆的圆心坐标为 ， 半径 ．由题意知双曲线的渐近线与圆相切，所以圆心到渐近线的距离等于 圆 的 半 径 ， 即 ， 整 理 得 ， 即 ， ，解得 ，所以 ．故选 A． 11．A 【解析】当 时，∵ ，∴ ．∵ ，∴ ，若 ，则 ，此时 在 上单调递减，不符合题意，∴ ．令 得 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增，由 题意，得 ，解得 ．故选 A． 12．A 【解析】如图，取 的中点 ，连接 ，则 ． 因为三角形 的面积为定值，所以当 平面 时，四面体 的体积最大． 因为 为直角三角形，所以其外接圆圆心为 的中点 ，设四面体 的外接球 球心为 ，则 平面 ，易知点 、点 位于平面 同侧． 又因为 平面 ，所以 ．连接 ， ， 故四边形 为直角梯形，过 作 于点 ，则四边形 为矩形． 连接 ．设四面体的外接球的半径为 ， ． 在 中， ， ，所以 ． 在 中， ，所以 ．① 在 中， ． 在直角梯形 中， ， ， ． 在 中， ，即 ．② 解①②组成的方程组，得 ．所以 ，解得 （负值舍去）． 所以四面体的外接球的体积 ．故选 A． 13． 或 【解析】抛物线 ，即 ，其准线方程为 ，由抛物线的 定义可知点 M 到焦点的距离与点 M 到准线的距离相等，由题意可得点 M 的纵坐标为 1， 所以把 代入抛物线方程可得 ，所以 M 点的坐标为 或 ． 14．425 【解析】方法一（直接法）（1）农业种植项目甲与农闲时间的务工项目乙都不选取 时，不同的选取方法有 （种）；（2）选取农业种植项目甲，不选农闲 时间的务工项目乙时，不同的选取方法有 （种）；（3）不选农业种植项 目甲，选取农闲时间的务工项目乙时，不同的选取方法有 （种）．所 以甲乙不同时被选取的方法共有 （种）． 方法二（排除法）先从 6 个农业种植项目和 7 个农闲时间的务工项目中选取 2 个农业种植 项目和 4 个农闲时间的务工项目，此时不同的选取方法有 （种）； 若农业种植项目甲与农闲时间的务工项目乙都选，则不同的选取方法为 （种）． C ( ,0)A a by xa = ± 0bx ay± = A OM (2 ,0)M a AM 3( ,0)2 a 1 | |2 2 ar AM= = 2 2 3| 0 |2 2 b a a a a b × ± × = + 2 2 3a b b+ = 2 23c c a= − 2 2 29 9c c a= − 2 2 2 9 8 ce a = = 3 2 4e = (0,e)x∈ ( ) | 2| 2f x x= − + ( )f x ∈ [2,4) ( ) lng x ax x= − 1 1( ) axg x a x x −′ = − = 0a ≤ ( ) 0g x′ < ( )g x (0,e) 0a > ( ) 0g x′ = 1 (0,e)x a = ∈ ( )g x 1(0, )a 1[ ,e)a 1 (0,e) 1 1( ) 1 ln 1 ln 2 (e) e lne e 1 4 a g aa a g a a  ∈   = − = + ( )g x ln(2 )x a= − − ( )g x ( ln(2 )) (2 )[1 ln(2 )]g a a a− − = − − − (2 )[1 ln(2 )] 0a a− − − > 2 e 2a− < < ( )g x e (2 ) 0x a x− + − = a (2 e,2]− *,m t ∈N m t m ta a a+ = ⋅ , 1m n t= = 1 1n na a a+ = ⋅ * 1 1 2n na a n+ = ∈N， { }na 1 2 11 1 1( )2 2 2 n n na −= × = *n∈N 2( 1) log ( 1)n nb n a n n= − + ⋅ = + 1 1 1 1 ( 1) 1nb n n n n = = −+ + 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 111 2 2 3 1 1n n S b b b n n n = + + + = − + − + + − = −+ +  1( ) 1 1f x x = − + [1, )+∞ ( ) 1f x < 1 1 2S = 1 12 nS≤ < 1 1BCC B ⊥ 1 1ABB A 1 1BCC B  1 1 1ABB A BB= 1 1 1C B BB⊥ 1 1C B ⊥ 1 1ABB A 1 1 1C B AB⊥ 1 1AA B△ 1 1 11 2A B AB AB= = =， 1 1 5BB AA= = 2 2 2 1 1 1 1A B AB AA+ = 1 1 1A B AB⊥ 1 1 1 1 1C B A B B= 1AB ⊥ 1 1 1A B C 1 1AC ⊂ 1 1 1A B C 1 1 1AB AC⊥ 1 1C B ⊥ 1 1ABB A 1 1C AB∠ 1AC 1 1ABB A 1 1 3C AB π∠ = 1 1 1 tan 33 C B AB π= = 1 1 2 3C B = 1 1 1A B AB⊥ 1B 1 1 1 1 1, ,B A B A B C , ,x y z (0,2,0)A ( 1,2,0)B − 1(0,0,2 3)C ( 1,2,2 3)C −理科数学试卷 第 11 页（共 4 页） 理科数学试卷 第 12 页（共 4 页） / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / … … … … … … … … … 装 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 订 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 线 … … … … … … … … … … … … 考 生 注 意 清 点 试 卷 有 无 漏 印 或 缺 页 ， 若 有 要 及 时 更 换 ， 否 则 责 任 自 负 。 所以 ， ， ．（8 分） 设平面 的法向量为 ， 则由 ，可得 ，即 ． 令 ，则 ．所以 是平面 的一个法向量．（9 分） 设平面 的法向量为 ， 则由 ，可得 ，即 ． 令 ，所以 是平面 的一个法向量．（10 分） 所以 ． 设二面角 的平面角为 ，由图可得 ， 所以 ，所以二面角 的平面角为 ．（12 分） 19．（12 分） 【解析】（1）由 ，得 ，即 ． 又因为点 在椭圆上， 所以 ，解得 ， 故椭圆 的标准方程为 ．（4 分） （2）设 、 ．直线 的斜率显然存在，设为 ，则直线 的方程为 ． 将直线 与椭圆 的方程联立得： ， 消去 ，整理得 ，（6 分） ， ∴ ． 由根与系数之间的关系可得： ， ．（8 分） ∵点 关于 轴的对称点为 ，则 ． ∴直线 的斜率 ， 直线 的方程为： ，（9 分） 即 ． ( 1,0,0)AB = − 1 (0, 2,2 3)AC = − ( 1,0,2 3)AC = − 1ABC 1 1 1( , , )x y z=m 1 AB AC  ⊥ ⊥   m m 1 1 1 1 0 2 2 3 0 AB x AC y z  ⋅ = − = ⋅ = − + =   m m 1 1 1 0 3 0 x y z = − = 1 3y = 1 1z = (0, 3,1)=m 1ABC 1CAC 2 2 2( , , )x y z=n 1AC AC  ⊥ ⊥   n n 1 2 2 2 2 2 2 3 0 2 3 0 AC y z AC x z  ⋅ = − + = ⋅ = − + =   n n 2 2 2 2 3 0 2 3 0 y z x z  − = − = 2 1z = (2 3, 3,1)=n 1CAC 2 2 2 2 2 3 3 1 4 1cos , | | | | 2 4 2( 3) 1 (2 3) ( 3) 1 ⋅ × += = = =× ×+ × + + m nm n m n 1C AC B− − θ (0, )2 θ π∈ 1cos cos , 2 θ = =m n 1C AC B− − 3 π 6 3 ce a = = 2 2 2 2 31 3 b a c c a a a −= = − = 3a b= ( 3,1)N 2 2 2 2 ( 3) 1 1a b + = 2 2 6 2 a b  = = C 2 2 16 2 x y+ = 1 1( , )P x y 2 2( , )Q x y l k l ( 3)y k x= − l C 2 2 ( 3) 16 2 y k x x y = − + = y 2 2 2 2(3 1) 18 27 6 0k x k x k+ − + − = 2 2 2 2 2( 18 ) 4 (3 1)(27 6) 12(3 2) 0k k k k∆ = − − × + − = − − > 2 2 3k < 2 1 2 2 18 3 1 kx x k + = + 2 1 2 2 27 6 3 1 kx x k −⋅ = + P x P′ 1 1( , )P x y′ − P Q′ 2 1 2 1 y yk x x += − P Q′ 2 1 1 1 2 1 ( )y yy y x xx x ++ = −− 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 ( )y y x xy x x yx x y y + −= − −− + 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 ( ) ( )[ ]y y y y x x x yxx x y y + + + −= −− + 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 ( )y y x y x yxx x y y + += −− + 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 ( 3) ( 3)[ ]( 3) ( 3) y y x k x x k xxx x k x k x + − + −= −− − + − 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 3( )[ ]6 y y x x x xxx x x x + − += −− + − 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 27 6 182 33 1 3 1( )18 63 1 k k y y k kx kx x k −× − ×+ + += −− −+ 2 1 2 1 ( 2)y y xx x += −−理科数学试卷 第 13 页（共 6 页） 理科数学试卷 第 14 页（共 6 页） / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / 考 生 注 意 清 点 试 卷 有 无 漏 印 或 缺 页 ， 若 有 要 及 时 更 换 ， 否 则 责 任 自 负 。 … … … … … … … … … 装 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 订 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 线 … … … … … … … … … … … … ∴直线 过 轴上的定点 ．（12 分） 20．（12 分） 【解析】（1）当 时， ，则 ． ∵ ，令 ，得 ．（2 分） ∴ 时， ， 单调递减； 时， ， 单调递增． 又∵ ， ∴ 时， 的最大值为 ，最小值为 ．（5 分） （2）设 ，则 ， ． ， 恒成立，等价于当 时， 恒成立，（7 分） 当 时 ， 在 上 ， ， 函 数 单 调 递 减 ， 在 上 ， ，函数 单调递增， 又 ，不合题意； 当 时， ， 在 上单调递增， 又 ，不合题意；（9 分） 当 时， ， 在 上单调递减， ∴当 时， 恒成立 ， ∴ ．（11 分） 综上所述，a 的取值范围为 ．（12 分） 21．（12 分） 【 解 析 】 （ 1 ） 由 题 意 ， ．（2 分） 样本方差 ，故 ，所以 ， 所以该企业生产的产品为正品的概率 ．（5 分） （2）①从 件正品中任选两个，有 种选法，其中等级相同有 种选法， ∴某箱产品抽检被记为 B 的概率为 ．（7 分） ②由题意，一箱产品抽检被记为 B 的概率为 ，则 5 箱产品恰有 3 箱被记为 B 的概率 ， 所以 ，（9 分） 所以当 时， ，函数 单调递增； 当 时， ，函数 单调递减． 所以当 时， 取得最大值，最大值为 ．（10 分） 由 ，解得 ． ∴ 时，5 箱产品恰有 3 箱被记为 B 的概率最大，最大值为 ．（12 分） 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 【解析】（1）由 ，可得 ， 得 ， 所以曲线 的普通方程为 ，（3 分） 将 代入 ，可得曲线 的直角坐标方程为 P Q′ x (2,0) 1 2a = 21( ) ln ( 0)2f x x x x= − > 21 1( ) = xf x x x x −′ = − 1[ e]ex∈ , ( ) 0f x′ = =1x 1[ 1)ex∈ , ( ) 0f x′ < ( )f x (1 e]x∈ , ( ) 0f x′ > ( )f x 2 2 1 1 e( ) +1 (e) 1e 2e 2f f= < = − 1[ e]ex∈ , ( )f x 2e(e) 12f = − 1 1(1) ln12 2f = − = ( ) ( ) ( )h x f x g x= − 21( ) ( ) 2 ln2h x a x ax x= − − + 1 ( 1)[(2 1) 1]( ) (2 1) 2 x a xh x a x a x x − − −′ = − − + = (1, )x∀ ∈ +∞ ( ) ( )f x g x< 1x > ( ) 0h x < 1 12 a< < 1(1, )2 1a − ( ) 0h' x < ( )h x 1( )2 1a + ∞− ， ( ) 0h' x > ( )h x 24 1 4 4 4 4( ) ( )( ) 2 ( ) ln( ) ln( ) ln 2 02 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 a a a a ah a aa a a a a = − − + = > >− − − − − 1a ≥ ( ) 0h x′ > ( )h x (1 )+ ∞, 22 1 2 2 2 4( ) ( )( ) 2 ( ) ln( ) ln( ) ln 2 01 1 1 12 2 1 2 2 2 2 a a a a ah a a aa a a a = − − + = > >−− − − − 1 2a ≤ ( ) 0h' x < ( )h x (1 )+ ∞, 1x > ( ) 0h x < 1 1(1) 02 2h a a⇔ = − − ≤ ⇔ ≥ − 1 1 2 2a− ≤ ≤ 1 1[ , ]2 2 − 46 56 56 66 66 760.010 10 0.020 10 0.045 10 0.020 102 2 2x + + += × × + × × + × × + × × 76 86 86 960.005 102 2 + ++ × × 70= 2 100s = 2 10sσ ≈ = 2~ (70,10 )X N 1(60 90) (60 70) (70 90) (0.68272P P X P X P X= < < = < < + < < = × + 0.9545) 0.8186= 2n + 2 2Cn+ 2 2 2C Cn + 2 2 2 2 2 2 2 2 C C 21 1C 3 2 3 2 4n n n n np n n n n+ + − += − = − =+ + + + p 3 3 2 3 2 3 4 5 5( ) C (1 ) 10 (1 2 ) 10( 2 )f p p p p p p p p p= − = − + = − + 2 3 4 2 2 2( ) 10(3 8 5 ) 10 (3 8 5 ) 10 ( 1)(5 3)f p p p p p p p p p p′ = − + = − + = − − 3(0, )5p∈ ( ) 0f p′ > ( )f p 3( ,1)5p∈ ( ) 0f p′ < ( )f p 3 5p = ( )f p 3 3 2 5 3 3 3 216( ) C ( ) (1 )5 5 5 625f = × × − = 2 4 3 3 2 5 n n n =+ + 3n = 3n = 216 625 4cos 4 4sin x y θ θ =  = + 4cos 4 4sin x y θ θ  =  − = ① ② 2 2+① ② 2 24( ) 16x y −+ = C 2 24( ) 16x y −+ = cos sin x y ρ θ ρ θ =  = cos sin 1 0t tρ θ ρ θ− + + = T理科数学试卷 第 15 页（共 4 页） 理科数学试卷 第 16 页（共 4 页） / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / … … … … … … … … … 装 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 订 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 线 … … … … … … … … … … … … 考 生 注 意 清 点 试 卷 有 无 漏 印 或 缺 页 ， 若 有 要 及 时 更 换 ， 否 则 责 任 自 负 。 ．（5 分） （2）由（1）得直线 的方程为 ，故直线 恒过点 ． 曲线 的圆心为 ，半径 ， 因为 ，所以点 在圆 内，所以圆 与直线 恒相 交．（8 分） 所以 的最小值为 ， 的最大值为 ．（10 分） 23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 【解析】（1）当 时， ，不等式 可化为 ．（1 分） ①当 时，不等式可化为 ，即 ，无解； ②当 时，不等式可化为 ，即 ，解得 ；（3 分） ③当 时，不等式可化为 ，即 ，解得 ， 综上，可得 ，故不等式 的解集为 ．（5 分） （2）当 时，不等式 ，即 ，整理得 ， 即 ，即 ，因为 ，所以分离参数可得 ．（8 分） 显然函数 在 上单调递减，所以 ， 而函数 ，当且仅当 ，即 时取等号， 所以实数 的取值范围为 ．（10 分） 1 0tx y t− + + = T ( 1) ( 1) 0t x y+ − − = T ( 1,1)P − C (0,4)C 4r = 2 2(1| | ( 1) 104)PC r+ −= − = < P C C T | |MN 2 2 22 | | 2 4 10 2 6r PC− = − = | |MN 2 8r = 3a = ( ) | 2 | 3| 1|f x x x= + + − ( ) 6f x < | 2 | 3| 1| 6x x+ + − < 2x < − 2 3 3 6x x− − + − < 4 5x− < 2 1x− ≤ ≤ 2 3 3 6x x+ + − < 2 1x− < 1 12 x− < ≤ 1x > 2 3 3 6x x+ + − < 4 7x < 71 4x< < 1 7 2 4x− < < ( ) 6f x < 1 7( , )2 4 − 1 2x ≥ 2( ) 3f x x x≤ + + 22 | 3| 3x ax x x+ + − ≤ + + 2| 3| 1ax x− ≤ + 2 21 3 1x ax x− − ≤ − ≤ + 2 22 4x ax x− + ≤ ≤ + 1 2x ≥ 2 4 a x x a x x  ≥ − +  ≤ + 2( )g x x x = − + 1[ , )2 +∞ 1 7( ) ( )2 2g x g≤ = 4 4( ) 2 4h x x xx x = + ≥ × = 4x x = 2x = a 7[ ,4]2