2020 年高考全真模拟题
数 学
考生注意：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1.已知集合
A. B. C. D.
2.设复数 满足 ，则 z 的虚部为
A. B. C. D.
3.已知函数 ，则函数 的定义域为
A. B.
C. D.
4.已知抛物线 的准线恰好与圆 相切，则
A.3 B.4 C.5 D.6
5.设 p：实数 满足 ，q：实数 满足 ，则 p 是 q
的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下
有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.”今有底面
为正方形的屋脊形状的多面体（如图所示），下底面是边长为
2 的正方形，上棱 ，EF//平面 ABCD，EF 与平面
ABCD 的距离为 2，该刍甍的体积为
{ } { }2 4 5 0 , 1 0A x x x B x x A B= − − < = − > ∩ =，则
( )1−∞， ( )11− ， ( )15− ， ( )0 5，
z ( )21 =5 2i z i− +
1− i− 5
2
5
2 i
( )
2 4x x
xf x =
−
( )1
1
f x
x
−
+
( ),1−∞ ( ), 1−∞ −
( ) ( ), 1 1,0−∞ − ∪ − ( ) ( ), 1 1,1−∞ − ∪ −
2: 4C x y= ( ) ( ) ( )2 2 2: 3 4 0M x y r r− + − = > r =
x ( ) ( )2 1 0 0 5x a x a a− + + ≤ < >
2 5
5 OAB∆
l / /l 1 2,k k
1 2k k⋅22．(12 分)
已知函数 有两个零点．
(1)求 a 的取值范围；
(2)设 是 的两个零点，证明： ．
( ) ln 1f x x ax= − +
1 2,x x ( )f x ( )1 2 1f x x a′ < −2020 年高考全真模拟题
数学参考答案
1.B【解析】本题考查集合交集运算，考查运算求解能力.
因为 .
2.C【解析】本题考查复数的四则运算，考查运算求解能力.
，则 的虚部为 .
3.D【解析】本题考查函数的定义域，考查运算求解能力.
令 ，解得 有意义，则 即
.
4.C【解析】本题考查抛物线的标准方程及直线与圆的位置关系，考查数形结合的思想.
抛物线 的准线方程为 则 .
5.A【解析】本题考查充分必要条件，不等式的解法，考查运算求解能力，逻辑推理能力.
设
，因为 ，所以 ，所以 的充分不必要条件.
6.B【解析】本题考查空间几何体的体积，考查空间想象能力和运算求解能力.
如图，作 FN//AE，FM//ED，则多面体被分割为棱柱与棱锥部分，则该刍甍的体积为
.
7.A【解析】本题考查函数图象的应用，考查逻辑推理能力.
由 ，所以 是奇函数，排除 B,D；由
，可知 ，结合图象可知选 A.
8.D【解析】本题考查双曲线的定义以及内切圆的应用，考查数形结合的思想以及转化与化归
的思想.
设 的内切圆在边 的切点分别为 E,G，则
. 又 ， 则 ， 由 对 称 性 可 知
( ) ( ) ( )1,5 , ,1 1,1A B A B= − = −∞ ∩ = −，所以
( )
( )
2 2
5 25 2 5 2 2 5 512 2 2 21
i ii i iz ii ii
++ + − += = = = = − +− −− z 5
2
2 4 1x x x>
( ) 3xf x e= + ( )0 3
0 , xx e + ( ) xf x e′ = 0 0
01, 3x xe b e x= = + − ，
4b =则
1
4
−
12sin 2 cos 4sin cos cos , sin ,2 2 4
π πα α α α α α α α = = ∈ − = ∈ ，则 因为 ， ，故
150, . cos sin =2 4 2
π πα β α β = = + 由 ，可得 ( ) 1cos 2 sin 4
α β α+ = − = −
53 243=
2 3
3 3 18C A =
1 3
2 3 12C A =
18 12 30+ =
9
4
π
O′
( )2 2 23, 3 3PO R R′ = + − = 2, 1R OO′= =
33 2Rt CO O CO O E′ ′ ′∆ = =中， ，所以 Rt EO O′∆
2
3 71 2 2OE
= + = 以 ，所以截面面积 .
17.解：选①
当 ，……………………………………………………………………1 分
当 ，………………………………………………………2 分
又 满足 ，所以 .……………………………………………………4 分
设 的公比为 q，又因为 ，…………………5 分
得 ，所以 .……………………………………………………………6 分
由数列 的前 n 项和为 ，…………………………………………7 分
可知 ，………………………………………………8 分
数列 的前 项和为 ，…………………9 分
故 .……………………………………………10 分
选②
设公差为 ，由 ……………………2 分
解得 所以 .…………………………………………………4 分
设 的公比为 q，又因为 ，……………………5 分
得 ，所以 .……………………………………………………………6 分
由数列 的前 项和为 ，…………………………………………7 分
可知 ，………………………………………………8 分
数列 的前 项和为 ，…………………9 分
2 2 32 2r OE= − = 2 9
4S r
ππ= =
1 11 , 2n a S= = =时
12 2n n nn a S S n−≥ = − =时，
1n = 2na n= 2na n=
{ }nb 1 2
1 2 1 1 22, 4 , 2
a aa a b a b= = = =，由
1 2, 2b q= = 2n
nb =
{ }nb
1
12 2 2 21 2
n
n
+
+− = −−
( )2
1 1 1 1 1
1 1nS n n n n n n
= = = −+ + +
1
nS
n 1 1 1 1 1 11 12 2 3 1 1n n n
− + − +⋅⋅⋅+ − = −+ +
1 11 12 2 1 2 11 1
n n
nT n n
+ += − + − = − −+ +
d 1
3 5 3 5
1
2 6 16,16, 42 8 13 42,
a da a S S a d
+ =+ = + = + =
，得
1 2,
2,
a
d
=
=
22 ,n na n S n n= = +
{ }nb 1 2
1 2 1 1 22, 4, , 2
a aa a b a b= = = =由
1 2, 2b q= = 2n
nb =
{ }nb n
1
12 2 2 21 2
n
n
+
+− = −−
( )2
1 1 1 1 1
1 1nS n n n n n n
= = = −+ + +
1
nS
n 1 1 1 1 1 11 12 2 3 1 1n n n
− + − +⋅⋅⋅+ − = −+ +故 .……………………………………………10 分
选③
由 ，………………………2 分
，……………………………………………………3 分
所以 .…………………………………………………………………4 分
设 的公比为 q，又因为 ，……………………5 分
得 .……………………………………………………………6 分
由数列 的前 项和为 ，…………………………………………7 分
可知 ，………………………………………………8 分
数列 的前 n 项和为 ，…………………9 分
故 .……………………………………………10 分
18.解：（1）由已知可得故 ，…2 分
得 ，………………………………………………………………………3 分
所以 .……………………………………………5 分
（2）由 .…………………………7 分
由 ，……………………9 分
则 ，当且仅当
时取等号，所以 的最小值为 .…………………………………………12 分
19.（1）证明：连接 AE，因为 为等边三角形，所以 ，……………1 分
又 平面 ADE，…………………………………2 分
1 11 12 2 1 2 11 1
n n
nT n n
+ += − + − = − −+ +
1 1 1
1
1
1 1
n n n n
n
n
a n a a a a a a na n n n n
+ ++= = = =+，得 ，所以 ，即
7 4 1 17 28 56 2S a a a= = = =，所以
22 ,n na n S n n= = +
{ }nb 1 2
1 2 1 1 22, 4, , 2
a aa a b a b= = = =由
1 2, 2 2n
nb q b= = =，所以
{ }nb n
1
12 2 2 21 2
n
n
+
+− = −−
( )2
1 1 1 1 1
1 1nS n n n n n n
= = = −+ + +
1
nS
1 1 1 1 1 11 12 2 3 1 1n n n
− + − +⋅⋅⋅+ − = −+ +
1 11 12 2 1 2 11 1
n n
nT n n
+ += − + − = − −+ +
2 2 21 2sin 1 2sin 2sin sin 1 1 2sinA B A B C− + − + = + −
2 2 2ab a b c= + −
2 2 2 1cos =2 2 3
a b cC Cab
π+ −= = ，所以
1 1 3 8 3sin 2= ,2 2 2 3ABCS ab C ab ab∆ = =，即 所以
( ) ( )2 2 21 1 22 4CD CA CB CD CA CB CA CB= + = + +
，所以
( ) ( ) ( )2 2 2 2 21 1 12 cos 2 2 34 4 4CD b a ab C b a ab ab ab= + + = + + ≥ + = a b=
2CD 2 3
PAB∆ AE PB⊥
,DE PB AE DE E PB⊥ ∩ = ⊥，所以所以 .……………………………………………………………………………3 分
因为四边形 ABCD 为矩形，所以 ，
所以 平面 PAB.………………………………………………………………………4 分
因为 平面 ABCD，所以平面 平面 PAB.…………………………………5 分
（ 2 ） 解 ： 以 A 为 原 点 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 ， 不 妨 设
，
则 ,
PB AD⊥
AD AB AB BP B⊥ ∩ =，且
AD ⊥
AD ⊂ ABCD ⊥
A xyz−
( )1 0,1,PB AB PA C n= = = ，
( ) ( )3 10,0,0 , , ,0 , 0,1,02 2A P B
由空间向量的坐标运算可得
.
……………………………………………6 分
设平面 BPC 的法向量为 ，
则 代入可得
令 ，所以 .……………………………7 分
设平面 PAC 的法向量为
则 代入可得
令 ，所以 .……………………………8 分
二面角 的大小为 ，由图可知，二面角 为锐二面角，
所以
，……………………………………………………………………10 分
所以 .…………………………………………………………………………12 分
20.解：（1）由题意知 A 水果在每天的前 8 小时内的销售量为 14，15，16，17 的频率分别是
0.2，0.3，0.4 和 0.1，………………………………………………………………2 分
所以 X 的分布列为
3 1 3 1 3 1, , , , ,0 , , ,02 2 2 2 2 2PC n AP BP
= − = = −
( )1 1 1, ,m x y z=
0,
0,
m PC
m BP
= =
1 1 1
1 1
3 1 0,2 2
3 1 0,2 2
x y nz
x y
− + + =
− =
1 1 11 3, 0x y z= = =，则 ( )1, 3,0m =
( )2 2 2, ,n x y z=
0,
0,
n PC
n AP
= =
2 2 2
2 2
3 1 0,2 2
3 1 0,2 2
x y nz
x y
− + + =
− =
2 2 2
31 3,x y z n
= = − =，则 31, 3,n n
= −
A PC B− − α α
2
1 3cos
31 3 1 3
m n
m n
n
α −= =
+ × + +
2
1 10, 234 n
= ∈ +
,3 2
π πα ∈ ………………………………………………………………………………………………4 分
（2）当 时，设 Y 为水果批发商的日利润，则 Y 的可能取值为 760，900，…5 分
，
，……………………………………………………7 分
当 时，设 Z 为水果批发商的日利润，则 Z 的可能取值为 680，820，960，…8 分
，
.………………………………………10 分
综上可知，当 时的日利润期望值大于 时的日利润期望值，故选 .…12 分
21.解：（1）直线 AB 的方程为 ，即 ，……………………1 分
则 .………………………………………………………………………2 分
因为三角形 OAB 的面积为 1，所以 ，……………………………3 分
解得 ，…………………………………………………………………………4 分
所以椭圆的标准方程为 .………………………………………………………5 分
（2）直线AB 的斜率为 ，设直线 的方程为 ，……6 分
代入 ，……………………………………………7 分
则 ，………………………………………………………………8 分
所以 ，…………………………………………………9 分
所以
，……11 分
所以 为定值.……………………………………………………………………12 分
22.解：（1）由题意，可得 ，转化为函数 与直线
上有两个不同交点.…………………………………………………………………………1 分
15n =
( ) ( )760 0.2, 900 0.8P Y P Y= = = =
( ) 760 0.2 900 0.8 872E Y = × + × =
16n =
( ) ( ) ( )680 0.2, 820 0.3, 960 0.5P Z P Z P Z= = = = = =
( ) 680 0.2 820 0.3 960 0.5 862E Z = × + × + × =
15n = 16n = 15n =
1x y
a b
+ = 0bx ay ab+ − =
2 2
2 5
5
ab
a b
=
+
1 1 22 ab ab= =，即
2, 1a b= =
2
2 14
x y+ =
1
2
− l ( ) ( )1 1 2 2
1 , , , ,2y x t C x y D x y= − +
2
2 2 21 2 2 1 04
x y y ty t+ = − + − =，得
2
1 2 1 2
1, 2
ty y t y y
−+ = =
1 2 1 2 1
1 2
1 2 1 2 2
1
2 2
y y y y yk k x x x x x
− −= =− −
( )( ) ( ) ( )2
1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 22 4 4 4x x x t y t y t y t t y y y y t y − = − − − − = − + + − +
( ) ( )( ) ( ) ( )2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 14 4y y y y y y y y y y y y y y = + − + + + − + + = −
1 2
1
4k k =
1 ln xa x
+= ( ) 1 ln xg x x
+= ( )0y a= + ∞在 ，，故当 时， ；当 ，时， .
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 .…………………………………………………………………3 分
又 ，故当 时， ；当 时， .
可得 .………………………………………………………………………………5 分
（2） ，
由（1）知 是 的两个根，
故 .……………………………7 分
要证 ，只需证 ，即证 ，
即证 ，……………………………………………………………8 分
即证 ，即证 .…………………………………………9 分
不妨设 ，
令 ，………11 分
则 上单调递增，则 ，故 式成立，即要证不等式得证.
………………………………………………………………………………………………12 分
( ) ( )2
ln 0xg x xx
−′ = > ( )0,1x∈ ( ) 0g x′ > ( )1,x∈ +∞ ( ) 0g x′ <
( )g x ( )0,1 ( )1,+∞
( ) ( )max 1 1g x g= =
1 0g e
=
10,x e
∈
( ) 0g x < 1,x e
∈ +∞
( ) 0g x >
( )0,1a∈
( ) 1f x ax
′ = −
1 2,x x ln 1 0x ax− + =
1 2
1 1 2 2
1 2
ln lnln 1 0,ln 1 0 x xx ax x ax a x x
−− + = − + = ⇒ = −
( )1 2 1f x x a′ < − 1 2 1x x > 1 2ln ln 0x x+ >
( ) ( )1 21 1 0ax ax− + − >
1 2
2a x x
> +
1 2
1 2 1 2
ln ln 2x x
x x x x
− >− +
( ) ( )
1
1 2 21
1 2
12 1 2
2
2 120 ln
1
x
x x xxx x xx x x
x
− − < < < = ∗+ +
，故
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
2
1
2 2
2
2 1 11 40,1 , ln , 01 1 1
t txt h t t h tx t t t t t
− −′= ∈ = − = − = >+ + +
( ) ( )01h t 在 ， ( ) ( )1 0h t h< = ( )∗
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