江苏省盐城市第一中学2020届高三数学6月第二次调研试题（含附加题Word版含解析）

江苏省盐城市第一中学 2020 届高三年级六月第二次调研考试 数学试题 2020．6 第 I 卷（必做题，共 160 分） 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题纸相应的位置 上．） 1．已知集合 ，集合 ，则 ______. 2．若 是虚数单位，复数 是纯虚数，则实数 的值为________. 3．在某次数学测验中， 位学生的成绩如下： 、 、 、 、 ，他们的平均成绩为 ， 则他们成绩的方差等于________. 4．若 ，则方程 有实根的概率为________. 5．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为_______． 6．已知双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ，且过点 ，则双 曲线的焦距等于________. 7．已知等差数列 的前 项和为 .若 与 的等差中 项为 8，则 ______. 8．如果命题 ， 为真命题，则实数 m 的取值范围是__________． 9．函数 在 上的单调递减，则实数 的取值范围为______. 10．边长为 2 的三个全等的等边三角形摆放成如图形状，其中 B，D 分别为 AC，CE 的中点， N 为 GD 与 CF 的交点，则 ______． 11．已知球 的半径为 ，则它的外切圆锥体积的最小值为__________. 12．定义符号函数 ，若函数 ，则满足不等 式 的实数 的取值范围是__________． 13．在平面直角坐标系 中，已知圆 ， ，动点 在直 ( )( ){ }1 2 0A x x x= + − < B Z= A B = i ( )( )1 2z a i i= + + a 5 78 85 a 82 69 80 { 1,0,1,2}a ∈ − 2 2 0x x a+ + = ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > 45 ( )3,1 { }na n ( )2 *2 , ,nS pn n q p q R n N= − + ∈ ∈ 1a 5a p q+ = 0p x∀ >： 4 9 5 7x mx + ≥ + ( ) 2sinf x x ax= − 0, 2 π     a AN EG⋅ =  O r ( ) ( ) ( ) ( ) 1, 0 0, 0 1, 0 x g x x x  > = = − > 3 3e = 2AF FB= OAB∆ 4OA km= 4 3OB km= AOB 90∠ =  OMN∆ ,M N AB 30MON∠ =  OAM∆ OBN∆ OAN∆ 2AM km= OMN∆ OAM∆ 3 AOM∠ OMN∆ OMN∆19．（本小题满分 16 分） 设函数 ， (1)当 时，求函数 图象在 处的切线方程； （2）求 的单调区间； （3）若不等式 对 恒成立，求整数 的最大值. 20．（本小题满分 16 分） 对于 若数列 满足 则称这个数列为“ 数列”. （1）已知数列 1, 是“ 数列”,求实数 的取值范围; （2）是否存在首项为 的等差数列 为“ 数列”,且其前 项和 使得 恒成立?若存在,求出 的通项公式;若不存在,请说明理由; （3）已知各项均为正整数的等比数列 是“ 数列”,数列 不是“ 数列”,若 ( ) ( ) ( )1 2x xf x x e a e e= − + − 0a = ( )f x 1x = ( )f x ( ) 0f x > ( )2,x∈ +∞ a *,n N∀ ∈ { }nx 1 1,n nx x+ − > K 21,m m+ K m 1− { }na K n nS 21 2nS n n< − { }na { }na K 1 2 na    K试判断数列 是否为“ 数列”,并说明理由. 江苏省盐城市第一中学 2020 届高三年级六月第二次调研 考试 数学试题 2020．6 第 II 卷（附加题，共 40 分） 21．【选做题】本题共 2 小题，每小题 10 分共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过 程或演算步骤． A．选修 4—2：矩阵与变换 已知矩阵 ， ，求矩阵 . B．选修 4—4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知圆 和直线 相交于 两点，求 线段 的长. 1 ,1 n n ab n += + { }nb K 1 0 0 2A − =    1 2 0 6B  =    1A B− : 2 2 cosC ρ θ= : ( )4l πθ ρ= ∈R ,A B AB【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过 程或演算步骤． 22．（本小题满分 10 分） 设 ,其中 . （1）当 时,化简: ; （2）当 时,记 ,试比较 与 的大小. 23.（本小题满分 10 分） 一种新的验血技术可以提高血液检测效率.现某专业检测机构提取了 份血液样本， 其中只有 1 份呈阳性，并设计了如下混合检测方案：先随机对其中 份血液样本分别取 样，然后再混合在一起进行检测，若检测结果为阴性，则对另外 3 份血液逐一检测，直到确 定呈阳性的血液为止；若检测结果呈阳性，测对这 份血液再逐一检测，直到确定呈阳 性的血液为止. （1）若 ，求恰好经过 3 次检测而确定呈阳性的血液的事件概率； （2）若 ，宜采用以上方案检测而确定呈阳性的血液所需次数为 ， ①求 的概率分布； ②求 . 2 0 1 2( )n r n r nq x a a x a x a x a x+ = + + +…+ +…+ *,q R n N∈ ∈ 1q = 0 1 n r r a r= +∑ q n= ( )0 1 0 ,2 n n n r r n a aA B a = += = ∑ nA nB ( 6)n n ≥ ( 3)n − ( 3)n − 6n = 8n ≥ X X ( )E X江苏省盐城市第一中学 2020 届高三年级六月第二次调研 考试 数学试题参考答案 第 I 卷（必做题，共 160 分） 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题纸相应的位置 上．） 1．已知集合 ，集合 ，则 ______. 【答案】 【解析】因为 , ,所以 , 2．若 是虚数单位，复数 是纯虚数，则实数 的值为________. 【答案】2 ( )( ){ }1 2 0A x x x= + − < B Z= A B = { }0,1 ( )( ){ }1 2 0A x x x= + − < { }1 2x x= − < < B Z= { }0,1A B = i ( )( )1 2z a i i= + + a【解析】复数 因为 为纯虚数，所以 , ，所以 . 3．在某次数学测验中， 位学生的成绩如下： 、 、 、 、 ，他们的平均成绩为 ， 则他们成绩的方差等于________. 【答案】38 【解析】 位学生的成绩如下：78、85、 、82、69，他们的平均成绩为 80， ，解得： ， ，则他们成绩的 方差等于 38. 4．若 ，则方程 有实根的概率为________. 【答案】 【解析】 方程 有实根， ，解得 时满 足要求， 则方程 有实根的概率为 . 5．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为_______． 【答案】 【解析】第一步： ， ； 第一步： ， ； 第一步： ， ； 第一步： ， ；故输出的结果为 ． 6．已知双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ，且过点 ，则双 曲线的焦距等于________. 【答案】 【解析】双曲线的渐近线方程为 ，由题意可得 ， ，所以，双曲线的标 ( )( )1 2z a i i= + + 22 2a i ai i= + + + ( ) ( )2 2 1a a i= − + + z 2 0a − = 2 1 0a + ≠ 2a = 5 78 85 a 82 69 80 5 a 78 85 82 69 5 80a∴ + + + + = × 86a = 2 2 2 2 2 21[(78 80) (85 80) (86 80) (82 80) (69 80) ] 385s∴ = − + − + − + − + − = { 1,0,1,2}a ∈ − 2 2 0x x a+ + = 3 4  2 2 0x x a+ + = 22 4 0a∴∆ = − ≥ 1a ≤ 1,0,1a∴ = − 2 2 0x x a+ + = 3 4 10 1i = 0 1 1S = + = 2i = 1 2 3S = + = 3i = 3 3 6S = + = 4i = 6 4 10S = + = 10 ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > 45 ( )3,1 8 by xa = ± 1b a = b a∴ =准方程为 ，将点 的坐标代入双曲线的标准方程得 ，得 ， 因此，双曲线的焦距为 . 7．已知等差数列 的前 项和为 .若 与 的等差中 项为 8，则 ______. 【答案】 【解析】由等差数列 的前 项和为 ， 由等差数列的性质可得 ，又 与 的等差中项为 8，即 ， 即 ，即 ，即 ，即 ， 8．如果命题 ， 为真命题，则实数 m 的取值范围是__________． 【答案】 【解析】命题 p 为真命题，即当 时，不等式 恒成立， 又当 时， ，当且仅当 ，即 时， 取得最小值 12， 故 ，解得 9．函数 在 上的单调递减，则实数 的取值范围为______. 【答案】 【解析】因为 ， ，所以 ， 因为函数 在 上的单调递减， 2 2 2 2 1x y a a − = ( )3,1 2 2 9 1 1a a − = 2 2a b= = 2 22 2 4 8a b+ = × = { }na n ( )2 *2 , ,nS pn n q p q R n N= − + ∈ ∈ 1a 5a p q+ = 2 { }na n ( )2 *2 , ,nS pn n q p q R n N= − + ∈ ∈ 0q = 1a 5a 1 5 16a a+ = 1 5 5 ( ) 5 402 a aS + ×= = 25 10 40p − = 2p = 2 0 2p q+ = + = 0p x∀ >： 4 9 5 7x mx + ≥ + { | 1}m m ≤ 0x > 4 9 5 7x mx + ≥ + 0x > 4 49 2 9 12x xx x + ≥ ⋅ = 4 9xx = 2 3x = 4 9xx + 5 7 12m + ≤ 1.m ≤ ( ) 2sinf x x ax= − 0, 2 π     a [2, )+∞ ( ) 2sinf x x ax= − 0, 2x π ∈   ( ) 2cosf x x a′ = − ( ) 2sinf x x ax= − 0, 2 π    所以 在 上恒成立，即 在 上恒成立， 因为 在 上单调递减，所以 所以 ， 即 10．边长为 2 的三个全等的等边三角形摆放成如图形状，其中 B，D 分别为 AC，CE 的中点， N 为 GD 与 CF 的交点，则 ______． 【答案】 【解析】由已知得 ， ，所以 ．因为等边三 角形的边长为 2，所以 ． 11．已知球 的半径为 ，则它的外切圆锥体积的最小值为__________. 【答案】 【解析】设圆锥的高为 ，底面半径为 ，在截面图中， ， ， ， 根据圆锥与球相切可知， 、 均为球 与外切圆锥的切点，则 又 ， ， ，即 ， ， 圆锥体积为 ， ，令 可得 ，则 时， ； 时， ， 在 单调递减，在 ( ) 2cos 0f x x a′ = − ≤ 0, 2 π     2cosa x≥ 0, 2x π ∈   ( ) 2cosg x x= 0, 2x π ∈   ( ) ( )max 0 2cos0 2g x g= = = 2a ≥ [ )2,a∈ +∞ AN EG⋅ =  7 2 − 12 2 2AN AB CN AB AH= + = +     3EG DE DG AB CH AB AH AC AB AH= − + = − + = − + − = − +          2 21 1 12 ( 3 ) 6| | | |2 2 2AN EG AB AH AB AH AB AB AH AH ⋅ = + ⋅ − + = − + ⋅ +             2 21 1 1 76 1 1 2 22 2 2 2AN EG⋅ = − × + × × × + × = −  O r 38 3 rπ h R SC h= OC OD r= = BC R= D C O 2SCB SDO π∠ = ∠ = OSD BSC∠ = ∠ SOD SBC∴ ∼  BC SC OD SD ∴ = 2 2( ) R h r h r r = − − 2 2 2( ) 2 hr hrR h r r h hr ∴ = = − − − ∴ 2 2 21( ) 3 3( 2 ) r hV h R h h r ππ= = − 2 2 ( 4 )( ) 3( 2 ) r h h rV h h r π −′∴ = − ( ) 0V h′ = 4h r= 0 4h r< < ( ) 0V h′ < 4h r> ( ) 0V h′ > ( )V h∴ (0,4 )r单调递增， 则 . 12．定义符号函数 ，若函数 ，则满足不等式 的实数 的取值范围是__________． 【答案】 【解析】由函数 ，得 ， 根据指数的性质可得函数 在 上是增函数， 又由 ，则 ，解得 ． 点睛：本题考查了函数的单调性和函数不等式的求解问题，其中解答中函数的函数的单调性， 转化为不等式 是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，对于解 函数不等式：首先根据函数的单调性和奇偶性去掉“ ”，转化为具体的不等式(组)，即可求 解． 13．在平面直角坐标系 中，已知圆 ， ，动点 在直 线 上，过 点分别作圆 的切线，切点分别为 ，若满足 的 点 有且只有两个，则实数 的取值范围是________． 【答案】 . 【解析】由题意O(0,0),O1(4,0).设 P(x,y)，则∵PB=2PA， ， ∴(x−4)2+y2=4(x2+y2)，∴x2+y2+ =0，圆心坐标为 ,半径为 ， ∵动点 P 在直线 x+ y−b=0 上，满足 PB=2PA 的点 P 有且只有两个，∴直线与圆 x2+y2+ =0 相交， (4 , )r +∞ 3 min 8( ) (4 ) 3V h V r rπ= = ( ) ( ) ( ) ( ) 1, 0 0, 0 1, 0 x g x x x  > = = − = = − = = − 1sin 2C = 0 3C π< < 6C π= 2 sin cos cosb C a C c A= + cos cosb a C c A= + 2 sinb C b= 0b > 1sin 2C = 0 3C π< < 6C π= 2 3sin sin b c B C = = 3b = 2AE EC=  2 2 3 3AE AC b= = 2AE = ABC∆ 2 3B π= 6C π= 6A π= ABE∆ 6A π= 3AB = 2AE = 2 2 32 cos 3 4 2 3 2 16 2BE AB AE AB AE π= + − ⋅ = + − × × × =. 【解法 2】在 中，因为 ， ，所以 ， . 由余弦定理得 .因为 ，所以 . 在 中， ， ， 由余弦定理得 所以 . 【解法 3】在 中，因为 ， ，所以 ， . 因为 ，所以 . 则 所以 . 17．（本小题满分 14 分） 已知椭圆 C： 的离心率 ，焦距为 2，直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点． （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若直线 l 过椭圆的右焦点 F，且 ，求直线 l 方程． 【解析】（1）设椭圆的焦距为 ，则由 ，则 ， ； （2）当直线 l 为 时， ，不满足 ； 1BE = ABC∆ 2 3B π= 6C π= 6A π= 3a c= = ( ) ( )2 2 23 3 2 3 3 cos 33b π= + − × × × = 2AE EC=  1 13EC AC= = BCE∆ 6C π= 3BC = 1CE = 2 2 32 cos 3 1 2 3 1 16 2BE BC EC BC EC π= + − ⋅ = + − × × × = 1BE = ABC∆ 2 3B π= 6C π= 6A π= 3a c= = 2AE EC=  1 2 3 3BE BA BC= +   ( ) ( )22 2 21 1 1 1| | 2 | 4 4 | 3 4 3 3 4 3 19 9 9 2BE BA BC BA BA BC BC  = + = + ⋅ + = − × × × + × =          1BE = ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > 3 3e = 2AF FB= 2c 2 2 1c c= ⇒ = 1 3 2 3 c a ba = ⇒ = ⇒ = 2 2 : 13 2 x yC∴ + = 0y = 3 1, 3 1AF a c BF a c= + = + = − = − 2AF FB=所以设直线 l： ，联立 ， 设 ，则 ， 又 , ，故直线 l： ，即 ． 18．（本小题满分 16 分） 如图所示，某区有一块空地 ，其中 ， ， .当 地区政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖 ，其中 都在边 上，且 ，挖出的泥土堆放在 地带上形成假山， 剩下的 地带开设儿童游乐场.为安全起见，需在 的周围安装防护 网. （1）当 时，求防护网的总长度； （2）若要求挖人工湖用地 的面积是堆假山用地 的面积的 倍，试确定 的大小； （3）为节省投入资金，人工湖 的面积要尽可能小，问如何设计施工方案， 可使 的面积最小？最小面积是多少？ 【解析】（1） 在 中， ， ， ， 在 中， ，由余弦定理，得 ， ，即 ， ， 为正三角形，所以 的周长为 ，即防护网的总长度为 . （2）设 ， ， ，即 ， 1x ty= + ( )2 2 2 2 1 2 3 4 4 02 3 6 x ty t y tyx y = + ⇒ + + − = + = ( ) ( )1 1 2 2,, ,A x y B x y 1 2 1 22 2 4 4,2 3 2 3 ty y y yt t − −+ = ⋅ =+ + ( ) 2 2 2 1 21 1 2 2 2 1 1 2 2 4 5 12 32 42 2 2 3 t y yy y y t y y y y y t −  + + = − ⇒ + = − ⇒ = = −− + 2 1 1 2 2 t t∴ = ⇒ = ± 1 1 2 x y= ± + 2 2 0x y± − = OAB∆ 4OA km= 4 3OB km= AOB 90∠ =  OMN∆ ,M N AB 30MON∠ =  OAM∆ OBN∆ OAN∆ 2AM km= OMN∆ OAM∆ 3 AOM∠ OMN∆ OMN∆  OAB∆ 4OA = 4 3OB = 90AOB∠ = ° 60OAB∴∠ = ° AOM∆ 4, 2, 60OA AM OAM= = ∠ = ° 2 3OM = 2 2 2OM AM OA∴ + = OM AN⊥ 30AOM∴∠ = ° OAN∴∆ OAN∆ 12 12km (0 60 )AOM θ θ∠ = ° < < ° 3OMN OAMS S∆ ∆= 1 1sin30 3 sin2 2ON OM OA OM θ∴ ⋅ ° = × ⋅ 8 3sinON θ=在 中，由 ，得 ， 从而 ，即 ，由 ， 得 ， ，即 . （3）设 ，由（2）知 ， 又在 中，由 ，得 ， ， 当且仅当 ，即 时， 的面积取最小值为 . 19．（本小题满分 16 分） 设函数 ， (1)当 时，求函数 图象在 处的切线方程； （2）求 的单调区间； （3）若不等式 对 恒成立，求整数 的最大值. 【解析】（1）当 时， ， ，所以 ， 所以所求切线方程为 （2） .令 ，则 .当 时， ； 当 时， ；所以 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 . OAN∆ ( )0 4 sin60 cossin 180 60 30 ON OA θθ = =° − − °− ° 2 3 cosON θ= 2 38 3sin cos θ θ= 1sin2 2 θ = 0 2 120θ° < < ° 2 30θ = ° 15θ∴ = ° AOM∠ 15= ° (0 60 )AOM θ θ∠ = ° < < ° 2 3 cosON θ= AOM∠ ( )sin60 sin 60 OM OA θ=° + ° ( ) 2 3 sin 60OM θ= + ° ( ) 1 sin302 sin 60 cos 3 OMNS OM ON θ θ∆∴ = ⋅ ⋅ ° = + ° 1 3 3sin2 cos22 2 6 2 θ θ = + + ( ) 6 3sin 2 60 2 θ = + ° + ∴ 2 60 90θ + ° = ° 15θ = ° OMN∆ 24 12 3− 2km ( ) ( ) ( )1 2x xf x x e a e e= − + − 0a = ( )f x 1x = ( )f x ( ) 0f x > ( )2,x∈ +∞ a 0a = ( ) ( )1 xf x x e= − ( ) xf x xe′ = ( )1 0f = ( )1f e′ = ( 1)y e x= − ( ) ( )x x xf x xe ae x a e′ = − = − ( ) 0f x′ = x a= ( ),x a∈ −∞ ( ) 0f x′ < ( ),x a∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x ( ),a +∞ ( ),a−∞（3）当 时， 恒成立，等价于当 时， 恒成立； 即 对 恒成立.令 ， ， ， 令 ， ， ， 所以 在 上单调递增. 又因为 ， ， 所以 在 上有唯一零点 ，且 ， ， 所以 在 .上单调递减，在 上单调递增， 所以 ，所以 ， 故整数 的最大值为 . 20．（本小题满分 16 分） 对于 若数列 满足 则称这个数列为“ 数列”. （1）已知数列 1, 是“ 数列”,求实数 的取值范围; （2）是否存在首项为 的等差数列 为“ 数列”,且其前 项和 使得 恒成立?若存在,求出 的通项公式;若不存在,请说明理由; （3）已知各项均为正整数的等比数列 是“ 数列”,数列 不是“ 数列”,若 试判断数列 是否为“ 数列”,并说明理由. 【解析】（1）由题意得 解得 所以实数 的取值范围是 ( )2,x∈ +∞ ( ) ( )1 2 0x xx e a e e− + − > ( )2,x∈ +∞ ( )1 2 x x x e ae e − >− ( ) min 1 2 x x x e ae e  − > −  ( )2,x∈ +∞ ( ) ( )1 2 x x x eg x e e −= − ( )2,x∈ +∞ ( ) ( ) ( )2 2 2 x x x e e ex g x e e −′ = − ( ) 2xh x e ex= − ( )2,x∈ +∞ ( ) 2 0xh x e e′ = − > ( ) 2xh x e ex= − ( )2,+∞ ( ) 22 4 0h e e= − < ( ) 33 6 0h e e= − > ( )g x′ ( )2,3 0x 0 02xe ex= ( )0 2,3x ∈ ( )g x ( )02, x ( )0 ,x +∞ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0min 0 1 1 2 2,32 2 2 x x x e x exg x g x xe e ex e − −= = = = ∈− − ( )0 2,3a x< ∈ a 2 *,n N∀ ∈ { }nx 1 1,n nx x+ − > K 21,m m+ K m 1− { }na K n nS 21 2nS n n< − { }na { }na K 1 2 na    K 1 ,1 n n ab n += + { }nb K ( )1 1 1,m + − > ( )2 1 1,m m− + > 2,m > m 2.m >（2）假设存在等差数列 符合要求,设公差为 则 由 得 由题意,得 对 均成立,即 ①当 时, ②当 时, 因为 所以 与 矛盾, 所以这样的等差数列不存在. （3）设数列 的公比为 则 因为 的每一项均为正整数,且 所以在 中,“ ”为最小项.同理, 中,“ ”为最小项. 由 为“ 数列”,只需 即 又因为 不是“ 数列”,且 为最小项, 所以 即 , 由数列 的每一项均为正整数,可得 所以 或 ①当 时, 则 令 则 又 { }na ,d 1,d > 1 1,a = − ( )1 ,2n n nS n d −= − + ( ) 21 1 2 2 n nn d n n −− + < − *n N∈ ( )1 .n d n− < 1n = ;d R∈ 1n > ,1 nd n < − 11 1,1 1 n n n = + >− − 1,d ≤ 1d > { }na ,q 1 1 ,n na a q −= { }na ( )1 1 1 0,n n n n na a a q a a q− − = − = − > > { }1n na a −− 2 1a a− 1 1 1 2 2n na a −  −   2 1 1 1 2 2a a− { }na K 2 1 1,a a− > ( )1 1 1,a q − > 1 2 na    K 2 1 1 1 2 2a a− 2 1 1 1 1,2 2a a− ≤ ( )1 1 2a q − ≤ { }na ( )1 1 2,a q − = 1 1, 3a q= = 1 2, 2.a q= = 1 1, 3a q= = 13 ,n na −= 3 ,1 n nb n = + ( )* 1 ,n n nc b b n N+= − ∈ ( )( ) 13 3 2 13 ,2 1 1 2 n n n n nc n n n n + += − = ⋅+ + + + ( )( ) ( )( )1 2 3 2 13 32 3 1 2 n nn n n n n n + + +⋅ − ⋅+ + + +所以 为递增数列,即 所以 所以对于任意的 都有 即数列 为“ 数列”. ②当 时, 则 因为 所以数列 不是“ 数列”. 综上:当 时,数列 为“ 数列”, 当 时, 数列 不是“ 数列”. 第 II 卷（附加题，共 40 分） 21．【选做题】本题共 2 小题，每小题 10 分共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过 程或演算步骤． A．选修 4—2：矩阵与变换 已知矩阵 ， ，求矩阵 . 【解析】设矩阵 的逆矩阵为 .则 .即 . 故 a＝－1，b＝0，c＝0，d＝ .从而 的逆矩阵为 . 所以 . B．选修 4—4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知圆 和直线 相交于 两点，求 线段 的长. 【答案】2 【解析】圆 ： 直角坐标方程为 ，即 ( )( ) 23 4 8 6 0,2 1 3 n n n n n n + += ⋅ >+ + + { }nc 1 2 1,n n nc c c c− −> > > ⋅⋅⋅ > 2 1 3 33 1,2 2b b− = − = > *,n N∈ 1 1,n nb b+ − > { }nb K 1 2, 2a q= = 2 ,n na = 12 .1 n nb n + = + 2 1 2 1,3b b− = ≤ { }nb K 1 1, 3a q= = { }nb K 1 2, 2a q= = 2 ,n na = { }nb K 1 0 0 2A − =    1 2 0 6B  =    1A B− A a bA c d  =    1 0 1 0 0 2 0 1 a b c d −     =           1 0 1 0 2 2 0 1 0 1 a b c d − −     =           1 2 A 1 1 0 10 2 A− −   =     1 1 0 1 2 1 2 1 0 6 0 30 2 A B− −  − −    = =          : 2 2 cosC ρ θ= : ( )4l πθ ρ= ∈R ,A B AB C 2 2cosρ θ= 2 2 2 2 0x y x+ − = ( )2 22 2x y− + =直线 ： 的直角坐标方程为 圆心 到直线 的距离 所以 , 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过 程或演算步骤． 22．（本小题满分 10 分） 设 ,其中 . （1）当 时,化简: ; （2）当 时,记 ,试比较 与 的大小. 【解析】（1）当 时, ,其中 , 原式＝ （2）当 时, , 令 ,得 当 时, ; 当 时, , 即 ,可得: 下面用数学归纳法证明:当 时, (☆) ①当 时, , (☆)成立． l ( ) 4 R πθ ρ= ∈ y x= C l 2 0 1 2 d − = = AB = ( )2 2 2 1 2− = 2 0 1 2( )n r n r nq x a a x a x a x a x+ = + + +…+ +…+ *,q R n N∈ ∈ 1q = 0 1 n r r a r= +∑ q n= ( )0 1 0 ,2 n n n r r n a aA B a = += = ∑ nA nB 1q = r r na C= 1 ! ! 1 1 !( )! ( 1)!( ) r nC n n r r r n r r n r = ⋅ =+ + − + − 1 1 1 ( 1)! 1 1 ( 1)!( )! 1 r n n Cn r n r n + + += ⋅ = ⋅+ + − + 0,1,2, ,r n…＝ ∴ ( ) 1 1 2 3 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 n n n n n nC C C Cn n + + + + + + −+ + …+ =+ + q n= r n r r na C n −= 0 1,n na n a n∴ = = 1n nA n +∴ = 1x = ( 1)n nB n= + 1,2n = 1 ( 1)n nn n+ < + 3n ≥ 1 ( 1)n nn n+ > + ( 1)n nn n n⋅ > + ( 1) 1 11+ n nn n n nn n n n + +   > = =       3n ≥ 11+ n n n  >    — — 3n = 31 643 13 27  > + =  ②假设 时,(☆)式成立,即 则 时, (☆)式右边 故当 时,(☆)式也成立． 综上①②知,当 时, 当 时, ;当 时, . 23.（本小题满分 10 分） 一种新的验血技术可以提高血液检测效率.现某专业检测机构提取了 份血液样本， 其中只有 1 份呈阳性，并设计了如下混合检测方案：先随机对其中 份血液样本分别取 样，然后再混合在一起进行检测，若检测结果为阴性，则对另外 3 份血液逐一检测，直到确 定呈阳性的血液为止；若检测结果呈阳性，测对这 份血液再逐一检测，直到确定呈阳 性的血液为止. （1）若 ，求恰好经过 3 次检测而确定呈阳性的血液的事件概率； （2）若 ，宜采用以上方案检测而确定呈阳性的血液所需次数为 ， ①求 的概率分布； ②求 . 【解析】（1）在 时，恰好在第三次时检测出呈阳性血液，说明其中三份血液中的其中一 份呈阳性，并且对含阳性血液的一组进行检测时，前两次检测出血液为阴性，或第一次为阴 性第二次为阳性. （2）①在 时， 3n k= ≥ 1 1 k k k  > +   1n k= + 11 1 11 1 11 1 1 k k k k k +    = + = + +    + + +     1 1 11 1 1 11 1 1 k kk k kk k k k     < + + < + ⋅ = + < +    + + +     1n k= + 3n ≥ 11+ n n n  >    ∴ 1,2n = n nA B< 3n ≥ n nA B> ( 6)n n ≥ ( 3)n − ( 3)n − 6n = 8n ≥ X X ( )E X 6n = 3 2 1 1 1 5 2 1 2 1 3 2 1 1 1 6 3 1 3 2 22 3 C C C C CP C C C C C  = ⋅ + ⋅ =   8n ≥ 3 31 1 1 11 1 3 1 3 1 3 3 2( 2) n n n n n n n C CC CP X C C C C n − − − − − = = ⋅ + ⋅ =同理，当 时， 的分布列为： 2 3 4 ② 2 1 3 1 11 1 1 1 1 1 1 4 12 1 2 1 3 1 1 1 1 3 1 1 3 2 3 2 3 4 3( 3) n n n n n n n C C C C CC C C CP X C C C C C C C C n − − − − −  = = ⋅ + + ⋅ =    3 2 1 1 4 1 3 2 1 3 5 1( 4) n n n n n C C CP X C C C n − − − − = = ⋅ =⋅ 4 4k n≤ ≤ − 3 2 1 1 4 1 3 2 1 3 ( 3) ( 2) 1( ) k n n k n n n k C C CP X k C C C n − − − − − − − − ⋅= = ⋅ = 3 4 1 1 4 1 3 4 1 3 1 2( 3) 2 n n n n n n C C CP X k C C C n − − − − − = − = ⋅ ⋅ = X∴ X … 4n − 3n − P 2 n 3 n 1 n … 1 n 2 n 2 3 1 1 1 2( ) 2 3 4 5 ( 4) ( 3)E X n nn n n n n n = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +…+ − ⋅ + − ⋅ 2 3 14 2 n n n − +=