文科数学试卷答案及评分参考 第 1 页 （共 7 页）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真核对
条形码上的姓名、准考证号和科目。
2．考生作答时，选择题和非选择题均须做在答题卡上，在本试题卷上答题无效。考生在答题
卡上按答题卡中注意事项的要求答题。
3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷
2020 年高三仿真考试 文科数学
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在答题卡上
1．设集合 ， ，若 ，则
A． B． C． D．
2．函数 的最小正周期是
A． B． C． D．
3．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，顾名思义，仅由七块板（五个等
腰直角三角形，一个正方形，一个平行四边形）组成的．如图，将七巧板拼
成一个正方形 ABCD，在正方形 ABCD 内任取一点 P，则该点落在正方形
EFGH 内的概率为
A． B． C． D．
4．已知直线 平面 ，直线 平面 ，则 是 的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．据记载，欧拉公式 是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公
式被誉为“数学中的天桥”． 特别是当 时，得到一个令人着迷的优美恒等式
，这个恒等式将数学中五个重要的数(自然对数的底 e，圆周率 ，虚数单位 ，
自然数的单位 1 和零元 0)联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的公式”． 根据欧拉
公式，若复数 z = 的共轭复数为 ,则
A． B． C． D．
6．若 ，则实数 a，b，c 之间的大小关系为
A． B． C． D．
{ }1,2,5A = { }2 5 0B x x x m= − + = { }1A B = B =
{ }1, 3− { }1,0 { }1,4 { }1,5
)3sin()(
π+= xxf
π 2π 3π 4π
1
4
1
5
1
6
1
8
⊥m α ⊂n β βα // nm ⊥
cos sin ( )ixe x i x x R= + ∈
x π=
1 0ieπ + = π i
4 i
e
π
z z =
2 2
2 2 i− − 2 2
2 2 i− + 2 2
2 2 i+ 2 2
2 2 i−
0.5
2 52 , log 0.5, log 2a b c= = =
a b c> > a c b> > c a b> > b a c> >文科数学试卷答案及评分参考 第 2 页 （共 7 页）
7．已知一块形状为正四棱柱 （底面是正方形，侧棱与底面垂直的四棱柱）
的实心木材, ． 若将该木材经过切割加工成一个球体，则此球体积的最大
值为
A． B． C． D．
8．函数 的部分图象大致是
9．设双曲线 的右焦点为 F，过 F 作垂直于 x 轴的直线交 C 于 M、
N 两点．若以线段 MN 为直径的圆与 C 的渐近线相切，则双曲线 C 的离心率为
A． B． C． D．
10．某保险公司为客户定制了 5 个险种：甲为一年期短险；乙为两全保险；丙为理财类保险；
丁为定期寿险；戊为重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对
5 个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图例：
以下四个选项错误的是
A．54 周岁以上参保人数最少 B．18—29 周岁人群参保总费用最少
C．丁险种更受参保人青睐 D．30 周岁以上的人群约占参保人群的 80%
11．已知抛物线 的焦点为 F，其准线 l 与 x 轴相交于点 M，过点 M 作斜率为 k 的
直线与抛物线 C 相交于 A、B 两点，若 ，则 =
A． B． C． D．
12．已知函数 ， 是 的导函数． ① 在区间 是增
函数；②当 时，函数 的最大值为 ； ③ 有两个零点；
1 1 1 1ABCD A B C D−
12, 3AB AA= =
9
2
π 8 2
3
π 4
3
π 17 17
6
π
( )( ) 2 2 cos sinx xf x x x−= −
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > >
5 3 2 5
2
2: 4C y x=
60AFB∠ = k
1
2
± 2
4
± 2
2
± 3
2
±
1( ) | | 3f x x x
= − − '( )f x ( )f x ( )f x ( )0 +∞，
( ),0x∈ −∞ ( )f x 1− )()( xfxfy ′−=文科数学试卷答案及评分参考 第 3 页 （共 7 页）
?>i n
1= +i i
是
结束
输出b
开 始
,输 入 ，a k n
开 始
0=b
1=i
否
把 的右数第 位数字赋给a i t
1−= + ⋅ ib b t k
④ ． 则上述判断中正确的序号是
A．①③ B．①④ C．③④ D．①②
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填在答题卡相应的位置上）
13．已知点 满足约束条件
则原点 O 到点 P 的
距离的最小值为_______．
14． 的内角 的对边分别为 ，若 ，
，则△ 的面积为____．
15．如右侧框图所示，若输入 ，则输出 b=_____．
16．若 是两个非零向量，且
则 的夹角的取值范围是____．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
（一）必考题：共 60 分
17．（12 分）已知 为等差数列，各项为正的等比数列 的前 n 项和为 ，且
， ， ．在① ；② ；
③ 这三个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并完成下面问题的
解答（如果选择多个条件解答，则按选择第一个解答计分）．
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和
18．（12 分）图 1 是直角梯形 ， ，
,以 为折痕将 折起，使点 到达 的位置，且 ,如图 2．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求点 到平面 的距离．
19．（12 分）按照水果市场的需要等因素，水果种植户把某种成熟后的水果按其直径
的大小分为不同等级．某商家计划从该种植户那里购进一批这种水果销售．为了了解这
2)()( =−′−′ xfxf
),( yxP
4
0
4
x y
x y
x
+ ≥
− ≥
≤
，
，
，
ABC∆ , ,A B C , ,a b c 16bc =
( )3 cos cos cos sinb C c B A a A+ = ABC
1010, 8, 4a k n= = =
,a b 3, ,1 ,3a b a bλ λ = = + ∈
b a b− 与
{ }na { }nb nS
22 11 == ba 1082 =+ aa 1( )n nS b Rλ λ= − ∈ 4 3 2 12a S S S= − +
2 ( )na
nb Rλ λ= ∈
{ }na { }nb
{ }+n na b n nT
ABCD / /AB DC 90 , 2, 3, 3,D AB DC AD∠ = = = =
2CE ED= BE BCE∆ C 1C 1 6AC =
⊥EBC1 ABED
B 1AC D
d
图 1 图 2文科数学试卷答案及评分参考 第 4 页 （共 7 页）
种水果的质量等级情况，现随机抽取了 100 个这种水果，统计得到如下直径分布表（单
位：mm）：
d
等级 三级品 二级品 一级品 特级品 特级品
频数 1 m 29 n 7
用分层抽样的方法从其中的一级品和特级品共抽取 6 个，其中一级品 2 个．
（1）估计这批水果中特级品的比例；
（2）已知样本中这批水果不按等级混装的话 20 个约 1 斤，该种植户有 20000 斤这种水果
待售，商家提出两种收购方案：
方案 A：以 6．5 元/斤收购；
方案 B：以级别分装收购，每袋 20 个，特级品 8 元/袋，一级品 5 元/袋，二级品 4 元/袋，
三级品 3 元/袋．
用样本的频率分布估计总体分布，问哪个方案种植户的收益更高？并说明理由．
20（12 分）设 分别是椭圆 的左，右焦点， 分别是椭
圆 的上，下顶点，△ 是等腰直角三角形，延长 交椭圆 于 点，且△ 的
周长为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设点 是椭圆 上异于 的动点，直线 与直线 分别相交于
两点，点 ，求证：△ 的外接圆恒过原点 ．
21（12 分） 已知函数
（1）若直线 与曲线 相切，求 的值；
（2）对任意 ，不等式 恒成立，求实数 a 的值．
)20,18[ )22,20[ )24,22[ )26,24[ )28,26[
1 2,F F
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > ,A B
C 21FAF 1AF C D 2ADF
4 2
C
P C ,A B ,AP BP : 2l y = −
,M N (0, 5)Q − MNQ O
2
1( ) .f x x
= −
2y x m= − + ( )y f x= m
( )0, , ln ( ) 1 0x a x f x∈ +∞ − − ≥( )0, , ln ( ) 1 0x a x f x∈ +∞ − − ≥文科数学试卷答案及评分参考 第 5 页 （共 7 页）
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第
一题计分．
22［选修 4-4：坐标系与参数方程］(10 分)
如图，在以 O 为极点，Ox 轴为极轴的极坐标系中，圆 的方程分别为
（1）若 相交于异于极点的点 M，求点 M 的极坐标
；
（2）若直线 ： 与 分别相交于异于极
点的 ， 两点，求 的最大值．
23［选修 4-5：不等式选讲］(10 分)
已知函数 ， ．
（1）解不等式： ；
（2）当 时， 恒成立，求实数푚的取值范围．
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2020 年高三第三次模拟考试
文科数学参考答案及评分参考
一.选择题： 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C A D A D B C B C B D A
二.填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
1 2 3, ,C C C
2 2=4sin =4sin + =4sin - .3 3
π πρ θ ρ θ ρ θ
， ，
1 2,C C
( )0,0 2ρ θ < π> ≤
l ( )Rθ α ρ= ∈ 1 3,C C
A B | |AB
212)( +−= xxf 32)( ++−= xxg
5)( −≥xg
Rx∈ ( ) ( ) 2f x g x m− ≥ +文科数学试卷答案及评分参考 第 6 页 （共 7 页）
题号 13 14 15 16
答案
三. 解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.解：
选①解：
(1) 设等差数列 的公差为 ,
…………………………………………………………………2 分
由
……………………………4 分
…………………………………………………………………………6 分
2 2 4 3 520 2 5
3 6
π π
，
{ }na d
1 2 8 1 12 2, 10, 2 8 10, 1, 1a a a a d a d= + = ∴ + = ∴ = =
∴ 1 ( 1) 1 .na n n= + − × =
1 2, 1,n nb S bλ= = −
1 1 1
11 1, 2 2 1 2n S b bλ λ λ λ= = = − × = − =当 时，有 则有 ，即
1 12 2( 1) 2( 1)n n n n nn b S S b b− −≥ = − = − − −当 时，
{ }12 , 2 2n n nb b b−=即 所以 是一个以 为首项，为公比的等比数列
12 2 2n n
nb −∴ = × =高三仿真考试 文科数学 第 7 页 （共 14 页）
………………………….12分
选②解：
(1) 设等差数列｛ ｝的公差为 d,
. ………………………12 分
选③解（1）设等差数列 的公差为 ,
,
…………………………………………………………………2 分
n
n na +b n2 = +21（ ）由（）知
1 2 3
1 2
=1+2 +2+2 +3+2 2
(1 2 + ) (2 2 2 )
n
n
n
n
T n
T n
∴ + + +
∴ = + + + + + +
2
1( 1) 2 (1 2 ) 422 1 2 2
n
n
n
n n n nT ++ × − + −∴ = + = +−
na
2
4 3 2 2 1 3 2 1 1
2
4 1
1
( ) ( ) ....................................................4
4, 2. 2 0, 2 1
2 2 2 . ..............................................................n n
n
a S S S S b b b q b q
a b q q q q
b −
∴ = − − − = − = −
= = ∴ − − = = = −
∴ = × =
分
又 解得 或 （舍去）
........................6分
n
n na +b n2 = +21（ ）由（）知
1 2 3
1 2
=1+2 +2+2 +3+2 2
(1 2 ) (2 2 2 )
n
n
n
n
T n
T n
∴ + + +
= + + + + + + +
2
1( 1) 2 (1 2 ) 422 1 2 2
n
n
n
n n n nT ++ × − + −∴ = + = +−
na｛ ｝ d
1 2 8 1 12 2, 10, 2 8 10, 1, 1a a a a d a d= + = ∴ + = ∴ = =
1 ( 1) 1 .na n n= + − × =
1 12 , 1, 2,na
nb a bλ= = =
{ }
1 2 8 1 1
4
4 3 2 1
2 2, 10, 2 8 10, 1, 1
1 ( 1) 1 ...............................................................................................2
4
( 0)
2
n
n
a a a a d a d
a n n
a
b q q
a S S S
= + = ∴ + = ∴ = =
= + − × =
∴ =
>
= − +
分
，
设等比数列 的公比为高三仿真考试 文科数学 第 8 页 （共 14 页）
, ……………………………………………………...…….4
分
……………………………………………………………………………………6 分
（2）解法同选②的第（2）问解法相同, ………………………12 分
18 题
（1）证明：在图 1 中，连结 AE ，由已知得 AE=2
CE//BA 且 CE=BA =AE,
∴四边形 ABCE 为菱形，
连结 AC 交 BE 于点 F ，
,…………2
分
又∵在 RT△ACD 中，AC= ，
∴AF=CF= ,········· ·····3 分
在图 2 中，AC1= ,
∵AF2+C1F2=A ,∴C1F⊥AF, ·· ·····4 分
由题意可知 C1F⊥BE,
1
11, 2 , 2 2 , 1, 2 naa
nn b bλ λ λ= = = ∴ = ∴ =令 得 即
1 ( 1) 1 , 2n
n na n n b∴ = + − × = ∴ =
CF BE∴ ⊥
223 3 2 3+ =
3
6
2
1C高三仿真考试 文科数学 第 9 页 （共 14 页）
∴C1F⊥面 ABED，又 C1F
∴平面 BC1E⊥平面 ABED; ……………………………………….…6 分
（2）解：如图，取 AD 中点 N，连接 FN,C1N 和 BD，设点 B 到平面 AC1D 的距离为 h，在直
角梯形 ABED 中，FN 为中位线，则 FN⊥AD,FN= ,
由（1）得 C1F⊥平面 ABED,
所以 C1F⊥AD,又 ,
得
所以 ⊥AD,且 ………………………...…9 分
在三棱锥 C1-ABD 中
即
所以 即点 B 到平面 AC1D 的距离为 . …………….12 分
19.解：（1） ……………………………………2 分
解得 m=12,n=51,…………（3 分）
1 ,BC E⊂ 平面
3
2
,AD ABED⊂ 平面
1FN C F F∩ =
1 1 1, ,AD C FN C N C FN⊂⊥平面 又 平面
1C N 2 2
1 1
9 213 ,4 2C N FN C F= + = + =
1 1
,C ABD B AC DV V− −=
1 1
1 1 1 1 .3 2 3 2AB AD C F C N AD h⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
1
1
2 3 4 7 ,721
2
AB C Fh C N
⋅= = = 4 7
7
1+ 29 7 100
7 4
29 2
m n
n
+ + + = + =
由已知得高三仿真考试 文科数学 第 10 页 （共 14 页）
所以特级品的概率为
所以这批水果中特级品的比例为 58%。…………………………………………（5
分）
（2）选用方案 A，种植户的收益为
20000ᵡ6.5=130000（元）…………………………………………………………（7
分）
选用方案 B，种植户的收益为
……………………………………………………………11
分
………………………………………………………………12
分
20.解：
1）∵△ADF2 的周长为 ，有定义可知，
∴ ， ……………………………………………………………2 分
又∵△AF1F2 是等腰直角三角形，且 …………………………4 分
∴椭圆 C 的方程为 ;…………………………………………………………5 分.
（2）设 则
51+7 =0.58100
，
1 3 12 4 29 5 58 820000 20 + + +20 100 100 100 100
× × ×× × ×（ ）
=132000
132000>130000
所以选用方案B
4 2 1 2 1 22 , 2 ,AF AF a DF DF a+ = + =
4 4 2, 2a a= ∴ =
2 2 2 , 1,a b c b c= + ∴ = =
2
2 12
x y+ =
0 0 0P ≠（x , y ）( x 0) ,
2
20
0 12
x y+ =高三仿真考试 文科数学 第 11 页 （共 14 页）
∴直线 AP 与 BP 的斜率之积为 ；…………………7 分
设直线 AP 的斜率 k，则直线 AP:
由 ，可得 M ,同理 N(2k,-2)， …………………………………8 分
∴线段 MN 与 OQ 的中垂线交点 E 的坐标为 E
又 ……………………………………10 分
∴
即 O，M，Q，N 共圆，
∴故△MNQ 的外接圆恒过 y 轴上定点（0，0）. …………………………………12 分
21.解：
（1）设直线 与曲线 相切于点
， ………………………………………………………………….…….2 分
………………………..5 分
2
02
0 0 0
2 2
0 0 0 0
1 1 1 12= = = 2
x
y y y
x x x x
−− + −⋅ −
11, : 1,2y kx BP y xk
= + = − −
1
2
y kx
y
= +
= −
3 , 2k
− −
3 5( , )2 2k k
− −
2OE = 2 2 2
2
3 5 9 13( ) ,( ) ,2 2 4 4k kk k
− − = + +
2 2 2
2
3 1 9 13(k+ ) ,2 4 4 4NE kk k
= + = + +
OE NE=
y 2x m= − + y f x= （ ） ( )0 0, ,x y
( )'
3
2f x x
=
3
0 0
02
0
2 2,
;1 31 32 ,
x x mmx mx
= − = − = − = −− = − +
则 解得 ，所以有
2
1= ( ) 1 ln 1, (0, )f x a x xx
− − = + − ∈ +∞令 g( x) al nx ，高三仿真考试 文科数学 第 12 页 （共 14 页）
………………………………………………………….7 分
…………………………………………..9 分
， ………………………………………………………….10 分
……………………………… ①
，
， ………………………..②
由①②可知，当且仅当 t=1 时，
即 a=2 时， 在 上恒成立
综上所述，a=2. ………………………………………………..……12 分
2
'
3 3
2 2( ) ,a axg x x x x
−= − =则
( ) ( )'0 0, ( ) 0
1
0,
0
a x g x
g
xi g x≤ ∈ +∞ < ∈ +
=
∞（ ）当 时，因为 ，所以 ，（ ）在 上单调递减，
由（） ，
( ), 01 g xx ∈ ∞ <
∞
当 时， ，（ ）在（ ，）单调递增，， ，当 ，
在 单
时 ，
） ， 调递减（
l1 1 0 n 1 0maxt h t h t t= = = − + ≤所以， 时，（ ） （） ，即
ln 1 0t t− + =
( ) 0g x ≥ ( )x +∈ ∞0，高三仿真考试 文科数学 第 13 页 （共 14 页）
22.解：（1）由
∴ …………………… ……………………….3 分
所以 点 M 的极坐标为 ； …………………… ……………………….5 分
（2）设 A , B ，
…………………… ………………………7 分
.
∴ 的最大值为 . …………………… ………………………10 分
4sin
24sin( )3
ρ θ
πρ θ
= = +
，
， 0,0 2ρ θ π> ≤
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