高三仿真考试 理科数学 第 1 页 （共 14 页）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真核对条形
码上的姓名、准考证号和科目。
2．考生作答时，选择题和非选择题均须做在答题卡上，在本试题卷上答题无效。考生在答题卡上
按答题卡中注意事项的要求答题。
3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷
2020 年高三仿真考试 理科数学
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．设集合 ， ．若 ，则
A． B． C． D．
2．函数 的最小正周期是
A． B． C． D．
3．已知直线 平面 ，直线 平面 ，则 是 的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．据记载，欧拉公式 是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公
式被誉为“数学中的天桥”． 特别是当 时，得到一个令人着迷的优美恒等式
，这个恒等式将数学中五个重要的数（自然对数的底 e，圆周率 ，虚数单位 ，
自然数的单位 1 和零元 0）联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的公式”．根据欧拉
公式，若复数 z = 的共轭复数为 ,则
A． B． C． D．
5． 的展开式中含 的项的系数为
A．10 B．－10 C．5 D．－5
{ }1,2,5=A { }2 5 0B x x x m= − + = { }1A B = B =
{ }1, 3− { }1,0 { }1,5 { }1,4
( ) tan( )3
π= +f x x
2
π
4
π π 2π
⊥m α ⊂n β βα // nm ⊥
cos sin ( )ixe x i x x R= + ∈
x π=
1 0ieπ + = π i
3
4 i
e
π
z z =
2 2
2 2 i− − 2 2
2 2 i− + 2 2
2 2 i+ 2 2
2 2 i−
5)2( xx − 3x高三仿真考试 理科数学 第 2 页 （共 14 页）
6．若 ， ， ，则实数 之间的大小关系为
A． B． C． D．
7．某保险公司为客户定制了 5 个险种：甲为一年期短险；乙为两全保险；丙为理财类保险；
丁为定期寿险；戊为重大疾病保险． 各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对 5
个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图例：
以下四个选项错误的是
A．54 周岁以上参保人数最少 B．18—29 周岁人群参保总费用最少
C．丁险种更受参保人青睐 D．30 周岁以上的人群约占参保人群的 80%
8．函数 的部分图象大致是
9．已知抛物线 : ，倾斜角为 的直线交抛物线 于 两点，若线段
中点的纵坐标为 ，则 的值为
A B．1 C．2 D．4
10．已知一块形状为正三棱柱 （底面是正三角形，侧棱与底面垂直的三棱柱）
的实心木材， ．若将该木材经过切割加工成一个球体，则此球体积的最
大值为
32=a 3log2=b 2log 3
=c cba ,,
a c b> > a b c> > c a b> > b a c> >
( )( ) 2 2 cos sinx xf x x x−= −
C 2 2 ( 0)y px p= >
6
π
C ,A B
AB 2 3 p
1
2
1 1 1ABC A B C−
1 2 3AB AA= =高三仿真考试 理科数学 第 3 页 （共 14 页）
A． B． C． D．
11．已知函数 ， 是 的导函数．① 在区间 上是增
函数； ②当 时，函数 的最大值为 ； ③
④ ．则上述判断中正确的序号是
A．①③ B．①④ C．③④ D．①②
12．设双曲线 ： 的右焦点为 ，双曲线 的一条渐近线为 ，以
为圆心的圆与 交于点 两点， ， 为坐标原点，
，
则双曲线 的离心率的取值范围是
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填在答题卡相应的位置上）
13．已知点 满足约束条件
则原点 O 到点 P
的距离的最小值为_______．
14．如右侧框图所示，若输入 ，
则输出 b=_______．
15．△ 的内角 的对边分别为 ，
若 ， ，
，则△ 的面积为_____．
16．设 O 为坐标原点，平面向量 满足
， ，
，则对任意 和任意满足条件
4 3π 8 2
3
π 4
3
π 32
3
π
1( ) 3f x x x
= − − ( )f x′ f x( ) f x( ) 0,+∞( )
( ,0)x∈ −∞ f x( ) 1− ( ) ( )y f x f x′= − 2有 个零点；
( ) ( ) 2f x f x′ ′− − =
C
2 2
2 2 1( 0, 0)− = > >x y a ba b F C l
F l ,M N MF NF⊥ O
(3 7)OM ONλ λ= ≤ ≤
C
)2,2
5[ 10 13[ , ]3 3
10 34[ , ]3 5
5 5[ , ]2 4
),( yxP
4
0
4
x y
x y
x
+ ≥
− ≥
≤
，
，
，
1010, 8, 4a k n= = =
ABC , ,A B C , ,a b c
( )3 cos cos cos sinb C c B A a A+ = 8=+ cb
4=a ABC
, ,OA OB OC
=2 =4OA OB (2 ) ( ) 0OC OA OC OB− ⋅ − =
0OA OB⋅ = [ ]0,2θ π∈
?>i n
1= +i i
是
结束
输出b
开 始
,输 入 ，a k n
开 始
0=b
1=i
否
把 的右数第 位数字赋给a i t
1−= + ⋅ ib b t k高三仿真考试 理科数学 第 4 页 （共 14 页）
的向量 , 的最大值为______．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
（一）必考题：共 60 分
17（12 分）．已知 为等差数列，各项为正的等比数列 的前 n 项和为 ，且
， ， ．在① ； ② ；
③ ． 这三个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并完成下面问
题的解答（如果选择多个条件解答，则按选择第一个解答计分）．
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）求数列｛ ｝的前 n 项和 ．
18（12 分）图 1 是直角梯形 ABCD，AB//DC，
，以 BE 为折痕将△ 折起，使点 C 到达 的位置，且 ,如图 2．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求直线 BC1 与平面 AC1D 所成角的正弦值．
19（12 分）．某工厂为生产一种精密管件研发了一台生产该精密管件的车床，该精密管件有
内外两个口径，监管部门规定“口径误差”的计算方式为：管件内外两个口径实际长分别为
（ mm ） 、 （ mm ） ， 标 准 长 分 别 为 （ mm ） 、 （ mm ） ， 则 “ 口 径 误 差 ” 为
，只要“口径误差”不超过 0．2（mm）就认为合格，已知这台车床分昼夜两个
独立批次生产．工厂质检部门在两个批次生产的产品中分别随机抽取 40 件作为样本，经检
测其中昼批次的 40 个样本中有 4 个不合格，夜批次的 40 个样本中有 10 个不合格．
（1）以上述样本的频率作为概率，在昼夜两个批次中分别抽取 2 件产品，求其中恰有 1
件不合格产品的概率；
（2）若每批次各生产 1000 件，已知每件产品的成本为 5 元，每件合格品的利润为 10 元． 若
对产品检验，则每件产品的检验费用为 2．5 元．若有不合格产品进入用户手中，则工厂要
对用户赔偿，这时生产的每件不合格品工厂要损失 25 元．
以上述样本的频率作为概率，以总利润的期望值为决策依据，分析是否要对每个批次的所
OC cos 2sinOC OA OBθ θ− ⋅ − ⋅
{ }na { }nb nS
22 11 == ba 1082 =+ aa 1( )n nS b Rλ λ= − ∈ 4 3 2 12a S S S= − +
2 ( )na
nb Rλ λ= ∈
{ }na { }nb
n na b⋅ nT
90 , 2, 3, 3,D AB DC AD∠ = = = =
2CE ED= BCE 1C 1 6AC =
⊥EBC1 ABED
a
b a b
bbaa −+−
图 1 图 2高三仿真考试 理科数学 第 5 页 （共 14 页）
有产品做检测？
20（12 分）．设 分别是椭圆 ： 的左，右焦点， 分
别是椭圆 的上、下顶点，△ 是等腰直角三角形，延长 交椭圆 于
点，且△ 的周长为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设点 是椭圆 上异于 、 的动点，直线 、 与直线 ： 分
别相交于 、 两点，点 ，试问：△ 的外接圆是否恒过 轴上的
定点（异于点 ）? 若是，求该定点坐标；若不是，请说明理由．
21 （12 分） ．已知函数 ．
（1）若直线 与曲线 相切，求 m 的值；
（2）对任意 ，不等式 恒成立，试讨论实数 的取
值．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第
一题计分
22．［选修 4-4：坐标系与参数方程］（10 分）
如图，在以 O 为极点，Ox 轴为极轴的极坐标系中，圆 的
方程分别为
（1）若 相交于异于极点的点 ，求点 的极坐标
；
（2）若直线 ： 与 分别相交于异于极点的 ， 两点，求|AB|的最
大值．
1 2,F F C
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > BA、
C 21FAF 1AF C D
2ADF 4 2
C
P C A B AP BP l 2y = −
M N (0, 5)Q − MNQ y
Q
2
1( ) ( 1)f x x
= − −
2y x m= − + ( )y f x=
)1,1(−∈x 01)()1ln( ≥−−+ xfxa a
1 2 3, ,C C C
2 2=4sin =4sin + =4sin - .3 3
π πρ θ ρ θ ρ θ
， ，
1 2,C C M M
( )0,0 2ρ θ < π> ≤
l ( )Rθ α ρ= ∈ 1 3,C C A B高三仿真考试 理科数学 第 6 页 （共 14 页）
23．［选修 4-5：不等式选讲］（10 分）
已知函数 ， ．
（1）解不等式： ；
（2）当 时，不等式 恒成立，求实数푚的取值范围．
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2020 年高三第三次模拟考试
理科数学参考答案及评分参考
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D C A A A A B B C C A D
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
题号 13 14 15 16
答案
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.解：
选①解：
(1) 设等差数列 的公差为 ,
，
212)( +−= xxf 32)( ++−= xxg
5)( −≥xg
Rx∈ ( ) ( ) 2f x g x m− ≥ +
4 2 520 4 3 2 2+4
{ }na d
1 2 8 1 12 2, 10, 2 8 10, 1, 1a a a a d a d= + = ∴ + = ∴ = =高三仿真考试 理科数学 第 7 页 （共 14 页）
，………………………………………………………………2 分
由 ，
，即 ……………………………4 分
，
.
. …………………………………………………………………………6 分
①………………………………………………8 分
，②………………………………10 分
①-②
. ……………………………………………………………12 分
选②解：
(1) 设等差数列｛ ｝的公差为 d,
∴ 1 ( 1) 1na n n= + − × =
1 2, 1n nb S bλ= = −
1 1 11 1, 2 2 1n S b bλ λ λ= = = − × = −当 时，有 则有 1
2
λ =
1 12 2( 1) 2( 1)n n n n nn b S S b b− −≥ = − = − − −当 时，
{ }12 , 2 2n n nb b b−=即 所以 是一个以 为首项，为公比的等比数列
12 2 2n n
nb −∴ = × =
2 ,n
n na b n⋅ = ⋅（2）由（1）知
1 2 31 2 2 2 3 2 ... 2n
nT n∴ = × + × + × + + ×
2 3 12 1 2 2 2 ... ( 1) 2 2n n
nT n n += × + × + + − × + ×
2 3 1 12(1 2 )2 2 2 ... 2 2 21 2
n
n n n
nT n n+ +−− = + + + + − × = − ×−得：
1( 1) 2 2n
nT n +∴ = − × +
na
{ }
1 2 8 1 1
4
4 3 2 1
2 2, 10, 2 8 10, 1, 1
1 ( 1) 1 ...............................................................................2
4
( 0)
2
n
n
a a a a d a d
a n n
a
b q q
a S S S
= + = ∴ + = ∴ = =
= + − × =
∴ =
>
= − +
，
， 分
设等比数列 的公比为高三仿真考试 理科数学 第 8 页 （共 14 页）
①-②得：
…………………………………………………12 分
选 解：
…………………………………………………………2 分
………………………….…….4 分
………………………………………………6 分
（2）解法同选②的第（2）问解法相同
（1）证明：在图 1 中，连接 AE，由已知得 AE=2
2
4 3 2 2 1 3 2 1 1
2
4 1
1
( ) ( ) ....................................................4
4, 2. 2 0, 2 1
2 2 2 ...................................................................n n
n
a S S S S b b b q b q
a b q q q q
b −
∴ = − − − = − = −
= = ∴ − − = = = −
∴ = × =
分
又 解得 或
...............................6分
1 2 3
2 3 1
(2) 2
1 2 2 2 3 2 ... 2 ......................................
2 1 2 2 2 ... ( 1) 2 2 ..........................
..
.....
.
..
.
n
n n
n
n
n n
n
a b n
T n
T n n +
⋅ = ⋅
∴ = × + × + × + + ×
= × + × + + −
…
× + ×
… ①
由（1）可知
②
2 3 1 12(1 2 )2 2 2 ... 2 2 21 2
n
n n n
nT n n+ +−− = + + + + − × = − ×−
1( 1) 2 2n
nT n +∴ = − × +
③
( )1 ,na d设等差数列｛ ｝的公差为
1 2 8 1 12 2, 10, 2 8 10, 1, 1a a a a d a d= + = ∴ + = ∴ = =
1 ( 1) 1 .na n n= + − × =
1 12 , 1, 2,na
nb a bλ= = =
1
11, 2 , 2 2 , 1, 2 naa
nn b bλ λ λ= = = ∴ = ∴ =令 得 即
1 ( 1) 1 , 2n
n na n n b∴ = + − × = ∴ =
18高三仿真考试 理科数学 第 9 页 （共 14 页）
∵CE〃BA 且 CE=BA=AE,
∴四边形 ABCE 为菱形，
连接 AC 交 BE 于点 F，
∴CF⊥BE,................................................................................................................2 分
又∵在 Rt△ACD 中，
…………………………………………………………………3 分
…………………………………….…………4 分
………………………………………………………..6 分
（2）如图，以 D 为原点，DA,DC 分别为 x,y 轴， 方向为 z 轴正方向建立空间
直角坐标系，由已知得各点坐标为：
………………………8 分
223 3 2 3,AC = + =
3,AF CF∴ = =
1 ,2 6AC =在图 中，
2 2 2
1 1 1, ,AF C F AC C F AF+ = ∴ ⊥
1 1 1, ,C F ABED C F BC E∴ ⊥ ⊂面 又 平面
1BC E ABED∴ ⊥平面 平面 ，
1FC
1
3 3 3 3(0,0,0), ( 3,0,0), ( 3,2,0), (0,1,0), ( , ,0), ( , , 3),2 2 2 2D A B E F C
1 1
3 1 3 3( , , 3), ( 3,0,0) ( , , 3),2 2 2 2BC DA DC= − − = = 所以
3 0, 2,z x y= = = −令 ，解得
(0, 2, 3),.................................................................................................10n = −所以 分
1 1
7,n
BC AC D θ
=所以
记直线 与平面 所成角为 ，
1 ,C F BE⊥由题意知
1 1
1
( , , ), , .
3 0 0 00
3 30 3 02 2
AC D n x y z DA n DC n
x y zDA n
DC n x y z
= ⊥ ⊥
+ + = ⋅ = ⋅ = + + =
设平面向量 的法向量 则
所以 ，即高三仿真考试 理科数学 第 10 页 （共 14 页）
. ………………………………12 分
19.解：（1）以样本的频率作为概率，在昼批次中随机抽取 1 件为合格品的概率
是
在夜批次中随机抽取 1 件为合格品的概率为 ，………………………………2 分
故两个批次中分别抽取 2 件产品，其中恰有 1 件不合格产品的概率为
…………………………………………4 分
（2）①若对所有产品不做检测
Y1 10 -25
P 0.9 0.1
所以 EY1=-25ᵡ0.1+10ᵡ0.9=6.5
故在不对所有产品做检测的情况下，1000 件产品的利润的期望为 1000EY1=6500
……………………………………………………………………………………6 分
Y2 10 -25
P 0.75 0.25
所以 EY2=-25ᵡ0.25+10ᵡ0.75=1.25
故在不对所有产品做检测的情况下，1000 件产品的利润的期望为
1000EY2=1250……………………………………………………………………………
………...8 分
②若对所有产品做检测
昼批次 1000 件产品的合格的期望为 900 件，不合格的期望 100 件，所以利润为
900ᵡ10-2.5ᵡ1000-100ᵡ5=6000
夜批次 1000 件产品的合格的期望为 750 件，不合格的期望 250 件，所以利润为
750ᵡ10-2.5ᵡ1000-250ᵡ5=3750，………………………….……………………...….10 分
综上，昼批次不做检测的利润期望 6500 大于做检测的利润期望 6000，故昼批次不
做检测为好。
夜批次不做检测的利润期望 1250 小于做检测的利润期望 3750，故夜批次做检测为
好………………………………………………………………………….…....12 分
1
1
0 1 3 2 7sin 72 7
BC n
BC n
θ ⋅ + += = =
×⋅
则
9
10
3
4
1 2 1 2
2 2
1 9 3 1 3 9 81( ) ( )10 10 4 4 4 10 200C C× × + × × =
1 1
1
1 - Y Y
Y
设 为 昼 批 次 中 随 机 抽 取 件 的 利 润 ， 的 可 能 取 值 为 10， 25，
所 以 的 分 布 列 为
2 2
2
1 - Y Y
Y
设 为 夜 批 次 中 随 机 抽 取 件 的 利 润 ， 的 可 能 取 值 为 10， 25，
所 以 的 分 布 列 为高三仿真考试 理科数学 第 11 页 （共 14 页）
……………………………………………………….....….2 分
………………...…..4 分
…………………………………….…………...….5 分
2 1 2 1 2
20
4 2 2 , 2 ,AF AF a DF DF a∆ + = + =
解：
（1） ADF的周长为 ，由定义可知，
4 4 2, 2,a a∴ = ∴ =
2 2 2
1 2 , 1,AF F a b c b c∆ = + ∴ = =又 是等腰直角三角形，且
2
2 1.2
xC y∴ + =椭圆 的方程为
0
0 0 0 0
2
02
0 0 0
2 2
0 0 0 0
0 1,2
1 1 1 12 ,...........................72
1 1,2
3,2
x
y y yAP BP x x x x
AP xk
My k
≠ + =
−− + −∴ ⋅ = = = −
−
= −
x（2）设P（x , y ）( x ) , 则 y
直线 与 的斜率之积为 分
设直线 的斜率为k, 则直线AP：y=kx+1, BP: y=-
y=kx+1由 可得 （- , - 2）, 同理N（2k, - 2）, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8分
2 2 2 2
3 -5
2 2
3 5 3 1( ) ( ) ( ) ( ) ,..............................................................102 2 2 2
tE k
EQ EN
t t
k k
∆ ≠
=
+ −∴ + = +
∴
假设 MNQ的外接圆恒过定点T（0，t ）( t - 5) ,
则其圆心（k- , ）, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9分
又
k- k+ 分
解 0t
MNQ y
=
∴∆
得
的外接圆恒过 轴定点（0，0）, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12分高三仿真考试 理科数学 第 12 页 （共 14 页）
0 0
'
3
3
00
02
21.
2( ) ,.....................................................................................................2( 1)
2 2 0( 1) ,1 2( 1)
x x
xx
mx mx
= −
= − =− =− = − + −
解：
（1）设直线y=- 2x+m与曲线y=f ( x) 相切于点（x , y ）
f 分
则有 解得
2
3
'
, 1,........................................51
1ln( 1) ( ) 1 ln( 1) 1, ( 1,1).( 1)
( 1) 2( 1)( ) , (0) 0,....................................................( 1)( 1)
m
a x f x a x xx
a x xg x gx x
= − −
+ − − = + + − ∈ −−
− − += =+ −
所以 分
（2）令g( x) =
则 且
3 3
3
'
...........7
( 1,1), ( 1) 0,( 1) 0,( 1)( 1) 0,
( ) ( 1) 2( 1), ( 1,1).
( ) 0 ( 1,1) ( ) 0, ( ) 0, ( 1,1)
( 1,0) 0.
x x x x x
h x a x x x
i a x h x g x x
x
∈ − ∴ + > − < + − <
= − − + ∈ −
≥ ∈ − ∴ < > ∈ −
∈ − <
分
令
当 时， ， 即 g( x) 在 单调递增。
当 时，g( x) 不满足题意： . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9分
' 2
1 1
' '
1
1 1
1
0 ( 1) 8 0 (1) 4, ( ) 3 ( 1) 2 0,
( ) ( 1,1) ( 1,1), ( ) 0, ( 1,1)
( ) 0, ( ) 0, ( ,1) ( ) 0, ( ) 0,
( ) ( ,1) ( ) ( 1,1)
, (0
a h a h h x a x
h x x h x x
h x g x x x h x g x
g x x g x x
x g
< − = − > = − = − − <
∴ ∈ − ∈ − = ∈ −
> < ∈ < >
∴ ∈ −
（i i ）当 时， 且 又
在 单调递减. 存在x 使 当 时，
即 当 时，
在（- 1，x）单调递减，在 单调递增； 在 有唯一
最小值点 '
1) 0, 0, ( ) 0
(0) 2 0, 2.
2........................................................................................................12
g x
h a a
a
= ≥ = =
∴ = − − = = −
= −
要使g( x) 0恒成立，当且仅当x 又
即
综上所述， 分高三仿真考试 理科数学 第 13 页 （共 14 页）
22.
4sin
0,0 22=4sin 3
2sin sin( ), ,.......................................................................................33 6
2, 6M
ρ θ
ρ θ ππρ θ
π πθ θ θ
πρ
= > ≤
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