新课标Ⅲ卷06-2020年决胜高考数学定心黄金卷（理）（解析版）

新课标 III 卷 06-2020 年决胜高考定心卷之黄金 6 套卷 理科数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.集合 ， ，则 ( )。 A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】∵ ，∴ ， ∵ ，故选 B。 2.设复数 满足 ，则 ( )。 A、 B、 C、 D、 【答案】A 【解析】 ，则 ，故选 A。 3.某校欲从高三年级学生编排的 个歌舞节目和 个小品节目中随机选出 个节目，参加学校举行的” 迎新春”文艺汇演，则所选的 个节目中至少有 个是小品节目的概率为( )。 A、 B、 C、 D、 【答案】D 【解析】从 个节目中任选 个共有 种选法， 至少含有 个小品节目的共有 种选法， 故所选的 个节目中至少有 个是小品节目的概率为 ，故选 D。 4. 的展开式中 的系数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 }2|{ −≥= xxM }012|{ >−= xxN =)( NCM R }02|{ xx }0|{}12|{ >==>= xxNxN x }0|{ ≤= xxNCR }02|{)( ≤≤−= xxNCM R z i iiz 2|2| ++= =|| z 3 10 9 10 ii iz 5225 −=+= 3)5(2|| 22 =+=z 4 2 3 3 1 5 1 5 2 5 3 5 4 6 3 203 6 =C 1 161 4 2 2 2 4 1 2 =⋅+⋅ CCCC 3 1 5 4 20 16 = 5 3 1 2x x  +   3x 15 2 15 4 5 2 5 4【押题点】二项式展开式中特殊项的系数 【详解】由已知 展开式中的通项为 ，令 ，得 ，所以 的系数为 .故选：D 5.等差数列 中，若 ，则 的值是 A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【解析】∵ ，∴ ， ∴ ．故选 A． 【点睛】本题考查等差数列中下标和性质的应用，解题的关键是进行适当的变形，以得到能运用性 质的形式．本题也可转化为等差数列的首项和公差后进行求解，属于基础题． 6.已知实数 满足约束条件 ，则 的最大值是 A．4 B．5 C．7 D．8 答案：C 解析：作出满足不等式组的可行域，如图中阴影部分所示 可变形为 . 结合图形可知当 过点 B 时，在 y 轴上的截距最大. 由 ，得 ，即 ，则 取得最大值 7. 7.设曲线 ( )上任意一点 处切线斜率为 ，则函数 5 3 1 2x x  +   3 5 15 4 1 5 5 1( ) ( ) 22 r r r r r r rT C x C xx − − − + = = 15 4 3r− = 3r = 3x 3 3 5 52 4C− = { }na 4 6 13 15 20a a a a+ + + = 10 12 1 5a a− ( )4 6 13 15 4 152 20a a a a a a+ + + = + = 4 15 10a a+ = ( )10 12 10 12 1 1 55 5a a a a− = − ( )8 9 10 11 12 12 1 5 a a a a a a= + + + + − ( )8 9 10 11 1 5 a a a a= + + + ( )4 15 2 5 a a= + 4= x y, 1 1 0 4 0 y x y x y ≥  − − ≥  + − ≤ 2z x y= + 2z x y= + 2y x z= − + 2y x z= − + 4 1 y x y = −  = 3 1 x y =  = 1(3 )B , 2z x y= + xmxf cos)( ⋅= +∈ Rm ),( yxP )(xg )(2 xgxy ⋅=的部分图像可以为( )。 A、 B、 C、 D、 【答案】D 【解析】∵ ( )上任一点 处切线率为 ， ∴ ，∴ ， ∴该函数为奇函数，且当 时， ，故选 D。 8.在平行四边形 中， ，且 ，沿 将四边形折起成直二面角 ，则三棱锥 外接球的表面积为( )。 A、 B、 C、 D、 【答案】A 【解析】∵将四边形折起成直二面角 ， ∴平面 平面 ， 又∵平面 平面 ， 平面 ， ，∴ 平面 ， ∵四边形 为平行四边形，∴ ， 同理 平面 ，∴ 、 均为直角三角形， 设 中点为 ，连 、 ， 则 ， 为三棱锥 外接球半径， 则 ， ，则 ，故三棱锥 外接球的表面积为 ，故选 A。 9.宋元时期数学名若《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹 日自倍，松竹何日而长等。下图是源于其思想的一个程序框图，若输人的 、 分别为 、 ，则 输出的 ( )。 A、 B、 C、 D、 xmxf cos)( ⋅= +∈ Rm ),( yxP )(xg xmxfxg sin)()( ⋅−=′= xxmxgxy sin)( 22 ⋅⋅−=⋅= +→ 0x 0 > 1 2,F F ( )2 2 0= >y px p C P C 1 2 2 6sin 7PF F∠ = C 2 3 2 3 P ( )0 0,P x y 1 ,02 pF  −   2 ,02 pF      P 2 px = − E 1 1 2F PE PF F∠ = ∠ 1 1 2 2 6sin sin 7F PE PF F∠ = ∠ = 1F PE△ ,2 62 pE k −   ( )0 ,2 6P x k 2 5PE PF k= = 1 7PF k= 0 2 0 52 24 2 px k k px  + =  = 0 4 3 p k x k =  = 0 6 2 p k x k =  = 0 4 3 p k x k =  = 1 2 4F F k= 2 27 5 2 ke k k = =−若 ，则 ， ． 综上可得，选 D． 【点睛】离心率的计算关键在于构建 的一个等量关系，构建时可依据圆锥曲线的几何性质来 转化，有两个转化的角度：（1）利用圆锥曲线的定义转化为与另一个焦点；（2）利用圆锥曲线的 统一定义把问题转化为与曲线上的点到相应准线的距离． 11.已知 a=3ln2π，b=2ln3π，c=3lnπ2，则下列选项正确的是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ， ∵ ，∴ 的大小比较可以转化为 的大小比较． 设 ，则 ， 当 时， ，当 时， ，当 时， ， 在 上单调递减， ， ， ，故选 D． 12.如图，已知抛物线 的焦点为 ，直线 过点 且依次交抛物线及圆 于 、 、 、 四点，则 的最小值为( )。 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】∵ ，焦点 ，准线 ： ， 由圆： ，圆心 ，半径为 ， 0 6 2 p k x k =  = 1 2 6F F k= 3 37 5 2 ke k k = =− , ,a b c a b c> > c a b> > c b a> > b c a> > ln2 ln3 ln, ,6 2 6 3 6 a b c π= = =π π π π 6 0π > a b c， ， ln2 ln3 ln, ,2 3 π π ( ) lnxf x x = ( ) 2 1 lnxf x x −′ = ex = ( ) 0f x′ = ex > ( ) 0f x′ < 0 ex< < ( ) 0f x′ > ( )f x∴ ( )e,+∞ e 3 4< < π > =π b c a∴ > > xy 282 = F l F 2)22( 22 =+− yx A B C D ||4|| CDAB + 23 25 213 218 xy 282 = )0,22(F 0l 22−=x 2)22( 22 =+− yx ），（ 022 2由抛物线的定义得： ， 又∵ ，∴ ，同理： ， 当 轴时，则 ，∴ ， 当 的斜率存在且不为 ，设 ： 时，代入抛物线方程，得： ，∴ ， ， ∴ ， 当且仅当 ，即 ， 时取等号， 综上所述 的最小值为 ，故选 C。 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.已知向量 ， ，若 ，则实数 __________． 【答案】–8 【解析】∵ ，∴–k–8=0，解得 k=–8．故答案为：–8． 14.已知数列 的前 项和公式为 ，则数列 的通项公式为 ． 答案： 解析：由 可知， 当 时， ． 当 且 时， ， 则数列 的通项公式为 15.已知双曲线 的离心率为 ，左焦点为 ，点 （ 为半焦 距）． 是双曲线 的右支上的动点，且 的最小值为 ．则双曲线 的方程为 ___________． 【答案】 22|| += AxAF 2|||| += ABAF 2|| += AxAB 2|| += DxCD xAB ⊥ 22== AD xx 215||4|| =+ CDAB AB 0 AB )22( −= xky 08)2824( 2222 =++− kxkxk 8=⋅ DA xx 2 2 2824 k kxx DA +=+ )2(4)2(||4|| +++=+ DA xxCDAB 2134225425 =⋅+≥++= DADA xxxx DA xx 4= 2=Ax 2 1=Dx ||4|| CDAB + 213 ( )1,1= −a ( )8,k=b ∥a b k = ∥a b { }na n 22 1nS n n= − + { }na 2 1 4 3 2n na n n n + ==  − ≥ ∈ N且 22 1nS n n= − + 1n = 1 1 2 1 1 2a S= = − + = 2n ≥ n +∈N 2 2 1 2 1 [2( 1) ( 1) 1] 4 3n n na S S n n n n n−= − = − + − − − − + = − { }na 2 1 4 3 2n na n n n + ==  − ≥ ∈ N且 ( )2 2 2 2 1 0 0x yC a ba b − = > >： ， 2 1F ( )0 3Q c， c P C 1PF PQ+ 6 C 2 2 13 yx − =【解析】设双曲线右焦点为 ，则 ，所以 ， 而 的最小值为 ，所以 最小值为 ， 又 ，解得 ，于是 ，故双曲线方程为 ． 16.如图所示，圆形纸片的圆心为 ，半径为 ，该纸片上的正方形 的中心为 ， 、 、 、 为圆 上的点， 、 、 、 分别是以 ， ， ， 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以 ， ， ， 为折痕折起 、 、 、 ，使得 、 、 、 重合，得到一个四棱锥，当正方形 的 边长为 时，四棱锥体积最大。 【答案】 【解析】连接 交 于点 ，则 ，点 为 的中点， 连接 ， 为直角三角形， 设正方形的边长为 ，则 ， 由圆的半径为 ，则 ， 设 、 、 、 重合于点 ， 则 ，则 ， 高 ， ， 设 ， ， 当 时 ， 单调递增， 当 时 ， 单调递减， ∴当 时， 取得最大值，此时 ，即答案为 。 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必 考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17.在 中，角 的对边分别为 ， 且 . （1）求角 的大小； 2F 1 2 2PF PF a− = 1 22PF PQ a PF PQ+ = + + 2PF PQ+ ( )22 2 3 2QF c c c= + = 1PF PQ+ 2 2 6a c+ = 2c a = 1 2a c= =， 2 3b = 2 2 13 yx − = O cm4 ABCD O E F G H O ABE∆ BCF∆ CDG∆ DAH∆ AB BC CD DA AB BC CD DA ABE∆ BCF∆ CDG∆ DAH∆ E F G H ABCD cm 5 16 OG CD M DCOG ⊥ M CD OC OCM∆ x2 xOM = 4 xMG −= 4 E F G H P xxMGPM >−== 4 20 ( )2 2 0xx e− + > 0xe > 2 2 0x− + > 2 2x− < < ( )f x ( )2, 2− ( )f x ( )1,1− ( )' 0f x ≥ ( )1,1x∈ −∵ ， ∴ 对 都成立. ∵ ， 对 都成立， 即 对 都成立. 令 则 ， ∴ 在 上单调递增. ∴ ∴ . （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做 的第一题计分。 22.在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 为参数).以坐标原点 为极点， 轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程是. (1)写出直线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程； (2)设 ，直线 与曲线 交于 两点，求 答案：（1）直线 曲线 ： （2）联立直线 与曲线 得： 化简得： ， ∴ 到直线 的距离 ． 23.选修 4-5：不等式选讲（本小题满分 10 分） 已知函数 . ( ) ( ) ( ) ( )2 2' 2 2x x xf x x a e x ax e x a x a e = − + + − + = − + − +  ( )2 2 0xx a x a e − + − + ≥  ( )1,1x∈ − 0xe > ( )2 2 0x a x a∴− + − + ≥ ( )1,1x∈ − 22 ( 1) 12 1x+1-1 1 1 xx xa x x x + ++≥ = =+ + + ( )1,1x∈ − 11 ,1y x x = + − + 1' 1 0,1y x = + >+ 11 1y x x = + − + ( )1,1− 1 31 1 1 2y x < + − =+ 3 2a ≥ xOy l 12 2 3 2 x t y t  = − −  = (t O x C 3cos 0ρ θ+ = l C ( )2,0P − l C ,A B | |.APO BPOS S−   : 3 2 3 0l x y+ + = C 2 23 9( )2 4x y+ + = l C 2 21 3 3 9( 2 ) ( )2 2 2 4t t− − + + = 2 1 2 02t t+ − = 1 2 1 2t t+ = − O l 2 2 | 2 3 | 3 1 ( 3) d = = + 1 2 1 1 3 3| | | | | | | |= | |2 2 2 4APO BPOS S AP d BP d t t∆ ∆− = ⋅ − ⋅ ⋅ + = ( ) ( )3 4 5f x x x= + + −（1）求 的最小值 ； （2）若正实数 满足 ，求证： . 【答案】(1) ；(2)证明见解析. 【详解】(1)因为 ，所以 . (2)由(1)知， . 因为 ， 所以 ，所以 ， 故 ，所以 . ( )f x M , ,a b c ( ) ( ) ( )2 2 21 1 1a b c M+ + + + + = 12a b c+ + ≤ 27M = ( ) ( ) ( ) ( )3 4 5 3 4 5 27f x x x x x= + + − ≥ + − − = 27M = ( ) ( ) ( )2 2 21 1 1 27a b c+ + + + + = ( ) ( ) ( ) 21 1 1a b c+ + + + +   ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )2 2 21 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1a b c a b b c a c= + + + + + + + + + + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1a b c a b b c a c≤ + + + + + + + + + + + + + + + + + ( ) ( ) ( )2 2 23 1 1 1 81a b c ≤ + + + + + =  ( ) ( ) ( )1 1 1 9a b c+ + + + + ≤ 3 9a b c+ + + ≤ 3 3 9a b c a b c+ + − ≤ + + + ≤ 12a b c+ + ≤