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2020 届河南省洛阳市文科数学高考三模试题
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在毎小题给出的四个选项中，只
有-项是符合题目要求的.
1．（5 分）设集合 A＝{x| }，集合 B＝{x|﹣5≤2x+1≤3}，则集合 A∩B＝（ ）
A．[﹣3，﹣2） B．（﹣2，1） C．R D．∅
2．（5 分）已知直线 l1：xsinα+2y﹣1＝0，直线 l2：x﹣ycosα+3＝0，若 l1⊥l2，则 tan2α＝（
）
A． B． C． D．
3．（5 分）已知复数 z 满足|z|＝1，则|z﹣1+ |的最小值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
4．（5 分）命题 p：“∀x≥0，都有 ex≥﹣x+1”，则命题 p 的否定为（ ）
A．∀x≥0，都有 ex＜﹣x+1 B．∀x＜0，都有 ex≥﹣x+1
C．∃x0≥0，e ＜﹣x0+1 D．∃x0＜0，e ＜﹣x0+1
5．（5 分）已知正项等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a4＝ ，S3﹣a1＝ ，则 S4＝（ ）
A． B． C． D．
6．（5 分）已知 m，n 为两条不同直线，α，β 为两个不同平面，则下列结论正确的为（ ）
A．α∥β，m∥α，则 m∥β
B．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则 α∥β
C．m⊥n，m⊥α，n∥β，则 α⊥β
D．m⊥α，m∥n，α∥β，则 n⊥β
7．（5 分）已知 f（x）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，则函数 f（x）可以是（ ）
A．f（x）＝x4﹣2x2 B．f（x）＝
C．f（x）＝xsinx D．f（x）＝ +cosx
8．（5 分）已知 O 是△ABC 内部一点， + + ＝ ， • ＝2 且∠BAC＝60°，则△
OBC 的面积为（ ）
A． B． C． D．第 2 页（共 5 页）
9．（5 分）已知圆 C：（x﹣a）2+y2＝4（a≥2）与直线 x﹣y+2 ﹣2＝0 相切，则圆 C 与
直线 x﹣y﹣4＝0 相交所得弦长为（ ）
A．1 B． C．2 D．2
10．（5 分）已知函数 f（x）＝2sin（ωx+φ）﹣1（ω＞0，φ∈（0，π））与 x 轴的两个交点
最短距离为 ，若将函数 f（x）的图象向左平移 个单位，得到的新函数图象关于 y
轴对称，则 φ 的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
11．（5 分）设 F 为拋物线 C：y2＝4x 的焦点，其准线 l 与 x 轴的交点为 M，过点 F 且倾斜
角为 60°的直线交拋物线 C 于 A，B 两点，则△AMB 的面积为（ ）
A． B． C．8 D．4
12．（5 分）函数 y＝ 与 y＝3sin +1 的图象有 n 个交点，其坐标依次为（x1，y1
）、（x2，y2）、…、（xn，yn），则 y1+y2+…+yn＝（ ）
A．0 B．2 C．4 D．2n
二、填空题：本大題共 4 小题•毎小题 5 分，共 20 分.
13．（5 分）已知向量 ， 满足： ＝（1， ），| |＝ ，（ ﹣ ）⊥ ，则向量 ，
的夹角为 ．
14．（5 分）已知非负实数 x，y 满足 ，则 的最大值是 ．
15．（5 分）设 F1、F2 为双曲线 C： ＝1 的左，右焦点，以 F1F2 为直径的圆与双曲
线 C 在第一象限交于 P 点，若|PF2|，|PF1|，|F1F2|构成等差数列，则双曲线 C 的离心率
是 ．
16．（5 分）已知数列{an}的首项 a1＝m，其前 n 项和为 Sn，且满足 Sn+Sn+1＝2n2+3n，若数
列{an}是递增数列，则实数 m 的取值范围是 ．
三、解答题.本大题共 6 个小题,共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤。
17．（12 分）如图，长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面 ABCD 为正方形，AB＝ ，AA1＝3，
E 为棱 AA1 上一点，AE＝1，F 为棱 B1C1 上任意一点．
（1）证明：BE⊥EF；第 3 页（共 5 页）
（2）求点 B1 到平面 BEC1 的距离．
18．（12 分）随着生活水平的逐步提高，人们对文娱活动的需求与日俱增，其中观看电视
就是一种老少皆宜的娱乐活动．但是我们在观看电视娱乐身心的同时，也要注意把握好
观看时间，近期研究显示，一项久坐的生活指标﹣﹣看电视时间，是导致视力下降的重
要因素，即看电视时间越长，视力下降的风险越大．研究者在某小区统计了每天看电视
时间 x（单位：小时）与视力下降人数 y 的相关数据如表：
编号 1 2 3 4 5
X 1 1.5 2 2.5 3
y 12 16 22 24 26
（1）请根据上面的数据求 y 关于 x 的线性回归方程；
（2）我们用（1）问求出的线性回归方程 ＝ 的 估计回归方程 y＝bx+a，由于随
机误差 e＝y﹣（bx+a），所以 ＝y﹣ 是 e 的估计值， 成为点（xi，yi）的残差．
①填写下面的残差表，并绘制残差图；
编号 1 2 3 4 5
x 1 1.5 2 2.5 3
y 12 16 22 24 26
②若残差图所在带状区域宽度不超过 4，我们则认为该模型拟合精度比较高，回归方程
的预报精度较高，试根据①绘制的残差图分折该模型拟合精度是否比较高？
附：回归直线 y＝bx+a 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ＝ ＝第 4 页（共 5 页）
， ＝ ﹣ ．
19．（12 分）已知△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且 acosB＝bcosA，
BC 边上的中线 AD 的长为 4．
（1）若 A＝ ，求 c；
（2）求 a+ c 的最大值．
20．（12 分）已知平面内动点 P 与点 A（﹣2，0），B（2，0）连线的斜率之积为﹣ ．
（1）求动点 P 的轨迹 C 的方程；
（2）过点 F（1，0）的直线与曲线 C 交于 P，Q 两点，直线 AP，AQ 与直线 x＝4 分别
交于 M，N 两点，直线 x＝4 与 x 轴交于点 E，求|EM|•|EN|的值．
21．（12 分）已知函数 f（x）＝lnx﹣ax+1．
（1）若对任意 x∈（0，+∞），f（x）≤0 恒成立，求 a 的取值范围；
（2）求证： ）．
请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用 2B
铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．（10 分）在平面直角坐标系中，曲线 C 的参数方程为 （α 为参数），以
坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为
）＝ ．
（1）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程；第 5 页（共 5 页）
（2）已知点 A（2，1），点 B 为曲线 C 上的动点，求线段 AB 的中点 M 到直线 l 的距离
的最大值．并求此时点 B 的坐标．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知 a，b，c 是正实数，且 a+b+2c＝1．
（1）求 + + 的最小值；
（2）求证：a2+b2+c2≥ ．
2020 届河南省洛阳市文科数学高考三模试题答案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在毎小题给出的四个选项中，只
有-项是符合题目要求的.
1．A； 2．B； 3．B； 4．C； 5．D； 6．D； 7．B； 8．A； 9．D； 10．A； 11．A
； 12．C；
二、填空题：本大題共 4 小题•毎小题 5 分，共 20 分.
13． ； 14． ； 15．5； 16．（ ， ）；
三、解答题.本大题共 6 个小题,共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤。
17． ； 18． ； 19． ； 20． ； 21． ；
请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用 2B
铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22． ；
[选修 4-5：不等式选讲]
23． ；
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