2020年太原市高三三模考试数学（理）参考答案.pdf

第 1 页 共 5 页 太原市 2020 年高三年级模拟试题（三） 数学试题（理）参考答案及评分标准 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D C A B D D A C C B C 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13. 8 14． 2 3  15． 3 16． ①②③④ 三、解答题（共 70 分） 17．（本小题满分 12 分） 解（1）由已知得， 1 2 2 1a b b b，所以 1 1a  ． ………………1分 又因为 na 是公差为1的等差数列，所以 nan  ． ………………3 分 所以 1( 1) nnn b nb，所以数列 nnb 是常数数列， 所以 1 1nnb b，所以 1 nb n ． ………………6 分 （2）由已知得, 2n n nc  ， ………………7 分 所以 23 1 2 3 2 2 2 2n n nS      , ① 2 3 4 1 1 1 2 3 1 2 2 2 2 2 2n nn nnS        , ② ①—②得 2 3 4 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2n nn nS        = 11(1 )22 11 2 n  12n n  1 21 2n n   , ...11 分 22 2n n nS    . ………………12 分 18.（本小题满分 12 分） 解：（1）2×2 列联表： ………………4 分 年龄低于 65 岁的人数 年龄不低于 65 岁的人数 合计 了解 a=29 c=3 32 不了解 b=11 d=7 18 合计 40 10 50 第 2 页 共 5 页 2 2 50 (29 7 11 3) 6.272 6.63540 10 32 18K         . ………………5 分 所以不能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为以 65 岁为分界点居民对了解垃圾分类 的有关知识有差异. ………………6 分 （2）X 的所有可能取值为 0，1，2，3， 则 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P ………………10 分 所以X的数学期望是 ………………12分 19.（本小题满分 12 分） 证明（1）如图，过点 D 作 //DE AC 交 1AA 于 E ，连接 ,CE BE ， 设 AD CE O ，连接 BO ， 1AC AA ， DE AE， 又 AD 为 1A AC 的角平分线， 四边形 AEDC 为正方形， CE AD ，..............2 分 又 AC AE ， BAC BAE   ， BA BA ， BAC BAE   ， BC BE， 又 O 为CE 的中点， CE BO . ................................................4 分 又 ,AD BO 平面 BAD ， AD BO O ， CE平面 ，.................................5 分 又 CE 平面 11AAC C ， 平面 BAD 平面 ，.................................................6 分 （2）在 ABC 中， 4AB AC， 60BAC  ， 4BC， 在 Rt BOC 中， 1 222CO CE， 22BO ， 又 4AB  ， 1 222AO AD， 2 2 2BO AO AB， BO AD  ， 又 BO CE ， ， ,AD CE  平面 ， BO平面 ，..........7 分 建立如图空间直角坐标系O xyz ，则 (2, 2,0)A  ， 1(2,4,0)A ， 1( 2,4,0)C  ， 1(0,6,2 2)B ， 11 (2,2,2 2)CB ， 1 ( 4,6,0)AC  ， 11 (4,0,0)CA ， 设平面 11AB C 的一个法向量为 1 1 1( , , )m x y z ，则 11 1 m C B m AC    ， 11 1 1 1 4 6 0 2 2 2 2 0 xy x y z       ， 第 3 页 共 5 页 令 1=6x ，得 (6,4, 5 2)m , .................................................9 分 设平面 1 1 1A B C 的一个法向量为 2 2 2( , , )n x y z ，则 11 11 n C B n C A    ， 2 2 2 2 40 2 2 2 2 0 x x y z     ，令 2 =2y ，得 (0, 2 1)n , ，.........................................11 分 9 2 3 17cos , 17102 3 mnmn mn       ， 由可知二面角 1 1 1A B C A是锐角，故二面角 的余弦值为 3 17 17 . ...........12 分 20．(本小题满分 12 分) 解（1）因为椭圆 C 的焦距为 2，所以 221ab， ..................................................1 分 因为椭圆 C 过点 (1， 3 2 )，所以 22 1914ab． ..................................................2 分 解得 2 4a  ， 2 3b  ， .............................................................4 分 故椭圆 C 的方程为x2 4＋y2 3＝1． ........................................................................5 分 （2）设 B(m，n)，记线段 MN 中点为 D． 因为 O 为△BMN 的重心，所以→BO＝2→OD，则点 D 的坐标为(－m 2，－n 2)． ········ 6 分 若 n＝0，则|m|＝2，此时直线 MN 与 x 轴垂直， 故原点 O 到直线 MN 的距离为|m 2|，即为 1． 若 n≠0，此时直线 MN 的斜率存在． 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1＋x2＝－m，y1＋y2＝－n． 又x1 2 4 ＋y1 2 3 ＝1，x2 2 4 ＋y2 2 3 ＝1，两式相减得(x1＋x2)(x1－x2) 4 ＋(y1＋y2)(y1－y2) 3 ＝0， 可得 kMN＝y1－y2 x1－x2 ＝－3m 4n． ····································································· 8 分 故直线 MN 的方程为 y＝－3m 4n(x＋m 2)－n 2，即 6mx＋8ny＋3m2＋4n2＝0， 则点 O 到直线 MN 的距离为 d＝ |3m2＋4n2| 36m2＋64n2． 将m2 4 ＋n2 3 ＝1，代入得 d＝ 3 n2＋9 ． ························································ 10 分 因为 0＜n2≤3，所以 dmin＝ 3 2 ． 又 3 2 ＜1，故原点 O 到直线 MN 距离的最小值为 3 2 ． ································· 12 分 第 4 页 共 5 页 21.（本小题满分 12 分） 解：（1） )0(12ln21ln)('  xaxxaxxxxxf ， …………………………1 分 令 ,0)' xf（ 得 1 ln2 xa x  ，记 1 ln( ) ,xQx x  则 2 ln)(' x xxQ  ， 令 0)(' xQ ，得 10  x ；令 0)(' xQ ，得 1x ， )(xQ 在 )1,0( 上是增函数，在 ),1(  上是减函数，且 ( ) = (1) 1Q x Q 最大 ， 当 ,12 a 即 2 1a 时， 0)(' xf 无解， )(xf 无极值点， 当 ,12 a 即 2 1a 时， '( ) 0fx 恒成立， )(xf 无极值点， 当 120  a ，即 2 10  a 时， 有两解， )(xf 有 2 个极值点 当 02 a 即 0a 时， 有一解， )(xf 有一个极值点. 综上所述：当 1 2a  , ()fx无极值点； 时， ()fx有 2 个极值点； 当 0a  ， 有 1 个极值点. …………………………6 分 （2） xaxxxxg  2ln)( ， )0(2ln)('  xaxxxg ， 令 0)(' xg ，则 02ln  axx ， x xa ln2  ， 记 x xxh ln)(  ，则 2 ln1)(' x xxh  ， 由 ,0)(' xh 得 ex 0 ，由 0)(' xh ，得 ex  ， )(xh 在 ),0( e 上是增函数，在 ),( e 上是减函数， ,1)()(max eehxh  当 ex  时， 0)( xf ， 当 ea 120  即 ea 2 10  时， )(xg 有 2 个极值点 21, xx . ……………7 分 由      22 11 2ln 2ln axx axx ， 得 1 2 1 2 1 2ln( ) ln ln 2 ( )x x x x a x x    ， 12 12 ln( )2 xxa xx ， …………………8 分 不妨设 ,21 xx  则 211 xex  ， exxx  221 ， …………………9 分 又 )(xh 在 ),( e 上是减函数， 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 ln( ) ln ln( )2x x x x xax x x x x     ， ……………………11 分 1 2 1 2ln( ) ln( )x x x x   ， 2121 xxxx  . …………………12 分 第 5 页 共 5 页 22．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 解（1）因为 6cos ，所以 2 6 cos   ， 所以 226x y x，即曲线C 的直角坐标方程为 22( 3) 9xy   ， …………2 分[ 直线l 的参数方程 3πcos ,4 3π2 sin 4 xt yt          (t 为参数)，即 2 ,2 22 2 xt yt       (t 为参数)， ………………………………5 分[ （2）设点 A ， B 对应的参数分别为 1t ， 2t ， 将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得 22 223 2 922tt                 ， 整理，得 2 405 2tt ，所以 12 12 52 · 4 tt tt        ， ……………………7 分 1 2 1 2 1 20, 0, 0, 0t t tt tt     ， 所以 12MA MB t t   1 2()tt   =52 , MA MB || 21tt =4, 所以 11 MA MB = M M M A MB AB   52 4 . ………………………10 分 23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 解：（1）当 1a 时， 4|2||1|4)(  xxxf ， 化为      32 1 x x 或      43 21 x 或      412 2 x x , ………………………………3 分 解得 12 3  x 或 21  x 或 2 52  x ， 2 5 2 3  x .即不等式 ( ) 4fx 的解集为 )2 5,2 3( . ……………………5 分 （2）根据题意，得 2 24mm的取值范围是 ()fx值域的子集. 33)1(42 22  mmm ， 又由于 |12||2||1|)(  aaxxxf ， )(xf 的值域为 )|,12[| a ， ……………………………………8 分 故 3|12| a ， 12  a .即实数 a 的取值范围为 ]1,2[ . ……………10 分 注：以上各题其他正确解法相应得分