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2020 年沈阳市高中三年级教学质量监测（三）
数 学(文科)
命题：和平区教研中心 王若辉 沈阳铁路实验中学 殷裕民 东北育才学校 王成栋
大东区教研中心 罗晶一 沈阳市第二十中学 胡 博 沈阳市第四中学 李永毅
主审：沈阳市教育研究院 王孝宇
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。考生作答时，将答案答在答
题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作
答，在本试题卷上作答无效。
3.考试结束后，考生将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．已知集合 2{ | ( 1) 0}M x x= − ， { | 0}N x x=，则
A． NM B． MN C． MN= D． MN= R
2．已知 a 为实数，若复数 2( 1) ( 1)iz a a= − + + 为纯虚数，则复数 z 的虚部为
A．1 B． 2i C． 1 D． 2
3．已知条件 p ： 0ab，条件 q ： 11
a b a−
，则 p 是 q 的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知函数 ( ) | 3sin cos |f x x x=−（ 0 ）的最小正周期为 ，则 =
A．1 B． 2 C． 1
2 D． 4
5．已知抛物线 2 2x py= 上一点 ( ,1)Am 到其焦点的距离为 p ，则 p =
A． 2 B． 2− C． 4 D． 4− 数学（文科类）模拟测试 第 2 页(共 6 页)
6．《九章算术》中介绍了一种“更相减损术”，用于求两个正整数的最大公约数，将该方法
用算法流程图表示如下，若输入 15a = ，
12b = ， 0i = 则输出的结果为
A． 4a = ， 4i =
B． ， 5i =
C． 3a = ， 4i =
D． ， 5i =
7．函数 2 e1( ) (1 ln ) e1
x
xf x x −= − +
的图象大致为
A B
C D
8．被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“ 0.618优选法”在生产和
科研实践中得到了非常广泛的应用， 0.618就是黄金分割比 51
2m −= 的近似值，黄
金分割比还可以表示为 2sin18，则
2
2
4
2cos 27 1
mm− =−
A． 4 B． 51+ C． 2 D． 51−
9． 设 ,为两个不重合的平面，能使成立的是
A． 内有无数条直线与 平行 B． 内有两条相交直线与 平行
C． 内有无数个点到 的距离相等 D． 垂直于同一平面
10．已知O 为 ABC 的外接圆的圆心，且3 4 5OA OB OC+ = − ，则 C 的值为
A．
4
B．
2
C．
6
D．
12
x
y
O
2
1ii=+
?ab
开始
,,a b i输入
?ab=a a b=−
b b a=− ,ai输出
结束
否
是数学（文科类）模拟测试 第 3 页(共 6 页)
11．已知双曲线C ：
22
221xy
ab−=（ ,0ab ）的离心率为 23
3
，O 为坐标原点，过右焦点
F 的直线与 C 的两条渐近线的交点分别为 ,MN，且△ OMN 为直角三角形，若
33
2ONMS = ，则C 的方程为
A．
22
112 4
xy−= B．
22
162
xy−= C．
2
2 13
x y−= D．
22
126
xy− − =
12．已知函数 3( ) 4f x x x=−，过点 ( 2,0)A − 的直线l 与 ()fx的图象有三个不同的交点，
则直线 斜率的取值范围为
A．( 1,8)− B．( 1,8) (8, )− +
C．( 2,8) (8, )− + D．( 1, )− +
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第 13~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第
22~23 题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．某高校有 10000 名学生，其中女生 3000 名，男生 7000 名．为调查爱好体育运动是否与
性别有关，用分层抽样的方法抽取 120 名学生，制成独立性检验的 22 列表如下，则
ab−=＿＿＿＿＿＿＿＿．（用数字作答）
男 女 合计
爱好体育运动 a 9 ####
不爱好体育运动 28 b ####
合计 #### #### 120
14．已知某不规则几何体三视图如图，其中俯视图中的圆弧
为 1
4
圆周，则该几何体的侧面积为＿＿＿＿＿＿＿＿．
15．过点 (0, 1)− 作曲线 ( ) lnf x x= （ 0x ）的切线，则
切点坐标为＿＿＿＿＿＿＿＿．
16．在 △ ABC 中，角 ,,A B C 的对边分别为 ,,abc，设 △ ABC
的 面 积 为 S ，若 2 2 24sin sin s3 n+2 iA B C= ， 且
2bc= ，则 S
AB AC
=
＿＿＿＿＿＿＿＿． 数学（文科类）模拟测试 第 4 页(共 6 页)
三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17-21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第 22-23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分．
17．（本小题满分 12 分）
已知数列{}na 的前 n 项和 2
nS n pn=+ ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）已知 4 7 12,,a a a 成等比数列，求 p 值；
（3）若
1
21n
nn
b aa+
=+
，求数列{}nb 的前 n 项和 nT ．
18．（本小题满分 12 分）
某快餐连锁店，每天以每份 5 元的价格从总店购进早餐，然后以每份 10 元的价格出售，
当天不能出售的早餐立即以 1 元的价格被总店回收进行环保处理．该快餐连锁店记录了
100 天早餐的销售量（单位：份），整理得下表：
日销售量 25 30 35 40 45 50
频数 10 16 28 24 14 8
如果这个早餐店每天购入 40 份早餐，完成下列问题：
（1）写出每天获得利润 y 与销售早餐份数 x （ xN）的函数关系式；
（2）估计每天利润不低于 150 元的概率；
（3）估计该快餐店每天的平均利润．
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19．（ 本小题满分 12 分）
如 图 ， 长 方 体 1 1 1 1–ABCD A B C D 的 底 面 ABCD 是 正 方 形 ， 点 E 在棱 1AA 上，
1BE EC⊥ ．
（1）证明：平面CBE ⊥平面 11EB C ；
（2）若 1AE A E= ， 2AB = ，求三棱锥 1C EBC− 的体积．
20．（本小题满分 12 分）
已知椭圆
22
22: 1( 0)+ = xyC a bab
， 四 点 1(2, 3)P ， 2 (0, 2)P ， 3
6( 2, )3−P ，
4
6(2, )3P 中恰有三个点在椭圆C 上，左、右焦点分别为 1F 、 2F ．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过左焦点 1F 且不与坐标轴平行的直线l 交椭圆于 P 、Q 两点，若线段 PQ 的垂直
平分线交 y 轴于点 D ，求 ||PQ
|OD |
的最小值．
21．（本小题满分 12 分）
已知函数 () xf x e mx=− ．
（1）讨论 ()fx的单调区间与极值；
（ 2 ） 已知函数 ()fx的 图 象 与 直 线 ym=− 相 交 于 11( , )M x y ， 22( , )N x y 两点
（ 12xx ），证明： 124xx+．
A
C
D
1A
1B
1C
1D
E
B数学（文科类）模拟测试 第 6 页(共 6 页)
（二）选考题：共 10 分，请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分．
22．【选修 4-4 坐标系与参数方程】（本小题满分 10 分）
在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 1C 的
极坐标方程为 sin 2= ．
（1）M 为曲线 1C 上的动点，点 P 在线段OM 上，且满足 4PO OM = − ，求点 P 的
轨迹 2C 的直角坐标方程；
（2）曲线 2C 上两点 1( , )3A 与点 2( , )B ，求 OAB 面积的最大值．
23．【选修 4-5：不等式选讲】（本小题满分 10 分）
已知 ,,abc均为正数，设函数 ()f x x b x c a= − − + + ， xR ．
（1）若 2 2 2abc= = = ，求不等式 ( ) 3fx 的解集；
（2）若函数 ()fx的最大值为1，证明： 1 4 9 36a b c+ + ．
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