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三校三模理科数学答案 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D B C D D C C D A B B 二、填空题： 13. 1 2 14. 10 15. 2 2  16. ①②④ 三、解答题 17 题： （1）证明：连接 11BD， 1 1 1 1B D AC O ，连接 1,OE B D 1 1 1 //DS BB DSBBDS BB    为平行四边形 1 //B D SB 3' 在 1DBD 中， 1//OE B D 1 1 1 1 1 1 1 1 1 // // OE B D OE AC E B D AC E B D AC E     平面 平面 平面 所以， 11//SB AC E平面 . 6' （2）由已知可得，建立如图所示空间直角坐标系 1D xyz 11(2,0,0), (0,2,0), (0,0,2), (0,0,1), (0,0,4), (2,2,2)A C D E S B 1 2 2 2 2 2 10 2 2 7( , , ) ( , , ) ( , , )3 3 3 3 3 3 3 3 3 3SF SB F EF      8' 设平面 11EAC 的法向量 ( , , )n x y z 1 1 2 2 0 20 n EC xy xzn EA       ，不妨取 1x  ，则 1, 2yz (1,1,2)n 10' 2 2 14 3 383 3 3cos , 19576 3 EF n      11' 所以，直线 EF 与平面 11EAC 所成角的正弦值为 3 38 19 . 12' 18.解：（1） ①由正弦定理 2sin sin sin a b c RA B C   ，得： 2 sin sincos( ) cos( ) 2sin sin sin ACA C A C A C B     2 12sin sin =22BB ， 所以， 4B  或 3 4B  2' ②由图象得 22, 2 236PT              2 2 2 0,3 2 6 6A k A k A               4' ③ 35/ / 2cos 3 0 cos 26m n C C C         6' 若 ①③成立，则 BC；若②③成立，则 AC  ，所以①②成立 7' （2）sin sin 4B C b c B      ， 8' 所以在 ACD中，由余弦定理 2 2 24 2 cos30CD AC AD AC AD       23 23 AC AD AC AD AC AD         4 2 3AC AD    当且仅当 AC AD 时取等 11' （未写取等条件扣一分） 1 sin30 3 2 32ACDS AC AD    12' 19.解：（1）身高在[170,180)的总人数为： 20 60 100 100 80 20 10 10 400        体重在[55-60)的频率为： 60 0.15400  体重在[70-75)的频率为： 80 0.2400  2' 3' 平均体重为： 52.5 0.05 57.5 0.15 62.5 0.25 67.5 0.25 72.5 0.2 77.5 0.05 82.5 0.025 87.5 0.025               66.4 6' （2） 0.99 1r ，线性相关很强，可以用线性回归直线来刻画中学生身高与体重的相关 145 155 165 175 1851655x  45 75 60 53.6 66.4 605y     8' 8 1 8 22 1 38608 175 66.4 5 60 1650.7281000 ii i i i x y nx y b x nx              10' 60 0.728 165 60.12    所以，回归直线方程为： 0.728 60.12yx. 12' （3）残差平方和越小或相关指数 2R 越接近于 1，线性回归模型拟合效果越好. 20.解：（1）设 ( , )M x y ，则 22| | 4MN y 所以，曲线的标准方程为： 2 4xy （2）设直线 22 12 12: , ( , ), ( , )44 xxAB y kx b A x A x 过点 A 的切线方程为： 2 11 24 xxyx 过点 B 的切线方程为： 2 22 24 xxyx 所以，点 1 2 1 2( , )24 x x x xP  6' 122 2 12 2 4 4 4 4 0 4 16( ) 0 x x k xy x kx b x x b y kx b kb                 又 2AB OPkk  ，则 4b  ， 2 8 16( , )Q kk 8' 点Q 在以 AB 为直径的圆上，则 0QA QB 2 1 2 1 2 1 2 1 22 2 4 8 64 16 16( ) ( ) 0x x x x y y y yk k k k          4 2 2 22 8 0 ( 2)( 4) 0 2k k k k k         11' 所以，点 P 的坐标为：( 2 2, 4) 12' 21.解：（1） ()gx的定义域为：( ,0) (0, )  2 ( 1) ( 1)'( ) xxx e x egx x    设 ( ) ( 1) ( 1)xxp x x e x e    ，则 '( ) ( )xxp x x e e 当 0 , '( ) 0; 0, '( ) 0x p x x p x   时 所以， ()px单调递增，又 (0) 0p  所以， 的减区间为 ( ,0) ；增区间为：(0, ) 4' （2）①      222+ 2xxh x f x ax e e ax      '( ) 2xxh x e e ax   ， 令 ( ) 2xxx e e ax    ，则 '( ) 2xxx e e a    令 2'( ) 0, 2 1 0xxx e ae     由 20, 1, ln( 1)xx e m a a     所以， ()x 在 (0, )m 递减； 在( , )m  递增 即： '( )hx在 (0, )m 递减； '( )hx在 ( , )m  递增 又 02 2'(2 ) 2 2 ( )( 2 ) 0 2 x m m m m m mm h m e e a m e e e e m a e e              所以，存在 00( ,2 ), '( ) 0x m m h x使得 8' 从而有， ()hx 在 0(0, )x 递减； '( )hx在 0( , )x  递增， 在定义域内有唯一的零点. ②证明： 00 1 00'( ) 2 0 2 (2, )xxh x e e ax a e e        00 0 0 () xxeegx x  在 (0, ) 递增， 1(1)g e e 所以， 001x   00 0 0 0 0 0 022 00 0 0 0 0 2 2 (1 ) (1 ) 22 2 2 xx x x x x x xxxeeh x e e ax e e x e ex                 设   (1 ) (1 ) 2(0 1)22 xxxxk x e e x       ，   (1 ) (1 )'02 xxe x e xkx     kx在 (0,1) 递减，则  0hx 的取值范围为： 3( 2,0)22 e e 12' 22.解：（1）当 2   时，直线l 的方程为： 1x  当 2   时，直线 的方程为： tan ( 1)yx   ； 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin 2 21 sin x y y           即： 2 2 12 x y 5' （2）将直线 的方程        sin cos1 ty tx 代入 2222xy得 22(1 sin ) 2 cos 1 0t    2 4 8 0b ac    ， 1 2 1 222 2cos 1,,1 sin 1 sint t t t       |||||||||| PBPAPBPA  得 1 2 1 222 2cos 1| | | | | | | |1 sin 1 sint t t t        所以， 1cos tan 32     10' 23.解：（1） 2 2 2( ) ( ) 2( ) 6 ( ) 2 2 6 2f a f b a b a b a b ab ab            又 ,a b R ， 21a b ab    ， 所以， ( ) ( ) 4f a f b （2）| ( ) ( ) | | ( )( 2) | 2| ( ) 2 2| 2| | 4| | 4f x f a x a x a x a a x a a             所以，| ( ) ( ) | 4(| | 2)f x f a a  