2020届综合训练（二）数学理科答案及评分细则.doc

‎2020届石家庄市综合训练（二）‎ 数学理科答案 一、 选择题 ‎1-5 DABBB 6-10 CDBCA 11-12 AC 二、 填空题 ‎13 . 14. ‎ 15. ‎ 16. ‎ 三、 解答题 ‎17.‎ ‎(Ⅰ)证明：当时，由 两边同时除以得：， ………………………………………2分 由，得，‎ 故数列是以1为首项，1为公差的等差数列.……………………………4分 ‎(Ⅱ)解：‎ 由(Ⅰ)知，‎ ‎…………………………………………………6分 所以，……………8分 所以 ‎. ………………………………………………………10分 因为，故.……………………………………………………12分 ‎18.‎ ‎ ‎ 在所以 又 ‎ 因为 ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）解法1：在矩形中，‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎ 所以，二面角的余弦值为 解法2：在矩形中，因 所以 以为坐标原点建立如图所示坐标系， ‎ ‎ ……10分 所以，二面角的余弦值为 ‎19．‎ 解：(Ⅰ)由表中数据可得三种型号更换的易损件的概率（频率）分布表为：‎ 每台车床在一年中更换易损件的件数 ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 概率（频率）‎ A型号 ‎0‎ B型号 C型号 ‎0‎ 设一年中A,B,C三种型号车床更换易损件分别为，，，三种型号车床更换易损件的总数为，‎ ‎，………………2分 ‎，………………4分 所以，‎ 所以一年中A,B,C三种型号车床更换易损件的总数超过18件的概率为，…………5分 ‎（Ⅱ）由题意，所有可能取值为16，17，18，19，20，……………6分 由（Ⅰ）可知……………7分 故的概率分布列为：‎ ‎19‎ ‎20‎ 设购买18件的总费用为,则的可能取值为1．8，2，2．2，………8分 则万元，……………9分 设购买19件的总费用为,则的可能取值为1．9，2．1，……………10分 则万元，………………11分 ‎，所以在购买车床的同时应当购买18件易损件． …………12分 ‎20.‎ 解：（Ⅰ）由题可知. …………………1分 设，则由与圆相切时得，即. ……2分 将代入解得. ………………………3分 所以的方程为. ………………………4分 ‎（Ⅱ）设，‎ 将代入得，‎ 由直线与椭圆相切得即，且 ………………………6分 则△的面积. ………………7分 由直线与圆相切，设，与联立得 ‎ ……………8分 直线与轴交于点，则. ………………………9分 则△的面积 . ……………………10分 从而 ‎（当且仅当时等号成立）,‎ 所以的最小值为. ………………………12分 ‎21.‎ 解：（Ⅰ），…………………………1分 当时，因为，所以不满足题意；‎ ‎………………2分 当时，令，解得，当时，，在区间上单调递减；当时，，在区间上单调递增，……………………………………………4分 故是在的唯一最小值点．由于，所以当且仅当，即时，．故；……………………………5分 ‎（Ⅱ）由题意知，令 ‎，，故在区间上单调递增，故要证：存在唯一，使得成立，只需证：即可.…………………………………………………7分 ‎，‎ ‎.‎ ‎………………………………8分 令，当时，，在区间上单调递增；当时，，在区间上单调递减，故.……………………10分 令时，有，又因为，因此…………………11分 由，令，得.令时，有，又因为，因此.‎ 综上，存在唯一，使得成立.…………………………12分 选做题：‎ ‎22‎ 解：（Ⅰ）设上任意一点的极坐标为 ‎ 则在上 所以 ‎ 故曲线的极坐标方程为 ‎（Ⅱ）设 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当且仅当时等号成立.‎ 故的最大值为 ‎ ‎23.‎ 解：（Ⅰ）‎ ‎...........................................................................................2分 当时，‎ 当时， ‎ 当时， ‎ 故当时，取得最小值 ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）因为 ‎ ‎ 当时等号成立.‎ 由题意知，对任意 ，存在使得成立 则 即 ‎ 所以 ‎ 解得： ‎ 即的取值范围为 .‎