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2020 年高考模拟训练 数学试题参考答案 2020. 06 一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1—4 DCDD　 5—8 ACAB 1. 答案:D　 解析:A∩B ={x | -1 2 ;D 正确。 12. 【答案】ABD 【解析】①∵ m(x)= f(x) -g(x)= x2 - 1x ,x∈( - 1 3 2 ,0),∴ m′(x)= 2x+ 1x2 >0,∴ m(x)= f(x)-g(x),在 x∈(- 1 3 2 ,0)内单调递增,故①正确;②,③设 f(x),g(x)的隔离直线为 y =kx+b,则 x2 ≥kx+b 1x ≤kx+b ì î í ïï ïï 对任意 x∈(-∞ ,0)恒成立,即有 x2 -kx-x≥0 kx2 +bx-1≤0 { 对任意 x∈( -∞ , 0)恒成立. 由 kx2 +bx-1≤0 对任意 x∈(-∞ ,0)恒成立得 k≤0. 若 k = 0 则有 b = 0 符合 题意;若 k0;当 x = e 时,G′(x)取到极小值,极小值是 0,也 是最小值,∴ G(x)= 2 e x-e-h(x)≥0,则 h(x)≤2 e x-e,∴ 函数 f(x)和 h(x)存在唯 一的隔离直线 y = 2 e x-e,故④正确,故答案为 ABD. 三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13. 答案: 1 2 . 　 　 14. 答案:180. 　 　 15. 答案 π 4 ;3π 8 . 　 　 16. 答案 18. )页8共(　页3第　案答题试学数13. 答案: 1 2 . 　 解析: 由 a =(1,0),b =(λ,2),则 2a-b =(2,0)-(λ,2)= (2-λ,-2). a+b = (1+λ,2),所以|2a-b | 2 =(2-λ) 2 +( -2) 2 = 8-4λ+λ2 , | a+b | 2 = 5+2λ+λ2 ,又由 | 2a-b | = | a+b | ,所以 8-4λ+λ2 = 5+2λ+λ2 ,解得 λ = 1 2 ,故答案为 1 2 . 14. 答案:180. 　 解析:∵ (1+x) 10 =(-1-x) 10 =[(-2) +(1-x)] 10 ,(1+x) 10 = a 0 +a 1(1-x) + a 2(1-x) 2 +…+a 10(1-x) 10 ,∴ a 8 =C8 10 ·(-2) 2 = 180,故答案为 180. 15. 答案 π 4 ;3π 8 . 　 由函数图像得 y =sin(2x+ π 4 ),沿 x 轴向右平移 b 个单位后得到函数为 偶函数,必有 π 4 -2b =kπ+ π 2 ,k∈Z,k = -1,b = 3π 8 . 16. 答案 18. 　 解析:对于 2≤| m 1 | +| m 2 | +| m 3 | ≤5 分以下几种情况:① | m 1 | + | m 2 | + | m 3 | = 2,即此时集合 A 的元素含有一个 2,或-2,两个 0,2 或-2 从三个位置选一个有 3 种 选法,剩下的位置都填 0,这种情况有 3×2 = 6 种;② | m 1 | + | m 2 | + | m 3 | = 4,即此时集合 A 含有两个 2,或-2,一个 0;或者一个 2,一个-2,一个 0;当是两个 2 或-2,一个 0 时, 从三个位置任选一个填 0,剩下的两个位置都填 2 或-2,这种情况有 3×2 = 6 种;当是 一个 2,一个-2,一个 0 时,对这三个数全排列即得到 3×2×1 = 6 种;∴ 集合 A 中满足条 件“2≤| m 1 | +| m 2 | +| m 3 | ≤5”的元素个数为 6+6+6 = 18. 四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分。 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (10 分) 解析:(1)若选择①,由此得 q2 -q-2 = 0, 解得 q = 2 或 q = -1(舍去,∵ q>0)　 …………………………(2 分) 又∵ an bn +bn = 1,b 1 = 1 3 ,则解得 a 1 = 2　 　 ………………(3 分) ∴ an = 2 n ,则 bn = 1an +1 = 1 2 n +1 　 …………(5 分) 注:选其他两个条件公比皆为 2,结果一样. 其中选②也能解得 a 1 = 2. (2)an bn bn+1 = 2 n (2 n +1)(2 n+1 +1) = 1 2 n +1 - 1 2 n+1 +1 　 …………………………(7 分) ∴ Tn =( 1 2+1- 1 2 2 +1 )+( 1 2 2 +1 - 1 2 3 +1 )+…+( 1 2 n +1 - 1 2 n+1 +1 )　 …………(8 分) = 1 3 - 1 2 n+1 +1 < 1 3 . 　 ………………10 分 18. (12 分) 解:(1)∵ a = 17 ,2bsinA- 17 sinB = 2bcosA,∴ 2bsinA-asinB = 2bcosA, 由正弦定理得 2sinB·sinA-sinA·sinB = 2sinB·cosA, )页8共(　页4第　案答题试学数又∵ sinB>0,∴ sinA= 2cosA,∴ tanA= 2. 　 　 ………………6 分 (2)在△ABD 中,由(1)知 tanA= 2,可设 BD= 2x,AB =x, 则 AD=DC = 5 x,cos∠ADB = 2 5 5 ,∵ ∠BDA+∠BDC =π,∴ cos∠BDC = -2 5 5 , 在△BCD 中,由余弦定理得 ( 17 ) 2 =(2x) 2 +( 5 x) 2 -2×2x× 5 x×cos∠BDC,解得 x = 1, 由 S △ABD =S △BCD ,得 1 2 ×x×2x = 1 2 ×2x× 17 ×sin∠DBC, 解得 sin∠DBC = 17 17 . 　 ……………………12 分 19. (12 分) 解析:(1)证明:因为△PAD 是正三角形,O 是 AD 的中点,所以 PO⊥AD. 又因为 CD⊥平面 PAD,PO⊂平面 PAD,所以 PO⊥CD. AD∩CD=D,AD,CD⊂平面 ABCD,所以 PO⊥面 ABCD. 　 　 　 　 ……………4 分 (2)如图,以 O 点为原点分别以 OA、OG、OP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐 标系. 则 O(0,0,0),A(2,0,0),B(2,4,0), C(-2,4,0),D( -2,0,0),G(0,4,0),P(0, 0,2 3 ),E(-1,2, 3 ),F( -1,0, 3 ),EF→ = (0,-2,0),EG→ = (1,2,- 3 ),设平面 EFG 的法向量为 m→ =(x,y,z), -2y = 0, x+2y- 3 z= 0, { 令 z= 1,则 m→ =( 3 ,0,1), ……………6 分 又平面 ABCD 的法向量 n→ =(0,0,1),……………7 分 设平面 EFG 与平面 ABCD 所成锐二面角为 θ,所以 cosθ= | m→ ·n→ | | m→ | | n→ | = 1 2 ; 所以平面 EFG 与平面 ABCD 所成锐二面角为 π 3 ;……………8 分 (3)假设线段 PA 上存在点 M,使得直线 GM 与平面 EFG 所成角为 π 6 , 设 PM→=λPA→,λ∈[0,1],GM→=GP→+PM→=GP→+λPA→, 所以 GM→=[2λ,-4,2 3 (1-λ)], ……………10 分 所以 sin π 6 = | cos= 3 2 4λ2 -6λ+7 , ………………11 分 )页8共(　页5第　案答题试学数整理得 2λ2 -3λ+2 = 0,无解,所以,不存在这样的点 M. ……………12 分 20. 解析:(1)公共焦点 F 2(1,0),故椭圆的焦点坐标为(±1,0). 所以 m= 1,所以抛物线 C 2 的方程 y2 = 4x,　 　 …………………………2 分 由点 P 在抛物线上,所以 P( 2 3 . 2 6 3 ). 又点 P 又在椭圆 C 1 上, 所以 2a = ( 2 3 -1) 2 +(2 6 3 ) 2 + ( 2 3 +1) 2 +(2 6 3 ) 2 = 4, 所以 a = 2,又 c= 1,故 b = 3 , 从而椭圆 C 1 的方程为x2 4 + y2 3 = 1. 　 …………5 分 (2)联立直线与椭圆方程得 y =kx, x2 4 + y2 3 = 1, ì î í ïï ïï 得 3x2 +4k2 x2 = 12, 解得 xM = -2 3 3+4k2 ,xN = 2 3 3+4k2 . 联立直线与抛物线得 y =kx, y2 = 4x, { 得 k2 x2 = 4x,解得 xO = 0,xQ = 4k2 　 　 …………… 8 分 由| MO| = | NQ| ,故 N 为线段 OQ 的中点,即 xN = xO +xQ 2 ,得 4 3 3+4k2 = 4k2 , 化简得 3k4 -4k2 -3 = 0,解得 k2 = 2+ 13 3 (负值舍去),故满足题意的 k 值有 2 个. 从而存在过原点 O 的两条直线 l 满足题意. 　 　 ……………………12 分 21. (12 分) 解析:(1)记事件 A 为“2 轮试验后,乙药治愈的白鼠比甲药治愈的白鼠多 1 只”, 事件 B 为“2 轮试验后,乙药治愈 1 只白鼠,甲药治愈 0 只白鼠”, 事件 C 为“2 轮试验后,乙药治愈 2 只白鼠,甲药治愈 1 只白鼠”, 则 P(B)= C1 2( 3 5 × 2 5 )×( 3 5 × 3 5 )= 108 625,　 　 ……………………(2 分) P(C)= C2 2( 3 5 × 3 5 )×C1 2( 2 5 × 3 5 )= 108 625,　 　 ……………………(4 分) ∴ P(A)= P(B)+P(C)= 108 625+108 625 = 216 625　 　 ……………………(5 分) (2)一次实验耗材总费用为(10β+2)千元. 设随机变量 X 为每轮试验 A 公司需要支付的试验耗材费用的取值, )页8共(　页6第　案答题试学数则 X = 1 4 (10β+2), 1 2 (10β+2), 3 4 (10β+2),　 …………6 分 P(X = 1 4 (10β+2))= 3 5 β, P(X = 1 2 (10β+2))= 2 5 β+(1- 2 5 )×(1-β)= 3 5 - 1 5 β, P(X = 3 4 (10β+2))= 2 5 (1-β). X 1 4 (10β+2) 1 2 (10β+2) 3 4 (10β+2) P 3 5 β 3 5 - 1 5 β 2 5 (1-β) 　 …………9 分 E(X)= 3 5 β· 1 4 (10β+2)+( 3 5 - 1 5 β)· 1 2 (10β+2)+ 2 5 (1-β)· 3 4 (10β+2) = - 5 2 β2 +11 2 β+ 6 5 　 　 ………………………(10 分) 令 f(x)= - 5 2 β2 +11 2 β+ 6 5 ,β∈[ 3 5 , 4 5 ]. 易知 f(x)在区间[ 3 5 , 4 5 ]上单调递增,∴ f min(x)= f( 3 5 )= 18 5 (千元). 则 A 公司 4 轮试验结束后支付实验耗材最少费用为 4×18 5 = 72 5 = 14. 4(千元), 即 14400 元. 　 …………12 分 22. (12 分) 解:(i)f′(x)= 1x +a+cosx,设 g(x)= 1x +a+cosx, g′(x)= - 1x2 -sinx0,得 a-lnπ π ,所以 a-lnπ π ,即-lnπ π