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2020“皖江名校联盟”决战高考最后一卷·理数参考答案 第 1 页（共 8 页） a b ab O B A 2020“皖江名校联盟”决战高考最后一卷理数参考答案 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案 C A B C C D D B D A B B 1.【解析】由题意知： 1zi   ，故 1z ii    . 2.【解析】    0,3UAB 3.【解析】∵ lnyx 在 0+， 内是增函数,∴ ln ln ，即 ln ln ,∴ ln ln 0. 选项 B 正确. 4.【解析】∵  21nS n n，∴数列 na 是公差为 4 的等差数列，∵ 4kl ， ∴ klaa4 4 16 5.【解析】∵ 3 sin 0xx，∴ 0x  ，排除 A；∵     0f x f x   ,∴  fx为奇函数， 排除 D,∵ 3 1 0f e  排除 B，故选 C. 6.【 解 析 】 由 上 表 知 ： 17.5, 39xz,∵ lnz c kx回 归 直 线 经 过 样 本 中 心 ,∴ 39 ln 4 17.5c   ，即ln 109c  ,∴ 109ce 7.【解析】由 2 a a b ，得出 ,ab夹角，进而求出 a 与 ba的夹角， 或利用几何意构造三角形，解三角形.由已知得： ， ∴   0  a a b ，如图，令OA a ， OB  b ，则 BA ab,∵ ， ∴ BA OB ，又∵ 2ab,∴ 30OAB，故 与 的夹角为150 . 8.【解析】若 ABC 是锐角三角形，则 2AC ，即 022AC    ， ∴ sin sin 2AC ， 即 sin cosAC ， 同理sin cosAB ， 反 之 不 成 立 ， 如 90 , 30AB时，sin cosAC ，但 是直角三角形，∴ p 是 q 的充分不必要条件. 9.【解析】根据题意，现有 6 根算筹，可以表示的数字组合为 (1,5),(1,9),(2,4),(2,8),(3,3),(3,7),(4,6),(6,8),(7,7), 其 中 数 字 组 合 (1,5),(1,9),(2,4),(2,8),(3,7),(4,6),(6,8),中，每组可以表示 2 个两位数，分别为 15,51,19,91,24,42, 28,82, 37,73,46， 64,68,86，共 2 7 14 个 两 位 数 ； 数 字 组 合 2020“皖江名校联盟”决战高考最后一卷·理数参考答案 第 2 页（共 8 页） N M O 30 x y 3 3 1 O (3,3) ,(7,7)，只能表示 33,77 这 2 个两位数，故一共可以表示12 4 16 个两位数；其中 能被 3 整除的数是 15,51,24,42,33 这 5 个，故所求概率为 5 16 ． 10.【解析】据题意 9810 2 9 2 2 2 1S         , 10 9 22 10 2 9 2 2 2 1 2S          两式错位相减，得  10 9 8 1010 2 2 2 2 1 9 2 1S           11.【解析】如图，该圆台侧面展开图中三角形OMN ， 1, 3, 30OM ON MON    ，∴ min 1MN  . 12.【解析】设 ,()M x y ，由 122| | | |MF MF 可得 2 2 2 2( ) [ 2)]22(x y x y     ， 整理得 2263) 2(xy   ，即点 M 在以 (6,0) 为圆心， 42为半径的圆上． 又点 2F 到 双 曲 线 C 的 渐 近 线 的 距 离 为 b ， ∴ 当 双 曲 线 的 渐近线与圆 相切时， b 取得最大值，此时 2 642 b  ，解得 42 3b  ． ∴ 32 24 93a    ，故 42 3a  . 13.【答案】 0,3 【解析】画出可行域如图所示，其中直线 30x y z   与 直线 3 3 0xy   平行，∴ z 取得最小值时， x 的取值范围是 0,3 . 14.【答案】13【解析】原二项式可化为 4 4 3 2 2 2 1 2 2 2 3 2 4 4 4 1 1 1 1 111x x C x C x C xx x x x x                                       ， 由于二项式的展开式  2 2 2 3 1 1 1 r rr n r r n r r n nT C x C xx       ， 令 23nr ，则当 3n  时， 2r  ，此时对应的项是 2 2 313C， ∴常数项的系数为3 4 1 13   . 15.【答案】 21n  【解析】法一：不完全归纳 1 0a  ， 2 1a  ， 3 4a  ， 4 9a  ， ，  21nan,法二：转化为等差数列,∵ na 是单调递增数列，且 ,∴ 140nnaa ， ∴ 1112n n n na a a a    ，即 2 1 1nnaa ,∴ 1 1nnaa ，即数列 na 是 首项为0 公差为1的等差数列，∴ 1nan，即  21nan. M 2020“皖江名校联盟”决战高考最后一卷·理数参考答案 第 3 页（共 8 页） 16. 【答案】②④【解析】∵  fx的图象关于直线 1x  对称,∴  11f 或  10f ， ①错误；∵ 2 是半周期的整数倍，于是 4 是 的一个周期，②正确；∵对于任意 ,，   0fx ，∴不存在 使 为奇函数，③错误；    0 sin sinf            sin cos cos sin cos             或 sin ，于是  0f 的所有可能取值 是 20, ,12 ，④正确. 17.【解析】（1）由正弦定理，可得 sin sinc A a C ，则有 5sin cos 6a C a C ∴ 31sin cos sin22C C C   ， ∴ tan 3C  ∵  0,C  ，∴ 120C  …………………………………………………………6 分 （2）令 A  ，  0 ,60  ， 由题意 ACD ， 2BDC ， 60ABC    ， 120BCD    在 BCD 中， sin sin BD CD BCD ABC ，则     21 sin 120 sin 60   ∴ 3 1 3 12 cos sin cos sin2 2 2 2      ，得 33cos sin22 ∴ 3tan 3  ，即 30  ，∴ 60BDC， ∴ BCD 的面积为 131 2sin 6022   . …………………………………………12 分 18.【解析】（1）∵ ,EF分别为 ,AD BC 的中点，∴ EF AB CD∥ ∥ ∵ AB AD ，∴ EF AE ， EF DE ∵ 2AD AE ， AE DE ∴ 2 2 2AE DE AD x y z 2020“皖江名校联盟”决战高考最后一卷·理数参考答案 第 4 页（共 8 页） ∴ DE EF ∴ DE 平面 ABFE ∵ DE 平面CDEF ∴平面CDEF  平面 ………………………………………………………4 分 （2）由（1）知， ,,AE DE EF 两两垂直， 如图建立空间直角坐标系，令 1AE  则  0,0,1D ，  1,0,0A ，  1,1,0B ， 30, ,02F   ，  0, 2,1C ，………………6 分  1,1, 1DB ， 30, , 12DF  ， 11, ,02FB  ， 10, ,12FC   设平面 BDF 的法向量为 m  ,,x y z ， 则 0 0       DB DF m m ，即 0 3 2 0 x y z yz      ， 令 2y  ，则 3, 1zx∴平面 的一个法向量为  1,2,3 ………………8 分 设平面 BCF 的法向量为 n ， 则 0 0       FB FC n n ，即 20 20 xy yz    ， 令 1z  ，则 2, 1yx∴平面 BCF 的一个法向量为 n  1,2, 1 ………10 分 ∴ cos , mnmn mn 2 21 2114 6   ∵二面角C BF D为锐二面角，设为 ，∴ 21cos 21  . ……………………12 分 19.【解析】法一：（ 1）∵ 1PQF 的周长为8 ，∴ 48a  ， 2a  ………………………2 分 ∵ 12PF F 面积的最大值为 2，∴ 1 222 cb   ，即 2cb， 又∵ 2 2 2 4b c a   ，∴ 2bc ， 2 4a  ，………………………………………… 4 分 故椭圆C 的方程为 22 142 xy …………………………………………………… 5 分 （2）由（1）得 2 ( 2,0)F ，由题知设直线 l 的方程为 2x ty ， 2020“皖江名校联盟”决战高考最后一卷·理数参考答案 第 5 页（共 8 页） 代入 22 142 xy消去 x 整理得： 22( 2) 2 2 2 0t y ty    ，………………………………6 分 设 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y ，则 12 2 12 2 0 22 2 2 2 tyy t yy t          ， ……………………………………………8 分 记直线 ,PA QA的斜率分别为 ,PA QAkk，则 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2( ) 2 2 2 2 2 2 ( 2)( 2)PA QA y y y y ty y y ykk x x ty ty ty ty             22 12 44()220 ( 2)( 2) tt tt ty ty   …………………………………………………………11 分 ∴ PA QAkk ，因此 APQ 内切圆的圆心在 x 轴上．………………………………………12 分 法二:（1）同解法一 （2）由（1）得 2 ( 2,0)F ， 若直线 2PF 与 x 轴垂直，由椭圆的对称性易得直线 PA 与直线QA关于 轴对称. 若直线 2PF 与 轴不垂直，设直线 2PF 的方程为 ( 2)y k x ， 代入 消去 y 整理得： 2 2 2 2(2 1) 4 2 4 4 0k x k x k     ，……………………6 分 得 2 2 2 2 2( 4 2 ) 4(2 1)(4 4) 16 16 0k k k k         ，……………………………………7 分 设 ，则 2 12 2 2 12 2 42 21 44 21 kxx k kxx k       ，………………………………………………8 分 记直线 的斜率分别为 ，则 1 2 1 2 1 2 1 2 ( 2) ( 2) 2 2 2 2 2 2 2 2PA QA y y k x k xkk x x x x          1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 [( 2)( 2 2) ( 2)( 2 2)] [2 3 2( ) 8] ( 2 2)( 2 2) ( 2 2)( 2 2) k x x x x k x x x x x x x x             22 22 12 8 8 24[ 8]2 1 2 1 0 ( 2 2)( 2 2) kkk kk xx    ……………………………………………………………11 分 ∴ ，因此 内切圆的圆心在 轴上.………………………………………12 分 20.【解析】（1）由题意，可得石榴销售量在101 600 kg 之间的天数为15， 2020“皖江名校联盟”决战高考最后一卷·理数参考答案 第 6 页（共 8 页） 频率 15 3 20 4f ，故可估计概率为 3 4 ， ……………………………………………1 分 显然未来 4 天中，石榴销售重量在101 600 kg 之间的天数服从二项分布， 即 34 4XB  ～ ， ，故所求概率为   4 0 4 3 2551 0 1 1 4 256P X C        . ………4 分 （2）①样本中估计该销售点销售每千克石榴的价格的平均值为 15 50 18 80 18 70 16 80 18 120 20 100 17.78 18500            （元） 故估计该销售点销售每千克石榴的价格的平均值为18元. ………………………………6 分 ②该石榴销售点应该裁员1人，理由如下： 根据题意及（2）①，销售量每增加1kg ，代办点快递收入增加18（元）， 若不裁员，则每日销售量的上限为1500kg ，销售点每日销售量情况如下： 重量范围（单位： ） 0 100 101 300 301 600 601 900 901 1500 重量（单位： ） 50 200 450 800 1250 天数（单位：天） 1 5 10 3 1 频率 0.05 0.25 0.50 0.15 EY 50 0.05 200 0.25 450 0.5 800 0.15 1250 0.05 460          故销售点平均每日利润的期望值为 1460 18 5 280 13603     （元）；………………8 分 若裁员 人，则每日销售量的上限为1200kg ，销售点每日销售量情况如下： 重量范围（单位： ） 601 1200 重量（单位： ） 天数（单位：天） 4 频率 0.20 2020“皖江名校联盟”决战高考最后一卷·理数参考答案 第 7 页（共 8 页） EY 50 0.05 200 0.25 450 0.5 800 0.2 437.5        故销售点平均每日利润的期望值为 1437.5 18 4 280 15053     （元）；……………10 分 ∵1360 1505 ，故该销售点应该裁减工作人员1人. …………………………………12 分 21.【解析】（1）   21 12 xf x e x kx    定义域为 R ， 则   xf x e x k    ，   1xf x e  令   0fx  ，则 0x  ∴  ,0x  ，   0fx  ，  fx 单调递减  0,x  ，   0fx  ， 单调递增，    0 1 0minf x f k    当    12, , ,x x x   时，   0fx  ，  fx单调递增 当  12,x x x 时，   0fx  ， 单调递减，∴  fx有两个极值点； 综上：当 1k  时， 有两个极值点；…………………………………………………6 分 （2）由（1）可知，当 1k  时，    0 1 0minf x f k    ， ∴   0fx  ，且   0fx  的解为有限个不连续，∴ 在 R 上单调递增 ∵  00f  ，∴ 有且仅有一个零点 ∵ 不止一个零点，故 ， 当 时，由（1）可知， 120, 0xx   ， 时， 单调递增， 时， 单调递减 ∵ ，∴    120, 0f x f x    2 2 22 1 0, 2 4 1kkf k e f k e k       令     222 4 1kh k f k e k    ，则   228kh k e k ，   24 8 0kh k e    ∴  hk 在 1,  上单调递增， ∵ 为连续函数，∴     21 2 8 0h k h e    ∴  hk 在 上单调递增， O y x 2020“皖江名校联盟”决战高考最后一卷·理数参考答案 第 8 页（共 8 页） ∵  hk 为连续函数，∴     21 5 0h k h e    ，即  20fk 又∵  00f  ，∴    122 , , ,2b k x a x k   ，  8 2 2 4a b k k k      ∴ 2k  . ……………………………………………………………………………………12 分 22.【解析】（1） cos , sinxy   代入方程 228 | |x y x y   ， 得 2 8 cos sin     ，即： 2 8 1 cos sin   ； ……………………………5 分 （2）法一：极坐标方程： 当 cos 0  时， 2 8 16 161 cos sin 2 sin 2      ，即 4  当 cos 0  时， 2 8 16 161 cos sin 2 sin 2      ，即 ∴曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过 4 . 法二：直角坐标方程： 由 228x y x y   得， 22 228 2 xyxy    ，解得 2216xy， ∴曲线 上任意一点到原点的距离都不超过 4 . …………………………………………10 分 23.【解析】（1）当 2a  时，   2 , 0 0, 0 2 4 2 , 2 xx f x x xx       ，由   0fx 得，02x；…5 分 （2）       1 max ,H x f x g x 的最小值 6Aa，       2 min ,H x f x g x 的最大值 2Ba ∴ 4AB   ……………………………………………………………10 分