2020年决胜七月赢在高考高考押题文科数学最后五套全真模拟卷(全国1卷、2卷省份专用)(解析版)

2020 年决胜七月赢在高考考前最后押题试卷 理科数学模拟卷(五) 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1 .已知集合 , ,则 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 【 解 析 】 由 于 , , 则 .故选 B. 2.已知复数 满足 ，则 的共轭复数为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由于 ，所以 的共轭复数为 .故选 C. 3.函数 的定义域是( ) 2{ | 4 5 0}A x R x x= ∈ − − < { 1,0,1,2}B = − A B = { 1,0,1,2}− {0,1,2} { 1,0,1}− {1,2} 2{ | 4 5 0} { | 1 5}A x R x x x R x= ∈ − − < = ∈ − < < { 1,0,1,2}B = − {0,1,2}A B = z 25)43( =+ zi z 3 4i− + 3 4i− − 3 4i+ 3 4i− iii i iz 43)43)(43( )43(25 43 25 −=−+ −=+= z i43 + 2( ) ln(1 ) 4 3f x x x x= − + + −A. B. C. D. 【答案】D 【解析】要使函数 有意义,则必须 ,即 ,解得 ,故函数 的定义域是 ．故选 D.[来源:Z.xx.k.Com] 4.我国明朝程大位《算法统宗》中用一首诗歌形式描述了的一个数列问题:远望巍巍塔七层，红灯向 下成倍增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？其意思是说:塔高有七层，每层的红灯个数从上往下 依次增加一倍,总共有 盏灯.则请算出塔顶有灯的盏数为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】依题意,设从上往下各层灯的盏数构成数列 ，则该数列是公比为 2 的等比数列，塔顶 为首项 盏灯，则 ，计算得出 ，所以塔顶有 盏灯.故选 C. 5.过双曲线 的左焦点 作一直线 与双曲线的左支交于 两点.若当 时, ,则右焦点 到双曲线的渐近线的距离是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【 解 析 】 法 1:依题意,设左焦点 ,得 .当 时,将直线 的方程 代入双曲线方程中化简,得 ,即 ,则此时 ,可得 .从而 知右焦点 到双曲线渐近线 的距离 .故选 D. 法 2:前同法 1,求出 ,得 , .由双曲线的对称性,只需求出右焦点 到其渐近线 的距离即可.画出其图象,过 作 于 ,得 ( ,4]−∞ ( ,1)−∞ [ 1,4]− [ 1,1)− ( )f x 2 1 0 4 3 0 x x x − >  + − ≥ 1 1 4 x x 1F l ,M N l x⊥ | | 3MN = 2F 3 2 7 3 1( ,0)F c− 2 2 2 2 4c a b b= + = + l x⊥ l x c= − 4 2 4 by = 2 2 by = ± 2| | 3MN b= = 7c = 2 ( 7,0)F 3 2 0x y± = | 3 7 | 3 3 4 d ×= = + 2| | 3MN b= = 3b = 7c = 2 ( 7,0)F 1 :l 3 2 0x y− = 2F 2 1F H l⊥ H则 故 .选 D. 6.已知 ,且 ,则 的值是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【 解 析 】 由 于 , 且 , 则 ,得 ,则原式 .故选 A. 7.函数 (其中 为自然对数的底数)的图象大致是( ) 【答案】B 【解析】易 知 函 数 的 定 义 域 为 ，由 ，得 函 数 为 奇 函 数 ，故 函 数 的 图 象 关 于 原 点 对 称 ．又 由 ,可 知 函 数 的 图 象 过 原 点 ,在 区 间 上 ,函 数 值 小 于 零 .故 选 B． 8.已知曲线 的方程为 ,其图像经过点 ,则曲线 在点 处的切线方程 12 3tan ,2lF OH k∠ = = 2 3sin , 7 F OH∠ = 2 2 2| | | | sin 3F H OF F OH= ∠ = 3cos( )2 5 πα − = − ( ,0)2 πα ∈ − 22cos 2 sin(2 )4 πα α+ − 1 25 1 5 49 25 1 25 − 3cos( ) cos( ) sin2 2 5 π πα α α− = − = = − ( ,0)2 πα ∈ − 2 4cos 1 sin 5 α α= − = 24sin 2 2sin cos 25 α α α= = − 1 cos2 2(α= + + sin 2 cos cos2 sin )4 4 π πα α− 11 sin 2 25 α= + = sin 2( ) e ex x xf x − −= + e ( )f x R ( )sin 2( ) e ex x xf x − − −− = + sin 2 e ex x x − −= − =+ ( )f x− ( )f x ( )f x (0) 0f = ( )f x (0, )2 π C 3 ( R)y ax x a= − + ∈ (1,0)P C P是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【 解 析 】 依 题 意 , 将 点 的 坐 标 代 入 曲 线 的 方 程 中 , 解 得 ； 由 , 得 , 则 曲 线 在 点 处 切 线 的 斜 率 , 所 以 在 点 处 的 切 线 方 程 是 ,即 . [ 来 源 : 学 科 网 Z X X K ] 9.执行如图程序框图，如果输入 ，那么输出的 的值为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由程序框图可知由初始值 ， 得每次循环的结果如下：第一步 ；第二步 ， ， ；第三步 ， ， ，并且此时有 ，循环终止，输出 .故选 B. 10.已知圆锥的高 ,底面圆的半径 ,则圆锥的内切球(与圆锥的底面和各母线均相切的球) 的表面积 ( ) A. B. C. D. 2 1 0x y+ − = 2 1 0x y− − = 2 2 0x y− − = 2 2 0x y+ − = (1,0)P C 1a = 3y x x= − + 23 1y x′ = − + C P 1| 2xk y =′= = − P 2( 1)y x= − − 2 2 0x y+ − = 4=a n 2 3 4 5 0,4 == Pa 0,1 == nQ 131 === nQP ，， 541 =+=P 7=Q 2=n 2145 2 =+=P 15=Q 3=n 1521 =>= QP 3=n 4=h 3=r =S 9π 12π 16π 6π【答案】A 【解析】如图,作出圆锥的轴截面为等腰 ,依题意知球的轴截面是等腰 的内切圆 .设 圆锥的母线 和底面圆的直径 分别与圆 相切于 和 ,连接 ,连接 , 设内切球 的半径为 . 易知 , 则 , 即 , 解得 . 故所求 内切球的表面积 .故选 A. 11.已知 的内角 所对的边分别为 ,向量 , ,且 , .则 面积的最大值为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由 ,得 ,即 .由余弦定理得 ,因 ,得 .又 ,得 ,则 ,即 .故选 D. 12.已知函数 ,则不等式 的解集为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】易知函数 的定义域为 ,且 ,得 是 上的偶函数.由于 在 上是递增的,而 在 上也是递增的,由 复合函数的单调性知 在 上是递增的,又 在 上是递增的,故 VAC∆ VAC∆ O VA AC O B 1O VAOB ⊥ ACVO ⊥1 O R AVORtVBORt 1~ ∆∆ VA VO AO OB = 1 22 rh Rh r R + −= 2 3)( 22 22 =−+= ++ = rrhh r rrh hrR ππ 94 2 == RS ABC∆ , ,A B C , ,a b c ( , )m c a b= + ( , )n c a b c= − + 3a = m n⊥  ABC∆ 3 2 2 3 3 2 3 2 4 3 3 4 m n⊥  0 ( )( ) ( )m n c a c a b b c= ⋅ = + − + +  2 2 2b c a bc+ − = − 2 2 2 1cos 2 2 b c aA bc + −= = − (0, )A∈ π 2 3A π= 2 2 29 a b c bc= = + + bcbcbc 32 =+≥ 3≤bc 4 33 4 3sin2 1 ≤==∆ bcAbcS ABC 4 33)( max =∆ABCS 2 2( ) lg(9 1) 1f x x x= + + − 3 3 1(log ) (log ) 2f x f x + ≤ 1[ ,5]2 1[ ,4]2 1[ ,4]4 1[ ,3]3 ( )f x R 2 2( ) lg[9( ) 1] ( ) 1 ( )f x x x f x− = − + + − − = ( )f x R 29 1u x= + [0,+ )∞ lgy u= [1,+ )u ∈ ∞ 2lg(9 1)y x= + [0,+ )∞ 2 1y x= − [0,+ )∞知 在 上 是 递 增 的 . 令 , 知 , 则 不 等 式 , 化 为 , 即 ， 可 得 , 又 , 因 偶 函 数 在 上 是 递 增 的 , 由 , 即 ,得 ,则 ,解得 .故选 D. 二、填空题:本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.若 满足约束条件 ,且目标函数 ( )有最大值为 ,则 的最 小值是________． 【答案】 【 解 析 】 作出约束条件的可行域如图所示,可行域围成一个封闭的三角形 区域,易求出 . 设 目 标 函 数 为 直 线 , 即 为 , 其斜率 ,从 而知当直线 在 轴上 的截距 有最大值时 有最大值,截距 有最小值时 有最小值. 结 合 图 形 分 析 可 知 , 当 直 线 过 点 时 , 有 最 大 值 , 且 , 解 得 ； 当 直 线 过 点 时 , 有 最 小 值 , 且 .故填 . 14.直线 ，当 变化时，直线被椭圆 截得的最大弦长等于 【答案】 【解析】因为直线恒过定点 ，且点 也在椭圆上，可在椭圆上任取不同于 的点 ， 且 .则 (当且仅当 2 2( ) lg(9 1) 1f x x x= + + − [0,+ )∞ 3logt x= 3 1log tx = − 3 3 1(log ) (log ) 2f x f x + ≤ ( ) ( ) 2f t f t+ − ≤ 2 ( ) 2f t ≤ ( ) 1f t ≤ 2(1) lg10 1 1 1f = + − = ( )f x [0,+ )∞ ( ) 1f t ≤ (| |) ( ) 1 (1)f t f t f= ≤ = 3| log | | | 1x t= ≤ 31 log 1x− ≤ ≤ 1 33 x≤ ≤ ,x y 3 8 3 0 x x y x y ≥  + ≤  − ≤ 2z x y m= + + m R∈ 9 z 1 ABC (6,2), (3,1), (3,5)A B C 2z x y m= + + l l 1 2 2 z my x −= − + 1 ( 1,0)2lk = − ∈ − l y 2 z m− z 2 z m− z l (3,5)C z max9 3 2 5z m= = + × + 4m = − l (3,1)B z min 3 2 1 4 1z = + × − = 1 1+= kxy k 14 2 2 =+ yx 3 34 )1,0(A A A ),( yxB 2 24 4x y= − 2 2 2 21 16 4 3( 1) 3 2 5 3( )3 3 3AB x y y y y= + − = − − + = − + + ≤取等号)，即最大弦长等于 .故填 . 15.某市消费者协会组织若干名“爱心自愿服务”人士,对该市市场上正在热销中的 种品牌牛奶 进行质量调查和检测,发现其中仅有 种品牌的牛奶质量符合“优等奶”标准,在检测报 告发布之前,有人想了解调查结果,向以上这些“爱心自愿服务”人士中的甲、乙、丙、丁四人询问 相关情况,得到下面四个结论:①甲说:“ 是优等奶，还有一种优等奶在 中”；②乙说:“ 不 是优等奶, 是优等奶”；③丙说:“ 和 中有且仅有一种是优等奶”；④丁说:“乙说得对”.已 知这四个结论中有且仅有两个结论是正确的,则这 种“优等奶”应为_________(写出 中 的两个字母). 【答案】 【解析】具体分析见下表,注意思考顺序为②→④→①→③,然后再考虑优等奶字母. 序号/结论 正误 原因或理由 ①/甲 √ 由于②④错,依题意①③对. ②/乙 因乙、丁的说法相同,若②对,则④也对,这样在 和 中 必还有一种是优等奶,从而导致③对,与题意不符. ③/丙 √ 理由同上面序号①. ④/丁 理由同上面序号②. 当确定①和③两个结论正确后,因①正确,知甲说得对,得 是优等奶,再由③正确知 不是优等奶. 还有一种优等奶在 中,即两者中一是一非；若 不是 是,则导致结论②④正确与前面分析矛 盾,故只能得 是 不是.从而知 和 为优等奶,故填 . 16.中国有着悠久的历史文化，《九章算术》是中国古代的数学名著，书中提到一种名为“刍甍”的 五面体,如图所示,四边形 是矩形,棱 , , 和 是两 个全等的等腰三角形,且 ；现将 ,延长至 ,使得 , 将 延长至 , 使得 , 再连结 , 得到一个三棱柱 . 则直线 到平面 的距离是 _______, 三棱柱 的外接球的体积是_______.(本题第一空 2 分,第二空 3 分) [ ]1 1,13y = − ∈ − 3 34 3 34 4 , , ,DA B C 2 D ,B C B C A D 2 , , ,DA B C ,B D × A D × D A ,B C B C B C B D ,B D 1 1AA B B 1MN AA 1 4, 2AA MN= = MAB∆ 1 1NA B∆ 3MA MB= = MN 1C 1 1NC = NM C 1MC = 1 1 1 1, , ,C A C B CA CB 1 1 1ABC A B C− MN 1 1AA B B 1 1 1ABC A B C−【答案】第一空填 ，第二空填 . 【解析】如图,取 的中点分别为 ，依题意, , ,且 , 知 四 边 形 为 等 腰 梯 形 , 可 得 , 又 , 且 与 是平面 内两相交直线, 得 平面 ；由对称性易知 , 且平 面 是 五 面 体 的 中 截 面 , 又 平 面 平 面 平 面 , 得 棱 柱 是直三棱柱, 取 由的中点 , 则 , 进而得 平面 , 又 平 面 , 则 就 是 直 线 到 平 面 的 距 离 ； 又 , 得 , 知 是 等 腰 , 则 ,从而知 到三棱 柱 的六个顶点的距离相等,即 是所求外接球的球心,球半径 ,则 .(本题可补形求解,以 为邻 边补一个正方形 ,以 为邻边补一个正方形 ,连结 ,得到一个正四棱 柱 ,其体对角线长 ,注意:本题中的三棱柱与正四 棱柱的外接球是同一个球).故第一空填 ，第二空填 . 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 题为必考题，每个试 题考生都必须作答.第 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17.(12 分)已知函数 .（1）若 ，求 的值域；（2）在 中，角 所对边分别为 ，若 ，且 ，求 的值. 【解析】（1） ； 1 20 5 3 π 1 1, ,MN AA BB , ,D F E 13MA NA= = 1MN AA 1 1 2MN AA= 1MNA A 1DF AA⊥ 1AA EF⊥ DF EF DEF 1AA ⊥ DEF 2 2( ) 2DE DF AM AF MD= = − − = DEF 1 1MN AA B B− ABC  DEF  1 1 1A B C 1 1 1ABC A B C− EF O DO EF⊥ DO ⊥ 1 1AA B B MN  1 1AA B B 2 2 1DO DF OF= − = MN 1 1AA B B 2DE DF= = 2EF 2 24 DE DF= = + DEF∆ Rt∆ 2 2 1 1 15OA OF FA OC= + = = O 1 1 1ABC A B C− O 5R = 34 20 5= 3 3V R ππ =球 ,CA CB ACBG 1 1 1 1,C A C B 1 1 1 1AC B G 1GG 1 1 1 1ACBG AC B G− 1 2 2 16 2 5 2AB R= + + = = 1 20 5 3 π 17 ~ 21 22 23、 3sin23cos3sin32)( 2 xxxxf −= ],0[ π∈x )(xf ABC∆ CBA ,, cba ,, 1)( =Cf acb =2 Asin 163 2sin213 2cos3 2sin3)( −     +=−+= πxxxxf ,0 π≤≤ x， ，则 ， 故函数 的值域为[0,1].(6 分) (2)由 ,且 ，则 ，即 ； 由 正 弦 定 理 及 得 ： ， 即 ；由 ，则 ，故 .(12 分) 18.(12 分 ) 如 图 , 在 四 棱 锥 中 ， 底 面 四 边 形 满 足 ， 且 ， , 点 和 分别为棱 和 的中点. 求证：(1) 平面 ；(2)平面 平面 . 【证明】(1)法 1,如图,在底面四边形 中，由于 ，可得 ；又 ，且 为 的中点，则有 ，从而知四边形 为平行四边形.于是 ，而 平面 ， 平面 ，所以 平面 .由题意知 是 的中位线，得 ，同理可证 平面 .又 与 是平面 内两相交直线，可得 平面 平面 ；又因 平面 ，故得 平面 .(6 分) 法 2 ， 取 的 中 点 ， 连 结 . 在 底 面 四 边 形 中，由于 ，可得 ； 又 ，且 为 的中点，则有 ，即 .又由题意知 是 的中 6 5 63 2 6 πππ ≤+≤∴ x 163 2sin2 1 ≤     +≤ πx得 1)(0 ≤≤ xf )(xf 163 2sin1163 2sin2)( =     +⇒=−     += ππ CCCf ),0( π∈C 263 2 ππ =+C 2 π=C acb =2 ACABAA sinsinsinsincossin1 222 ====− 01sinsin 2 =−+ AA )2,0( π∈A 0sin >A 2 15sin −=A P ABCD− ABCD 2AD BC= 90BAD ABC∠ = ∠ = ° AB PD⊥ E F PD AD EC  PAB EFC ⊥ PAD ABCD 90BAD ABC∠ = ∠ = ° BC AF 2AD BC= F AD BC AF= ABCF FC AB AB ⊂ PAB CF ⊄ PAB CF  PAB EF ADP∆ EF PA EF  PAB CF EF EFC EFC  PAB EC ⊂ EFC EC  PAB PA G ,GE GB ABCD 90BAD ABC∠ = ∠ = ° BC AF 2AD BC= F AD BC AF= / /BC AF GE PAD∆位线，则 ，从而得 ，所以四边形 为平行四边形；则有 ，且 平面 ， 平面 ，故得 平面 .(6 分) (2)由(1)知 ，则四边形 为平行四边形，则有 ；因 ，则 ，又 ，且 是平面 内两相交直线，所以 平面 ；从而 得 平面 ，又 平面 ，故得平面 平面 .(12 分) 19.(12 分)某高中为了了解高三学生每天自主参加体育锻炼的情况，随机抽取了 100 名学生进行调 查，其中女生有 55 名.右面是根据调查结果绘制的学生自主 参加体育锻炼时间的频率分布直方图： 将每天自主参加体育锻炼时间不低于 40 分钟的学生称为体育 健康 A 类学生，已知体育健康 A 类学生中有 10 名女生. (1)根据已知条件完成下面 列联表，并据此资料你是否认 为达到体育健康 A 类学生与性别有关？ 非体育健康 A 类学生 体育健康 A 类学生 合计 男生 女生 合计 (2)将每天自主参加体育锻炼时间不低于 50 分钟的学生称为体育健康 类学生，已知体育健康 类学生中有 2 名女生，若从体育健康 类学生中任意选取 2 人，求至少有 1 名女生的概率. 附： P（ ） 0.05 0.010 0.005 3.841 6.635 7.879 / /GE AF / /GE BC GBCE EC GB EC ⊄ PAB GB ⊂ PAB EC  PAB / /BC AF ABCF FC AB 90BAD∠ = ° AB AD⊥ AB PD⊥ ,AD PD PAD AB ⊥ PAD FC ⊥ PAD FC ⊂ EFC EFC ⊥ PAD 2 2× A+ A+ A+ 2 0K k≥ 0k 【解析】(1)由频率颁布直方图可知，在抽取的 100 人中，体育健康 类学生有 25 人，从而 列 联表如下： 非体育健康 类学生 体育健康 类学生 合计 男生 30 15 45 女生 45 10 55 合计 75 25[来源:Z.Com] 100 由 列联表中数据代入公式计算，得： ； 所以没有理由认为达到体育健康 类学生与性别有关．(6 分） (2)由频率分布直方图可知，体育健康 类学生为 5 人，记 、 、 表示男生， 、 表示女生， 从而一切可能结果所组成的基本事件空间为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 由 10 个基本事件组成，而且这些事件的出现是等可能的．用 表示“任选 2 人中至少有 1 名是 女生”这一事件，则 ， ， ， ， ， ， 共计 7 种； 故所求的概率值为 P(A) ．(12 分) 20.(12 分)已知抛物线 : 的焦点为 ,直线 交抛物线 于 两 点, 是线段 的中点,过 作 轴的垂线交抛物线 于点 .(1)若直线 过焦点 ,求 的值；(2)是否存在实数 ,使 是以 为直角顶点的直角三角形?若存在,求出 的值,若不存在,说明理由. 【解析】(1)法 1：如图,依题意直线与 轴的交点即为抛物线的焦点 ,易知 ,得抛物线 方程为 ,其准线方程为 .设 , ，将 ( ) ( )( )( )( ) 2 2 n ad bck a c b d c d a b −= + + + + A 2 2× A A 2 2× 2 2 100 (30 10 45 15) 100 3.030 3.84175 25 45 55 33K × × − ×= = ≈ F 2 4 0x y+ − = C BA, M AB M y C N AB F |||| BFAF ⋅ p ABN∆ N p x (2,0)F 4=P 2 8y x= 2x = − ),( 11 yxA 2 2( ,B x y ）代入方程 中,整理得 ,由韦达定理得 , .由抛 物线定义 , ,则 .(6 分) 法 2:设直线 的倾斜角为 ,得 ,且直线 过点 ,则直线 的参数方程为 ( 为参数),代入 中,整理得: ,由参数 的几何意义知, .(6 分 ) (2) 假设存在实数 满足条件.设 , ,将 代入方程 中,整理 得 , 则 . 设 , 因 轴 , 得 ,则 ,即 .依题意知 , 即 , 且 , 化 简 得 ,代入可得 ,且 ,解得 .故存在实数 满足题意.(12 分) 21.(12 分)设函数 ,且 . (1)当 时,求曲线 在点 处的切线方程； (2)当 时,若对任意 ,不等式 恒成立,求实数 的取值范围． 【解析】(1)当 时, ,则 , ，则 ,故曲线 在点 处的切线方程为 ,即 .（4 分） 2 4y x= − + 2 8y x= 2 6 4 0x x− + = 1 2 6x x+ = 1 2 4x x = 1| | 2 pAF x= + 1 2x= + 2 2| | 22 pBF x x= + = + 1 2 1 2| | | | 2( ) 4 20AF BF x x x x⋅ = + + + = AB (0 )α α π≤ < tan 2ABkα = = − AB (2,0)F AB 12 cos 2 5 2sin 5 x t t y t t α α  = + = −  = = t 2 8y x= 2 2 5 20 0t t+ − = t 1 2 1 2| | | | | | | | | | | 20 | 20AF BF t t t t⋅ = ⋅ = = − = p ),( 11 yxA ）22 ,( yxB 2 4y x= − + 2 2y px= 22 ( 8) 8 0x p x− + + = 1 2 1 24, 42 px x x x+ = + = 0 0( , )N x y MN y⊥ 1 2 0 1 2( ) 42 2M y y py y x x += = = − + + = − 2 0 0 2 8 y px p = = ( , )8 2 p pN − 0NA NB⋅ =  1 2 1 2( )( ) ( )( ) 08 8 2 2 p p p px x y y− − + + + = 1 1 2 22 4, 2 4y x y x= − + = − + 2 1 2 1 2 9 175 (8 )( ) 4 16 08 64x x p x x p p− + + + + + = 219 288 256 0p p+ − = 0>p 16 19p = 16 19p = 22 ln)2()( bxxaxxxf +−= Rba ∈, 0,1 == ba ( )y f x= ))1(,1( f 2b = [1 )x∈ + ∞， ( ) 22 3f x x a> + a 0,1 == ba ( ) ( )2 2 lnf x x x x= − ( )1 0f = ( ) ( )' 2 2 ln 2f x x x x= − + − ( )' 1 1f = − ( )y f x= ))1(,1( f ( )1y x= − − 1 0x y+ − =(2)当 时, , .则不等式 等价于 . 法一：令 ( )， 则 . ①当 时， ，则函数 在 上单调递增;则 ， 则根据题意有 ，即 成立.②当 时，由 ，知函数 在 上单调增 减;由 ,知函数 在 上单调递增;则 ,由条件 知 ,即 .设 ( ),则 对 很成立,故 在 上单调递减；又 ，所以 与条件矛盾,不合.综上可知实数 的取值范围为 .（12 分） 法二：令 ( );则 在 上恒成立，则由 ，得 . 又 ，显然当 时， ，则 函数 在 上单调递增，则 ，所以 .综上可知 的取值范围 为 .（12 分） （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修 4−4:坐标系与参数方程](10 分) 在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 ( 为参数). 在以原点 为极点， 2b = 2 2( ) ( 2 )ln 2f x x ax x x= − + a R∈ 22 ( ) 3f x x a> + 2 2(2 4 )ln 0x ax x x a− + − > 2 2( ) (2 4 )lnp x x ax x x a= − + − [1, )x∈ +∞ '( ) (4 4 )ln (2 4 ) 2 4( )(ln 1)( 1)p x x a x x a x x a x x= − + − + = − + ≥ 1a ≤ '( ) 0p x ≥ ( )p x [1, )+∞ min( ) (1) 1p x p a= = − 1 0a− > 1a < 1a > '( ) 0p x < ( )p x [1, )a '( ) 0p x > ( )p x ( , )a +∞ 2 min( ) ( ) (1 2ln )p x p a a a a= = − − 2 (1 2ln ) 0a a a− − > (1 2ln ) 1 0a a− − > ( ) (1 2ln ) 1q a a a= − − 1a > '( ) 1 2ln 0q a a= − − < 1a > ( )q a (1, )+∞ (1) 0q = ( ) (1) 0q a q< = a ( ,1)−∞ 2 2( ) (2 4 )ln +p x x ax x x a= − − [1, )x∈ +∞ 2 2( ) (2 4 )ln + 0p x x ax x x a= − − > [1, )+∞ (1) 1 0p a= − > 1a < '( ) (4 4 )ln +(2 4 )+2 4( )(ln 1)( 1)p x x a x x a x x a x x= − − = − + ≥ 1a < '( ) 0p x > ( )p x [1, )+∞ min( ) (1) 1 0p x p a= = − > 1a < a ( ,1)−∞ xOy l       += −= ty tx 2 25 2 23 t O轴的非负半轴为极轴，且极坐标系与直角坐标系中的单位长度相同建立极坐标系，圆 的方程为 .(1)写出直线 的普通方程和圆 的直角坐标方程； (2)若点 的坐标为 ，圆 与直线 交于 两点，求 的值. 【解析】(1)由 得直线 的普通方程为 .(2 分) 又由 得圆 的直角坐标方程为 , 即 .(5 分) (2) 把 直 线 的 参 数 方 程 代 入 圆 的 直 角 坐 标 方 程 ， 得 ， 即 ，由于 ，故可设 , 是上述方程的两实数根，由韦 达定理得 ， ，则 .又直线 过点 ， 、 两点对应 的参数分别为 , ，所以 .(10 分) 23.[选修 4−5:不等式选讲](10 分) 若函数 , .(1)当 时,解不等式 ; (2)若关于 的不等式 的解集为 ,求证 . 【解析】(1)当 时,不等式为 ;①当 时,原式化为 , 解得 ;②当 时,原式化为 ,解得 ;③当 时,原式化为 ,解得 ;综上所述得不等式解集为 .(5 分) (2)证明:由 解得 ;而 的解集为 则 ,解得 1 2 1 2 3 2PA PB t t t t+ = + = + = x C 2 5 sinρ θ= l C P (3, 5) C l ,A B | | | |PA PB+       += −= ty tx 2 25 2 23 l 053 =−−+ yx θρ sin52= C 05222 =−+ yyx 5)5( 22 =−+ yx l C 5)2 2()2 23( 22 =+− tt 04232 =+− tt 0244)23( 2 >=×−=∆ 1t 2t 02321 >=+ tt 0421 >=tt 0, 21 >tt l )53( ，P A B 1t 2t ( )f x x a= − ( ) ( ) ( )2g x f x f x= + + 1a = − 412)( ≥−+ xxf x ( ) 1f x ≤ ]2,0[ ( ) 2g x ≥ 1a = − 1 2 1 4x x+ + − ≥ 1−x 4121 ≥−++ xx 3 4≥x ),3 4[]3 4,( +∞−−∞  ,1)( ≤−= axxf 1 1a x a− ≤ ≤ + ( ) 1f x ≤ ],2,0[ 1 0 1 2 a a − =  + =,从而 .因要证明 ,即需证 ;而 显然成立,故 获证.(10 分) 1a = ( ) 1f x x= − ( ) ( ) ( )2 2g x f x f x= + + ≥ 1 1 2x x− + + ≥ 2)1()1(11 =+−−≥++− xxxx 2)( ≥xg