宁夏银川九中、石嘴山三中、三校2020届高三数学（文）6月高考模拟试卷（解析版）

2020 年宁夏银川九中、石嘴山三中、三校高考数学模 拟试卷（文科）（6 月份） 一、选择题（共 12 小题）. 1．已知全集 U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，3，4}，B＝{3，5}，则下列结论正确的是（　　） A．B⊆A B．∁UA＝{1，5} C．A∪B＝{3} D．A∩B＝{2，4，5} 2．设复数 z 满足풛 = 4푖 1 + 푖，则 z 在复平面内的对应点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习 10 组，每组罚球 40 个．命中个数的茎 叶图如下．则下面结论中错误的一个是（　　） A．甲的极差是 29 B．乙的众数是 21 C．甲罚球命中率比乙高 D．甲的中位数是 24 4．《周髀算经》中有一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、 清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立 春、春分的日影子长的和是 37.5 尺，芒种的日影子长为 4.5 尺，则冬至的日影子长为（　　） A．12.5 尺 B．10.5 尺 C．15.5 尺 D．9.5 尺 5．已知函数풇(풙) = ퟐ풙 ― ( 1 2)풙，则 f（x）（　　） A．是偶函数，且在 R 上是增函数 B．是奇函数，且在 R 上是增函数C．是偶函数，且在 R 上是减函数 D．是奇函数，且在 R 上是减函数 6．已知向量→ 풂 = （4，﹣7），→ 풃 = （3，﹣4），则→ 풂 ― ퟐ→ 풃在→ 풃方向上的投影为（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣2 ퟓ D．2 ퟓ 7．一位老师将三道题（一道三角题，一道数列题，一道立体几何题）分别写在三张卡纸上， 安排甲、乙、丙三位学生各抽取一道．当他们被问到谁做立体几何题时，甲说：“我抽 到的不是立体几何题”，乙说：“我喜欢三角，可惜没抽到”，丙说：“乙抽到的肯定 不是数列题”．事实证明，这三人中只有一人说的是假话，那么抽到立体几何题的是（　　） A．甲 B．乙 C．.丙 D．不确定 8．若 l，m 为两条不同的直线，α 为平面，且 l⊥α，则“m∥α”是“m⊥l”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．已知풇(풙) = → 풂 ⋅ → 풃，其中→ 풂 = (ퟐ풄풐풔풙， ― ퟑ풔풊풏ퟐ풙)，→ 풃 = (풄풐풔풙，ퟏ)，x∈R．则 f（x）的 单调递减区间是（　　） A．[풌흅 + 휋 12，풌흅 + 휋 3](풌 ∈ 풁) B．[풌흅 ― 휋 12，풌흅 + 휋 3](풌 ∈ 풁) C．[풌흅 ― 휋 6，풌흅 + 휋 3](풌 ∈ 풁) D．[풌흅 + 휋 6，풌흅 + 휋 3](풌 ∈ 풁) 10．若数列{an}的前 n 项和为 Sn，满足 3an+1＝3an+2，a1 = 2 3，则{ 1 푆푛 }的前 20 项和为（　　） A． 1 420 B． 1 140 C．20 21 D．20 7 11．三棱锥 P﹣ABC 中，PA⊥平面 ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝1，PA = ퟑ，则该三棱锥 外接球的表面积为（　　） A．5π B． ퟐ흅 C．20π D．4π12．过抛物线 C：x2＝4y 的准线上任意一点 P 作抛物线的切线 PA，PB，切点分别为 A， B，则 A 点到准线的距离与 B 点到准线的距离之和的最小值是（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分） 13．已知实数 x，y 满足不等式组{풙 ― ퟐ풚 ≥ ퟎ 풙 + ퟑ풚 ― ퟑ ≥ ퟎ 풙 ― ퟑ ≤ ퟎ ，则 z＝2x﹣y 的最大值为　 　． 14．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著的，书中有如下问题：“今有圆堡 瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘， 以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高 乘之，十二而一．”就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积 V = 1 12 × （底面的圆周长的平方 ×高），则该问题中圆周率 π 的取值为　 　（注：一丈等于十尺）． 15．若双曲线푥2 푎2 ― 푦2 푏2 = 1（a＞0，b＞0）的两条渐近线斜率分别为 k1，k2，若 k1k2＝﹣3， 则该双曲线的离心率为　 　． 16．已知函数 f（x） = {풙ퟐ ― ퟑ풙 + 풂，풙 ≤ ퟎ 풍풐품ퟐ풙，풙＞ퟎ ，若函数 g（x）＝f2（x）﹣3f（x）+2 有且仅 有三个零点，则实数 a 的取值范围是　 　． 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分） 17．如图，四棱锥 P﹣ABCD 中，PD⊥底面 ABCD，且底面 ABCD 为平行四边形，若∠DAB ＝60°，AB＝2，AD＝1． （1）求证：PA⊥BD； （2）若 PC 与底面 ABCD 所成的角为 45°，求点 D 到平面 PBC 的距离．18．a，b，c 分别为△ABC 的内角 A，B，C 的对边，已知 a（sinA+4sinB）＝8sinA． （1）若 b＝1，A = 휋 6，求 sinB； （2）已知 C = 휋 3，当△ABC 的面积取得最大值时，求△ABC 的周长． 19．某工厂有 25 周岁以上（含 25 周岁）工人 300 名，25 周岁以下工人 200 名，为研究工 人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了 100 名工人， 先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25 周岁以上（含 25 周岁）” 和“25 周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成 5 组：[50，60）， [60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布 直方图． （1）根据“25 周岁以上（含 25 周岁）组”的频率分布直方图，求 25 周岁以上（含 25 周岁）组工人日平均生产件数的中位数的估计值（四舍五入保留整数）； （2）从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 人，求至少抽到一名“25 周岁以下组”工人的概率； （3）规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2 列联表，并判断是否有 90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附：푲ퟐ = 푛(푎푑 ― 푏푐)2 (푎 + 푏)(푐 + 푑)(푎 + 푐)(푏 + 푑) 生产能手 非生产能手 合计 25 周岁以上（含 25 周 岁）组 25 周岁以下组 合计 P（K2≥k） 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 20．已知椭圆 E：푥2 푎2 + 푦2 푏2 = 1（a＞b＞0），其短轴长为 4，离心率为 e1，双曲线푥2 푚 ― 푦2 푛 = 1 （m＞0，n＞0）的渐近线方程为 y＝±x，离心率为 e2，且 e1•e2＝1． （1）求椭圆 E 的方程； （2）设椭圆 E 的右焦点为 F，过点 G（4，0）作斜率不为 0 的直线交椭圆 E 于 M，N 两点，设直线 FM 和 FN 的斜率分别为 k1，k2，试判断 k1+k2 是否为定值，若是定值，求 出该定值；若不是定值，请说明理由． 21．已知函数 f（x）＝xsinx+acosx+x，a∈R． （Ⅰ）当 a＝﹣1 时，求曲线 y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）当 a＝2 时，求 f（x）在区间[ퟎ， 휋 2]上的最大值和最小值； （Ⅲ）当 a＞2 时，若方程 f（x）﹣3＝0 在区间[ퟎ， 휋 2]上有唯一解，求 a 的取值范围． 请考生在 22，23，题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22．已知直线 l：x ― ퟑy＝0 与曲线 C：x2+（y﹣3）2＝9，以坐标原点 O 为极点，x 轴的非 负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求直线 l 和曲线 C 的极坐标方程； （2）将直线 l 绕极点 O 逆时针方向旋转 30°，得到的直线 l'，这两条直线与曲线 C 分 别交于异于极点的 P，Q，两点，求△OPQ 的面积． 23．已知函数풇(풙) = |ퟐ풙 ― ퟏ| + 풙 + 1 2的最小值为 m． （1）求 m 的值； （2）若 a，b，c 为正实数，且 a+b+c＝m，证明：풂ퟐ + 풃ퟐ + 풄ퟐ ≥ 1 3．参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1．已知全集 U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，3，4}，B＝{3，5}，则下列结论正确的是（　　） A．B⊆A B．∁UA＝{1，5} C．A∪B＝{3} D．A∩B＝{2，4，5} 【分析】由题知集合 A 与集合 B 互相没有包含关系，A∩B＝{3}，A∪B＝{2，3，4，5}， ∁UA＝{1，5}． 解：全集 U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，3，4}，B＝{3，5}， ∴由题知集合 A 与集合 B 互相没有包含关系， A∩B＝{3}，A∪B＝{2，3，4，5}，∁UA＝{1，5}． 故选：B． 2．设复数 z 满足풛 = 4푖 1 + 푖，则 z 在复平面内的对应点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 解：∵풛 = 4푖 1 + 푖 = 4푖(1 ― 푖) (1 + 푖)(1 ― 푖) = ퟐ + ퟐ풊， ∴z 在复平面内的对应点为（2，2），位于第一象限． 故选：A． 3．某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习 10 组，每组罚球 40 个．命中个数的茎 叶图如下．则下面结论中错误的一个是（　　）A．甲的极差是 29 B．乙的众数是 21 C．甲罚球命中率比乙高 D．甲的中位数是 24 【分析】通过茎叶图找出甲的最大值及最小值求出极差判断出 A 对；找出甲中间的两个 数，求出这两个数的平均数即数据的中位数，判断出 D 错；根据图的集中于离散程度， 判断出甲的平均值比乙的平均值大，判断出 C 对． 解：由茎叶图知 甲的最大值为 37，最小值为 8，所以甲的极差为 29，故 A 对 甲中间的两个数为 22，24，所以甲的中位数为22 + 24 2 = ퟐퟑ故 D 不对 甲的命中个数集中在 20 而乙的命中个数集中在 10 和 20，所以甲的平均数大，故 C 对 乙的数据中出现次数最多的是 21，所以 B 对 故选：D． 4．《周髀算经》中有一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、 清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立 春、春分的日影子长的和是 37.5 尺，芒种的日影子长为 4.5 尺，则冬至的日影子长为（　　） A．12.5 尺 B．10.5 尺 C．15.5 尺 D．9.5 尺 【分析】设此等差数列{an}的公差为 d，由已知可得 a1+a4+a7＝3a1+9d＝37.5，a1+11d＝ 4.5，联立解得：d，a1． 解：设此等差数列{an}的公差为 d， 则 a1+a4+a7＝3a1+9d＝37.5，a1+11d＝4.5，解得：d＝﹣1，a1＝15.5． 故选：C． 5．已知函数풇(풙) = ퟐ풙 ― ( 1 2)풙，则 f（x）（　　） A．是偶函数，且在 R 上是增函数 B．是奇函数，且在 R 上是增函数 C．是偶函数，且在 R 上是减函数 D．是奇函数，且在 R 上是减函数 【分析】根据奇函数的定义以及复合函数的单调性可得． 解：f（x）＝2x﹣2﹣x，f（﹣x）＝2﹣x﹣2x＝﹣f（x） ∴f（x）为奇函数， 又 f（x） 是 R 上的增函数， 故选：B． 6．已知向量→ 풂 = （4，﹣7），→ 풃 = （3，﹣4），则→ 풂 ― ퟐ→ 풃在→ 풃方向上的投影为（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣2 ퟓ D．2 ퟓ 【分析】根据方向投影的公式可得． 解：→ 풂 ― ퟐ→ 풃在→ 풃方向上的投影为：( → 푎 ― 2 → 푏) ⋅ → 푏 | → 푏| = → 푎 ⋅ → 푏 ― 2 → 푏 2 | → 푏| = 12 + 28 ― 2 × 25 5 = ― 2． 故选：B． 7．一位老师将三道题（一道三角题，一道数列题，一道立体几何题）分别写在三张卡纸上， 安排甲、乙、丙三位学生各抽取一道．当他们被问到谁做立体几何题时，甲说：“我抽 到的不是立体几何题”，乙说：“我喜欢三角，可惜没抽到”，丙说：“乙抽到的肯定 不是数列题”．事实证明，这三人中只有一人说的是假话，那么抽到立体几何题的是（　　）A．甲 B．乙 C．.丙 D．不确定 【分析】采用反证法，分别假设甲乙丙说的是假话，进行判断即可． 解：如果甲说的是假话，则甲抽到立体几何，乙丙说的是真话，则乙抽到数列，这与丙 相矛盾， 故甲是真话，若乙说的是假话，则乙抽到是三角题，则甲抽到数列题，丙抽到是立体几 何， 若丙说的是假话，则乙抽到是数列题，则甲抽到三角题，则丙抽到是立体几何， 故那么抽到立体几何题的是丙， 故选：C． 8．若 l，m 为两条不同的直线，α 为平面，且 l⊥α，则“m∥α”是“m⊥l”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】由 l⊥α，“m∥α”⇒m⊥l．反之不成立，可能 m⊂α．即可判断出关系． 解：由 l⊥α，“m∥α”⇒m⊥l．反之不成立，可能 m⊂α． 因此“m∥α”是“m⊥l”的充分不必要条件． 故选：A． 9．已知풇(풙) = → 풂 ⋅ → 풃，其中→ 풂 = (ퟐ풄풐풔풙， ― ퟑ풔풊풏ퟐ풙)，→ 풃 = (풄풐풔풙，ퟏ)，x∈R．则 f（x）的 单调递减区间是（　　） A．[풌흅 + 휋 12，풌흅 + 휋 3](풌 ∈ 풁) B．[풌흅 ― 휋 12，풌흅 + 휋 3](풌 ∈ 풁) C．[풌흅 ― 휋 6，풌흅 + 휋 3](풌 ∈ 풁) D．[풌흅 + 휋 6，풌흅 + 휋 3](풌 ∈ 풁) 【分析】先利用平面向量数量积表示出函数 f（x），再结合余弦的二倍角公式和辅助角公式对 f（x）进行化简，最后根据余弦函数的单调性求解即可． 解：풇(풙) = → 풂 ⋅ → 풃 = 2cosx•cosx ― ퟑsin2x = 풄풐풔ퟐ풙 ― ퟑ풔풊풏ퟐ풙 + ퟏ = ퟐ풄풐풔(ퟐ풙 + 휋 3) + ퟏ， 令ퟐ풙 + 휋 3 ∈ [ퟐ풌흅，흅 + ퟐ풌흅]，풌 ∈ 풁，则풙 ∈ [풌흅 ― 휋 6，풌흅 + 휋 3]，풌 ∈ 풁， 故选：C． 10．若数列{an}的前 n 项和为 Sn，满足 3an+1＝3an+2，a1 = 2 3，则{ 1 푆푛 }的前 20 项和为（　　） A． 1 420 B． 1 140 C．20 21 D．20 7 【分析】先由题设条件得到数列{an}是等差数列，再求其前 n 项和 Sn，进而求 1 푆푛 ，然后 利用裂项相消法求其前 20 项和即可． 解：∵3an+1＝3an+2， ∴a풏+ퟏ = 풂풏 + 2 3，即 an+1﹣an = 2 3， ∴数列{an}是首项、公差均为2 3的等差数列， ∴Sn = 2 3풏 + 푛(푛 ― 1) 2 × 2 3 = 푛(푛 + 1) 3 ， 1 푆푛 = 3 푛(푛 + 1) = ퟑ( 1 푛 ― 1 푛 + 1)． 所以{ 1 푆푛 }的前 20 项和为 3[（1 1 ― 1 2）+（1 2 ― 1 3）+（1 3 ― 1 4）+…+（ 1 20 ― 1 21）]＝3（1 ― 1 21） = 20 7 ． 故选：D． 11．三棱锥 P﹣ABC 中，PA⊥平面 ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝1，PA = ퟑ，则该三棱锥 外接球的表面积为（　　） A．5π B． ퟐ흅 C．20π D．4π 【分析】根据题意，证出 BC⊥平面 PAC，PB 是三棱锥 P﹣ABC 的外接球直径．利用勾股定理结合题中数据算出 PB = ퟓ，得外接球半径 R = 5 2 ，从而得到所求外接球的表面 积 解：PA⊥平面 ABC，AC⊥BC， ∴BC⊥平面 PAC，PB 是三棱锥 P﹣ABC 的外接球直径； ∵Rt△PBA 中，AB = ퟐ，PA = ퟑ ∴PB = ퟓ，可得外接球半径 R = 1 2PB = 5 2 ∴外接球的表面积 S＝4πR2＝5π 故选：A． 12．过抛物线 C：x2＝4y 的准线上任意一点 P 作抛物线的切线 PA，PB，切点分别为 A， B，则 A 点到准线的距离与 B 点到准线的距离之和的最小值是（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 【分析】首先证明 AB 横过抛物线焦点，再利用当 AB 为通径时最小即可． 解：设抛物线 C：x2＝4y 的准线上任意一点 P（m，﹣1）． 点 P 作抛物线的切线 PA，PB，设切点分别为 A（x1，y1），B（x2，y2） x2＝4y⇒풚 = 1 4풙ퟐ，풚′ = 1 2풙， ∴切线 PA，PB 方程分别为 x1x＝2（y+y1），x2x＝2（y+y2）．∴{풎풙ퟏ = ퟐ(풚ퟏ ― ퟏ) 풎풙ퟐ = ퟐ(풚ퟐ ― ퟏ)⇒直线 AB 的方程为 mx＝2（y﹣1）． 故直线 AB 过定点（0，1），（即 AB 恒过抛物线焦点） 则 A 点到准线的距离与 B 点到准线的距离之和为 AB， 当 AB 为通径时最小，最小值是 2p＝4． 故选：D． 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分） 13．已知实数 x，y 满足不等式组{풙 ― ퟐ풚 ≥ ퟎ 풙 + ퟑ풚 ― ퟑ ≥ ퟎ 풙 ― ퟑ ≤ ퟎ ，则 z＝2x﹣y 的最大值为　6　． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定 z 的最大值． 解：作出实数 x，y 满足不等式组{풙 ― ퟐ풚 ≥ ퟎ 풙 + ퟑ풚 ― ퟑ ≥ ퟎ 풙 ― ퟑ ≤ ퟎ 对应的平面区域如图：（阴影部 分）． 由 z＝2x﹣y 得 y＝2x﹣z， 平移直线 y＝2x﹣z，由图象可知当直线 y＝2x﹣z 经过点 A（3，0）时，直线 y＝2x﹣z 的截距最小，此时 z 最大． 代入目标函数 z＝2x﹣y， 得 z＝6．即 z＝2x﹣y 的最大值为 6． 故答案为：6．14．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著的，书中有如下问题：“今有圆堡 瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘， 以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高 乘之，十二而一．”就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积 V = 1 12 × （底面的圆周长的平方 ×高），则该问题中圆周率 π 的取值为　3　（注：一丈等于十尺）． 【分析】由题意，圆柱体底面的圆周长 48 尺，高 11 尺，利用圆堡瑽（圆柱体）的体积 V = 1 12 × （底面的圆周长的平方×高），求出 V，再建立方程组，即可求出圆周率 π 的取 值． 解：由题意，圆柱体底面的圆周长 48 尺，高 11 尺， ∵圆堡瑽（圆柱体）的体积 V = 1 12 × （底面的圆周长的平方×高）， ∴V = 1 12 × （482×11）＝2112， ∴{ퟐ흅푹 = ퟒퟖ 흅푹ퟐ × ퟏퟏ = ퟐퟏퟏퟐ ∴π＝3，R＝8， 故答案为：3． 15．若双曲线푥2 푎2 ― 푦2 푏2 = 1（a＞0，b＞0）的两条渐近线斜率分别为 k1，k2，若 k1k2＝﹣3， 则该双曲线的离心率为　2　．【分析】由题可知，双曲线的渐近线方程为풚 =± 푏 푎풙，所以 k1k2 = ― 푏2 푎2 = ― 3，而离心率 풆 = ퟏ + 푏2 푎2，从而得解． 解：双曲线的渐近线方程为풚 =± 푏 푎풙， ∴k1k2 = ― 푏2 푎2 = ― 3，即푏2 푎2 = ퟑ， ∴离心率풆 = 푐2 푎2 = ퟏ + 푏2 푎2 = ퟏ + ퟑ = ퟐ． 故答案为：2． 16．已知函数 f（x） = {풙ퟐ ― ퟑ풙 + 풂，풙 ≤ ퟎ 풍풐품ퟐ풙，풙＞ퟎ ，若函数 g（x）＝f2（x）﹣3f（x）+2 有且仅 有三个零点，则实数 a 的取值范围是　（1，2]　． 【分析】函数 g（x）有且仅有 3 个零点可转化为函数 f（x）图象与直线 y＝1 和 y＝2 有 且仅有 3 个交点，作出 f（x）的图象示意图，数形结合即可 解：令 g（x）＝0，得 f2（x）﹣3f（x）+2＝0，即有 f（x）＝1，f（x）＝2， 则函数 g（x）有且仅有 3 个零点可转化为函数 f（x）图象与直线 y＝1 和 y＝2 有且仅有 3 个交点， 作出函数 f（x）的示意图如图：由图可知， 当 x＞0 时，y＝log2x 的图象与直线 y＝1、y＝2 各有一个交点，故要想满足条件， 只需 x≤0 时，y＝x2﹣3x+a 与 y＝1、y＝2 有且仅有 1 个交点， 因为当 x＝0 时，y＝a， 由图可知只有当 1＜a≤2 时满足题意， 故答案为：（1，2]． 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分） 17．如图，四棱锥 P﹣ABCD 中，PD⊥底面 ABCD，且底面 ABCD 为平行四边形，若∠DAB ＝60°，AB＝2，AD＝1． （1）求证：PA⊥BD； （2）若 PC 与底面 ABCD 所成的角为 45°，求点 D 到平面 PBC 的距离． 【分析】（1）由已知求解三角形证明 AD⊥BD．再由已知可得 PD⊥BD，利用直线与平 面垂直的判定可得 BD⊥平面 PAD，从而得到 PA⊥BD； （2）设点 D 到平面 PBC 的距离为 h，由（1）知，BC⊥BD，求得三角形 BCD 的面积， 进一步求得三棱锥 P﹣BCD 的体积，再求出三角形 BCP 的面积，由 VP﹣BCD＝VD﹣BCP， 可得点 D 到平面 PBC 的距离 h． 【解答】（1）证明：∵AD＝1，AB＝2，∠DAB＝60°， ∴BD2＝AB2+AD2﹣2AB•AD•cos60°，得 BD = ퟑ．∴AD2+BD2＝AB2，则 AD⊥BD． ∵PD⊥平面 ABCD，BD⊂平面 ABCD， ∴PD⊥BD， 又 AD∩PD＝D，∴BD⊥平面 PAD， ∵PA⊂平面 PAD， ∴PA⊥BD； （2）解：设点 D 到平面 PBC 的距离为 h，由（1）知，BC⊥BD， ∴푺△푩푪푫 = 1 2푩푪 × 푩푫 = 3 2 ． ∵PD⊥平面 ABCD，∴∠PCD 是 PC 与底面 ABCD 所成角． ∴∠PCD＝45°，得 PD＝PC＝2． ∴푽푷―푩푪푫 = 1 3 × 3 2 × ퟐ = 3 3 ． ∵PC = ퟐ푪푫 = ퟐ ퟐ，PB = 푷푫ퟐ + 푫푩ퟐ = ퟐퟐ + ( ퟑ)ퟐ = ퟕ，BC＝1． ∴PB2+BC2＝PC2，即 PB⊥BC． ∴푺△푩푪푷 = 1 2푩푪 ⋅ 푷푩 = 7 2 ． ∴푽푫―푩푪푷 = 1 3 × 7 2 풉 = 7 6 풉． 又 VP﹣BCD＝VD﹣BCP，∴ 7ℎ 6 = 3 3 ，解得 h = 2 21 7 ． 即点 D 到平面 PBC 的距离为2 21 7 ．18．a，b，c 分别为△ABC 的内角 A，B，C 的对边，已知 a（sinA+4sinB）＝8sinA． （1）若 b＝1，A = 휋 6，求 sinB； （2）已知 C = 휋 3，当△ABC 的面积取得最大值时，求△ABC 的周长． 【分析】（1）直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出结果． （2）利用余弦定理和三角形的面积公式的应用和基本不等式的应用求出结果． 解：（1）由于 b＝1，A = 휋 6， 所以 a（sinA+4sinB）＝8sinA 转换为 a（sinA+4sinB）＝8bsinA， 利用正弦定理 sin2A+4sinAsinB＝8sinAsinB， 整理得풔풊풏ퟐ휋 6 = ퟒ ⋅ 풔풊풏 휋 6 ⋅ 풔풊풏푩， 解得풔풊풏푩 = 1 8． （2）利用正弦定理 a（sinA+4sinB）＝8sinA，转化为 a2+4ab＝8a， 所以 a+4b＝8，利用基本不等式ퟖ = 풂 + ퟒ풃 ≥ ퟐ ⋅ ퟐ 풂풃 = ퟒ 풂풃， 解得 ab≤4， 即 a＝4b 时，푺△푨푩푪 = 1 2풂풃풔풊풏푪 = ퟑ， 解得 b＝1，a＝4，所以 c2＝a2+b2﹣2abcosC＝1+16﹣4＝13， 解得 c = ퟏퟑ 所以풍△푨푩푪 = 풂 + 풃 + 풄 = ퟏ + ퟒ + ퟏퟑ = ퟓ + ퟏퟑ． 19．某工厂有 25 周岁以上（含 25 周岁）工人 300 名，25 周岁以下工人 200 名，为研究工 人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了 100 名工人， 先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25 周岁以上（含 25 周岁）” 和“25 周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成 5 组：[50，60）， [60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布 直方图． （1）根据“25 周岁以上（含 25 周岁）组”的频率分布直方图，求 25 周岁以上（含 25 周岁）组工人日平均生产件数的中位数的估计值（四舍五入保留整数）； （2）从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 人，求至少抽到一名“25 周岁以下组”工人的概率； （3）规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2 列联表，并判断是否有 90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？ 附：푲ퟐ = 푛(푎푑 ― 푏푐)2 (푎 + 푏)(푐 + 푑)(푎 + 푐)(푏 + 푑) 生产能手 非生产能手 合计 25 周岁以上（含 25 周 岁）组 25 周岁以下组合计 P（K2≥k） 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 【分析】（1）由（0.005+0.035）×10+（x﹣70）×0.035＝0.5 计算中位数； （2）列出所有基本事件，由古典概型可得答案， （3）完成列联表，再利用公式 K2 = 푛(푎푑 ― 푏푐)2 (푎 + 푏)(푐 + 푑)(푎 + 푐)(푏 + 푑) 求值，从而查表可得； 解：（1）根据“25 周岁以上（含 25 周岁）组”的频率分布直方图，设 25 周岁以上（含 25 周岁）组工人日平均生产件数的中位数为 x； （0.005+0.035）×10+（x﹣70）×0.035＝0.5； 解得：x≈70+3＝73； （2）由已知得，样本中有 25 周岁以上组工人 60 名，25 周岁以下组工人 40 名， 所以样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中，25 周岁以上组工人有 60×0.05＝3 （人）， 记为 A1，A2，A3；25 周岁以下组工人有 40×0.05＝2（人）， 记为 B1，B2，从中随机抽取 2 名工人，所有可能的结果共有 10 种， 他们是：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2， B1）， （A，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）． 其中，至少有一名“25 周岁以下组”工人的可能结果共有 7 种，它们是（A1，B1）， （A1，B2）， （A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）．故所求的概率为：P = 7 10； （3）由频率分布直方图可知，在抽取的 100 名工人中，“25 周岁以上组”中的生产能 手有：60×0.25＝15（人），“25 周岁以下组”中的生产能手有 40×0.375＝15（人）， 据此可得 2×2 列联表如下： 生产能手 非生产能手 合计 25 周岁以上（含 25 周 岁）组 15 45 60 25 周岁以下组 15 25 40 合计 30 70 100 由附：푲ퟐ = 푛(푎푑 ― 푏푐)2 (푎 + 푏)(푐 + 푑)(푎 + 푐)(푏 + 푑) 可得：100 × (15 × 25 ― 45 × 15)2 60 × 40 × 30 × 70 = 25 14 ≈ 1.79； 因为：1.79＜2.706， 所以没有 90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”； 故答案为：（1）中位数为 x≈73；（2）P = 7 10；（3）没有 90%的把握认为“生产能手 与工人所在的年龄组有关”； 20．已知椭圆 E：푥2 푎2 + 푦2 푏2 = 1（a＞b＞0），其短轴长为 4，离心率为 e1，双曲线푥2 푚 ― 푦2 푛 = 1 （m＞0，n＞0）的渐近线方程为 y＝±x，离心率为 e2，且 e1•e2＝1． （1）求椭圆 E 的方程； （2）设椭圆 E 的右焦点为 F，过点 G（4，0）作斜率不为 0 的直线交椭圆 E 于 M，N 两点，设直线 FM 和 FN 的斜率分别为 k1，k2，试判断 k1+k2 是否为定值，若是定值，求 出该定值；若不是定值，请说明理由．【分析】（1）由题意可知 b＝2，利用双曲线的渐近线方程求出双曲线的离心率，从而 得到椭圆的离心率，进而求出 a 的值，即可得到椭圆的标准方程； （2）设直线 MN 的方程为：y＝k（x﹣4）（k≠0），与椭圆方程联立，由韦达定理可得 풙ퟏ + 풙ퟐ = 16푘2 1 + 2푘2，풙ퟏ풙ퟐ = 32푘2 ― 8 1 + 2푘2 ，代入 k1+k2 中化简，即可得到 k1+k2＝0，所以 k1+k2 是定值，定值为 0． 解：（1）由题意可知：2b＝4，∴b＝2， 又∵푛 푚 = ퟏ，∴双曲线的离心率 e2 = ퟏ + 푛 푚 = ퟐ， ∵e1•e2＝1．∴椭圆的离心率 e1 = 2 2 ， ∴풆ퟏ = 푐 푎 = ퟏ ― 푏2 푎2 = 2 2 ，∴a＝2 ퟐ， ∴椭圆的标准方程为：푥2 8 + 푦2 4 = ퟏ； （2）设直线 MN 的方程为：y＝k（x﹣4）（k≠0）， 联立方程{풚 = 풌(풙 ― ퟒ) 풙ퟐ + ퟐ풚ퟐ = ퟖ，消去 y 得：（1+2k2）x2﹣16k2x+32k2﹣8＝0， 设 M（x1，y1），N（x2，y2）， 则풙ퟏ + 풙ퟐ = 16푘2 1 + 2푘2，풙ퟏ풙ퟐ = 32푘2 ― 8 1 + 2푘2 ， ∴k1+k2 = 푦1 푥1 ― 2 + 푦2 푥2 ― 2= 푘(푥1 ― 4) 푥1 ― 2 + 푘(푥2 ― 4) 푥2 ― 2 = 풌 ⋅ (푥1 ― 4)(푥2 ― 2) + (푥2 ― 4)(푥1 ― 2) (푥1 ― 2)(푥2 ― 2) = 풌 ⋅ 2푥1푥2 ― 6(푥1 + 푥2) + 16 (푥1 ― 2)(푥2 ― 2) ， 将풙ퟏ + 풙ퟐ = 16푘2 1 + 2푘2，풙ퟏ풙ퟐ = 32푘2 ― 8 1 + 2푘2 代入上式得：2x1x2﹣6（x1+x2）+16＝0，即 k1+k2 ＝0 ∴k1+k2 是定值，定值为 0． 21．已知函数 f（x）＝xsinx+acosx+x，a∈一、选择题． （Ⅰ）当 a＝﹣1 时，求曲线 y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （Ⅱ）当 a＝2 时，求 f（x）在区间[ퟎ， 휋 2]上的最大值和最小值； （Ⅲ）当 a＞2 时，若方程 f（x）﹣3＝0 在区间[ퟎ， 휋 2]上有唯一解，求 a 的取值范围． 【分析】（Ⅰ）求得 f（x）的解析式和导数，可得切线的斜率、切点，由斜截式方程可 得切线的方程； （Ⅱ）求得函数的导数，判断单调性，计算可得最值； （Ⅲ）求得导数，构造函数 h（x）＝（1﹣a）sinx+xcosx+1，求得导数，判断符号，可 得单调性，由函数零点存在定理，可得 f（x）的单调性，结合条件可得 a 的范围． 解：（Ⅰ）当 a＝﹣1 时，f（x）＝xsinx﹣cosx+x， 所以 f′（x）＝2sinx+xcosx+1，f′（0）＝1． 又因为 f（0）＝﹣1， 所以曲线 y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为 y＝x﹣1； （Ⅱ）当 a＝2 时，f（x）＝xsinx+2cosx+x，所以 f′（x）＝﹣sinx+xcosx+1． 当풙 ∈ (ퟎ， 휋 2)时，1﹣sinx＞0，xcosx＞0， 所以 f′（x）＞0． 所以 f（x）在区间[ퟎ， 휋 2]上单调递增． 因此 f（x）在区间[ퟎ， 휋 2]上的最大值为풇( 휋 2) = 흅，最小值为 f（0）＝2； （Ⅲ）当 a＞2 时，f'（x）＝（1﹣a）sinx+xcosx+1， 设 h（x）＝（1﹣a）sinx+xcosx+1，h′（x）＝（2﹣a）cosx﹣xsinx， 因为 a＞2，풙 ∈ [ퟎ， 휋 2]， 所以 h′（x）＜0． 所以 h（x）在区间[ퟎ， 휋 2]上单调递减， 因为 h（0）＝1＞0，풉( 휋 2) = ퟏ ― 풂 + ퟏ = ퟐ ― 풂＜ퟎ， 所以存在唯一的풙ퟎ ∈ [ퟎ， 휋 2]，使 h（x0）＝0，即 f′（x0）＝0． 所以 f（x）在区间[0，x0]上单调递增，在区间[풙ퟎ， 휋 2]上单调递减． 因为 f（0）＝a，풇( 휋 2) = 흅， 又因为方程 f（x）﹣3＝0 在区间[ퟎ， 휋 2]上有唯一解， 所以 2＜a≤3． 请考生在 22，23，题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22．已知直线 l：x ― ퟑy＝0 与曲线 C：x2+（y﹣3）2＝9，以坐标原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求直线 l 和曲线 C 的极坐标方程； （2）将直线 l 绕极点 O 逆时针方向旋转 30°，得到的直线 l'，这两条直线与曲线 C 分 别交于异于极点的 P，Q，两点，求△OPQ 的面积． 【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转 换． （2）利用极径的应用和三角形的面积公式的应用求出结果． 解：（1）直线 l：x ― ퟑy＝0 转换为极坐标方程为휽 = 휋 6（ρ∈R）． 根据{ 풙 = 흆풄풐풔휽 풚 = 흆풔풊풏휽 풙ퟐ + 풚ퟐ = 흆ퟐ 曲线 C：x2+（y﹣3）2＝9，转化为极坐标方程为 ρ＝6sinθ． （2）将直线 l 绕极点 O 逆时针方向旋转 30°，得到휽ퟐ = 휋 3． 设 OP＝ρ1，OQ＝ρ2，则흆ퟏ = ퟔ풔풊풏 휋 6 = ퟑ，흆ퟐ = ퟔ풔풊풏 휋 3 = ퟑ ퟑ． 所以푺△푶푷푸 = 1 2 × 흆ퟏ × 흆ퟐ × 풔풊풏 휋 6 = 1 2 × ퟑ × ퟑ ퟑ × 1 2 = 9 3 4 ． 23．已知函数풇(풙) = |ퟐ풙 ― ퟏ| + 풙 + 1 2的最小值为 m． （1）求 m 的值； （2）若 a，b，c 为正实数，且 a+b+c＝m，证明：풂ퟐ + 풃ퟐ + 풄ퟐ ≥ 1 3． 【分析】（1）去掉绝对值符号，利用分段函数求解函数的最值，通过 m 即可． （2）利用重要不等式 a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，利用综合法证明即可． 【解答】（1）解：根据题意，函数풇(풙) = |ퟐ풙 ― ퟏ| + 풙 + 1 2 = {ퟑ풙 ― 1 2，풙 ≥ 1 2， ―풙 + 3 2，풙＜ 1 2， ，所以 f（x）为在( ― ∞， 1 2]单调递减，在[ 1 2， +∞)单调递增， 所以풇(풙)풎풊풏 = 풇( 1 2) = ퟏ，即풎 = ퟏ． （2）证明：由（1）知，m＝1，所以 a+b+c＝1， 又因为 a，b，c 为正实数，a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac， 所以 2（a2+b2+c2）≥2（ab+bc+ac），即 a2+b2+c2≥ab+bc+ac， 所以 1＝（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≤3（a2+b2+c2）， 即풂ퟐ + 풃ퟐ + 풄ퟐ ≥ 1 3．