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理科数学试卷第 1 页，总 7 页 沈阳二中 2019－2020 学年度下学期高三第五次模拟考试 理科数学 第Ⅰ卷 （60 分） 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合 ， ，则 （ ）. A． B． C． D． 2．若复数 ，则 （ ） A．0 B．2 C． D． 3．已知向量 与 不共线，且 ，则下列结论中正确的是（ ） A．向量 与 垂直 B．向量 与 垂直 C．向量 与 垂直 D．向量 与 共线 4．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠 算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著.在这部著作中，许多数学问 题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：“一个公公九个儿，若问生年 总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.”这首 歌决的大意是：“一位老公公有九个儿子，九个儿子从大到小排列，相邻两人的年龄差 三岁，并且儿子们的年龄之和为 207 岁，请问大儿子多少岁，其他几个儿子年龄如何推 算.”在这个问题中，记这位公公的第 个儿子的年龄为 ，则 （ ） A．17 B．29 C．23 D．35 5．设 ,则（ ） A． B． C． D． 6．如果函数 的图象关于直线 对称,那么 取最小值时 的 值为（ ） A． B． C． D． M N∪ = 1 0.2 3 1 2 1log 3, ( ) , 23a b c= == ( ){ }2log 5M x y x= = − 1 , 0N y y x xx  = = + >    ( ),5−∞ [ )2,+∞ [ )2,5 ( )5,+∞ 1z i= + z z i ⋅ = 2i 2i− a b 0a b= ≠ a b+  a b−  a b−  a a b+  a a b+  a b−  n na 3a = a b c> > c b a> > c a b> > b a c> > 3sin( 2 )6y x πϕ= + + x π= ϕ ϕ 6 π 3 π− 3 π 6 π−理科数学试卷第 2 页，总 7 页 7．已知 ， 为两条不同的直线， ， 为两个不同的平面，则下列为真命题的是 （ ） A．若 ， ，则 B．若 ， ，则 C．若 ， ， ，则 D．若 ， ， ，则 8．下图统计了截止到 2019 年年底中国电动汽车充电桩细分产品占比及保有量情况，关 于这 5 次统计，下列说法正确的是（ ） A．私人类电动汽车充电桩保有量增长率最高的年份是 2018 年 B．公共类电动汽车充电桩保有量的中位数是 25.7 万台 C．公共类电动汽车充电桩保有量的平均数为 23.12 万台 D．从 2017 年开始，我国私人类电动汽车充电桩占比均超过 50% m n α β / /m α / /n α //m n / /n m n α⊥ m α⊥ / /m α / /n β m n⊥ α β⊥ / /m α n β⊥ //m n / /α β理科数学试卷第 3 页，总 7 页 9．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ， ，则 的面积 （ ）． A．6 B．4 C． D． 10．已知函数 ，设函数 ，函数 的导函数为 ，则函数 的图像大致为（ ） A． B． C． D． 11．在三棱锥 中， ， ， ， ，若该三棱锥的体积为 ，则三棱锥 外接球的体积为（ ） A． B． C． π D． 12．已知线段 是过抛物线 的焦点 F 的 一条弦，过点 A（A 在第一象限内）作直线 垂直于抛物 线的准线，垂足为 C，直线 与抛物线相切于点 A，交 x 轴 于点 T，给出下列命题： （1） ； （2） ； （3） . 其中正确的命题个数为（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 （90 分） 本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题~第 21 题为必考题，每个试 题考生都必须做答．第 22 题~第 23 题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题: 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13．已知函数 ，则 的值是______． 14．若 的展开式中第四项为常数项，则 n= . ABC A B C a b c 3 4A π= 3tan 4C = 2b = ABC S = 3 2 2 2 ( ) cos sin3 6g x x x π π   = + + +       ( ) ( )21 4f x x g x= + ( )f x ( )'f x ( )'f x A SBC− 10AB = 4ASC BSC π∠ = ∠ = AC AS= BC BS= 15 3 S ABC− π 4 3π 5 3 π AB 2 2 ( 0)y px p= > AC AT 2AFx TAF∠ = ∠ TF AF= AT CF⊥ 0 1 2 3 1 3 log , 0 2 , 0x x x f x x （ ） >=   ≤ [ ]9f f（ ） 3 1( ) 2 nx x −理科数学试卷第 4 页，总 7 页理科数学试卷第 5 页，总 7 页 15．已知双曲线 的左、右顶点分别为 、 ，点 在双曲线 上，若 ，则双曲线 的焦距为_________． 16．若函数 不存在零点，则 的取值范围是 ______. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤. 17．（本小题满分12 分） 如图，四棱锥 E﹣ABCD 的侧棱 DE 与四棱锥 F﹣ABCD 的侧棱 BF 都与 底面 ABCD 垂直， ， // ， . （Ⅰ）证明： //平面 BCE. （Ⅱ）设平面 ABF 与平面 CDF 所成的二面角为 θ，求 . 18．（本小题满分12 分） 已知数列 满足： ， . （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）若数列 满足： ，求数列 的通项公式. 2 2 2: 1( 0)4 x yC bb − = > A B P C 2PBA PAB π∠ = ∠ + C ( ) ( 0)f x a x a x a a= − + + − ≠ a AD CD⊥ AB CD 3, 4, 5, 3 2AB AD CD AE AF= = = = = DF cos2θ { }na 1 2a = ( )1 4 2 2n na a n n−+ = − ≥ { }na { }nb ( )1 2 33 7 2 1n n nb b b b a+ + +⋅⋅⋅+ − = { }nb理科数学试卷第 6 页，总 7 页 19．（本小题满分12 分） 如图，已知椭圆 上顶点为 A，右焦点为 F，直线 与圆 相切，其中 . （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）不过点 A 的动直线 l 与椭圆 C 相交于 P，Q 两点，且 ，证明：动直线 l 过定点，并且求出该定点坐标. 20．（本小题满分12 分） 某校高三男生体育课上做投篮球游戏，两人一组，每轮游戏中，每小组两人每人投篮两 次，投篮投进的次数之和不少于 次称为“优秀小组”.小明与小亮同一小组，小明、小亮 投篮投进的概率分别为 . （Ⅰ）若 ， ，则在第一轮游戏他们获“优秀小组”的概率； （Ⅱ）若 则游戏中小明小亮小组要想获得“优秀小组”次数为 次，则理论 上至少要进行多少轮游戏才行？并求此时 的值. 2 2 2: 1xC ya + = AF 2 2: 6 2 7 0M x y x y+ − − + = 1a > AP AQ⊥ 3 1 2,p p 1 2 3p = 2 1 2p = 1 2 4 3p p+ = 16 1 2,p p理科数学试卷第 7 页，总 7 页 21．（本小题满分12 分） 已知函数 ，其中 m 为常数，且 是函数 的极值点． （Ⅰ）求 m 的值； （Ⅱ）若 在 上恒成立，求实数 的最小值． 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记 分。做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。 22．（本小题满分10 分） 以坐标原点 O 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1 的极坐标方程为： ，曲线 C2 的参数方程为： （ 为参数， ），点 N 的极坐标为 ． （Ⅰ）若 M 是曲线 C1 上的动点，求 M 到定点 N 的距离的最小值； （Ⅱ）若曲线 C1 与曲线 C2 有有两个不同交点，求正数 的取值范围． 23．（本小题满分10 分） 记函数 的最小值为 . （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）若正数 ， ， 满足 ，证明： . x 2cos( )3 πρ θ= − 4cos cos3 2sin sin3 x t y t π α π α  = +  = + α 0t > (4, )3 π t sin c s( ) of x m x x = + 2 3 π ( )f x ( 1) ( )xk e f x− > 0x > k 1( ) 2 12f x x x= + + − m m a b c abc m= 9ab bc ca a b c + + ≥ + +