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第1页·共 4页 2020 年杭州二中高三仿真考数学参考答案 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B A C A C A C D C 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共36 分. 11．2， 5 ． 12． 3 2 3 33yx= ， ． 13． 4− ;15 14． 36  ， 15．66； 16. 51 2 − ． 17．12 41 4 − ． 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 18．（本题满分 14 分） 解： ． 所以 的最小正周期 ， 令 ， ， 解得 ， ， 所以函数 的单调递增区间为 ， ． 由 得 ， 因为 为锐角，所以 ， ， 又因为 ， 所以 ， 所以 ． 19．（本题满分 15 分） 解：（1）取 BD 中点 E，连结 AE,CE，因为 AB=AD,CB=CD,所以 ,AE BD CE BD⊥⊥ 所以 BD ACE⊥ 平面 , 所以 BD AC⊥ . 所以 AEC A BD C − −是二面角 的平面角 在 AEC 中， 2 2 2 2 cosAC AE CE AE CE AEC= + −   , 2 4AC = , 2 2 2AC CE AE+=, 所以 AC CE⊥ ,因为 ,CE BD E= 所以 AC BCD⊥ 平面 第2页·共 4页 （2）建立如图空间直角坐标系.则 ( ) ( ) ( )0,0,0 2,0,0 0,2,0C B D , ( ),,A m m n设 ( ) ( ) ( ) ( )2, , , , , , 0,2,0 , , ,BA m m n CA m m n CD ACD n x y z= − = = =设 法向量 2 2,BA =因为 , ( )2 2228m m n− + + =所以 , 0 20 xm ym zn y + + =  = 0 xn y zm =  =  =− 取 ( ),0,n n m=−记 则 ( ) 22 2 1cos , 222 n m mnBA n mn −− = = + 22mn= ， 解得 22, 3mm= = −或 ， 22 3 33AC AC==或 20．（本题满分 15 分） 解：(Ⅰ) 1 2 1 4 n n n n aa aa + = ++ 2(1 )2 n n a a = + 1nnaa+ 与 同号 ， 1 00naa   （或由数学归纳法可证 0na  ） 1 2 2 211 24 n n n n n nn n a a aa a aaa + = = = ++++ ， 1 1 1 1 2nnaa+  = + ， 1 1 32 ( 1) 22n nna += + −  = ； 2 3na n=+ ， (Ⅱ) （ⅰ） 1 31 n n nn aa aa+ = ++ 1 3 1 1 1 n n nn a a aa + =  ++ ，  na 递减 1 11022naa=    1 31 n nn nn aaa aa+ = ++ ，由数学归纳法可证(也可由数列{}n a 的单调性得): 1 2na  ， 10 2na   . （ⅱ） 3 2 2 2 2 2 1 11 1 1 1 1 1 5222 nn n n n n n n n aa aa a a a a a+ ++= = + +  + + = + ， 2 1 5 5 34 ( 1)22n nna + + − = ， 2 2 53na n+ ， 2 1 23 3 1 1 8 111 131 ( )22 n n n n a a a a + =  =++ ++ ， 2118()4 13 n na −   ， 第3页·共 4页 综上所述， 121 8 2()4 13 5 3 n na n −   + . 21．（本题满分 15 分） 解：(1)设直线 : 2 pAB x ty=+， 2 2 22 2 0y px y pty p= − − =与 联立，得 ， 122y y pt+= ， 2 122x x pt p+ = + ， 22 12 2 2 , ,2 pAB x x p pt p M pt pt= + + = + + M到准线的距离 2 1= 2d pt p AB=+ ,所以圆 M 与抛物线的准线相切. （2）设 :1AB x ty=+ 224 4 4 0y x y ty= − − =与 联立，得 ， ( )22 1,2M t t+ 244AB t=+， ( )1,2Nt− ， ( ) ( ) 2 2 2222 2 2 2 22 M ABCD y t t= − = + − , 2 2 22 1N AB td t− += + ， 21 AAF t y=+ ， ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2222 2 22 22 1 2 2 2 2 2 1 AN AF A A tyd AFS t S CD y y t t t t − + += = = + − + − ( ) 2 22 2 2 1 1 3= 312121 11 2 t t t t = −− + ++ 2 1t =当 时，等号成立 1 2 3 3 S S 最大值为 . 22．（本题满分 15 分） （1） ( ) ( )' 2 ln 2ln 1f x x x x x x= − − = − + ( ) ( )1 ' 0,x f x f x e 当 时， 单调递增， ( ) ( )1 '0x f x f x e 当 时， ， 单调递减 ，所以 ( )max 111 2f x f ee = = + ……5’ （2） ( ) 2 0, 0f x ax bx x+ + = =验证 不是方程的根 ,所以原方程的根等价于 ( )fx ax bx = − − 的根，…2’ 记 0,A a B b= −  = − ， ( ) ,0t x Ax B A= + 令 ， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 10 ' , ' 0 1 xxf x x eeg x x g x g x xx x x −−−− −+= =  = =  = −， 为极大值点， …1’ ( ) ( ) ( )( )12 2 1 0B t x B g g x xe   − = −  当 时， ( ) ( ) 0g x t x x=所以 在 无实数根 第4页·共 4页 ( ) ( ) ( ) 2 10 ln Bx g x t x h x x Axx =  = − − =时， ……① ( ) 2 3 2 3 2 1 2' B x Bxhx x x x x −+= − − + = − ( ) 2 1 2 2 80, 2 BBh x x x x +−  =有两个极值点 ， ( ) 22 2 2 2 2 2 1 3 8 8ln 8 ln4 2 2 B B B Bx h x x x B B Bx + − + −= − − = − − − − ， ( )2 3 2 2 2 2 32 2 ln 2 2 ln 2 0 04 2 2 2 hx −  − = − −  ，所以 ， A存在 使①有三个实根 所以 22B  满足条件. …4’ ( ) ( )2 2 ' 0, 0 0,B h x h +  当 时， 所以①仅有一个正根 ， 要使 ( ) ( ) 2 max 1 0 xe Ax B B g x xxe −− = +  = − 有两个负根，则 ， 综上所述 ( )1( , ] 2 2,B e − − + ，即 1( , 2 2) [ , )b e − − + . …3’