高三数学试题
数学Ⅰ（必做题）
一､填空题:本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分．
1． 已知集合 A＝{1,4,5}，B＝{3,4}，则 A∪B＝ ▲ ．
2．设复数 z 满足 z(1－i)＝4 i (i 为虚数单位)，则复数 z 的模为 ▲ ．
3．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为
[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于 60 分的人数是 15 人，则参加英语测试的学生
人数是 ▲ ．
4．如图所示的算法流程图，若输出 y 的值为1
2，则输入 x 的值为 ▲ ．
5．某校开设 5 门不同的选修课程，其中 3 门理科类和 2 门文科类，某同学从中选修 2 门课程，
则该同学恰好选中 1 文 1 理的概率为 ▲ ．
6. 函数 的定义域是 ▲ ．
7．已知双曲线 ： 的焦点关于一条渐近线的对称点在 轴上，则该双
曲线的离心率为 ▲ ．
8．中国古代数学专家（九章算术）中有这样一题：今有男子善走，日增等里，九日走
里，第一日，第四日，第七日所走之和为 里，则该男子的第三日走的里数为
▲ ．
2( ) 2 logf x x= −
C
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > y
1260
390
第 3 题图
Y
（第 4 题）
结束
输入 x
x≥0
y←2x
输出 y
N
开始
y←log2(－x)9. 设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1，S2，体积分别为 V1，V2，若它们的侧面积相等，且
＝ ，则 的值是 ▲ ．
10. 已知直线 经过点 ，则 的最小值是 ▲ ．
11.已知函数 的部分图象如图所示，将函数
的图象向左平移 个单位长度后，所得图象关于直线 对称，则 的
最小值为 ▲ ．
12. 如 图 ， 扇 形 的 半 径 为 2 ， ， 是 弧 上 一 点 ， 满 足
， 与 的交点为 ，那么 ▲ ．
13. 在平面直角坐标系 xoy 中，已知直线 ： 与圆 C： 交于 A、B 两
点，过点 A、B 分别做圆 C 的两条切线 与 ，直线 与 交于点 P，则线段 PC 长度的最
小值是 ▲ ．
14. 已知函数 若关于 的不等式 的解集非空，
且为有限集，则实数 的取值集合为 ▲ ．
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分.
15. (本小题满分 14 分)
1
2
S
S
9
4
1
2
V
V
8 0ax by+ − = ( )a b∈， R (1 2)−， 12 4
a
b
+
( ) ( )
>+= 0,2||,0sin ωπϕϕ Aω xAxf
( )xf ( )0>αα
4
3π=x α
OAB 120=∠AOB P AB
32=⋅OBOP AB OP M =⋅ ABOM
l 2y kx= + 2 2( 1) 9x y− + =
1l 2l 1l 2l
1
2
, 0,
( ) 2 , 0.1
xx e x
f x x xx
+ ⋅= > +
x 2 ( ) 2 ( ) 2 0f x af x a− + + ≤
a
第 11 题
第 12 题在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且 .
（1）若 ， ，求 的值；
（2）若 ，求 的值.
16. (本小题满分 14 分)
如图，在四棱锥 中，底面 是矩形，平面 平面
分别为棱 的中点.求证：
（1） 平面 ；
（2） 平面 .
17．(本小题满分 14 分)
如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅助圆”.过椭圆第四象限
内一点 M 作 x 轴的垂线交其“辅助圆”于点 N，当点 N 在点 M 的下方时，称点 N 为点 M 的“下
辅助点”.已知椭圆 E： 上的点 的下辅助点为（1，﹣1）.
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）若△OMN 的面积等于 ，求下辅助点 N 的坐标.
ABC∆ A B C a b c 5cos 5A =
5a = 2 5c = b
4B
π= cos2C
P ABCD− ABCD PAD ⊥
, , ,ABCD AP AD M N= ,PD PC
/ /MN PAB
AM ⊥ PCD
( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = ＞ ＞ 21 2
−
，
2 3 6
8
−
第 17 题
第 16 题18．(本小题满分 16 分)
如图，某城市小区有一矩形休闲广场， 米，广场的一角是半径为 米的扇形
绿化区域，为了使小区居民能够更好的在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲
椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅 （宽度不计），点 在线段 上，并且与
曲线 相切；另一排为单人弧形椅沿曲线 （宽度不计）摆放．已知双人靠背直排椅的造
价每米为 元，单人弧形椅的造价每米为 元，记锐角 ，总造价为 元．
（1）试将 表示为 的函数 ，并写出 的取值范围；
（2）如何选取点 的位置，能使总造价 最小．
19．(本小题满分 16 分)
已知函数 ， ．（ 是自然对数的底数，e≈2.718…）
（1）求函数 的极值；
（2）若函数 在区间[1，2]上单调递增，求 a 的取值范围；
（3）若函数 在区间(0， )上既存在极大值又存在极小值，并且
的极大值小于整数 b，求 b 的最小值．
20AB = 16
BCE
MN M AD
CE CN
2a a NBE θ∠ = W
W θ ( )W θ θcos
M W
( ) (3 ) xf x x e= − ( ) ( R)g x x a a= + ∈ e
( )f x
( ) ( )y f x g x=
( ) ( )( ) f x g xh x x
+= +∞ ( )h x
D
N
BA
C
E
M
（第 18 题图）20．(本小题满分 16 分)
已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 Sn＝2an－1.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记集合 M＝{n|n(n＋1)≥λan，n∈N*}，若 M 中有 3 个元素，求 λ 的取值范围；
（3）是否存在等差数列{bn}，使得 a1bn＋a2bn－1＋a3bn－2＋…＋anb1＝2n＋1－n－2 对一切
n∈N*都成立？若存在，求出 bn；若不存在，说明理由．
数学Ⅱ（附加题）
21．【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题 10 分，共计 20 分．请在答
题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
B.（选修 4—2：矩阵与变换）
已知矩阵 的一个特征值为 3, 求 的另一个特征值及其对应的一个特征向
量.
C．（选修 4—4：坐标系与参数方程）
在 极 坐 标 系 中 , 为 曲 线 上 的 动 点 , 为 直 线
上的动点, 求 的最小值.
22. (本小题满分 10 分)
如图，在三棱柱 中， 平面 ， ， ， 分别为 ， ，
的中点， ， ．
（1）求证： ⊥ ；
1 2
2 x
= M M
A 2 2 cos 3 0ρ ρ θ+ − = B
cos sin 7 0ρ θ ρ θ+ − = AB
1 1 1ABC A B C− 1CC ⊥ ABC D E F 1AA 1 1AC
1BB 5AB BC= = 1 2AC AA= =
AC EF
F
E
D
A
C
C1
A1
B
B1
第 22 题（2）求二面角 的余弦值．
23. (本小题满分 10 分)
（1）证明： ；
（2）证 明 ： 对 一 切 正 整 数 n 和 一 切 实 数 ， 有
.
参考答案
1. {1,3,4,5} 2. 3. 50 4． 5．
6. (0,2] 7. 8. 120 9. 10. 2
11. . 12.2 13.
14.
15. 解：（1）在 中，由余弦定理 得，
，即 ，
解得 或 （舍），
所以 ；
（2）由 及 得， ，
所以 ，
所以 = =
16. 证明：（1）因为 M，N 分别为棱 PD，PC 的中点，所以 MN∥DC， 又因为底面 ABCD
1B CD C− −
1
1 , ,m m m
n n nC C C m n N m n−
+ = + ∈ ≤（ 且 ）
( 0, 1, , )x x n≠ − −
0
!( 1) ( 1)( 2) ( )
n
m m
n
m
x nC x m x x x n=
− =+ + + +∑
2 2 2−
5
3
2 3
2
3
π 9 55
{ 1,3}−
ABC∆ 2a 2 2= + -2 cosb c bc A
2 520 2 2 5 255b b+ − × × = 2 4 5 0b b− − =
5b = 1b = −
5b =
5cos 5A = 0 A π< < 2 25 2 5sin 1 cos 1 ( )5 5A A= − = − =
2 10cos cos( ( )) cos( ) (cos sin )4 2 10C A B A A A
π= π − + = − + = − − =
2cos2 2cos 1C C= −
2
102 -110
4- 5G
FEA B
D C
N
M
是矩形，所以 AB∥DC，
所以 MN∥AB． 又 平面 PAB， 平面 PAB，所以 MN∥平面 PAB．
（2）因为 AP=AD，M 为 PD 的中点， 所以 AM⊥PD．因为平面 PAD⊥平面 ABCD， 又平面
PAD∩平面 ABCD= AD，CD⊥AD， 平面 ABCD，所以 CD⊥平面 PAD． 又 平
面 PAD，所以 CD⊥AM． 因为 CD， 平面 PCD， ，所以 AM⊥平面
PCD．
17.解：（1）∵椭圆 上的点（1， ）的下辅助点为（1，﹣1），
∴辅助圆的半径为 R ，椭圆长半轴为 a＝R ，
将点（1， ）代入椭圆方程 中，解得 b＝1，.....................6 分
∴椭圆 E 的方程为 ；
（2）设点 N（x0，y0）（y0＜1），则点 M（x0，y1）（y1＜0），将两点坐标分别代入辅助圆方程
和椭圆方程可得，
x02+y02＝2， ，故 y02＝2y12，即 y0 y1，
又 S△OMN x0（y1﹣y0） ，则 x0y1 ，........................10 分
将 x0y1 与 联立可解得 或 ，
∴下辅助点 N 的坐标为（ ， ）或（ ， ）；.....................14 分
18． 解：（1）过 作 的垂线，垂足为 ；过 作 的垂线，垂足为 ．
在 中， ，则
在 中， ，··············4 分
由题意易得
························6 分
AB ⊂ MN ⊄
CD ⊂ AM ⊂
PD ⊂ CD PD D∩ =
( )2 2
2 2 1 0x yE a ba b
+ =： ＞ ＞ 2
2
−
2 21 ( 1) 2= + − = 2=
2
2
−
2 2
2 12
x y
b
+ =
2
2 12
x y+ =
2
20
1 12
x y+ = 2=
1
2
= 2 3 6
8
−= 6
4
= −
6
4
= −
2
20
1 12
x y+ =
0
0
2
2
6
2
x
y
=
= −
0
0
6
2
2
2
x
y
=
= −
2
2
6
2
− 6
2
2
2
−
N AB F M NF G
RT BNF∆ 16cosBF θ= 20 16cosMG θ= −
RT MNG∆ 20 16cos
sinMN
θ
θ
−=
16( )2CN
π θ= −因此， ··············7 分
···················································9 分
（2）
令 ， ，因为 ，所以 ，······························12 分
设锐角 满足 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增．·········································14 分
所以当 ，总造价 最小，最小值为 ，
此时 ， ， ，
答：当 米时，能使总造价最小．········································16 分
19．解：（1） ， ，令 ，解得 ，列表：
↗ 极大值 ↘
∴当 时，函数 取得极大值 ，无极小值…………3 分
（2）由 ，得
…………5 分
∵ ，令 ，
∴函数 在区间 上单调递增等价于对任意的 ，函数 恒成立
∴ ，解得 ．………… 8 分
（3） ，
令 ，
( ) (3 ) xf x x e= − '( ) (2 ) xf x x e= − '( ) 0f x = 2x =
x ( ,2)−∞ 2 (2, )+∞
'( )f x + 0 −
( )f x
2x = ( )f x 2(2)f e=
( ) ( ) (3 )( ) xy f x g x x x a e= = − +
2 2' [ (3 ) 3 2 (3 )] [ (1 ) 2 3]x xy e x a x a x a e x a x a= − + − + − + − = − + − + +
2( ) (1 ) 2 3m x x a x a= − + − + +
( ) ( )y f x g x= [1,2] [1,2]x∈ ( ) 0m x ≥
(1) 0
(2) 0
m
m
≥
≥
( ) ( ) (3 )( )
xf x g x x e x ah x x x
+ − + += =
2
2
( 3 3)'( )
xe x x ah x x
− + − −=
2( ) ( 3 3)xr x e x x a= − + − −
20 16cos( ) 2 16 ( ),sin 2W a a
θ πθ θθ
−= ⋅ + −
)5
4,0(cos ∈θ
2 2
4 5cos (2cos 1)(cos 2)( ) 16 8 =8sin sinW a a a
θ θ θθ θ θ
− − −= − +，
( )=0W θ， 1cos 2
θ = 1( , )2
πθ
3
πθ =
1θ 1
4cos 5
θ = ），（
301
πθ ∈
1( , )3
πθ θ∈ ( )0W θ， ( )W θ
3
πθ = W 8(16 3 )3 a
π+
8 3MN = 4 3NG = 8 3NF =
4 3AM =
0xe >
3a ≥ −∵ 在 上既存在极大值又存在极小值，∴ 在 上有两个不等实根，
即 在 上有两个不等实根 ．…………10 分
∵
∴当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减
则 ，∴ ，解得 ，∴
∵ 在 上连续且
∴ 在 和 上各有一个实根
∴函数 在 上既存在极大值又存在极小值时，有 ，并且在区间 上存
在极小值 ，在区间 上存在极大值 ．
∴ ，且
， ……13 分
令 ，当 时， ， 单调递减
∵ ，∴ ，即 ，则
∵ 的极大值小于整数 ，∴满足题意的整数 的最小值为 ．…………16 分
20.解：(1)当 n＝1 时，S1＝2a1－1，得 a1＝1.
当 n≥2 时，由 Sn＝2an－1，①
得 Sn－1＝2an－1－1，②
①－②，得 an＝2an－1，即 an
an－1＝2(n≥2)．
因此{an}是首项为 1，公比为 2 的等比数列，所以 an＝2n－1.
(2)由已知可得 λ≤nn＋1
2n－1 ，令 f(n)＝nn＋1
2n－1 ，
则 f(1)＝2，f(2)＝3，f(3)＝3，f(4)＝5
2，f(5)＝15
8 ，
( )h x (0, )+∞ '( ) 0h x = (0, )+∞
2( ) ( 3 3) 0xr x e x x a= − + − − = (0, )+∞ 1 2 1 2, ( )x x x x<
2 2'( ) ( 3 3 2 3) ( ) (1 )x x xr x e x x x e x x x x e= − + − − + = − + = −
(0,1)x∈ '( ) 0r x > ( )r x (1, )x∈ +∞ '( ) 0r x < ( )r x
10 1x< < (0) 0
(1) 0
r
r
3 a e− < < −
3 3
2 23 3 3( ) 3 02 4 4r e a e= − − < − + <
( )h x (0, )+∞ 3 a e− < < − (0,1)
3(1, )2
2
2 2
2
2
(3 )( )
xx e x ah x x
− + += 2 2
2 2
2 2
2
( 3 3)'( ) 0
xe x x ah x x
− + − −= =
2 2
2 2( 3 3)xa e x x= − + − 2 2
2
2
2 2 2 2
2 2
2
(3 ) ( 3 3)( ) (2 ) 1
x x
xx e x e x xh x e xx
− + + − + −= = − +
(1, )x∈ +∞
2
3(1, )2x ∈
b 4
( )r x (0, )+∞ 3(0) (1) 0, (1) ( ) 02r r r r⋅ < ⋅ <
( ) 0r x = (0,1) 3(1, )2
1( )f x 2( )f x
( ) (2 ), '( ) (1 )x xH x e x H x e x= − = − '( ) 0H x < ( )H x
2
3( ) ( ) (1)2h h x h< <
3
2
2
1( ) ( 1, 1)2h x e e∈ + +
3
213 1 1 42 e e< + < + <
( )h x b下面研究 f(n)＝nn＋1
2n－1 的单调性，
因为 f(n＋1)－f(n)＝n＋1n＋2
2n －nn＋1
2n－1 ＝n＋12－n
2n ，
所以，当 n≥3 时，f(n＋1)－f(n)＜0，f(n＋1)＜f (n)，
即 f(n)单调递减.
因为 M 中有 3 个元素，所以不等式 λ≤nn＋1
2n－1 解的个数为 3，所以 2＜λ≤5
2，即 λ 的取值
范围为(2，5
2 ].
(3)设存在等差数列{bn}使得条件成立，
则当 n＝1 时，有 a1b1＝22－1－2＝1，所以 b1＝1.
当 n＝2 时，有 a1b2＋a2b1＝23－2－2＝4，所以 b2＝2.
所以等差数列{bn}的公差 d＝1，所以 bn＝n.
设 S＝a1bn＋a2bn－1＋a3bn－2＋…＋anb1，
S＝1·n＋2(n－1)＋22(n－2)＋…＋2n－2·2＋2n－1·1，③
所以 2S＝2·n＋22(n－1)＋23(n－2)＋…＋2n－1·2＋2n·1，④
④－③，得 S＝－n＋2＋22＋23＋…＋2n－1＋2n ＝－n＋21－2n
1－2 ＝2n＋1－n－2，
所以存在等差数列{bn}，且 bn＝n 满足题意．
21B．解：矩阵 M 的特征多项式为 = ……1 分
因为 方程 的一根，所以 ……………………………………3 分
由 ,得 ………………………………………… 5 分
设 对应的一个特征向量为 ,则 ,得 ……………8 分
令 ,
所以矩阵 M 的另一个特征值为-1，对应的一个特征向量为 …………10 分
21C．解:圆的方程可化为 ,所以圆心为 ,半径为 2 …………3 分
又直线方程可化为 ……………………… 5 分
xf −−
−−= λ
λλ
2
21)( 4))(1( −−− xλλ
31 =λ 0)( =λf 1=x
04)1)(1( =−−− λλ 12 −=λ
12 −=λ
=
y
xα
=−−
=−−
022
022
yx
yx yx −=
1,1 −== yx 则
−=
1
1α
( )2 21 4x y+ + = ( )1,0−
7 0x y+ − =所以圆心到直线的距离 ，
故 ………………………10 分
22.（1）取 中点 ，连接 ，在三棱柱 中，
因为 ⊥平面 ，所以四边形 为矩形，
又 分别为 的中点，所以 ．
因为 ．所以 ．
又 平面 ，则 ，
因为 ，所以 ．
如图建立空间直角坐标系 ．··············2 分
由题意得 ， ， ， ， ， ．
所以 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．··············5 分
（2）由（1）可得， ， ，
设平面 的法向量为 ，
所以 ，所以 ，
令 ，则 ， ，··············7 分
所以平面 的一个法向量 ，
又因为平面 的法向量为 ，··············8 分
所以 ．
1 7 4 2
2
d
− −= =
min( )AB = 4 2 2−
AC O ,OB OE 1 1 1ABC A B C−
1CC ABC 1 1A ACC
,O E 1 1,AC AC AC OE⊥
AB BC= AC OB⊥
1CC ⊥ ABC 1CC OB⊥
1OE CC OE OB⊥
O xyz−
(1,0,0)A (0,2,0)B ( 1,0,0)C − (1,0,1)D (0,0,2)E (0,2,1)F
( 2,0,0)AC = − (0,2, 1)EF = −
0AC EF⋅ =
AC EF⊥
AC EF⊥
(2,0,1)CD = )0,2,1(=CB
BCD ( )a b c= ，，n
=⋅
=⋅
0
0
CBn
CDn 2 0
2 0
a c
a b
+ =
+ =
2a = 1b = − 4c = −
BCD (2 1 4)= − −， ，n
1CDC (0,2,0)OB =
21cos 21
n OBn OB
n OB
⋅< ⋅ >= = −
z
yx
F
E
D
A
C
C1
A1
O
B
B1由图可得二面角 为钝角，所以二面角 的余弦值为 ．
··············10 分
23.证明：
（1）右边= =左边
（2）①当 时，左边= =右边。
② 假 设 时 ， 对 一 切 实 数 ， 都 有
成立，
那 么 ， 当 时 ， 对 一 切 实 数 ， 有
。
所以，当时，等式成立。
故对一切正整数 和一切实数 ，有 。
1B CD C− − 1B CD C− − 21
21
−
1
! ! !( 1 ) ( 1)!
!( )! ( 1)!( 1)! !( 1)! !( 1)!
m
n
n n n n m m n Cm n m m n m m n m m n m +
− + + ++ = = =− − − + − + − +
1n = 11 1 1
x
x x
− =+ +
n k= ( 0, 1, , )x x k≠ − −
0
!( 1) ( 1)( 2) ( )
k
m m
k
m
x kC x m x x x k=
− =+ + + +∑
1( )n k k N ∗= + ∈ ( 0, 1, , ( 1))x x k≠ − − +
1
1 1
1
0 1
( 1) 1 ( 1) ( 1) 1
k k
m m m m m k
k k k
m m
x x xC C Cx m x m x m
+
− +
+
= =
− = + − + + − + + + +∑ ∑
1
1
0 1 0 0
1( 1) ( 1) ( 1) ( ( 1) )1 1
k k k k
m m m m m m t t
k k k k
m m m t
x x x x xC C C Cx m x m x m x t x
+
−
= = = =
+= − + − = − − − ⋅+ + + + + +∑ ∑ ∑ ∑
! !
( 1)( 2) ( ) ( 2)( 3) ( 1) 1
k k x
x x x k x x x k x
= − ⋅+ + + + + + + +
[ ]! ( 1) ( 1)!
( 1)( 2) ( 1) ( 1)( 2) ( 1)
k x k x k
x x x k x x x k
+ + − += =+ + + + + + + +
n ( 0, 1, , )x x n≠ − −
0
!( 1) ( 1)( 2) ( )
n
m m
n
m
x nC x m x x x n=
− =+ + + +∑
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