决胜2020年高考数学实战演练仿真卷（山东专版）（解析版）

1 决胜 2020 年高考数学实战演练仿真卷 08 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容． 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的. 1．已知集合 ， ，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】集合 中： ，解得 ， 集合 中： 是单调递增函数 ，所以 即 ， A 选项中， ，所以错误； B 选项中， ，所以 ，所以错误； C 选项中， ，所以错误 D 选项中， ， ，所以 正确. 故选 D 项. 2．设 ， 是 z 的共轭复数，则 （ ） A. -1 B. i C. 1 D. 4 【答案】C { }2 1M x x= < { }2| log , 2N y y x x= = > M N N= ( )RCM N∩ = ∅ M N U= ( )RCM N⊆ M 2 1x < 1 1x− < < N 2logy x= 2x > 1y > { }1 1M x x= − < < { }1N y y= > M N N∩ = ∅ ≠ { }1RC N y y= ≤ { }1 1RM C N x x∩ = − < < ≠ ∅ M N U∩ = ∅ ≠ { }1 1M x x= − < < { }1RC N y y= ≤ ( )RCM N⊆ 1 1 iz i += − z z z⋅ =2 【解析】 ，则 ，[来源:学§科§网] 故 ，故选 C. 3.某工厂利用随机数表对生产的 700 个零件进行抽样测试，先将 700 个零件进行编号，001，002，……， 699，700．从中抽取 70 个样本，如下提供随机数表的第 4 行到第 6 行，若从表中第 5 行第 6 列开始向右读 取数据，则得到的第 6 个样本编号是（　　） A. 623 B. 328 C. 253 D. 007 【答案】A 【解析】从表中第 5 行第 6 列开始向右读取数据， 得到的前 6 个编号分别是：253，313，457，007，328，623， 则得到的第 6 个样本编号是 623． 故选：A． 4.大衍数列，来源于中国古代著作《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，其前 10 项为：0、2、4、8、 12、18、24、32、40、50. 通项公式： ，如果把这个数列{an}排成如图形状， 并记 表示第 m 行中从左向右第 n 个数，则 的值为（ ） A. 3444 B. 3612 C. 3528 D. 1280 【答案】A 【解析】根据题意前 9 行共有 项， 是第 83 项， ，故选 A. ( ) ( )( ) 211 1 1 1 iiz ii i i ++= = =− − + z i= − ( ) 1z z i i⋅ = ⋅ − = 2 2 1,2 ,2 n n n a n n  − =    为奇函数 为偶函数 ( , )A m n (10,2)A 1 3 5 17 81+ + + + = (10,2)A 2 83 83 1 34442a −= =3 5.将函数 图象上所有的点向左平移 个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到 原来的 2 倍（纵坐标不变），则所得图象对应的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】先将函数 图象上所有的点向左平行移动 个单位长度得 再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） 得 故选 A 6.如图， 为圆 O 的直径， ，PA 垂直于圆 O 所在的平面，B 为圆周上不与点 A、C 重 合的点， 于 S， 于 N，则下列不正确的是（ ） A. 平面 ANS⊥平面 PBC B. 平面 ANS⊥平面 PAB C. 平面 PAB⊥平面 PBC D. 平面 ABC⊥平面 PAC 【答案】B 【解析】平面 平面 sin 2 3y x π = +   6 π cos 6y x π = +   2sin 4 3y x π = +   cosy x= sin 4y x= πsin 2 3y x = +   π 6 2sin[2( ) ] sin(2 )6 3 3y x x π π π= + + = + 2sin( ) sin( ) cos( )3 2 6 6y x x x π π π π= + = + + = + 2AC R= 45PCA∠ =  AS PC⊥ AN PB⊥ ANS ⊥ PC ANSPBC PC PBC ⊥⇐  ⊂ 平面 平面 PC AS PC AN AS AN A ⊥ ⇐ ⊥  ∩ = AN PBC PC PBC 平面 平面 ⊥⇐  ⊂4 ， ∴A 正确，C、D 显然正确. 故选 B. 7.设 F1，F2 为双曲线 的左、右焦点，点 为双曲线上一点，若 的重 心和内心的连线与 x 轴垂直，则双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】画出图形如图所示， 设 的重心和内心分别为 ，且圆 与 的三边 分别切于点 ，由切 线的性质可得 ． 不妨设点 在第一象限内， ∵ 是 的重心， 为 的中点， ∴ ， ∴ 点坐标为 ． 由双曲线的定义可得 ， 又 ， AN PB AN BC PB BC B ⊥ ⇐ ⊥  ∩ = BC PABPBC PAB AN PAB ⊥⇐ ⊥ ⇐  ⊂ 平面面 平面 平面 BC AB BC PA AB PA A ⊥ ⇐ ⊥  ∩ = PAC ABC PA ABC BC ABC ⊥⇐ ⇐  ⊂ 平面面 垂直于面 平面 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > ( )0 ,2P x a 21FPF∆ 6 2 5 2 6 5 21FPF∆ ,G I I 21FPF∆ 1 2 1 2, ,F F PF PF , ,M Q N 1 1 2 2| | | |,| | | |,| | | |PN PQ FQ F M F N F M= = = ( )0 ,2P x a G 21FPF∆ O 1 2F F 1| | | |3OG OF= G 0 2( , )3 3 x a 1 2 1 2 1 2| | | | 2 | | | | | | | |PF PF a FQ F N F M F M− = = − = − 1 2| | | | 2F M F M c+ =5 ∴ ， ∴ 为双曲线的右顶点． 又 是 的内心， ∴ ． 设点 的坐标为 ，则 ． 由题意得 轴， ∴ ，故 ， ∴点 坐标为 ． ∵点 在双曲线 上， ∴ ，整理得 ， ∴ ．[ 故选 A． 8.已知函数 ，若对任意 ，都有 成立，则实数 a 的取 值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】令 ， 则 ， 1 2| | ,| |F M c a F M c a= + = − M I 21FPF∆ 1 2IM F F⊥ I ( , )I Ix y Ix a= GI x⊥ 0 3 x a= 0 3x a= P ( )3 ,2a a P 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 2 2 2 2 2 2 9 4 49 1a a a a b b − = − = 2 2 1 2 b a = 2 2 1 61 1 2 2 c be a a = = + = + = 1( ) 2 x af x e axx x  = − + −   (0, )x∈ +∞ ( ) ( )f x xf x′≥ − 3, 2 e −∞ −   ( , 2 e−∞ −  3 ,2 e − +∞  )2 ,e− +∞ 2( ) ( ) (2 1) xg x xf x x e ax a= = − + − ( ) ( ) ( )g x f x xf x′ ′= +6 因为对任意 ，都有 成立， 所以 在 上恒成立； 即 在 上恒成立； 即 在 上恒成立； 令 ， ， 则 ， 由 得 ，解得 （舍）或 ， 所以，当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增； 所以 ， 因为 在 上恒成立， 所以只需 ，解得 . 故选 D 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全 部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分. 9．2010-2018 年之间，受益于基础设施建设对光纤产品的需求，以及个 人计算机及智能手机的下一代规格 升级，电动汽车及物联网等新机遇，连接器行业增长呈现加速状态．根据该折线图，下列结论正确的是（ ） (0, )x∈ +∞ ( ) ( )f x xf x′≥ − ( ) ( ) ( ) 0g x f x xf x′ ′= + ≥ (0, )x∈ +∞ ( ) (2 1) 2 0xg x x e ax′ = + + ≥ (0, )x∈ +∞ (2 1) 12 2 x xx ea ex x +  − ≤ = +   (0, )x∈ +∞ 1( ) 2 xh x ex  = +   (0, )x∈ +∞ 2 2 2 1 1 (2 1)( ) 2x x xx xh x e e ex x x + − ′ = − + + =   ( ) 0h x′ = 22 1 0x x+ − = 1x = − 1 2x = 10 2x< < 2 2 (2 1)( ) 0xx xh x ex + −′ = < 1( ) 2 xh x ex  = +   1 2x > 2 2 (2 1)( ) 0xx xh x ex + −′ = < 1( ) 2 xh x ex  = +   min 1( ) 42h x h e = =   (2 1) 12 2 x xx ea ex x +  − ≤ = +   (0, )x∈ +∞ 2 4a e− ≤ 2a e≥ −7 A.每年市场规模量逐年增加； B.增长最快的一年为 2013～2014； C.这 8 年的增长率约为 40％； D.2014 年至 2018 年每年的市场规模相对于 2010 年至 2014 年每年的市场规模，数据方差更小，变化比较平 稳 【答案】BCD 【解析】考查所给的结论： A.2011-2012 年的市场规模量有所下降，该说法错误； B.增长最快的一年为 2013～2014，该说法正确； C.这 8 年的增长率约为 40％，该说法正确； D.2014 年至 2018 年每年的市场规模相对于 2010 年至 2014 年每年的市场规模，数据方差更小，变化比较平 稳，该说法正确. 故选：BCD. 10.已知 M 是抛物线 上一点，F 为其焦点，C 为圆 的圆心，则 的 值可以是( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】BCD 【解析】设抛物线 的准线方程为 ， 为圆 的圆心，所以 的坐标为 ，过 作 的垂线，垂足为 ,根据抛物线的定义可知 ,所以问题求 的最小 值，就转化为求 的最小值，由平面几何的知识可知，当 在一条直线上时，此时 ， 有最小值，最小值为 ，故本题选 BCD. 63.5 45.3 45.3 − ≈ 2 4x y= 2 2( 1) ( 2) 1x y+ + − = MF MC+ 2 4x y= : 1l y = − C 2 2( 1) ( 2) 1x y+ + − = C )2,1(− M l E MF ME= MF MC+ MC ME+ , ,C M E CE l⊥ MC ME+ 2 ( 1) 3CE = − − =8 11.如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 F 是线段 BC1 上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 当点 F 移动至 BC1 中点时，直线 A1F 与平面 所成角最大且为 60° B. 无论点 F 在 BC1 上怎么移动，都有 C. 当点 F 移动至 BC1 中点时，才有 A1F 与 B1D 相交于一点，记为点 E，且 D. 无论点 F 在 BC1 上怎么移动，异面直线 A1F 与 CD 所成角都不可能是 30° 【答案】BCD 【解析】对于 ，当点 移动到 的中点时，直线 与平面 所成角由小到大再到小，如图 1 所 示； 且 为 的中点时最大角的余弦值为 ，最大角大于 ，所以 错误； 对于 ，在正方形中， 面 ，又 面 ，所以 ，因此 正确； 对于 ， 为 的中点时，也是 的中点，它们共面于平面 ，且必相交， 1BDC 1 1A F B D⊥ 1 2A E EF = A F 1BC 1A F 1BDC F 1B C 1 6 1 16 3 26 2 OF A F = = < 60° A B 1DB ⊥ 1 1A BC 1A F ⊂ 1 1A BC 1 1A F B D⊥ B C F 1BC 1B C 1 1A B CD9 设为 ，连 和 ，如图 2，根据△ △ ，可得 ，所以 正确； 对于 ，当点 从 运动到 时，异面直线 与 所成角由大到小再到大，且 为 的中点时最 小角的正切值为 ，最小角大于 ，所以 正确； 故选：BCD． 12.已知 是函数 的导函数，且 ， ，则下列说法正 确的是（ ） A. B.曲线 在 处的切线斜率最小； C.函数 在(-∞,+∞)存在极大值和极小值； D. 在区间(0,2)上至少有一个零点. 【答案】BCD 【解析】因为 ，所以 ，那么 ，即 ，又因为 ，所以 ， .A 中 不能从条件判断出来，比如 和 均符合题中函数，但是 可正可负.，所以 A 错误. 曲线 的曲线切线斜率最小即 的函数值最小，又由 知道二次函数 的开口朝上， 所以 在对称轴即 的值最小，所以 B 正确. 函数 在 是否存在极大值和极小值取决于 的正负性，而 是开口朝上的二次函数， 又因为 ，所以 存在 两个零点，并且在 上 ，在 E 1A D 1B F 1A DE∽ 1FB E 1 1 1 2A E DA EF B F = = C D F B 1C 1A F CD F 1B C 2 2 32 1 2 3 = > 30° D '( )f x cxbxaxxf ++= 23 2 1 3 1)( 1'(1) 2f a= − 3 2 2a c b> > ) 0(0f ' > ( )y f x= 2 bx a = − ( )f x '( )f x cxbxaxxf ++= 23 2 1 3 1)( 2'( )f x ax bx c= + + 1'(1) 2f a b c a= + + = − 3 2 2 0a b c+ + = 3 2 2a c b> > 0a > 0b < ( )0 0f ' c= > 2, 2, 1a b c= = − = − 2, 4, 1a b c= = − = c ( )y f x= '( )f x 0a > '( )f x '( )f x 2 bx a = − ( )f x ( , )−∞ +∞ '( )f x '( )f x 1'(1) 02f a= − < 2'( )f x ax bx c= + + 1 2,x x 1( , )x−∞ '( ) 0f x >10 上 ，在 上 .可知 在 取得极大值,在 取得极小值,所以 C 正确. ，而 ， ，所以 ，那么 之间 至少有一个数为正，而 因为 的图像是一条连续的曲线，所以若 ， 可得 在 在 至少有一个零点，若 ， 可得在 在 至少有一个零点，所以 在区间 上至少有一个零点. D 正确.所以此题 A 错误，BCD 正确. 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13．已知向量 ， ，若 ，则实数 m 的值为______. 【答案】 【解析】因为 ，所以 ，所以 ，将 和 代入，得出 ，所以 . 14.函数 在点 处的切线方程为 ，则 ______． 【答案】-1 【解析】 ,则 , 故当 时, , 又函数 在点 处的切线方程为 , 所以 , 故答案为: . 15.已知{an}是首项为 a，公差为 1 的等差数列， ，若对任意的 ，都有 成立，则实 数 a 的取值范围是____ 【答案】(-9,-8) 1 2( , )x x '( ) 0f x < 2( , )x +∞ '( ) 0f x > ( )f x 1xx = 2xx = 1'(1) 02f a= − < 0( )f ' c= '(2) 4 2 3 2 2 ( )f a b c a b c a c a c= + + = + + + − = − '(0) '(2) 0f f a+ = > '(0), '(2)f f '(1) 0f < '( )f x ) 0(0f ' > '(1) 0f < '( )f x (0,1) '(2) 0f > '(1) 0f < '( )f x (1,2) '( )f x )2,0( 1a = 1( , )2b m= ( ) ( )a b a b+ ⊥ −   2 3± ( ) ( )a b a b+ ⊥ −   ( ) ( ) 0a b a b+ ⋅ − =   22 0a b− = 1a = 2 2 21( )2b m= + 2 3 4m = 3 2m = ± ( ) ( )sin 2f x a x a R= + ∈ ( )( )0, 0f 2y x= − + a = ( ) ( )sin 2f x a x a R= + ∈ ( ) cosf x a x′ = 0x = (0)f a′ = ( )f x ( )( )0, 0f 2y x= − + 1a = − 1− 1 n n n ab a += *n∈N 10nb b≤11 【解析】由题得 ，则 ，对任意的 ，都有 成立，而 关于 的单调性为 时单调递减， 时单调递减，且 时 ， 时 .而 时， 最大，所以 ，且 ，故 . 16.已知正方体 的棱长为 ，其内有 2 个不同的小球，球 与三棱锥 的四 个面都相切，球 与三棱锥 的三个面和球 都相切，则球 的体积等于______，球 的表面 积等于______． 【答案】 (1). (2). 【解析】因为正方体 的棱长为 , 所以三棱锥 是边长为 的正四面体, 的高为 , 设底面 的中心为 ,连接 ,则 , , 则球 是三棱锥 的内切球,设其半径为 , 则有 所以 ,[来源:Z.Com] 所以球 的体积为 , 又球 与三棱锥 的三个面和球 都相切, 则设平面 平面 ,且球 和球 均与平面 相切于点 ,如下图所示, 1na n a= + − 1 1 11 n n n ab a n a += = ++ − *n∈N 10nb b≤ 1 1n a+ − n 1n a> − 1n a< − 1n a> − 1 01n a >+ − 1n a< − 1 01n a >+ − 10n = 1 1n a+ − 10 1 a> − 9 1 a< − 9 8a− < < − 1 1 1 1ABCD A B C D− 2 3 1O 1 1A CB D− 2O 1 1A CB D− 1O 1O 2O 4 3 π π 1 1 1 1ABCD A B C D− 2 3 1 1A CB D− 2 6 1 1CB D 3 2 1 1CB D O CO 2 3 2 2 23CO = × = 24 8 4AO = − = 1O 1 1A CB D− 1R 1 1 1 1 1 1 1 1 143 3A CB D CB D CB DV S AO S R− = × × = × × ×   1 1 14R AO= = 1O 4 3 π 2O 1 1A CB D− 1O //MNP 1 1CB D 1O 2O MNP E12 则球 是三棱锥 的内切球,设其半径为 , 故 , 因此在正四面体 中, , 所以球 的表面积为 , 故答案为: ; . 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分 10 分） 已知在△ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对应边，点 D 为边 BC 的中点，△A BC 的面积为 . （I）求 的值； （II）若 ， ，求 b. 【答案】（I） ；（II） 【解析】（I）由 的面积为 且 为 的中点可知： 的面积为 ， 由三角形的面积公式可知 ， 2O A MNP− 2R 12 2AE AO R= − = A MNP− 2 1 1 4 2R AE= = 2O π 4 3 π π 2 2sin AD B sin sinBAD BDA∠ ⋅ ∠ 2BD AB= 3AD = 1 2 13b = ABC∆ 2 2sin AD B D BC ABD∆ 2 4sin AD B 21 sin2 4sin ADAB BD B B ⋅ ⋅ =13 由正弦定理可得 ，所以 . （II）因为 ，所以在 中，由正弦定理可得 ， 所以 ，由（1）可知 ， 所以 ， ，∵ ，∴ ， 在直角 中， ， 所以 ， . ∵ ， ， 在 中用余弦定理，可得 18．（本小题满分 12 分） 已知等差数列{an}满足 . （1）求数列{an}的通项公式； （2）设 ，求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 【答案】（1） ；（2） 【解析】（1）（法一）由 ，令 ， 得到 ∵ 是等差数列，则 ，即 解得： 由于 ∵ ，∴ （法二）∵ 是等差数列，公差为 ，设 ∴ 2sin sin 1BAD BDA∠ ⋅ ∠ = 1sin sin 2BAD BDA∠ ⋅ ∠ = 2BD AB= ABD∆ sin sin BD AB BAD BDA =∠ ∠ sin 2sinBAD BDA∠ = ∠ 1sin sin 2BAD BDA∠ ⋅ ∠ = sin 1BAD∠ = 1sin 2BDA∠ = (0, )BAD π∠ ∈ 2BAD π∠ = ABD∆ 3AD = 1sin 2BDA∠ = 2BD = 1AB = 2BC BD= 4BC = ABC∆ 2 2 2 2 cosb a c ac B= + − 11 16 2 1 4 132 = + − × × × = 13b = 2( 1) 2 ,nn a n n k k R+ = + + ∈ 2 1 4 n n n nb a a + = 2 1na n= − 22 2 2 1 n n n + + ( ) 21 2nn a n n k+ = + + 1,2,3n = 1 2 3 3 10 21, ,2 3 4 k k ka a a + + += = = { }na 2 1 32a a a= + 20 2 3 21 3 2 4 k k k+ + += + 1k = − ( ) ( )( )21 2 1 2 1 1nn a n n n n+ = + − = − + 1 0n + ≠ 2 1na n= − { }na d ( ) ( )1 11na a d n dn a d= + − = + − ( ) ( )( ) 2 1 1 11 1nn a n dn a d dn a n a d+ = + + − = + + −14 ∴ 对于 均成立 则 ，解得 ， （2）由 19．（本小题满分 12 分） 如图，已知矩形 ABCD 中， ，点 E 是 CD 的中点，将 沿 BE 折起到 的位置， 使二面角 是直二面角． （1）证明： 平面 ； （2）求二面角 的余弦值． 【答案】（1）见证明；（2） 【解析】（1）∵ ，点 是 的中点， ∴ ， 都是等腰直角三角形， ∴ ，即 .. 又∵二面角 是直二面角，即平面 平面 ， 平面 平面 ， 平面 ， 2 2 1 1 2dn a n a d n n k+ + − = + + *n N∀ ∈ 1 1 2 1 d a a d k =  =  − = 1k = − 2 1na n= − ( )( ) 2 2 2 2 2 1 4 4 4 112 1 2 1 4 1 4 1n n n n n nb a a n n n n+ = = = = +− + − − ( )( ) 1 1 1 11 12 1 2 1 2 2 1 2 1n n n n  = + = − + − + − +  1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 12 3 3 5 5 7 2 1 2 1 2 2 1n nn n n    = − + − + − + + − + = − +   − + +    22 2 2 1 2 1 n n nnn n += + =+ + 2 2AB AD= = BEC∆ BEC′∆ C BE C′− − BC′ ⊥ AEC′ C AB E′− − 3 3 2 2AB AD= = E CD ADE∆ BCE∆ 90AEB = °∠ AE BE⊥ C BE C′− − C EB′ ⊥ ABE C EB′ ∩ ABE BE= AE ⊂ ABE15 ∴ 平面 ， 又∵ 平面 ， ∴ ， 又∵ ， 平面 ， ， ∴ 平面 . （ 2）如图，取 的中点 ，连接 ， ∵ ，∴ ， ∵平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ， 过 点作 ，交 于 ， ∵ ，∴ ， 以 ， ， 所在 直线为 轴、 轴、 轴，建立如图所示坐标系 ， 则 ， ， ， ， ∴ ， ， ， 设 为平面 的一个法向量，则 ，即 ，取 ，则 ，∴ ， 的 AE ⊥ C EB′ BC′ ⊂ C BE′ BC AE′ ⊥ BC EC′ ′⊥ EC′ ⊂ AEC′ AE EC E′∩ = BC′ ⊥ AEC′ BE O C O′ C B C E′ ′= C O BE′ ⊥ C EB′ ⊥ ABE C EB′ ∩ ABE BE= C O′ ⊂ C EB′ C O′ ⊥ ABE O OF AE AB F AE EB⊥ ⊥OF OB OF OB OC′ x y z O xyz− (0,0,0)O 22, ,02A  −    20, ,02B       20,0, 2C  ′    2 22, ,2 2C A  ′ = − −     2 20, ,2 2C B  ′ = −     20,0, 2OC  ′ =      ( , , )n x y z= ABC′ 0n C A n C B ′ ′  ⋅ =  ⋅   2 22 02 2 2 2 02 2 x y z y z  − − =  − = 1y z= = 1x = (1,1,1)n =16 又 平面 ，∴ 为平面 的一个法向量， 所以 ，即二面角 的余弦值为 . 20．（本小题满分 12 分） 已知直线 l 经过椭圆 的右焦点(1,0)，交椭圆 C 于点 A，B，点 F 为椭圆 C 的左焦 点， 的周长为 8. （Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程； （Ⅱ）若直线 m 与直线 l 的倾斜角互补， 且交椭圆 C 于点 M、N， ，求证：直线 m 与直线 l 的交点 P 在定直线上. 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）见证明 【解析】解：（Ⅰ）由已知，得 ， ， ， 椭圆 的标准方程 . （Ⅱ）若直线 的斜率不存在，则直线 的斜率也不存在，这与直线 与直线 相交于点 矛盾，所以直线 的斜率存在. 令 ， ， ， ， ， .[来 源:Z+xx+k.Com] 将直线 的方程代入椭圆方程得： ， ， ， 同理， . 由 得 ，此时， ， C O′ ⊥ ABE 20,0, 2m OC  = =       ABE 1 3cos , 3| | | | 3 m nm n m n ⋅< >= = = ⋅      C AB E′− − 3 3 ( )2 2 2 2: 1x yC a b ca b + = > > ABF∆ 2 4MN AB= 2 2 14 3 x y+ = 1 4 8 c a =  = 1 2 c a =∴ = 2 3b∴ = ∴ C 2 2 14 3 x y+ = l m m l P l ( )( ): 1 0l y k x k= − ≠ ( ):m y k x t= − + ( ),A AA x y ( ),B BB x y ( ),M MM x y ( ),N NN x y m ( ) ( )2 2 2 2 23 4 8 4 3 0k x k tx k t+ + + − = 2 2 8 3 4M N k tx x k ∴ + = − + ( )2 2 2 4 3 3 4M N k t x x k − = + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 22 16 12 3 9 1 3 4 k k t MN k k − + ∴ = + ⋅ + ( )22 2 2 2 12 14 9 91 3 4 3 4 kkAB k k k ++= + ⋅ =+ + 2 4MN AB= 0t = ( )( )4 2 2 2 264 16 3 4 3 0k t k k t∆ = − + − >17 直线 ， ，即点 的定直线 上. 21．（本小题满分 12 分） 某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量 y(g)与尺寸 x(mm)之间近似满足关系式 （b，c 为大于 0 的常数）．按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间 内时为优等 品．现随机抽取 6 件合格产品，测得数据如下： 尺寸 x(mm) 38 48 58 68 78 88 质量 y(g) 16.8 18.8 20.7 22.4 24 25.5 质量与尺寸的比 0.442 0.392 0.357 0.329 0.308 0.290 （Ⅰ）现从抽取的 6 件合格产品中再任选 3 件，记 为取到优等品的件数，试求随机变量 的分布列和期 望； （Ⅱ）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表： 75.3 24.6 18.3[来源:学。科。网 Z。X。X。K] 101.4 （ⅰ）根据所给统计量，求 y 关于 x 的回归方程； （ⅱ）已知优等品的收益 z（单位：千元）与 x，y 的关系为 ，则当优等品的尺寸 x 为何值时， 收益 z 的预报值最大？（精确到 0.1） 附：对于样本 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ， ， . ∴ :m y kx= − 1 1,2 2P k ∴ −   P 1 2x = by c x= ⋅ ,9 7 e e     y x ξ ξ 6 1 (ln ln )i i i x y = ⋅∑ 6 1 (ln )i i x = ∑ 6 1 (ln )i i y = ∑ 6 2 1 (ln )i i y = ∑ 2 0.32z y x= − ( , )i iv u ( 1,2, , )i n=  u b v a= ⋅ + 1 1 22 2 1 1 ( )( ) ( ) n n i i i i i i n n i i i i v v u u v u nvu b v v v nv ∧ = = = = − − − = = − − ∑ ∑ ∑ ∑ a u bv ∧ ∧= − 2.7182e ≈18 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ） ，x=72.3 【解析】（Ⅰ）解：由已知，优等品的质量与尺寸的比在区间 内，即 则随机抽取的 6 件合格产品中，有 3 件为优等品，3 件为非优等品 现从抽取的 6 件合格产品中再任选 3 件，则取到优等品的件数 ， ， ， 的分布列为 （Ⅱ）解：对 （ ）两边取自然对数得 ， 令 ，得 ，且 ， （ⅰ）根据所给统计量及最小二乘估计公式有， - ，得 ，故 所求 y 关于 x 的回归方程为 （ⅱ）由（ⅰ）可知， ，则 由优等品质量与尺寸的比 ，即 1 2y ex= ,9 7 e e     ( )0.302,0.388y x ∈ 0,1,2,3ξ = ( ) 0 3 3 3 3 6 10 20 C CP C ξ = = = ( ) 1 2 3 3 3 6 91 20 C CP C ξ = = = ( ) 2 1 3 3 3 6 92 20 C CP C ξ = = = ( ) 3 0 3 3 3 6 13 20 C CP C ξ = = = ξ ( ) 1 9 9 1 30 1 2 320 20 20 20 2E ξ∴ = × + × + × + × = by c x= ⋅ , 0b c > ln ln lny c b x= + ln , lni i i iv x u y= = u b v a= ⋅ + lna c= 1 22 2 1 75.3 24.6 18.3 6 0.27 1 101.4 24.6 6 0.54 2 n i ii n ii v u nvu b v nv ∧ = = − − × ÷= = = =− ÷− ∑ ∑ 118.3 24.6 6 12a u bv ∧ ∧  = − = − × ÷ =   ln 1ˆ ˆa c= = ˆc e= 1 2y ex= 1 2ˆy e x= ⋅ .ˆ 2 0 32z e x x= − ( ) 1 2 , 7,97 ˆ 9 y ex e e e xx x x  = = ∈ ⇒ ∈   ( )49,81x∈19 令 ， 当 时， 取最大值 - 即优等品的尺寸 （mm），收益 的预报值最大. 22．（本小题满分 12 分） 已知函数 . （1）讨论 的单调性； （2）若 有两个极值点 ，当 时，求 的最大值. 【答案】（1）当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 ， 上单调递增；在 上单调递减； （2） 【解析】（1）由 得 ； 因为 ，所以 ； 因此，当 时， 在 上恒成立，所以 在 上单调递增； 当 时，由 得 ，解得 或 ；由 得 ； 所以 在 ， 上单调递增；在 上单调 递减； 综上，当 时， 在 上单调递增； ( )7,9t x= ∈ ( ) 2 2 20.32 2 0.32 0.32 ˆ 0.32 e ez t t et t = − + = − − +   ( )8.5 7,90.32 et x= = ≈ ∈ ˆz 72.3x ≈ ˆz 2( ) 2ln ( )f x x ax x a R= − + ∈ ( )f x ( )f x ( )1 2 1 2,x x x x< 22a e e ≥ + ( ) ( )2 1f x f x− 4a ≤ ( )f x (0, )+∞ 4a > ( )f x 2 160, 4 a a − −    2 16 ,4 a a + − +∞    2 216 16,4 4 a a a a − − + −    1 2ee − + 2( ) 2lnf x x ax x= − + 2( ) 2f x x a x ′ = − + 0x > 22 4x x + ≥ 4a ≤ 2( ) 2 0f x x a x ′ = − + ≥ (0, )+∞ ( )f x (0, )+∞ 4a > 2( ) 2 0f x x a x ′ = − + > 22 2 0x ax− + > 2 16 4 a ax + −> 2 160 4 a ax − −< < 2( ) 2 0f x x a x ′ = − + < 2 216 16 4 4 a a a ax − − + −< < ( )f x 2 160, 4 a a − −    2 16 ,4 a a + − +∞    2 216 16,4 4 a a a a − − + −    4a ≤ ( )f x (0, )+∞20 当 时， 在 ， 上单调递增；在 上单调递减； （2）若 有两个极值点 ， 由（1）可得， 是方程 的两不等实根， 所以 ， ， 因此 ， 令 ，则 ； 由（1）可知 ， 当 时， ， 所以 ， 令 ， ， 则 在 上恒成立； 所以 在 上单调递减， 故 . 即 的最大值为 . 4a > ( )f x 2 160, 4 a a − −    2 16 ,4 a a + − +∞    2 216 16,4 4 a a a a − − + −    ( )f x ( )1 2 1 2,x x x x< 1 2,x x 22 2 0x ax− + = 1 2 2 ax x+ = 1 2 1x x = ( ) ( ) 2 2 2 1 2 2 2 1 1 1( 2ln ) ( 2ln )f x f x x ax x x ax x− = − + − − + 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 21 1 2 12( )( ) 2ln 2ln 2lnx xx x x x x x x x x xx xx − + + = − + = − += + − 2 2t x= 2 2 22 22 2 1 1 1( ) ( ) 2ln 2lnf x f x t tx xx t − = − + = − + 2 2 16 4 a ax + −= 22a e e ≥ + 2 2 2 42 4 4 616 4 8 1e x eea a e e + + + + −+ −= ≥ = [ )2 2 ,et x ∈= +∞ 1( ) 2lng t t tt = − + [ ),t e∈ +∞ 2 2 2 2 2 1 2 2 1 ( 1)( ) 1 0t t tg t t t t t − + −′ = − − + = − = − < [ ),t e∈ +∞ 1( ) 2lng t t tt = − + [ ),t e∈ +∞ max 1( ) ( ) 2g t g e ee = = − + ( ) ( )2 1f x f x− 1 2ee − +