铁人中学2017级高三学年上学期考前模拟训练数学（文科）试题答案.pdf

- 1 - 大庆铁人中学 2017 级高三学年考前模拟训练 数学试题（文）参考答案 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D D C B D D D B B C B D 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在答题卡相应的位置上） 13．【答案】 2 （ 2 分）； 2 （ 3 分）； 14.【答案】6 ； 15.【答案】 10 10 ； 16．【答案】 3 25 . 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.【答案】（1）因为数列 }{ na 中，任意相邻两项为坐标的点 P ),( 1+nn aa 均在直线 kxy += 2 上， 所以 kaa nn +=+ 21 ，所以 kaakaaab nnnnnn +=−+=−= + 21 . 所以 nnnnn bkakkakab 2)(2211 =+=++=+= ++ ，所以 21 =+ n n b b ， 因为 21 =b ，所以数列 }{ nb 是以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列. 所以数列 }{ nb 的通项公式为 n nb 2= )(  Nn ； （2）由于 n nn bbc 1log2= n n 2 1log2 2= nn 2−= ， 231 2 2 2 3 2 2n nSn− =  +  +  + +  ，① ( )2 3 4 12 1 2 2 2 3 2 1 2 2nn nS n n +− =  +  +  + + −  +  ，② ① −②得 ( ) ( )2 3 1 1 12 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 212 n n n n n nS n n n+ + +− = + + + + −  = −  = − −  −− . 18．【解析】(1)由已知可得，该公司员工中使用微信的有 200 90% 180=人， 经常使用微信的有180 60 120−= 人，其中青年人有 2120 803= 人，使用微信的人中青年人有 180 75% 135=人． 所以 22 列联表为： 青年人 中年人 合计 经常使用微信 80 40 120 不经常使用微信 55 5 60 合计 135 45 180 (2)将列联表中数据代入公式可得： ( )2 2 180 80 5 55 40k 13.333120 60 135 45  − =   ，由于13.333 10.828 ， 所以有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”． (3)从“经常使用微信”的人中抽取6人，其中，青年人有 80 64120 =人， 中年人有 40 62120 =，记 4 名青年人的编号分别为1，2 ，3 ， ，记 名中年人的编号分别为 ， ，则从这 人中任选 人的基本事件有( )1,2 ，( )1,3 ，( )1,4 ，( )1,5 ，( )1,6 ，( )2,3 ，( )2,4 ， ( )2,5 ，( )2,6 ，( )3,4 ，( )3,5 ，( )3,6 ，( )4,5 ，( )4,6 ，( )5,6 ，共15 个，其中选出的 人均是 青年人的基本事件有 ， ， ， ， ， ，共 个，故所求事件的概率 为 62P 15 5==． - 2 - 19． 【解析】（1）证明：在等腰梯形 ABCD中， 连接 BD ，交 AE 于点O , / / ,AB CE AB CE= , 四边形 ABCE 为平行四边形, AE BC AD DE = = = , ADE 为等边三角形, 在等腰梯形 中， 3C ADE  =  = , BD BC⊥ , BD AE⊥, 翻折后可得： ,OP AE OB AE⊥⊥. 又 OP 平面 POB ，OB  平面 ， OP OB O= , AE⊥平面 . PB 平面 , AE PB⊥. （2）当四棱锥 P ABCE− 的体积最大时， 平面 PAE ⊥平面 , 又 平面 PAE 平面 ABCE AE= ， PO  平面 PAE , PO AE⊥ , OP⊥平面 , 3 2OP OB== , 6 2PB= . 1AP AB==, 311 12cos 24PAB +−   = = , 15sin 4PAB  = . 1 15sin28PABS PA AB PAB =   = , 又 1 1 3 3 1 3 3 2 4 8P ABC ABCV OP S− =  =   = , 设点C 到平面 PAB 的距离为 d , 3 3 158 515 8 C PAB PAB Vd S − = = = . 20．【解析】（1）∵ A ( ,0)a− ,设直线方程为 2( )y x a=+, 11( , )B x y , 令 0x = ,则 2ya= ,∴ (0,2 )Ca, ∴ 1 1 1 1( , ), ( ,2 )AB x a y BC x a y= + = − − ∵ 6 13AB BC= ，∴ 1xa+ = 1 1 1 66( ), (2 )13 13x y a y− = − ,整理得 11 13 12,19 19x a y a= − = , ∵ B 点在椭圆上,∴ 2 22 2 13 12( ) ( ) 119 19 a b+  = ,∴ 2 2 3 ,4 b a ∴ 22 2 3 ,4 ac a − = 即 2 31 4e−=,∴ 1 2e = . （2）∵ 可设 223 . 4b t a t==,∴椭圆的方程为 223 4 12 0x y t+ − = , 由 223 4 12 0x y t y kx m  + − =  =+ 得 2 2 2(3 4 ) 8 4 12 0k x kmx m t+ + + − = ,∵动直线 y kx m=+与椭圆有且 只有一个公共点 P,∴ 0= ,即 2 2 2 264 4(3 4 )(4 12 ) 0k m m m t− + − = ,整理得 2234m t k t=+ , 设 P 11( , )xy则有 1 22 84 2(3 4 ) 3 4 km kmx kk= − = −++, 11 2 3 34 my kx m k= + = + , ∴ 22 43( , )3 4 3 4 km mP kk− ++ ,又 (1,0)M ,Q (4,4 )km+ ,若 x 轴上存在一定点 ， 使得 PM QM⊥ , ∴ 22 43(1 , ) ( 3, (4 )) 03 4 3 4 km m kmkk+ −  − − + =++ 恒成立,整理得 2234km+=, ∴ 223 4 3 4k t k t+ = + 恒成立,故 1t = ,所求椭圆方程为 22 143 xy+=. 21．【详解】证明:（1） ( )fx的定义域为(),,− + ( ) ( )' 1 1 1x x xf x e e x xe= + − − = − ， 当 0x  时, ( ) 10xf x xe = −  ； 当 0x  时, ( )"1( )0xf x x e= +  ,即 ( )'fx在(0, )+ 上是增函数， 又 ( ) ( )' 0 1 0, ' 1 1 0f f e= −  = −  ，所以存在 ( )0 0,1x  ,使得 ( )0' 0,fx= 并且当 00 xx 时 ( )'0fx ,当 0xx 时, ( ) 0fx  ， - 3 - 所以当 0( , )xx − 时, ( ) ( )' 0,f x f x 是减函数， 当 0,( )xx +  时, ( ) ( )' 0,f x f x 是增函数， 即 0x 是 ( )fx唯一的极值点,且是极小值点。 （2）由（1）得： 在 上是减函数，其中 ( )0 0,1x  ， 又 ( ) ( )2 2 32 3 1 1 0, 0 2 0,f e fe −− = − + = −  = −  所以 在 0( , )x− 只有一个零点，且这个零点在区间( 2,0)− 上， 在 上是增函数， 又 ( ) 22 3 0fe= −  ， ( )0 (0) 0f x f， 所以 在 0( , )x + 只有一个零点，且这个零点在区间 0( ,2)x 上， 所以 仅有两个零点,分别记作 ( )1 2 1 2, 0 .x x x x 由于 ( ) 0fx= ， 所以 ( ) ( ) 1 1 1 11 1 0xf x x e x= − − − = ，即 1 1 1 1 1 x xe x += − ，故 1 1 1 1 1 x xe x − −= + . ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 01 x xf x x e x x xx − −− = − − + − = − − + − =+ 即 1x− 也是 的零点，即 12xx−=，所以 120xx+=,即 的两根互为相反数. 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第 一个题目计分． 22．【解析】(1)由  cos2sin2 −= ，可得  cos2sin22 −= ， 所以曲线C 的直角坐标方程为 xyyx 2222 −=+ ， 2 分 标准方程为 2)1()1( 22 =−++ yx ， 3 分 曲线 的极坐标方程化为参数方程为    += +−=   sin21 cos21 y x ( 为参数)， 4 分 (2)当 4  = 时，直线 l 的方程为       = +−= ty tx 2 2 2 22 ( t 为参数)， 化成普通方程为 2+= xy ， 6 分 由    += =−++ 2 2)1()1( 22 xy yx 解得    = = 2 0 y x 或    = −= 0 2 y x ， 8 分 ∴直线 与曲线 交点的极坐标分别为 )22,2(  k+ ， )2,2(  k+ （ Zk  ）. （两个交点的极坐标分别写出其中一组解即可得分，如 )2,2(  ， ,2( ）） 10 分 23．【解析】 (1)证明：记    − −−− − =+−−= 1,3 12,12 2,3 |2||1|)( x xx x xxxh ， 2 分 由 0122 −−− x ，解得： 2 1 2 1 − x ，则 }2 1 2 1|{ −= xxM ， 3 分 ∴ 4 1 2 1 6 1 2 1 3 1||6 1||3 1|6 1 3 1| =+++ baba ； 4 分 (2)解： 2)3(log)( 2 2 −− aaxf 等价于 2)3(log|32||12| 2 2 +−−++ aaxx ， 6 分 4|3212||32||12| =+−+−++ xxxx ， 于是 2)3(log4 2 2 +− aa ，即    − − 43 03 2 2 aa aa ， 8 分 ∴ 01 − a 或 43  a . 10 分