大庆铁人中学2017级高三学年考前模拟训练答案.pdf

大庆铁人中学 2017 级高三学年考前模拟训练 理科数学试题答案 一．选择题：AABB ADCA DCDD 二．填空题： 22； 2835 ； 10； e 的负 e 分之一次方 三．解答题： 17．（1）若选①，∵ ( cos ,sin ), (cos ,sin )2 2 2 2 A A A Amn   ，且 1 2mn   221cos sin ,........32 2 2 1cos .........52 0, ..........623 AA A AA         分 分 分 （2） 24, 4sin 4sin 2 3sin 3ABC a l B BA       .........8 分 4 3sin 2 36ABClB    .............10 分 = 3 6 2ABC A B     锐角 且 ， ............11 分 2, 6 2 3,6 36 3 3 ABCBl          .............12 分 （1）②∵cos A(2b-c)＝acos C 2 cos cos cos 2 cos ...........3 1cos ........52 b A a C c A b A b A       分 分 0, 23AA   . .........6 分 （2） .........8 分 ........10 分 .........11 分 . .........12 分 （1）③ 1 3 1( ) cos ( cos sin )2 2 4f x x x x   ＝ 1 2cos2x＋ 3 2 cos xsin x－ 1 4 ＝ 1 2× 1＋cos 2x 2 ＋ 3 2 × sin 2x 2 － 1 4 1 1 3 1= ( cos2 sin 2 )= sin(2 )2 2 2 2 6x x x  ........3 分   11sin 24 6 2f A A     .........5 分 0, 23AA   . .........6 分 （2） .........8 分 ........10 分 .........11 分 . ........12 分 18.（本小题满分 12 分） 解析：（Ⅰ）如图 1，取线段 1BC 的中点 F ，连接 EF 、 DF . 因为 E 为 11BC 的中点，所以 EF // 1BB ，且 1 1 2EF BB . 又 D 为 1AA的中点，所以 1AD// ，且 11 1 2A D BB ，所以 // ， 且 = ， 所以四边形 1A DFE 是平行四边形，所以 1AE//DF . 又 DF  平面 1BC D ， 1AE 平面 ，所以 //平面 . …………6 分 （Ⅱ）作 1AO AC 于点O ，因为 1 60A AC°，所以 1 30AAO°，所以 1 11 22AO A A AC，即O 为 AC 的中点. 因为 1 90ACB C CB    °，所以 BC  平面 11A ACC ，所以 1BC AO ，所以 1AO 平面 ABC .故可以点 为原点，射线OA、 1OA 分别为 x 轴和 z 轴的正半轴，以平行于 BC 的直线为 y 轴，建立空间直角坐标系，如图 2. 令 1 2AA AC BC a   ，则 ( 0 0)Aa，， ， ( 2 0)B a a ， ， ， 1(0 0 3 )Aa，， ， 1( 2 0 3 )C a a ，， ， 13022D a a  ，， ，所以        aaaBD 2 3,2,2 3 ，        aaDC 2 3,0,2 5 1 . 设平面 一个法向量为 ),,( zyxm  ，则 33( ) 2 022 53( ) 0 022 x y z a a a x y z a a            ， ， ， ， ， ， ，， ， 得 332022 53022 x y z xz       ， .取 3x  ， 23y  ， 5z  ，所以 )5,32,3(m . 又平面 ABC 的一个法向量为 )3,0,0(1 aOA  ，设平面 与平面 所成锐二面 角为 ，则 .4 10 340 35cos 1 1    a a OAm OAm 所以平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 10 4 ． …………12 分 19.【解析】（1）令 ，则 可转化为 ， 因为 ， …………………………………1 分 1u x byax y a bu 306 516y 所以 ，…………2 分 则 ，…………………………3 分 所以 ，因此 y 关于 的回归方程为 ； ……………… …………………4 分 与 u 的相关系数为： ，……6 分 （2）法一：（i）若产品单价为 80 元，记企业利润为 （元）， 订单为 9 千件时，每件产品的成本为 元， 企业的利润为 （元），………7 分 订单为 10 千件时，每件产品的成本为 元， 企业的利润为 （元），…………………8 分 企业利润 （元）的分布列为 260000 300000 0.7 0.3 所以 （元）；…………9 分 （ii）若产品单价为 70 元，记企业利润为 （元）， 订单为 10 千件时，每件产品的成本为 元， 企业的利润为 （元）， 订单为 11 千件时，每件产品的成本为 元， 企业的利润为 （元），………………10 分 企业利润 （元）的分布列为 200000 230000 0.3 0.7 所以 （元），……………11 分 故企业要想获得更高利润，产品单价应选择 80 元. ……12 分 法二：（i）若产品单价为 80 元，记企业的产量为 （千件），其分布列为 9 10 0.7 0.3 所以 ………………………………8 分 企业的利润为： ………………9 分 （ii）若产品单价为 70 元，记企业的产量为 （千件），其分布列为 6 1 6 22 1 6 173.8 6 0.41 51 1001.492 6 48.34ˆ 0.4830.168 416 ii i i i u y uy b uu            51ˆˆ 100 0.41 10a y bu      10 100ˆyu x 10010ˆy x y 6 1 2 66 2 2 2 2 11 48.34 48.346 0.96 0.4834 5252.44 50 39 6 . 6 ii i ii ii u y uy r u u y y                 X 100 10010 30 4099    10080 40 9000 2600009   [ ( )] 10 10010 30 50   80 50 10000 300000  () P 260000 0.7 300000 0.3 272000EX      Y 10 10010 30 50   70 50 10000 200000  () 100 10010 30 4011 11    10070 40 11000 23000011   [ ( )] 200000 0.3 230000 0.7 221000EY      >EX EY又 9 0.7 10 0.3 9.3EX      10080 40 9300 27200093[ ( )].    所以 …………………………10 分 企业的利润为： ……………………11 分 故企业要想获得更高利润，产品单价应选择 80 元. 20. 解：(1)因为 BF1⊥x 轴，所以点 B －c，－b2 a ， 所以  a＝2， b2 a（a＋c）＝1 2， a2＝b2＋c2 ⇒   a＝2， b＝ 3， c＝1 所以椭圆 C 的标准方程是x2 4 ＋y2 3＝1. (2)因为S△PAM S△PBN ＝ 1 2|PA|·|PM|·sin ∠APM 1 2|PB|·|PN|·sin ∠BPN ＝2·|PM| 1·|PN|＝λ⇒|PM| |PN|＝λ 2 (λ＞2)， 所以PM→ ＝－λ 2 PN→. 由(1)可知 P(0，－1)，设直线 MN：y＝kx－1 k＞1 2 ，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 联立方程，得  y＝kx－1， x2 4＋y2 3 ＝1，化简得，(4k2＋3)x2－8kx－8＝0. 得   x1＋x2＝ 8k 4k2＋3， x1·x2＝ －8 4k2＋3. (*) 又PM→ ＝(x1，y1＋1)，PN→＝(x2，y2＋1)，有 x1＝－λ 2 x2， 将 x1＝－λ 2 x2代入(*)可得，（2－λ）2 λ ＝ 16k2 4k2＋3. 因为 k＞1 2，所以 16k2 4k2＋3＝ 16 3 k2＋4 ∈(1，4)， 则 1＜（2－λ）2 λ ＜4 且 λ＞2⇒4＜λ＜4＋2 3. 综上所述，实数 λ 的取值范围为(4，4＋2 3)． 21.解：（1）当 0a  时， ( ) ln( 1)xf x e x   ， (0) 1f ……………………2 分 1'( ) 1 xf x e x ， 0'(0) 1 2k f e     ()fx 在(0 (0))f， 处的切线方程为 21yx ……………………4 分 （2） 当 [0, ]x  时， ( ) ln( 1) sin 1xf x e x a x     成立 当 0a  时，  0, sin 0 ( ) ln( 1) sin ln( 1) 1xxx x f x e x a x e x            ( ) 1fx …………………6 分 当 0a  时， 1'( ) cos1 xf x e a xx   ，令 1( ) cos1 xg x e a xx   ， 则 2 1'( ) sin( 1) xg x e a xx   ， 2 11, 1, sin 0( 1) xe a xx    '( ) 0 ( )g x g x   在[0, ] 上单调递增，即 ()fx 在 上单调递增， 又 '(0) 2fa ………8 分 ①当 2a  时， '(0) 2 0fa   ， ( ) 0fx'( )fx在 上单调递增， 10 0.3 11 0.7 10.7EY      10070 40 10700 22100010 7[ ( )].    272000>221000又 10 11 0.3 0.7 X P则 '( )fx '(0) 2 0fa   ，∴ ()fx在 [0, ]x  上单调递增；又 (0) 1f  ()fx(0) 1f  恒成立 ……………10 分 ②当 2a  时， (0) 2 0ga   ， ( ) 0g   (0) ( ) 0gg   (0) ( ) 0ff   '( )fx在[0, ] 上单调递增，存在唯一的零点 0 (0, )x  ，使得 '( ) 0fx ， 当 0(0, )xx 时， '( ) 0fx ∴ 在 0[0, ]xx 上单调递减， 0()fx  ∴ 时， ()fx 1不恒成立 ∴当 时， 恒成立，则 2a  ……………12 分 22. 【解】（1） 1C 的极坐标方程即 2 2 cos   ，则其直角坐标方程为 222x y x， 整理可得直角坐标方程为 2 211xy   ， 2C 的极坐标方程化为直角坐标方程可得其直角坐标方程为 3x  . （2）设曲线 与 x 轴异于原点的交点为 A ， ∵ PQ OP ，∴ PQ 过点  2,0A ， 设直线 的参数方程为 2x tcos y tsin      （t 为参数）， 代入 可得 2 20t tcos，解得 1 0t  或 2 2t cos ， 可知 2 2AP t cos ， 代入 可得23tcos，解得 1't cos ， 可知 1'AQ t cos ， 所以 12 2 2PQ AP AQ cos cos      ， 当且仅当 12cos cos  时取等号，所以线段 长度的最小值为22. 23．【解】(1)由   2 1 0 1 0 1 2 1 1 xx f x x xx         得   1minfx  ，要使   1f x m恒成立，只要11m， 即02x，实数m 的最大值为2 ； (2)由(1)知 222ab，又 222a b ab 故 1ab  ，  2 2 2 2 2 2 24 2 4a b a b a b ab a b        222 2 4 2 1 2 1ab a b ab ab       ， 01ab，     2 224 2 1 2 1 0a b a b ab ab        2a b ab   .