河南省南阳市六校2019-2020高二数学（文）下学期第二次联考试题（Word版附答案）

2020 年南阳春期六校第二次联考 高二年级数学试题（文科） 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分 150 分，考试时间 120 分钟. 2.答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标 号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写 的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：北师大版选修 1-1（30%），选修 1-2（40%），选修 4-4（30%）. 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1.命题“ ， ”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2.已知 ， 为虚数单位，复数 满足 ，且 ，则 （ ） A.3 B.3 或 1 C. D. 3.圆 的圆心的直角坐标为（ ） A. B. C. D. 4.已知椭圆 上一点 到其一个焦点的距离为 3，则点 到其另一个焦点的距离等于（ ） A.2 B.3 C.1 D. 5.用反证法证明命题“已知 ， ， ，则 ， 中至多有一个不小于 0”时，假设正 确的是（ ） A.假设 ， 都不大于 0 B.假设 ， 至多有一个大于 0 C.假设 ， 都小于 0 D.假设 ， 都不小于 0 1x∀ > 2 0x x− > 0 1x∃ > 2 0 0 0x x− ≤ 1x∀ > 2 0x x− ≤ 0 1x∃ ≤ 2 0 0 0x x− > 1x∀ ≤ 2 0x x− > a∈R i z 4zi a i= + 5z = a = 3− 3± 8sinρ θ= ( )0, 4− ( )0,4 ( )4,0 ( )4,0− 2 2 14 3 x y+ = ( ),P x y P 10 x∈R 2 1a x= + 2 2b x= + a b a b a b a b a b6.将参数方程 （ 为参数）化为普通方程为（ ） A. B. C. （ ） D. （ ） 7.观察下列各式： ， ， ， ，…，则下列各数的末四位数字为 8125 的是（ ） A. B. C. D. 8.已知表中数据 与 有较好的线性关系，通过计算得到 关于 的线性回归方程为 ，则相 应于下列各点的残差中绝对值最小的是（ ） 2 4 6 8 10 4 6 9 10 12.5 A. B. C. D. 9.甲、乙、丙三个学生中有一人申请了去新疆支教，当他们被问到谁申请了去新疆支教时，乙说：甲没有申 请；丙说：乙申请了；甲说：乙说对了.如果这三人中有两人说的是真话，一人说了假话，那么申请去新疆 支教的学生是（ ） A.甲 B.乙 C.丙 D.不确定 10.直线 经过 且与双曲线 交于 ， 两点，如果点 是线段 的中点，那么直线 的方程为（ ） A. B. C. D.不存在 11.在极坐标系中，已知圆 经过点 ，圆心为直线 与极轴的交点，则圆 的极坐标方程为（ ） A. B. C. D. 12.直线 与双曲线 （ ， ）的左支、右支分别交于 ， 两点， 为右焦点， 若 ，则该双曲线的离心率为（ ） 2 2 1 cos , cos x y θ θ = − =   θ 1 0x y+ − = 1 0x y− + = 1 0x y+ − = 0 1x≤ ≤ 1 0x y− + = 0 1y≤ ≤ 55 3125= 65 15625= 75 78125= 85 390625= 20165 20175 20185 20195 y x y x 1.05y x a= + x y ( )2,4 ( )10,12.5 ( )8,10 ( )4,6 l ( )4,2P 2 2 12 x y− = M N P MN l 2 0x y− − = 6 0x y+ − = 2 3 2 0x y− − = C 2 3, 6P π     sin 24 πρ θ + =   C 4cosρ θ= 4sinρ θ= 2cosρ θ= 2sinρ θ= 2 by xa = 2 2 2 2 1x y a b − = 0a > 0b > A B F AB BF⊥A. B. C. D.2 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.下面是复数的知识结构图，则空白框内应填写的是______. 14.设 ，其中 ， 是实数，则 ______. 15.如图，函数 的图象在点 处的切线方程为 ，则 ______. 16.在直角坐标系 中，以 为极点， 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 的方程为 （ ）， .直线 与曲线 相交 于 ， 两点，当 的面积最大时， ______. 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分 10 分） 2016 年 1 月 1 日，我国全面实行二孩政策，某机构进行了街头调查，在所有参与调查的青年男女中，持“响 应”“犹豫”和“不响应”态度的人数如下表所示： 响应 犹豫 不响应 男性青年 500 300 200 女性青年 300 200 300 根据已知条件完成下面的 列联表，并判断能否有 97.5%的把握认为犹豫与否与性别有关？请说明理由. 10 3 3 2 ( )( )2 1 1x xi i yi+ − = + x y 3 6x yi+ = ( )y f x= P 2 2 0x y− + = ( ) ( )2 2f f ′+ = xOy O x l 1 cos , sin x t y t α α = − + =    t C 4cosρ θ= 0 2 πθ≤ ≤ ( )2,0C l C A B ABC△ tanα = 2 2×犹豫 不犹豫 总计 男性青年 女性青年 总计 1800 参考公式： ， . 参考数据： （ ） 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 2.072 2.076 3.841 5.024 6.635 18.（本小题满分 12 分） “双十一网购狂欢节”源于淘宝商城（天猫）2009 年 11 月 11 日举办的促销活动，当时参与的商家数量和 促销力度均有限，但营业额远超预想的效果，于是 11 月 11 日成为天猫举办大规模促销活动的固定日期.如 今，中国的“双十一”已经从一个节日变成了全民狂欢的“电商购物日”.某淘宝电商分析近 8 年“双十一” 期间的宣传费用 （单位：万元）和利润 （单位：十万元）之间的关系，得到下列数据： 2 3 4 5 6 8 9 1 1 1 2 3 3 4 5 6 8 （1）请用相关系数 说明 与 之间是否存在线性相关关系（当 时，说明 与 之间具有线性相 关关系）； （2）根据（1）的判断结果，建立 与 之间的回归方程，并预测当 时，对应的利润 为多少（ ， ， 精确到 0.1）. 附参考公式：回归方程中 中 和 最小二乘估计分别为 ， ，相关系数 参考数据： ( ) ( )( )( )( ) 2 2 n ad bc a b c d a c b d χ −= + + + + n a b c d= + + + P 2 0xχ ≥ 0x x y x y r y x 0.81r > y x y x 24x = y b a y y bx a= + b a 1 2 2 1 n i i i n i i x y nxy b x nx = = − = − ∑ ∑ a y bx= − ( ) ( ) 1 2 2 1 1 n i i i n n i i i i x y nxy r x x y y = = = − = − − ∑ ∑ ∑， ， ， . 19.（本小题满分 12 分） 在直角坐标系 中，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 的极坐标方程为 . （1）求圆 的参数方程； （2）设 为圆 上一动点， ，若点 到直线 的距离为 ，求 的大 小. 20.（本小题满分 12 分） 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.以直角坐标系的原点为极点，以 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 的极坐标方程为 . （1）求曲线 的普通方程； （2）若 与曲线 相切，且 与坐标轴交于 ， 两点，求以 为直径的圆的极坐标方程. 21.（本小题满分 12 分） 在直角坐标系 中，曲线 ： 与直线 交与 ， 两点. （1）当 时，求弦长 ； （2） 轴上是否存在点 ，使得当 变动时，总有 ？说明理由. 22.（本小题满分 12 分） 已知函数 ， . （1）当 时，求 的最值； （2）若函数 存在两个极值点 ， ，求 的取值范围. 2020 年南阳春期六校第二次联考·高二年级数学试题（文科） 参考答案、提示及评分细则 1.A 全称命题的否定是特称命题. 8 1 241i i i x y = =∑ 8 2 1 356i i x = =∑ ( )8 2 1 8.25i i x x = − ≈∑ ( )8 2 1 6i i y y = − =∑ xOy x C 3cosρ θ= C P C ( )5,0A P sin 33 πρ θ − =   7 3 4 ACP∠ xOy C 22 1, 2 1 x t y t = − = −    t x l ( )2sin cos mρ θ θ− = C l C l A B AB xOy C 2 4 xy = 2y kx= + M N 1k = MN y P k OPM OPN∠ = ∠ ( ) 3 21ln 2x x af x axx = + − a∈R 0a = ( )f x ( ) ( )f xg x x = 1x 2x ( ) ( )1 2g x g x+2.D 因为 ，所以 ，又 ，所以 ，解得 . 3.B 圆 的直角坐标方程为 . 4.C 5.D 反证法的应用是假设结论不成立，因此要假设为“假设 ， 都不小于 0”. 6.C 由 （ 为参数），得 ，但是 7.D 经观察易知 的末四位数字为 3125， 的末四位数字为 5625， 的末四位数字为 8125， 的末四 位数字为 0625， 的末四位数字为 3125，故周期 .由于 ，因此 的末四位数字 是 8125.故选 D. 8.B ∵ ， ，∴ ，∴ ，∴ ，相应于点 ， ， ， 的残差分别为 ， ， ，0，故选 B. 9.C 若乙说了假话，则甲、丙说了真话，那么甲，乙都申请了，与题意只有一人申请矛盾；若丙说了假话， 则甲、乙说的话为真，甲.乙都没有申请，申请的人是丙. 10.A 当斜率不存在时，显然不符合题意；当斜率存在时，设 ， 代入双曲线方程得 ，两式相减得 ，则 ，则直线方程为 ，联立直线方程与双曲线方程后，得到 ，经检验 ，方程有解，所以直线 满足题意. 11.A 在 中，令 ，得 ， 所以圆 的圆心坐标为 .因为圆 经过点 ，所以圆 C 的半径 ，于是圆 过极点，所以圆 的极坐标方程为 . 12.B 联立 与 ，得 ，∴ ，∴ ， 4zi a i= + 4 4a iz aii += = − 5z = 216 5a+ = 3a = ± 8sinρ θ= ( )22 4 16x y+ − = a b 2 2 1 cos , cos x y θ θ = − =   θ 1 0x y+ − = [ ]0,1x∈ 55 65 75 85 95 4T = 2019 504 4 3= × + 20195 6x = 8.3y = 8.3 1.05 6 a= × + 2a = 1.05 2y x= + ( )2,4 ( )4,6 ( )8,10 ( )10,12.5 0.1− 0.2− 0.4− ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y 2 21 1 2 22 2 12 12 x y x y −  − =  =   ( )2 2 2 2 1 2 1 22x x y y− = − ( )1 2 1 2 1 2 1 2 12 y y x xk x x y y − += = =− + 2y x= − 2 8 10 0x x− + = 0∆ > 2y x= − sin 24 πρ θ + =   0θ = 2ρ = C ( )2,0 C 2 3, 6P π     ( )2 22 3 2 2 2 2 3 cos 26r π= + − × × = C C 4cosρ θ= 2 by xa = 2 2 2 2 1x y a b − = 2 2 3 14 x a × = 2 2 4 3 ax = 2 , 3 3 a bB     则 ，∵ ，∴ ， 整理得 ，即 ，∴ . 13.实数 复数包括实数与虚数. 14. 由 ，化简得 ，即 解得 ∴ . 15. 由图可知， ，将 代入 ，得 ，∴ 过 ，即 ，∴ . 16. 曲线 的普通方程为 （ ），表示的是以 为圆心，2 为半径的上 半个圆.由题意可知，当 为直角时 的面积最大，此时 到直线 的距离 ，因为直线 与 轴交于 ，所以 ，于是 ，所以 . 17.解：完成 列联表如下 犹豫 不犹豫 总计 男性青年 300 700 1000 女性青年 200 600 800 总计 500 1300 1800 ……………………5 分 3 2 2 3 3 BF b bk a a cc = = −− AB BF⊥ 2 2 2 122 3 4 2 3 b b c a aa c a ac −× = = − − − 2 22 3 3 0c ac a− + = 2 2 3 3 0e e− + = 3e = 5 ( )( )2 1 1x xi i yi+ − = + 3 1x xi yi+ = + 3 1, , x x y =  = 1 ,3 1 ,3 x y  =  = 3 6 1 2 5x yi i+ = + = 5 2 ( ) 12 2f ′ = 2x = 2 2 0x y− + = 2y = ( )f x ( )2,2 ( )2 2f = ( ) ( ) 52 2 2f f ′+ = 14 7 C ( )2 22 4x y− + = 0 2y≤ ≤ ( )2,0C ACB∠ ABC△ C l 2d = l x ( )1,0D − 3CD = 7DE = 2 14tan 77 α = = 2 2×因为 ，………………8 分 所以有 97.5%的把握认为犹豫与否与性别有关.……………………10 分 18.解：（1）由题意得 ， .……………………2 分 又 ， ， ， 所以 ， …………5 分 所以， 与 之间具有线性相关关系.………………6 分 （2）因为 ，……………………8 分 ， 所以回归直线方程为 .………………10 分 当 时， .………………12 分 19.解：（1）∵ ，∴ ，∴ ，………………2 分 即 ，∴圆 的参数方程为 （ 为参数）.………………5 分 （2）由（1）可设 ， ，………………6 分 的直角坐标方程为 ，………………7 分 则 到直线 的距离为 ( )2 2 1800 300 600 200 700 72 5.538 5.024500 1300 800 1000 13 χ × × − ×= = ≈ >× × × 6x = 4y = 8 1 241i i i x y = =∑ ( )8 2 1 8.25i i x x = − ≈∑ ( )8 2 1 6i i y y = − =∑ ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 8 1 1 1 8 8 8 82 2 2 2 1 1 1 1 8 241 8 6 4 0.99 0.818.25 6 i i i i i i i i i i i i i x x y y x y xy r x x y y x x y y = = = = = = − − − − × ×= = ≈ ≈ >×− − − − ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ y x 8 1 8 2 2 2 1 8 241 8 6 4 49 0.7356 8 6 688 i i i i i x y xy b x x = = − − × ×= = = ≈− ×− ∑ ∑ 494 6 0.368a y bx= − = − × ≈ − 0.7 0.3y x= − 24x = 0.7 24 0.3 16.5y = × − = 3cosρ θ= 2 3 cosρ ρ θ= 2 2 3x y x+ = 2 23 9 2 4x y − + =   C 3 3 cos ,2 2 3 sin2 x y α α = + =     α 3 3 3cos , sin2 2 2P θ θ +   [ )0,2θ π∈ sin 33 πρ θ − =   3 2 3 0x y− + = P sin 33 πρ θ − =  ，…………9 分 ∴ ， ∵ ，∴ 或 ， 故 或 .………………12 分 20.解：（1）由 ，得 ，………………1 分 ，即 ， 故曲线 的普通方程为 .………………4 分 （2）由 ，得 ，…………5 分 联立 ，得 ，………………6 分 因为 与曲线 相切，所以 ， .………………7 分 所以 的方程为 ，不妨假设 ，则 ，线段 的中点为 .…………8 分 所以 ，又 ， 故以 为直径的圆的直角坐标方程为 ，………………10 分 其对应的极坐标方程为 .………………12 分 21.解：（1）当 时，直线方程为 ，设 ， ， 联立 ∴ ，………………2 分 ∴ ， ， ∴ .………………5 分 3 3 33 cos sin 2 32 2 2 7 3 3 7 3sin2 4 2 3 4 θ θ πθ  + − +     = − − =   sin 03 πθ − =   [ )0,2θ π∈ 3 πθ = 4 3 π 3ACP π∠ = 2 3ACP π∠ = 2 1y t= − 1 2 yt += 2 2 12 1 2 12 yx t + = − = −   ( ) ( )21 2 1y x+ = + C ( ) ( )21 2 1y x+ = + ( )2sin cos mρ θ θ− = 2y x m− = ( ) ( )21 2 1 2 y x y x m  + = + − = 2 2 2 1 0y y m− + − = l C ( )4 4 2 1 0m∆ = − − = 1m = l 2 1y x− = 10, 2A     ( )1,0B − AB 1 1,2 4  −   5 2AB = OA OB⊥ AB 22 21 1 5 2 4 4x y     + + − =             1 sin cos2 ρ θ θ= − 1k = 2y x= + ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y 2 ,4 2 xy y x  =  = + 2 4 8 0x x− − = 1 2 4x x+ = 1 2 8x x⋅ = − ( )22 1 2 1 21 1 4 2 16 32 4 6MN x x x x= + ⋅ + − = ⋅ + =（2）假设存在满足条件的点 ，设 ， ， ， 联立 ∴ ， 则 ，∴ ， .………………7 分 ∵ ，∴ ， 即 .………………8 分 所以 ，整理得： ， 所以 ，所以 对任意 成立，所以 ， 所以存在点 满足要求.………………12 分 22.解：（1）当 时， ， ，…………1 分 令 ，得 ， 所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，…………2 分 所以当 时， ，无最大值.………………4 分 （2） （ ）， ，……………………5 分 由题知， ， 是方程 的两个不相等的正实数根， 即 ， 是方程 的两个不相等的正实数根，…………6 分 P ( )0,P t ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y 2 ,4 2 xy y kx  =  = + 2 4 8 0x kx− − = 216 32 0k∆ = + > 1 2 4x x k+ = 1 2 8x x⋅ = − OPM OPN∠ = ∠ 0PM PNk k+ = 1 2 1 2 0y t y t x x − −+ = ( ) ( )2 1 2 1 2 1 2 2 2 0x kx tx x kx t x x + − + + − = ( )1 2 1 22 (2 ) 0kx x t x x+ − + = ( )16 4 2 0k k t− + − = ( )4 2 0k t− − = k 2t = − ( )0, 2P − 0a = ( ) lnf x x x= ( ) ln 1f x x′ = + ( ) 0f x′ = 1x e = ( )f x 10, e      1 ,e  +∞   1x e = ( )min 1 1f x e ef  = = −   ( ) ( ) 21ln 2x ax axf xg x x = = + − 0x > ( ) 2 1xx ax xg a− +′ = 1x 2x ( ) 0g x′ = 1x 2x 2 1 0ax ax− + =所以 解得 .………………8 分 因为 是关于 的减函数，………………11 分 所以 . 故 的取值范围是 .………………12 分 2 1 2 1 2 4 0, 1, 1 0, a a x x x x a ∆ = − > + = = >        4a > ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1ln ln2 2g x g x ax ax x axa axt x= + = − + + − + ( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ln2 a x x x x a x x x x = + − − + +  1 ln 12 a a= − − − a ( ) ( )4 3 ln 4t a t< = − − ( ) ( )1 2g x g x+ ( ), 3 ln 4−∞ − −