高中数学人教A版选修1-1 章末综合测评2 Word版含答案.doc
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高中数学人教A版选修1-1 章末综合测评2 Word版含答案.doc

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资料简介
章末综合测评(二) 圆锥曲线与方程 (时间 120 分钟,满分 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题 给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.抛物线 y=-1 8 x2 的准线方程是(  ) A.x= 1 32         B.y=2 C.y= 1 32 D.y=-2 【解析】 将 y=-1 8 x2 化为标准形式为 x2=-8y,故准线方程为 y =2. 【答案】 B 2.(2015·安徽高考)下列双曲线中,渐近线方程为 y=±2x 的是(  ) A.x2-y2 4 =1 B.x2 4 -y2=1 C.x2-y2 2 =1 D.x2 2 -y2=1 【解析】 法一 由渐近线方程为 y=±2x,可得y 2 =±x,所以双曲 线的标准方程可以为 x2-y2 4 =1(或y2 4 -x2=1,舍去). 法二 A 中的渐近线方程为 y=±2x;B 中的渐近线方程为 y=±1 2 x; C 中的渐近线方程为 y=± 2x;D 中的渐近线方程为 y=± 2 2 x.故选 A. 【答案】 A3.(2015·湖南高考)若双曲线x2 a2 -y2 b2 =1 的一条渐近线经过点(3,-4), 则此双曲线的离心率为(  ) A. 7 3 B.5 4 C.4 3 D.5 3 【解析】 由双曲线的渐近线过点(3,-4)知b a =4 3 , ∴b2 a2 =16 9 . 又 b2=c2-a2,∴c2-a2 a2 =16 9 , 即 e2-1=16 9 ,∴e2=25 9 ,∴e=5 3 . 【答案】 D 4.抛物线 y2=1 4 x 关于直线 x-y=0 对称的抛物线的焦点坐标是 (  ) 【导学号:26160065】 A.(1,0) B.(0, 1 16) C.(0,1) D.( 1 16 ,0) 【解析】 ∵y2=1 4 x 的焦点坐标为( 1 16 ,0), ∴关于直线 y=x 对称后抛物线的焦点为(0, 1 16). 【答案】 B 5.设 F1,F2 是双曲线x2 3 -y2=1 的两个焦点,P 在双曲线上,当△F1PF2 的面积为 2 时,PF1→ ·PF2→ 的值为(  ) A.2 B.3 C.4 D.6 【解析】 设 P(x0,y0),又 F1(-2,0),F2(2,0), ∴PF1→ =(-2-x0,-y0),PF2→ =(2-x0,-y0).|F1F2|=4. S△PF1F2=1 2 |F1F2|·|y0|=2, ∴|y0|=1.又x20 3 -y20=1, ∴x20=3(y20+1)=6,∴PF1→ ·PF2→ =x20+y20-4=6+1-4=3. 【答案】 B 6.(2016·泰安高二检测)有一个正三角形的两个顶点在抛物线 y2= 2px(p>0)上,另一个顶点在原点,则该三角形的边长是(  ) A.2 3p B.4 3p C.6 3p D.8 3p 【解析】 设 A、B 在 y2=2px 上,另一个顶点为 O,则 A、B 关 于 x 轴对称,则∠AOx=30°,则 OA 的方程为 y= 3 3 x.由Error!得 y=2 3p,∴△AOB 的边长为 4 3p. 【答案】 B 7.已知|A B→ |=3,A,B 分别在 y 轴和 x 轴上运动,O 为原点,OP→ =1 3 O A→ +2 3 O B→ ,则动点 P 的轨迹方程是(  ) A.x2 4 +y2=1 B.x2+y2 4 =1C.x2 9 +y2=1 D.x2+y2 9 =1 【解析】 设 P(x,y),A(0,y0),B(x0,0),由已知得(x,y)=1 3 (0, y0)+2 3 (x0,0),即 x=2 3 x0,y=1 3 y0,所以 x0=3 2 x,y0=3y.因为|A B→ |=3,所 以 x20+y20=9,即 (3 2x )2+(3y)2=9,化简整理得动点 P 的轨迹方程是x2 4 +y2=1. 【答案】 A 8.AB 为过椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b>0)的中心的弦 F1 为一个焦点,则 △ABF1 的最大面积是(c 为半焦距)(  ) A.ac B.ab C.bc D.b2 【解析】 △ABF1 的面积为 c·|yA|,因此当|yA|最大, 即|yA|=b 时,面积最大.故选 C. 【答案】 C 9.若 F1,F2 是椭圆x2 9 +y2 7 =1 的两个焦点,A 为椭圆上一点,且∠ AF1F2=45°,则△AF1F2 的面积为(  ) A.7 B.7 2 C.7 4 D.7 5 2 【解析】 |F1F2|=2 2,|AF1|+|AF2|=6, 则|AF2|=6-|AF1|, |AF2|2=|AF1|2+|F1F2|2-2|AF1|·|F1F2|cos 45°=|AF1|2-4|AF1|+8, 即(6-|AF1|)2=|AF1|2-4|AF1|+8, 解得|AF1|=7 2 , 所以 S=1 2 ×7 2 ×2 2× 2 2 =7 2 . 【答案】 B 10.(2015·重庆高考)设双曲线x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0)的右焦点是 F, 左、右顶点分别是 A1,A2,过 F 作 A1A2 的垂线与双曲线交于 B,C 两 点.若 A1B⊥A2C,则该双曲线的渐近线的斜率为(  ) A.±1 2 B.± 2 2 C.±1 D.± 2 【解析】 由题设易知 A1(-a,0),A2(a,0),B(c,b2 a ),C(c,-b2 a ). ∵A1B⊥A2C, ∴ b2 a c+a · -b2 a c-a =-1,整理得 a=b. ∵渐近线方程为 y=±b a x,即 y=±x, ∴渐近线的斜率为±1. 【答案】 C 11.过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A,B 两点,O 为坐标原点.若|AF|=3,则△AOB 的面积是(  ) A.3 2 B.2 2 C. 2 D.3 2 2【解析】 如图所示,由题意知,抛物线的焦点 F 的坐标为(1,0), 又|AF|=3,由抛物线定义知:点 A 到准线 x=-1 的距离为 3, ∴点 A 的横坐标为 2. 将 x=2 代入 y2=4x 得 y2=8,由图知点 A 的纵坐标 y=2 2, ∴A(2,2 2), ∴直线 AF 的方程为 y=2 2(x-1). 联立直线与抛物线的方程Error! 解之得Error!或Error! 由图知 B(1 2 ,- 2), ∴S△AOB=1 2 |OF|·|yA-yB|=1 2 ×1×|2 2+ 2|=3 2 2. 【答案】 D 12.已知椭圆 C1:x2 a2 +y2 b2 =1(a>b>0)与双曲线 C2:x2-y2 4 =1 有 公共的焦点,C2 的一条渐近线与以 C1 的长轴为直径的圆相交于 A,B 两点.若 C1 恰好将线段 AB 三等分,则(  ) A.a2=13 2 B.a2=13 C.b2=1 2 D.b2=2 【解析】 由题意,知 a2=b2+5,因此椭圆方程为(a2-5)x2+a2y2 +5a2-a4=0,双曲线的一条渐近线方程为 y=2x,联立方程消去 y,得(5a2-5)x2+5a2-a4=0,∴直线截椭圆的弦长 d= 5×2 a4-5a2 5a2-5 =2 3 a,解得 a2=11 2 ,b2=1 2 ,故选 C. 【答案】 C 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在 题中的横线上) 13.(2015·北京高考)已知(2,0)是双曲线 x2-y2 b2 =1(b>0)的一个焦点, 则 b=________. 【解析】 由题意得,双曲线焦点在 x 轴上,且 c=2.根据双曲线 的标准方程,可知 a2=1.又 c2=a2+b2,所以 b2=3.又 b>0,所以 b= 3. 【答案】  3 14.设 F1,F2 为曲线 C1:x2 6 +y2 2 =1 的焦点,P 是曲线 C2:x2 3 -y2 =1 与 C1 的一个交点,则△PF1F2 的面积为________. 【解析】 由题意知|F1F2|=2 6-2=4,设 P 点坐标为(x,y). 由Error!得Error! 则 S△PF1F2=1 2 |F1F2|·|y|=1 2 ×4× 2 2 = 2. 【答案】  2 15.如图 1,已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点恰好是椭圆x2 a2 +y2 b2 =1 的右焦点 F,且两条曲线的交点连线也经过焦点 F,则该椭圆的离心率 为________.图 1 【解析】 由条件知,c=p 2 , ∴其中一个交点坐标为(c,2c), ∴c2 a2 +4c2 b2 =1,∴e4-6e2+1=0, 解得 e2=3±2 2,∴e=±( 2±1). 又 04,∴双曲线的焦点在 x 轴上,设方程为x2 a2 -y2 b2 =1. ∵双曲线过点 P(-3 2,4), ∴18 a2 -16 b2 =1.① 又b a =4 3 ,② 由①②,得 a2=9,b2=16, ∴所求的双曲线方程为x2 9 -y2 16 =1. (2)设|PF1|=d1,|PF2|=d2, 则 d1·d2=41.又由双曲线的几何性质知,|d1-d2|=2a=6. 由余弦定理,得 cos∠F1PF2=d21+d22-|F1F2|2 2d1d2 =(d1-d2)2+2d1d2-|F1F2|2 2d1d2 = 9 41 .20.(本小题满分 12 分)(2015·安徽高考)设椭圆 E 的方程为 x2 a2 +y2 b2 =1(a>b>0),点 O 为坐标原点,点 A 的坐标为(a,0),点 B 的坐标为(0, b),点 M 在线段 AB 上,满足|BM|=2|MA|,直线 OM 的斜率为 5 10 . (1)求 E 的离心率 e; (2)设点 C 的坐标为(0,-b),N 为线段 AC 的中点,证明:MN⊥ AB. 【导学号:26160066】 【解】 (1)由题设条件知,点 M 的坐标为(2 3a,1 3b), 又 kOM= 5 10 ,从而 b 2a = 5 10 . 进而 a= 5b,c= a2-b2=2b,故 e=c a =2 5 5 . (2)证明:由 N 是 AC 的中点知,点 N 的坐标为(a 2 ,-b 2),可得NM→ =(a 6 ,5b 6 ). 又AB→ =(-a,b), 从而有AB→ ·NM→ =-1 6 a2+5 6 b2=1 6 (5b2-a2). 由(1)的计算结果可知 a2=5b2, 所以AB→ ·NM→ =0,故 MN⊥AB. 21.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C:x2 a2 +y2 b2 =1(a>b>0)的左焦点 F 及点 A(0,b),原点 O 到直线 FA 的距离为 2 2 b. (1)求椭圆 C 的离心率 e;(2)若点 F 关于直线 l:2x+y=0 的对称点 P 在圆 O:x2+y2=4 上, 求椭圆 C 的方程及点 P 的坐标. 【解】 (1)由点 F(-ae,0),点 A(0,b),及 b= 1-e2a,得直线 FA 的方程为 x -ae + y 1-e2a =1,即 1-e2x-ey+ae 1-e2=0. 因为原点 O 到直线 FA 的距离为 2 2 b=ae 1-e2, 所以 2 2 1-e2·a=ae 1-e2, 解得 e= 2 2 . (2)设椭圆 C 的左焦点 F (- 2 2 a,0)关于直线 l:2x+y=0 的对称 点为 P(x0,y0),则有 Error! 解得 x0=3 2 10 a,y0=2 2 5 a. 因为 P 在圆 x2+y2=4 上,所以 (3 2 10 a)2+(2 2 5 a)2=4. 所以 a2=8,b2=(1-e2)a2=4. 故椭圆 C 的方程为x2 8 +y2 4 =1, 点 P 的坐标为(6 5 ,8 5). 22.(本小题满分 12 分)(2016·郑州高二检测)已知经过点 A(-4,0) 的动直线 l 与抛物线 G:x2=2py(p>0)相交于 B,C,当直线 l 的斜率是 1 2 时,A C→ =1 4 A B→ .(1)求抛物线 G 的方程; (2)设线段 BC 的垂直平分线在 y 轴上的截距为 b,求 b 的取值范围. 【解】 (1)设 B(x1,y1),C(x2,y2),由已知,当 kl=1 2 时,l 的方 程为 y=1 2 (x+4),即 x=2y-4. 由Error!得 2y2-(8+p)y+8=0, 所以Error!又因为 A C→ =1 4 A B→ , 所以 y2=1 4 y1 或 y1=4y2. 由 p>0 得:y1=4,y2=1,p=2,即抛物线方程为 x2=4y. (2)设 l:y=k(x+4),BC 中点坐标为(x0,y0), 由Error! 得 x2-4kx-16k=0.① 所以 x0=x1+x2 2 =2k,y0=k(x0+4)=2k2+4k. 所以 BC 的中垂线方程为 y-2k2-4k=-1 k (x-2k), 所以 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为 b=2k2+4k+2=2(k+1)2, 对于方程①由 Δ=16k 2+64k>0 得 k>0 或 k

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