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卷 07-2021 高三一轮复习数学模拟试卷（文）-各地优质试题重组卷（新课标版）
全国Ⅲ卷
注意事项：
1.本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。答题前，现将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，
并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非
答题区域均无效。
4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答
题区域内，写在试题卷。草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。（1-11 每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的；12 小题给出的四个选项中，有两个以上项是符合题目要求的。）
1．(本题 5 分)已知 , ，则 （ ）
A． B． C． D．
【来源】黑龙江省 2019-2020 学年高一上学期期末数学试题
【答案】C
【解析】
【分析】
求出集合 ， ，直接进行交集运算即可.
【详解】
， ，
故选：C
【点睛】
{ }2 1 0A x x= − ≥ { }xB y y e= = A B =
( )0 +∞， ( ], 1−∞ − [ )1,+∞ ( ] [ ), 1 1,−∞ − +∞
A B
{ } { }2 1 0 1 1A x x x x x= − ≥ = ≤ − ≥或 { } { }0xB y y e y y= = = >
{ }1A B x x∩ = ≥ 2 / 24
本题考查集合的交集运算，指数函数的值域，属于基础题.
2．(本题 5 分)已知 为虚数单位，复数 满足 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【来源】四川省绵阳市 2019-2020 学年高三第二次诊断性测试文科数学试题
【答案】A
【解析】
【分析】
由除法计算出复数 ．
【详解】
由题意 ．
故选：A．
【点睛】
本题考查复数的除法运算，属于基础题．
3．(本题 5 分)若“ ”是“ ” 的（ ）条件 （ ）
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【来源】黑龙江省（实验三部）2019-2020 学年高二 3 月月考数学（文）试题
【答案】A
【解析】
由 x2-3x+2≠0，推出 x≠1 且 x≠2，因此前者是后者的充分不必要条件．
解答：解：由 x2-3x+2≠0，得 x≠1 且 x≠2，能够推出 x≠1，
而由 x≠1，不能推出 x≠1 且 x≠2；
因此前者是后者的充分不必要条件．
故选 A．
4．(本题 5 分)已知 ， 是两个相互垂直的单位向量，且 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【来源】2020 届山东省潍坊市临朐县高三综合模拟考试数学试题（一)
【答案】A
i z 1 2z i i⋅ = + z =
2 i− 2 i+
1 2i− 2i −
z
1 2 2iz ii
+= = −
1x ≠
a b 2c a⋅ = 1c b⋅ = b c+ =
6 7 2 2 2 3+ 3 / 24
【解析】
【分析】
根据题意可设 ，然后根据 ， 即可得出 ，这样即
可得出 的坐标，从而可求出 的值.
【详解】
解： ，且 ， 都是单位向量，
∴设 ，且 ， ，
，
∴ ，
，
.
故选：A.
【点睛】
本题考查了通过设向量的坐标，利用向量的坐标解决向量问题的方法，单位向量的定义，向量坐标的数量
积运算，根据向量的坐标求向量长度的方法，考查了计算能力，属于基础题.
5．(本题 5 分)我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三
而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤”．其意思为“今有持金出五
关，第 1 关收税金为持金的 ，第 2 关收税金为剩余金的 ，第 3 关收税金为剩余金的 ，第 4 关收税金
为剩余金的 ，第 5 关收税金为剩余金的 ，5 关所税金之和，恰好重 1 斤．”则在此问题中，第 5 关收税
金为
A． 斤 B． 斤 C． 斤 D． 斤
【来源】山东省潍坊市 2019-2020 学年高二上学期 12 月月考数学试题
【答案】C
【解析】
设持有的金为 金，由题意可得：
(1,0), (0,1), ( , )a b c x y= = = 2c a⋅ = 1c b⋅ = ( 2,1)c =
b c+ b c+
a b⊥
a b
(1,0), (0,1), ( , )a b c x y= = = 2c a⋅ = 1c b⋅ =
2
1
x
y
=∴ =
( 2,1)c =
( 2,2)b c∴ + =
| | 6b c∴ + =
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
36
1
30
1
25
1
20
x 4 / 24
第一关的税金为 ，第二关的税金为 ，
第三关的税金为： ，
同理，第四关的税金为 ，第五关的税金为 ，
由题意可得： ，
据此可得： ，第五关的税金为： 斤.
本题选择 C 选项.
6．(本题 5 分)在北京召开的国际数学家大会的会标如图所示，它是由 个相同的直角三角形与中间的小正
方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为 ，大正方形的面积是 ，小正方形的面积是 ，
则 ( )
A． B． C． D．
【来源】辽宁省沈阳市 2019-2020 学年高一下学期期中数学试题
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意即可算出每个直角三角形的面积，再根据勾股定理和面积关系即可算出三角形的两条直角边．从
而算出
【详解】
由题意得直角三角形的面积 ,设三角形的边长分别为 ，则有
1
2 x 1 1
2 3 2 3
xx x − × = ×
1 1
2 2 3 4 3 4
x xx x − − × = × ×
4 5
x
× 5 6
x
×
5 12 2 3 3 4 4 5 5 6 2 2 6 6
x x x x x x x x x + + + + = + − = = × × × ×
6
5x = 1 6 1
5 6 5 25
× =×
4
θ 1 1
25
2 2sin cosθ θ− =
1 7
25
7
25
− 24
25
−
sin ,cosθ θ
11 625
4 25S
−
= = ,x y 5 / 24
，所以 ，所以
，选 C.
【点睛】
本题主要考查了三角形的面积公式以及直角三角形中，正弦、余弦的计算，属于基础题．
7．(本题 5 分)设 是两条不同的直线, 是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ）
A．若 , ,则 B．若 ， ,则
C．若 , ,则 D．若 , ,则
【来源】2020 届黑龙江省高三下学期第一次调研考试数学（文）试题
【答案】C
【解析】
【分析】
在 A 中， 与 相交或平行；在 B 中， 或 ；在 C 中，由线面垂直的判定定理得 ；在 D
中， 与 平行或 ．
【详解】
设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则：
在 A 中，若 ， ，则 与 相交或平行，故 A 错误；
在 B 中，若 ， ，则 或 ，故 B 错误；
在 C 中，若 ， ，则由线面垂直的判定定理得 ，故 C 正确；
在 D 中，若 ， ，则 与 平行或 ，故 D 错误．
故选 C．
【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．
8．(本题 5 分)已知定义在 R 上的函数 满足：（1） ；（2） ；
（3） 时， .则 大小关系
2 2 1 3 4,1 6 5 5
2 25
x y
x y
xy
+ = ⇒ = = =
3 4
3 45 5sin ,cos1 5 1 5
θ θ= = = =
2 2
2 2 3 4 7sin cos 5 5 25
θ θ − = − = −
,m n ,α β
/ /m α / /m β / /α β m α⊥ m n⊥ n α⊥
m α⊥ //m n n α⊥ α β⊥ m α⊥ / /m β
α β / /n α n ⊂ α n α⊥
m β m β⊂
,m n ,α β
/ /m α / /m β α β
m α⊥ m n⊥ / /n α n ⊂ α
m α⊥ //m n n α⊥
α β⊥ m α⊥ m β m β⊂
( )f x ( ) ( )2f x f x− = ( ) ( )2 2f x f x+ = −
[ ]1 2, 1,3x x ∈ ( ) ( ) ( )1 2 1 2 0x x f x f x− − > ( ) ( ) ( )2020 2018 2019f f f> >
( ) ( ) ( )2020 2018 2019f f f= > ( ) ( ) ( )2018 2019 2020f f f> =
AB CD O OA OB OC OD
O
21 π
− 1 1
2 π
− 2
π
1
π 7 / 24
【来源】2020 届辽宁省辽南协作校高三下学期第一次模拟考试数学（文）试题
【答案】A
【解析】
【分析】
根据圆的对称性只需看四分之一即可，利用面积比即可得到结果.
【详解】
解：根据圆的对称性只需看四分之一即可，
设扇形的半径为 r，则扇形 OBC 的面积为 ，
连接 BC，把下面的阴影部分平均分成了 2 部分，然后利用位移割补的方法，分别平移到图中划线部分，则
阴影部分的面积为： ，
∴此点取自阴影部分的概率是 ．
故选：A．
【点睛】
本题考查几何概型，解题的关键是利用位移割补的方法求组合图形面积，此类不规则图形的面积可以转化
为几个规则的图形的面积的和或差的计算．
10．(本题 5 分)设函数 , 的零点分别为 、 ,则（ ）
A． B． C． D．
【来源】2020 届吉林省长春市第十一高中高三下学期线上模拟考试数学（理)试题
【答案】B
【解析】
21
4 rπ
2 21 1
4 2r rπ −
2 2
2
1 1
24 2 11
4
r r
r
π
ππ
−
= −
4
1( ) log 4
x
f x x = − 1
4
1( ) log 4
x
g x x = − 1x 2x
1 2 1=x x 1 20 1x x< < 1 21 2x x< < 1 2 2x x ≥ 8 / 24
【分析】
由题意可得 是函数 的图象和 的图象的交点的横坐标， 是 的图象和函
数 的图象的交点的横坐标，根据 ，求得 ，从而得出结论．
【详解】
由题意可得 是函数 的图象和 的图象的交点的横坐标，
是 的图象和函数 的图象的交点的横坐标，且 ， 都是正实数，如图所示：
故有 ，故 ， ，
， ，
故选：B．
【点睛】
本题考查对数函数、指数函数的图象和性质应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，
考查逻辑推理能力、运算求解能力．
11．(本题 5 分)已知椭圆 左、右焦点分别为 、 ， 为椭圆上一点，且
，若 的最小值为 ，则椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
【来源】2020 届山西省大同四中联盟体高三 3 月模拟数学（文)试题
【答案】C
【解析】
【分析】
1x 4logy x= 1( )4
xy = 2x 1
4
logy x=
y 1( )4
x= 1 2 4 1
4
log logx x>
1 20 1x x< ⋅ <
1x 4logy x= 1( )4
xy =
2x 1
4
logy x= 1( )4
xy = 1x 2x
1 2 4 1
4
log logx x> 4 1 1 2
4
log log 0x x− <
4 1 4 2log log 0x x∴ + <
4 1 2log ( ) 0x x∴ ⋅ < 1 20 1x x∴ < ⋅ <
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 1F 2F P
1 2| | | |PF PFλ= λ 1
2
1
2
2
2
1
3
5
3 9 / 24
当 最小且 最大时 取得最小值，即有 ，从而求出离心率.
【详解】
由 ，得 ，
当 最小且 最大时， 取得最小值 ，
所以 ，所以 ，所以离心率 .
故选：C
【点睛】
本题考查的是椭圆的几何性质及离心率的求法，较简单.
12．(本题 5 分)函数 f(x)=ex+asinx，x∈(－π，+∞)，下列说法正确的是（ ）
A．当 a=1 时，f(x)在(0，f(0))处的切线方程为 2x－y+1=0
B．当 a=1 时，f(x)存在唯一极小值点 x0 且－1＜f(x0)＜0
C．对任意 a＞0，f(x)在(－π，+∞)上均存在零点
D．存在 a＜0，f(x)在(－π，+∞)上有且只有一个零点
【来源】 2020 届高三最后一卷（打靶卷)数学试题
【答案】ABD
【解析】
【分析】
逐一验证选项，选项 A，通过切点求切线，再通过点斜式写出切线方程，选项 B 通过导数求出函数极值并
判断极值范围，选项 C、D，通过构造函数，将零点问题转化判断函数与直线 y＝a 的交点问题．
【详解】
选项 A，当 时， ， ，
所以 ，故切点为 ， ，
所以切线斜率 ，
故直线方程为： ，即切线方程为： ， 选项 A 正确.
选项 B，当 时， ， ，
1| |PF 2| |PF λ 1
2
a c
a c
− =+
1 2| | | |PF PFλ= 1
2
| |
| |
PF
PF
λ=
1| |PF 2| |PF λ 1
2
1
2
a c
a c
− =+ 3a c= 1
3
ce a
= =
1a = ( ) sinxf x e x= + ( ),x π∈ − +∞
( )0 1f = ( )0,1 ( ) cosxf x e x′ = +
( )0 2k f= ′ =
( )1 2 0y x− = − 2 1y x= +
1a = ( ) sinxf x e x= + ( ),x π∈ − +∞ ( ) cosxf x e x′ = + 10 / 24
恒成立，所以 单调递增，
又 ,
,所以 ，即 ，所以
所以存在 ，使得 ，即
则在 上， ，在 上， ，
所以在 上， 单调递减，在 上， 单调递增.
所以 存在唯一的极小值点 .
,则 ， ，所以 B 正确.
对于选项 C、D， ，
令 ，即 ，所以 , 则令 ,
,令 ,得
由函数 的图像性质可知:
时， ， 单调递减.
时， ， 单调递增.
所以 时， 取得极小值，
( ) sin 0xf x e x′′ = − > ( )f x′
2 02f
π ′ − = >
3
4
3
4
3 3 1cos4 4
2
2f e
e
π
π
π π− ′ − = + − =
−
23 3
4 2 2e e e
π π = >
>
3
4 2e
π
> 3
4
1 2
2e
π < 3 04f
π ′ −
( )0，xπ− ( )f x ( )0x + ∞， ( )f x
( )f x 0x
( ) 0
0 0 0 0 0sin sin cos 2 sin 4
xf x e x x x x
π = + = − = −
0
3 ,4 2x
π π ∈ − − 0
3,4 4x
π ππ − ∈ − −
( )02 sin 1,04x
π − ∈ −
( ) sinxf x e a x= + ( ),x π∈ − +∞
( ) 0f x = sin 0xe a x+ = 1 sin
x
x
a e
− = ( ) sin
x
xF x e
= ( ),x π∈ − +∞
( )
2 sincos sin 4
x x
xx xF x e e
π − − − ′ = = ( ) 0F x′ = , 1,4x k k k Z
ππ= + ≥ − ∈
2 sin 4y x
π = −
52 ,2 +4 4x k k
π ππ π ∈ + 2 sin 04x
π − >
( )F x
5 2 ,2 + +24 4x k k
π ππ π π ∈ + 2 sin 04x
π −
1
2
1
3
2
3
1
4
2
4
3
4
1
5
2
5
3
5
4
5
1
6
2
6
3
6
4
6
5
6
1
7
2
7
3
7
4
7
5
7
6
7
1
8
2
8
3
8
24
3
8a =
1a 2 3a a+ 4 5 6a a a+ + 7 8 9 10a a a a+ + +
1
2
6
4
2
2
n − 1
2
n −
1 2 1
2 2 2
n n− −− =
1a 2 3a a+ 4 5 6a a a+ + 7 8 9 10a a a a+ + +
1a 2 3a a+ 4 5 6a a a+ + 7 8 9 10a a a a+ + +
n
21 ( 1) 1
2 2 2 4n
n n n nT n
− += + × =
1a 2 3a a+ 4 5 6a a a+ + 7 8 9 10a a a a+ + + 13 / 24
， ，
是 ，1， ，2， ， .
因为 ，
所以存在 ，使 ， ，且 .
故④正确.
故答案为：①③④.
【点睛】
本题主要考查探究数列的规律，同时考查了等差数列的性质和数列的证明，属于难题.
14．(本题 5 分)已知函数 ，若在区间 上，不等式 恒成立，则实数
的取值范围是___________．
【来源】河南省济源六中 2019-2020 学年高二下学期 6 月月考试题文科数学试题
【答案】
【解析】
【分析】
由不等式 恒成立，将 分离得 对 恒成立，令 ，
根据 在区间 上的单调性，可求 ,可求 的范围.
【详解】
要使在区间 上，不等式 恒成立，
只需 恒成立，
设 ，只需 小于 在区间 上的最小值，
因为 ，所以当 时，
，
所以 ，所以实数 的取值范围是 .
【点睛】
11 12 13 14 15a a a a a+ + + + 16 17 18 19 20 21a a a a a a+ + + + +
1
2
6
4
5
2
1 2 3 4 5 6 15 6
7 7 7 7 7 7 7 7
+ + + + + = +
5 7.5 10T = < 6 10.5 0T = >
20k = 20 10S < 21 10S ≥ 20
5= 7a
( ) 2 1f x x x= − + [ ]1,1− ( ) 2f x x m> + m
( ), 1−∞ −
( ) 2f x x m> + m 2 3 1x x m− + > [ ]1,1x∈ − ( ) 2 3 1g x x x= − +
( )g x [ ]1,1− ( )ming x m
[ ]1,1− ( ) 2f x x m> +
( ) 22 3 1m f x x x x< − = − +
( ) 2 3 1g x x x= − + m ( )g x [ ]1,1−
( ) 2
2 3 53 1 2 4g x x x x = − + = − − 1x =
( ) ( ) 2
min 1 1 3 1 1 1g x g= = − × + = −
1m < − m ( ), 1−∞ − 14 / 24
本题主要考查利用配方法求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于中档题．不等式恒成立问题常见方法：
① 分离参数 恒成立( 即可)或 恒成立（ 即可）；② 数形结合
( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值 或 恒成立；④ 讨论参数.
15．(本题 5 分)为贯彻教育部关于全面推进素质教育的精神，某学校推行体育选修课.甲、乙、丙、丁四个
人分别从太极拳、足球、击剑、游泳四门课程中选择一门课程作为选修课，他们分别有以下要求:
甲：我不选太极拳和足球； 乙：我不选太极拳和游泳；
丙：我的要求和乙一样； 丁：如果乙不选足球，我就不选太极拳.
已知每门课程都有人选择，且都满足四个人的要求，那么选击剑的是___________.
【来源】江西省都昌一中 2019-2020 学年下学期高二期中线上考试（文科）数学试题
【答案】丙
【解析】
【分析】
列出表格，用√表示已选的，用×表示未选的课程，逐个将每门课程所选的人确定下来，即可得知选击剑
的人是谁。
【详解】
在如下图中，用√表示该门课程被选择，用×表示该门课程未选，且每行每列只有一个勾，
太极拳 足球 击剑 游泳
甲 × × √
乙 × √② ×
丙 × √ ×
丁 √①
从上述四个人的要求中知，太极拳甲、乙、丙都不选择，则丁选择太极拳，
丁所说的命题正确，其逆否命题为“我选太极拳，那么乙选足球”为真，则选足球的是乙，
由于乙、丙、丁都为选择游泳，那么甲选择游泳，最后只有丙选择击剑。故答案为：丙。
【点睛】
本题考查合情推理，充分利用假设法去进行论证，考查推理论证能力，属于中等题。
( )a f x≥ ( )maxa f x≥ ( )a f x≤ ( )mina f x≤
( )y f x= ( )y g x= ( )min 0f x ≥ ( )max 0f x ≤ 15 / 24
16．(本题 5 分)（5 分）国家禁毒办于 2019 年 11 月 5 日至 12 月 15 日在全国青少年毒品预防教育数字化网
络平台上开展 2019 年全国青少年禁毒知识答题活动，活动期间进入答题专区，点击“开始答题”按钮后，系
统自动生成 20 道题.已知某校高二年级有甲、乙、丙、丁、戊五位同学在这次活动中答对的题数分别是
，则这五位同学答对题数的方差是____________．
【来源】理科数学-学科网 3 月第一次在线大联考（江苏卷)
【答案】2
【解析】
【分析】
【详解】
由这五位同学答对的题数分别是 ，得该组数据的平均数 ，则方差
．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考生
都必须作答。第 22、23 题选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17．(本题 12 分)在 中，角 所对的边分别为 ，且 .
（1）求 的值；
（2）若 ， ，求三角形 ABC 的面积.
【来源】青海省西宁市海湖中学 2019-2020 学年高一下学期第一阶段考试数学试题
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理进行边化角，结合两角和的正弦公式即可求解；
（2）由（1）知， ， ，利用余弦定理求出 ，代入三角形的面积公式即可求解.
【详解】
（1）由已知及正弦定理可得，
17,20,16,18,19
17,20,16,18,19 17 20 16 18 19 185
+ + + += =x
2 2 2 21 [(17 18) (20 18) (16 18)5
= × − + − + − +s 2 2(18 18) (19 18) ]− + − = 10 25
=
ABC , ,A B C , ,a b c cos (2 )cosa C b c A= −
cos A
6a = 8+ =b c
1
2
7 3
3
1cos 2A = 3sin 2A = bc
sin cos sin cos 2sin cosA C C A B A+ = 16 / 24
化简可得， ，因为
所以 ，因为 ，所以 .
（2）由余弦定理得，
化简可得， ，由（1）知 ，
所以 .
【点睛】
本题考查利用正余弦定理解三角形和三角形的面积公式、两角和的正弦公式；考查运算求解能力和知识的
综合运用能力；灵活运用正余弦定理进行边角互化是求解本题的关键；属于中档题.
18．(本题 12 分)已知正 边长为 ，点 ， 分别是 ， 边上的点， ，如图 1
所示.将 沿 折起到 的位置，使线段 长为 ，连接 ，如图 2 所示.
（1）求证：直线 平面 ；
（2）求四棱锥 的体积.
【来源】黑龙江省校 2020 届高三第三次模拟考试数学（文)试题
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）要证明线面垂直，需证明线与平面内的两条直线垂直，根据余弦定理和勾股定理可知 ，
；
（2）根据四棱锥的体积公式直接计算求解.
【详解】
解：（1）依题意得，在 中， ， ，
sin( ) 2sin cosA C B A+ = ( )A C Bπ − + =
sin 2sin cosB B A= sin 0B ≠ 1cos 2A =
2 2 2136 2 ( ) 3 64 3 ,2b c bc b c bc bc= + − × = + − = −
28
3bc = 3sin 2A =
1 si 1 28 3 7 3
2 3 2n2 3ABC bc AS∆ = × × ==
ABC 3 M N AB AC 1AN BM= =
AMN MN PMN PC 5 PB
PN ^ BCNM
P BCNM−
7 312
PN MN⊥
PN NC⊥
AMN 2AM = 1AN =
3A
π∠ = 17 / 24
由余弦定理得 ，即
， ，即
在图 2 中， ， ，
，
又 ， 平面 ， 平面
（2）由（1）可知 平面
所以 为四棱锥 的高，
所以 .
【点睛】
本题考查线面垂直，锥体的体积公式，重点考查推理证明，计算能力，属于基础题型.
19．(本题 12 分)在世界读书日期间，某地区调查组对居民阅读情况进行了调查，获得了一个容量为 200 的
样本，其中城镇居民 140 人，农村居民 60 人.在这些居民中，经常阅读的城镇居民有 100 人，农村居民有 30
人.
（1）填写下面列联表，并判断能否有 99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关？
城镇居民 农村居民 合计
经常阅读 100 30
不经常阅读
合计 200
（2）调查组从该样本的城镇居民中按分层抽样抽取出 7 人，参加一次阅读交流活动，若活动主办方从这 7
位居民中随机选取 2 人作交流发言，求被选中的 2 位居民都是经常阅读居民的概率.
2 2 22 1 2 2 1 cos 33MN
π= + − × × × = 3MN =
2 2 2MN AN AM∴ + = AN MN∴ ⊥ PN MN⊥
PNC△ 1PN = 2NC = 5PC =
2 2 2PC PN NC∴ = + PN NC∴ ⊥
MN NC N= ,MN NC ⊂ BCNM PN∴ ⊥ BCNM
PN ^ BCNM
PN P BCNM− 23 1 7 33 1 34 2 4ABC AMNBCNMS S S= − = ⋅ − ⋅ ⋅ =
四边形
1 7 33 12P BCNM BCNMV S PN− = ⋅ =四边形 18 / 24
附： ，其中 .
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【来源】2020 届全国大联考高三第六次联考文科数学试题
【答案】（1）见解析，有 99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关.（2）
【解析】
【分析】
（1）根据题中数据得到列联表，然后计算出 ，与临界值表中的数据对照后可得结论；（2）由题意得概
率为古典概型，根据古典概型概率公式计算可得所求.
【详解】
（1）由题意可得：
城镇居民 农村居民 合计
经常阅读 100 30 130
不经常阅读 40 30 70
合计 140 60 200
则 ，
所以有 99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关.
（2）在城镇居民 140 人中，经常阅读的有 100 人，不经常阅读的有 40 人.
采取分层抽样抽取 7 人，则其中经常阅读的有 5 人，记为 、 、 、 、 ；
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + + n a b c d= + + +
( )2
0P K k≥
0k
10
21
2K
2
2 200 (100 30 40 30) 8.477 6.635140 60 130 70K
× × − ×= ≈ >× × ×
A B C D E 19 / 24
不经常阅读的有 2 人，记为 、 .
从这7人中随机选取2人作交流发言，所有可能的情况为 ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 21 种，
被选中的 位居民都是经常阅读居民的情况有 种，
所求概率为 .
【点睛】
本题主要考查古典概型的概率计算，以及独立性检验的应用，利用列举法是解决本题的关键，考查学生的
计算能力.对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除
以总的事件个数即可，属于中档题.
20．(本题 12 分)已知椭圆 ，离心率为 ，点 在椭圆 上，且 的周长
为 6．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设椭圆 的左右焦点分别为 ， ，左右顶点分别为 ， ，点 ， 为椭圆 上位于 轴上方
的两点，且 ，记直线 ， 的斜率分别为 ， .若 ，求直线 的方程.
【来源】重庆市十一中、七中等七校 2019-2020 年高二上学期期末数学试题
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】
（1）根据椭圆的定义可知 ，从而 的周长为 ，再由离心率得到方程解得.
（2）设直线 的方程为： ， ， ， ，联立直线与椭圆方程，
消去 ，列出韦达定理，则 ， ，
X Y
AB AC AD AE AX AY BC BD
BE BX BY CD CE CX CY DE DX DY EX EY XY
2 10
∴ 10
21P =
( )2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
+ = > > 1
2 D C 1 2DF F△
C
C 1F 2F A B M N C x
1 2//F M F N AM BN 1k 2k 1 23 2 0k k+ = 1F M
2 2
14 3
x y+ =
2 6 2 6 0x y− + =
1 2 2DF DF a+ = 1 2DF F△ 2 2a c+
1F M 1x my= − ( )1 1,M x y ( )2 2,P x y ( )2 2,N x y− −
x 1 1
1
1 12 1AM
y yk k x my
= = =+ +
2 2 2
2
2 2 22 2 1BN
y y yk k x x my
−= = = =− − + +
1 2
1 2
1 2
3 23 2 01 1
y yk k my my
+ = + =+ + 20 / 24
代入计算出参数的值，即可得解；
【详解】
（1）依题意可知： ，
的周长
， ，
椭圆 的标准方程为
（2）延长 ，交椭圆 于点
又由 ，故 ，且 ， 关于原点对称
点 ， 关于原点对称
， ，
设直线 的方程为： ， ，
消去 得
，
，
，
，
在 轴上方
1
2
ce a
= = 2a c∴ =
1 2DF F△ 1 2 1 2 2 2 6DF DF F F a c= + + = + =
3 3a c c∴ + = =
1c∴ = 2a = 2 2 3b a c= − =
∴ C
2 2
14 3
x y+ =
MF C P
1 2//F M F N 1 2//F P F N 1F 2F
∴ P N
( )1 1,0F − ( )2,0A − ( )2,0B
1F M 1x my= − ( )1 1,M x y ( )2 2,P x y
( )2 2,N x y∴ − −
2 2
1
3 4 12
x my
x y
= −
+ =
x ( )2 23 4 6 9 0m y my+ − − =
1 2 2
6
3 4
my y m
+ = + 1 2 2
9
3 4y y m
−= +
1 1
1
1 12 1AM
y yk k x my
∴ = = =+ +
2 2 2
2
2 2 22 2 1BN
y y yk k x x my
−= = = =− − + +
1 2
1 2
1 2
3 23 2 01 1
y yk k my my
+ = + =+ +
1 2 1 2 25 3 3my y y y y∴ + + =
2 2
27
3 4
my m
−∴ = + 1 22 2
6 33
3 4 3 4
m my ym m
= − =+ +
2
2 2 2 2
33 27 9 1
3 4 3 4 3 4 24
m my mm m m
− −∴ = ⋅ = ⇒ =+ + +
M x 21 / 24
直线 的方程为： ，
即
【点睛】
本题考查求椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合应用，属于中档题.
21．(本题 12 分)已知函数 ．
（1）若曲线 在 处切线与坐标轴围成的三角形面积为 ，求实数 的值；
（2）若 ，求证： ．
【来源】湖南省郴州市 2019-2020 学年高三第一次教学质量监测（12 月)数学（文)试题
【答案】（1） 或 ；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）利用导函数求出曲线 在 处切线，表示出切线与坐标轴围成三角形面积即可求解；
（2）需证明的不等式通过作差转化成证明 ，利用导函数单调性求出最小值即
可得证.
【详解】
（1） ，则 为切线斜率．
又 ，∴切点为 ．∴曲线在 处切成方程为 ．
当 时， ，当 时， （易知 ）
则切线与坐标轴围成三角形面积为 ．
∴ 得 ．
1 0y∴ > 0m∴ >
6
12m∴ =
1F M 6 112x y= −
2 6 2 6 0x y− + =
( ) 2 3xf x xe ax= + +
( )y f x= 0x = 9
2
a
1
2a = − ( ) ln 4f x x≥ +
0a = 1−
( )y f x= 0x =
( ) ln 1 0xh x xe x x= − − − ≥
( ) ( )1 2xf x x e a′ = + + ( )0 2 1f a′ = +
( )0 3f = ( )0,3 0x = ( )3 2 1y a x− = +
0x = 3y = 0y = 3
2 1x a
−= + 2 1 0a + ≠
1 3 932 2 1 2a
−× × =+
2 1 1a + = 2 1 1a + = ± 22 / 24
所以 或 ．
（2）法一： 时，
要证的不等式为 ，即 ．
令 ，则 ．
易知 递增， ， ，∴ 仅有一解 且 ，即 ．
当 时， ， 递减；当 时， ， 递增．
从而 最小值为 ∴ ，故原不等式
成立．
法二： 时，要证的不等式为 ．令 ，则 ．
故问题化为证不等式 恒成立． 时，
令 ，则 ，当 时， ， 递减；
当 时， ， 递增．∴ ，从而原不等式成立．
【点睛】
此题考查通过导函数求在某点处的切线，通过导函数证明不等式，其中用到隐零点问题解法，常用方法作
差构造新函数，若能考虑换元法由经典不等式讨论最值会更加简单.
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题积分。
选修 4-4：坐标系与参数方程
22．(本题 10 分)已知直线 的参数方程为 （ 为参数）在以坐标原点 为极点， 轴非负半
轴为极轴的极坐标系中，曲线 的极坐标方程为 .
(1)求直线 普通方程和曲线 的直角坐标方程；
(2)设直线 与曲线 交于 两点，求 .
【来源】2020 届年全国 100 所名校高三模拟金典卷文科数学（五）试题
0a = 1−
1
2a = − ( ) 3xf x xe x= − +
3 ln 4xxe x x− + ≥ + ln 1 0xxe x x− − − ≥
( ) ln 1xh x xe x x= − − − ( ) ( ) ( )1 11 1 1x xh x x e x ex x
′ = + − − = + −
( )h x′ ( )1 0h′ > ( )1 3 2 02 2h e ′ = − ( )h x
( )h x ( ) 0
0 0 0 0 0 0ln 1 1 ln 1 0xf x x e x x x x= − − − = − − − = ( ) ( )0 0h x h x≥ =
1
2a = − ln 1 0xxe x x− − − ≥ xt xe= ln lnt x x= +
ln 1 0t t− − ≥ ( )0,x∈ +∞ ( )0,xt xe= ∈ +∞
( ) ln 1h t t t= − − ( ) 1 11 th t t t
−′ = − = ( )0,1t ∈ ( ) 0h t′ < ( )h t
( )1,t ∈ +∞ ( ) 0h t′ > ( )h t ( ) ( )1 0h t h≥ =
l
1
3 3
x t
y t
= + = +
t O x
C 2 4 cos 2 3 sin 4 0ρ ρ θ ρ θ− − + =
l C
l C ,A B •OA OB 23 / 24
【答案】(1) ， ；(2)4.
【解析】
【分析】
【详解】
试题解析：（1）消去 得到直线 的普通方程是 即 ,
根据极坐标与直角坐标的互化公式 ， 得到曲线 的直角坐标方程是
即 .
（2）直线时过原点的直线，并且倾斜角是 ，所以得到直线 的极坐标方程是 ，代入曲线 的极坐
标方程得： ，所以 ．
选修 4-5：不等式选讲。
23．(本题 10 分)已知函数 .
（1）若 ,求不等式 的解集;
（2）证明:对任意 , .
【来源】 2019-2020 学年高考适应性月考卷（五)理科数学
【答案】（1） （2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）当 时, ,分别讨论 , 和 时求解 ,即可求得答案;
（2）因为 ,根据 即可求得答案.
【详解】
（1）当 时,
①当 时, ,得 ；
②当 时, ,得 ,
3y x= 2 2( 2) ( 3) 3x y− + − =
t l ( )3 3 1y x− = − 3y x=
2 2 2x yρ = + cos , sinx yρ θ ρ θ= = C
2 2 4 2 3 4 0x y x y+ − − + = ( ) ( )222 3 3x y− + − =
3
π
l 3
πθ = C
2 5 4 0ρ ρ− + = 4A BOA OB ρ ρ⋅ = =
( ) 1 2 2f x x x a= − + +
1a = ( ) 4f x ≥
x∈R ( )2 2f x a a≥ + −
[ )5, 1,3x ∈ −∞ − +∞
1a = ( ) 1 2 2f x x x= − + + 1x ≤ − 1 1x− < < 1x ≥ ( ) 4f x ≥
( ) ( )2 2 1f x x x a x a= − + + + + | | | | | | | | | |a b a b a b− ≤ + ≤ +
1a = ( ) 1 2 2f x x x= − + +
1x ≤ − ( ) 1 2 2 4f x x x= − − − ≥ 5
3x ≤ −
1 1x− < < ( ) 1 2 2 3 4f x x x x= − + + = + ≥ 1x ≥ 24 / 24
∴
③当 时, ,得 ,
∴ .
（2）
.
对任意 , .
【点睛】
本题主要考查了含绝对值不等式的求解,其中解答中合理分类讨论去掉绝对值,转化为等价不等式求解是解
答的关键,着重考查了分类讨论思想,以及推理与运算能力,属于中档试题.
x∈∅
1x ≥ ( ) 1 2 2 3 1 4f x x x x= − + + = + ≥ 1x ≥
[ )5, 1,3x ∈ −∞ − +∞
( ) ( ) ( )2 2 1 2 1f x x x a x a x x a x a= − + + + + ≥ − − − + +
( )2 1 2 1 2 2 2a x a a a a a= + + + ≥ + = + ≥ + −
∴ x∈R ( )2 2f x a a≥ + −
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