2021高三一轮复习数学（文）模拟试卷-各地优质试题重组卷（新课标版）（全国Ⅰ卷）（解析版）

1 / 28 07-2021 高三一轮复习数学模拟试卷（文）-各地优质试题重组卷（新课标版） 全国Ⅰ卷 注意事项： 1.本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。答题前，现将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上， 并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非 答题区域均无效。 4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答 题区域内，写在试题卷。草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 5.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、单选题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。（1-11 每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的；12 小题给出的四个选项中，有两个以上项是符合题目要求的。） 1．(本题 5 分)复数 的实部为 A．-1 B．0 C．1 D．2 【来源】黑龙江省鹤岗市工农区第一中学 2019-2020 学年高二上学期期末数学（文）试题 【答案】B 【解析】 【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】 = = ， ∴复数 的实部为 0． 故选 B． 【点睛】 5 1 2 2 iz i −= + 5 1 2 2 iz i −= + 1 2 2 i i − + ( )( ) ( )( ) 1 2 2 5 2 2 5 i i i ii i − − −= = −+ − 1 2 2 iz i += + 2 / 28 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题． 2．(本题 5 分)已知集合 ，集合 ，则 （ ） A． B． C． D． 【来源】2020 届山东省青岛市高三 4 月统一质量检测（一模)数学试题 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出集合 ，集合 ，由此能求出 ． 【详解】 解： 集合 ， 集合 ， ． 故选：A． 【点睛】 本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 3．(本题 5 分)设命题 若函数 是减函数，则 ，命题 若函数 在 上是单调递增，则 .那么下列命题为真命题的是（ ） A． B． C． D． 【来源】河南省开封市五县联考 2019-2020 学年高二上学期期中数学（理)试题 【答案】D 【解析】 【分析】 先判断出命题 、 的真假，然后利用复合命题的真假判断出各选项中命题的真假. 【详解】 若函数 是减函数，则 ，解得 ，命题 为真命题； 若函数 在 上是单调递增，其对称轴为直线 ，则 ，解得 ， 命题 为假命题. 2{ | log 2}A x R x= ∈ < { }| 1 2B x R x= ∈ − < A B = (0,3) ( 1,3)− (0, 4) ( ,3)−∞ A B A B  2{ | log 2} { | 0 4}A x R x x x= ∈ < = < < { || 1| 2} { | 1 3}B x R x x x= ∈ − < = − < < { | 0 3} (0,3)A B x x∴ = < < = :p ( ) ( )3 2 xf x a= − − 1a < :q ( ) 2 2 4g x x ax= + + [ )2,+∞ 2a < − p q∧ p¬ ( )p q¬ ∨ ( )p q¬∧ p q ( ) ( )3 2 xf x a= − − 3 2 1a− > 1a < p ( ) 2 2 4g x x ax= + + [ )2,+∞ x a= − 2a− ≤ 2a ≥ − q 3 / 28 因此， 为假， 为假， 为假， 为真. 故选：D. 【点睛】 本题考查复合命题真假的判断，同时也考查了指数函数与二次函数的单调性，解题的关键就是判断出各简 单命题的真假，考查推理能力，属于中等题. 4．(本题 5 分)已知点 ， ，点 在 轴上，当 取最小值时， 点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【来源】山东省济宁市微山县第二中学 2019-2020 学年高一下学期第一学段教学质量监测数学试题 【答案】D 【解析】 试题分析：设 ，则 ，所以 ， 由二次函数的性质得，当 时有最小值，所以 点的坐标是 ． 考点：1．向量的运算；2．二次函数． 5．(本题 5 分)记等差数列 的前 n 项和为 ，且 ， ，则 （ ） A．9 B．11 C．19 D．21 【来源】河南省濮阳市 2020 届高三第二次模拟考试数学（文)试题 【答案】C 【解析】 【分析】 设等差数列 的公差为 ，根据条件列出首项 和公差 的方程，求出通项公式，从而可得出答案. 【详解】 设等差数列 的公差为 ， 由 ， ，得 解得 所以 ，故 . 故选：C p q∧ p¬ ( )p q¬ ∨ ( )p q¬∧ (2, 1)A − (4,2)B P x PA PB⋅  P (2,0) (4,0) 10( ,0)3 (3,0) P (3,0) { }na nS 3 5a = 4 2 4S S = 10a = { }na d 1a d { }na d 3 5a = 4 2 4S S = 1 1 1 2 5, 4 6 8 4 . a d a d a d + =  + = + 1 1 2 a d =  = ， ， 1 2( 1) 2 1na n n= + − = − 10 19a = 4 / 28 【点睛】 本题考查等差数列的通项公式、前 n 项和公式，考查数学运算的核心素养,属于基础题. 6．(本题 5 分)若将函数 图象上的每一个点都向左平移 个单位，得到 的图象，若函数 是偶函数，则函数 的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 【来源】2020 届福建省高三下学期教学反馈检测数学（理)试题 【答案】D 【解析】 【分析】 由函数 是偶函数，可计算得 结合 ，可得 ，故 ， 令 ，即得解. 【详解】 由题意： 若函数 是偶函数， 则 又 令 则函数 的单调递减区间为： ( ) 2sin(2 ) 0 2f x x πθ θ = + <  ( )y f x a= − 1x 2x 3x 4x 1 2 3 4x x x x− + + [ )3,3 e+ ( )3,3 e+ ( )3,+∞ ( ]3,3 e+ ( )f x ( )y f x a= − ( )y f x= y a= 0x ≤ 2( 1)( ) 2( 1) xf x x e′ += + ( ) 0 1 0f x x′ > ⇒ − < ≤ ( ) 0 1f x x′ < ⇒ < − ( )f x ( , 1)−∞ − ( ]1,0- 0( 1) 1, (0)f e f e− = = = 9 / 28 当 时， ； 则函数 在 上单调递减，在 上单调递增， 函数 有四个不同的零点，即两函数 与 图象有四个不同的交点 如下图所示 由图可知， 是方程 的两根，即 的两根 所以 是方程 的两根，即 的两个 所以 故选：D 【点睛】 本题主要考查了根据函数零点的个数求参数范围，属于难题. 11．(本题 5 分)已知抛物线 与椭圆 有相同的焦点 ， 是两曲线的公共 点，若 ，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【来源】陕西省汉中市 2019-2020 学年高三第六次质量检测数学（文)试题 0x > 2 2 2 4 4( ) 1 xf x x x ′ −= − = ( ) 0 2f x x′ > ⇒ > ( ) 0 0 2f x x′ < ⇒ < < ( )f x (0,2) ( )2,+¥ 4(2) 2 3 12f = + − = ( )y f x a= − ( )y f x= y a= 1 a e<  1 2,x x 2( 1)xe a+ = 2 2 1 ln 0x x a+ + − = ( ]1 2 ln 1 1,0x x a− = − ∈ − 3 4,x x 4 3x ax + − = 2 (3 ) 4 0x a x− + + = 3 4 3 (4, 3]x x a e+ = + ∈ + ( ]1 2 3 4 3, 3x x x x e∴− + + ∈ + 2 2y mx= ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > F P 5 6 mPF = 3 2 3 3 2 − 2 2 2 − 1 2 10 / 28 【答案】D 【解析】 【分析】 根据两个曲线的焦点相同,可得 .由抛物线定义可得 .结合两式即可用 表示出 点坐标.代入 椭圆方程,化简后根据齐次式形式即可求得离心率. 【详解】 抛物线 与椭圆 有相同的焦点 , 是两曲线的公共点, 所以 ,即椭圆中的 设 ,由抛物线定义可知 由题意 ,即 化简可得 将 变形为 代入等式可得 则 的坐标可化为 由点 在椭圆上,代入可得 ,化简可得 除以 可化为 即 解得 或 因为 所以 故选:D 【点睛】 本题考查了抛物线与椭圆标准方程及性质的综合应用,共焦点下两个方程的关系,齐次式下离心率的求法,属 2 mc = 2 2 2 3 my = c P 2 2y mx= ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > F P ,02 mF      2 mc = 2 ,2 yP ym       2 2 2 y mPF m = + 5 6 mPF = 2 5 2 2 6 y m m m + = 2 2 2 3 my = 2 mc = 2m c= 2 2 8 3 cy = P 2 2 6,3 3 c cP       P 2 2 2 2 2 2 2 4 8 9 3 1 c c a b b a c   + =  = − 4 2 2 44 37 9 0c a c a− + = 4a 4 24 37 9 0e e− + = ( )( )2 24 1 9 0e e− − = 2 1 4e = 2 9e = ( )0,1e∈ 1 2e = 11 / 28 于中档题. 12．(本题 5 分)已知函数 ，则以下结论正确的是（ ） A．函数 的单调减区间是 B．函数 有且只有 1 个零点 C．存在正实数 ，使得 成立 D．对任意两个正实数 ， ，且 ，若 则 【来源】山东省德州市夏津第一中学 2019-2020 学年高二下学期期中考试数学试题 【答案】ABD 【解析】 【分析】 A 选项，对函数求导，解对应不等式，可判断 A； B 选项，令 ，对其求导，研究单调性，根据零点存在定理，可判断 B； C 选项，先由 得到 ，令 ，用导数的方法判断其单调性，即可判定 C； D 选项，令 ，则 ，令 ，对其求导，判定其单调性，得到 ，令 ，根据题中条件，即可判定出 D. 【详解】 A 选项，因为 ，所以 ， 由 得， ；由 得， ， 因此函数 在 上单调递减，在 上单调递增；故 A 正确； B 选项，令 ，则 显然恒成立； 所以函数 在 上单调递减； 又 ， ， 所以函数 有且仅有一个零点；故 B 正确； ( ) 2 lnf x xx = + ( )f x (0,2) ( )y f x x= − k ( )f x kx> 1x 2x 1 2x x> ( ) ( )1 2f x f x= 1 2 4x x+ > ( ) 2 ln xx xxg += − ( )f x kx> 2 2 ln xk x x < + ( ) 2 2 ln xh x x x = + ( )0,2t ∈ ( )2 0,2t− ∈ ( ) ( ) ( )2 2g t f t f t= + − − ( ) ( )2 2f t f t+ < − 1 2 2x t= + > ( ) 2 lnf x xx = + ( ) 2 2 2 1 2xf x x x x −′ = − + = ( ) 0f x′ > 2x > ( ) 0f x′ < 0 2x< < ( )f x (0,2) (2, )+∞ ( ) 2 ln xx xxg += − ( ) 2 2 2 2 2 1 7 2 1 2 2 01 4xx x x x x xg x  − + − +  +′ = − − −== + ( )2 1 2 ln 2 1ln 2 0g = − = − 2 2 ln xk x x < + ( ) 2 2 ln xh x x x = + ( ) 4 2 3 4 1 ln ln 4x x x x xh x x x x − − − −′ = + = ( ) ln 4u x x x x= − − ( ) 1 ln 1 lnu x x x′ = − − = − ( ) 0u x′ > 0 1x< < ( ) 0u x′ < 1x > ( )u x ( )0,1 ( )1,+∞ ( ) ( )1 3 0u x u≤ = − < ( ) 3 ln 4 0x x xh x x − −′ = < ( ) 2 2 ln xh x x x = + ( )0, ∞+ ( ) 2 2 ln xh x x x = + k ( )f x kx> ( )0,2t ∈ ( )2 0,2t− ∈ 2 2t+ > ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 22 2 ln 2 ln 2 ln2 2 4 2 t tg t f t f t t tt t t t += + − − = + + − − − = ++ − − − ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 22 2 4 16 2 4 8 02 24 4 t t tg t t tt t − − −′ = + ⋅ = − ( ) ( ) ( )1 2 2f x f x f t= < − 2 2x t> − 1 2 2 2 4x x t t+ > − + + = 1 4≥x 1 2 4x x+ > 1x 2x 1 2x x> ( ) ( )1 2f x f x= 1 2 4x x+ > ( )2cos cos cosA b C c B a+ = sin sin2 B Cc a C + = ( )2 2sin sin sin sin sinB C A B C− = − 13 / 28 已知 的内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且 ， ，__________.求 边上 的高 【来源】2020 届山东省德州市高三第一次(4 月)模拟考试数学试题 【答案】 【解析】 【分析】 依次计算选择①②③的情况，根据正弦定理和余弦定理，三角恒等变换计算得到 ， ，再利用等 面积法计算得到答案. 【详解】 若选①因为 ， 由正弦定理得： ， 即 ， ，因为 ，所以 . 由余弦定理得： ，所以 ， 化简得： ，所以 （舍去）或者 ，从而 . 设 边上的高是 ，所以 ，所以 ； 若选②由题设及正弦定理， ， 因为 ，所以 ， 由 ，可得 ，故 ， 因为 ，故 ，因此 ，下同选①； 若选③由已知得 ，故由正弦定理得 . 由余弦定理得 .因为 ，所以 ，下同选①. ABC A B C a b c 7a = 2b c− = BC 3 21 14 3A π= 3b = ( )2cos cos cosA b C c B a+ = ( )2cos sin cos sin cos sinA B C C B A+ = ( )2cos sin sinA B C A+ = 1cos 2A = 0 A π< < 3A π= 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 2 7 2 b c bc b c  + − =  − = 2 2 3 0c + c − = 3c = − 1c = 3b = BC h 1 1sin2 2bc A ah= 3 21 14h = sin sin sin sin2 B CC A C + = sin 0C ≠ sin sin2 B C A + = 180A B C+ + = ° sin cos2 2 B C A+ = cos 2sin cos2 2 2 A A A= cos 02 A ≠ 1sin 2 2 A = 3A π= 2 2 2sin sin sin sin sinB C A B C+ − = 2 2 2b c a bc+ − = 2 2 2 1cos 2 2 b c aA bc + −= = 0 A π< < 3A π= 14 / 28 故答案为： . 【点睛】 本题考查了正弦定理和余弦定理，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和应用能力. 14．(本题 5 分)观察下列等式：13＝12，13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规 律，第 n 个等式为____． 【来源】陕西省咸阳市旬邑县中学 2019-2020 学年高二下学期 3 月线上考试数学(理)试题 【答案】 【解析】 【分析】 根据等差的取值规律，利用归纳推理即可得到结论． 【详解】 ， ， ， ， 由归纳推理可得 ， 故答案为： 【点睛】 本题主要考查归纳推理的应用，利用等式的特点归纳出规律是解决本题的关键，比较基础． 15．(本题 5 分)已知正数 满足 ，则 的最小值为________. 【来源】甘肃省 2019-2020 学年高一下学期第一次学段考试数学（兰天班）试题 【答案】 【解析】 【分析】 令 ，则 ，利用基本不等式可求 的最小值. 【详解】 令 ，则 ， 3 21 14 2 3 3 3 3 3 ( 1)1 2 3 4 2 n nn + + + + + + =    21 1= 2 23 (1+2) =9= 2 26 (1+2+3) =36= 2 210 (1+2+3+4) =100= ∴ 3 3 3 3 2 2( 1)1 2 3 (1 2 ) [ ]2 n nn n ++ + +…+ = + +…+ = 2 3 3 3 3 3 ( 1)1 2 3 4 2 n nn + + + + + + =    ,x y 1x y+ = 4 1 2 1x y ++ + 9 4 2 , 1x a y b+ = + = 4( 2, 1)a b a b+ = > > 4 1 a b + 2 , 1x a y b+ = + = 4( 2, 1)a b a b+ = > > 15 / 28 ， 当且仅当 ，即 时取等号． 故答案为： . 【点睛】 本题考查基本不等式的应用，注意根据题设和目标代数式之间的联系做合适的换元，再对目标代数式做合 适变形以便产生积为定值，本题为中档题. 16．(本题 5 分)工人甲在某周五天的时间内，每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图(左边一列的数字表 示零件个数的十位数，右边的数字表示零件个数的个位数)，则该组数据的方差 的值为______． 【来源】2020 届高三 12 月第 01 期（考点 09)（文科)-《新题速递�数学》 【答案】 【解析】 【分析】 由茎叶图得该组数据的平均数，由此能求出该组数据的方差． 【详解】 解：由茎叶图得该组数据的平均数为： ， 该组数据的方差为： ． 故答案为： ． 【点睛】 本题考查方差的求法，考查平均数、方差、茎叶图等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想， 属于基础题． 4 1 1 4 1 1 4 1 9( ) 5 (5 4)4 4 4 4 b aa ba b a b a b    + = + + = + + ≥ + =       8 4,3 3a b= = 2 1,3 3x y= = 9 4 2s 1 8 7 2 2 1 2 22 5 1 (18 17 22 21 22) 205x = + + + + = ∴ 2 2 2 2 2 21 22[(18 20) (17 20) (22 20) (21 20) (22 20) ]5 5s = − + − + − + − + − = 22 5 16 / 28 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考生 都必须作答。第 22、23 题选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．(本题 12 分)已知正项数列 的前 n 项和为 ，且 . （1）求数列 的通项公式； （2）设 是 的前 n 项和，求使 成立的最大正整数 n. 【来源】2020 届高三三诊模拟数学（文)试题 【答案】（1） ；（2）5. 【解析】 【分析】 （1）当 时，根据 ，得到 ，两式相减得 ，再利 用等差数列的定义求解. （2）根据（1）得到 ，用裂项相消法求 ，然后再代入 求解. 【详解】 （1）当 时，由 ， 得 ， 两式相减得 ， 当 时， ，且 所以数列 是等差数列， ； （2） ， { }na nS 24 2 3n n nS a a= + − { }na 1 1 ( N ),n n n n b n Ta a ∗ + = ∈ { }nb 2 15nT < 2 1na n= + 2n ≥ 24 2 3n n nS a a= + − 2 1 1 14 2 3n n nS a a− − −= + − 1 2n na a −− = 1 1 1 1 (2 1)(2 3) 2 2 1 2 3nb n n n n  = = − + + + +  nT 2 15nT < 2n ≥ 24 2 3n n nS a a= + − 2 1 1 14 2 3n n nS a a− − −= + − 1 2,n na a −− = 1n = 1 3a = 2 1 2,a a− = { }na 2 1na n∴ = + 1 1 1 1 (2 1)(2 3) 2 2 1 2 3nb n n n n  = = − + + + +  17 / 28 ， 解得 ， 所以最大的正整数为 5. 【点睛】 本题主要考查数列通项公式和前 n 项和间的关系以及裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中 档题. 18．(本题 12 分)如图，PO 垂直圆 O 所在的平面，AB 是圆 O 的一条直径，C 为圆周上异于 A，B 的动点，D 为弦 BC 的中点， ， ． （1）证明：平面 平面 ； （2）当四面体 PABC 的体积最大时，求 B 到平面 PAC 的距离． 【来源】四川省棠湖中学 2019-2020 学年高二下学期第二次月考数学（文）试题 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】 （1）由题意可知 ，根据圆的几何性质可知 ；由中位线定理可得 ， 即可证明 （2）根据题意可知当 时，四面体 PABC 的体积最大，取线段 AC 的中点 E，连接 OE，PE，可由 勾股定理求得 ，进而求得 ，再根据等体积法即可求得 B 到平面 PAC 的距离． 【详解】 1 1 1 1 1 1 1 2 3 5 5 7 2 1 2 3 3(2 3)n nT n n n  ∴ = − + − +⋅⋅⋅+ − = + + +  2 ,3(2 3) 15 n n ∴ × × × 2 2 19 8 x y+ = 9x = x l l 9x = ( ) ( )222 4 3 49x y− + ± = ( ) ( )3,0 , 1,0A F 2x = 22 / 28 以线段MN为直径的圆恒过点 等价于 ,讨论直线 的斜率是否存在，写出直线，联立解出P、Q, 结合 写出直线 ,即可得到点 M，N，结合 ，即可说明 . 【详解】 （1）由已知得： 圆 C 的圆心一定在线段 AF 中垂线 上 由圆 C 与直线 相切，得：圆 C 的半径 设圆 C 的圆心坐标为 ，则有： ， 即圆心 圆 C 的方程为： （2）证明：当直线 斜率不存在时，其方程为 , 联立 ,解得 ，又因为 . 所以直线 为 . 可求得 M,N 两点坐标分别为 或 ，又 的斜率之积为： . 当直线 斜率存在时，设直线 的方程为： 联立方程组： ， 消去 整理得： F FM FN⊥ l (3,0)A PA QA、 ( )1,0F FM FN⊥ 3, 2 2, 1a b c= = = ( ) ( )3,0 , 1,0A F∴ ∴ 1 3 22x += = 9x = 9 2 7r = − = ( )2,C m ( ) ( )2 23 2 0 7, 4 3r AC m m= = − + − = = ± ( )2, 4 3C ± ∴ ( ) ( )222 4 3 49x y− + ± = l 1x = 2 2 1 19 8 x x y = + = 1 8 3 x y = = ± (3,0)A PM QA、 4 ( 3)3y x= ± − ( ) ( )9,8 , 9, 8M N − ( ) ( )9, 8 , 9,8M N− ( )1 0F ， ,FM FN∴ 8 0 8 0 19 1 9 1FM FNk k − − −⋅ = ⋅ = −− − FM FN∴ ⊥ l l ( ) ( ) ( )1 1 2 21 , , , ,y k x P x y Q x y= − ( ) 2 2 1 19 8 y k x x y  = − + = y ( )2 2 2 28 9 18 9 72 0k x k x k+ − + − = 2 2 1 2 1 22 2 18 9 72,8 9 8 9 k kx x x xk k −∴ + = =+ + 23 / 28 又设 由 P,A,M 共线得： ， 由 Q,A,N 共线得： ， 所以 FM,FN 的斜率之积为： 综上可知：恒有 以线段 MN 为直径的圆恒过点 F. 【点睛】 本题考查圆的标准方程与过定点问题,属于难题.确定圆的标准方程，一般需要确定其圆心与半径.圆过定点 需要将其转化为两直线垂直来证明. 21．(本题 12 分)设函数 ，其中 . （1）讨论 的单调性； （2）若不等式 恒成立，求实数 a 的取值范围； （3）求证：对于任意 ，存在实数 ，当 时， 恒成立. 【来源】江苏省宿迁市沭阳县修远中学 2019-2020 学年高二(普通班)下学期 4 月月考数学试题 【答案】（1）在 上为减函数，在 上为增函数；（2） ；（3）证明见解析 【解析】 【分析】 ( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 1 2 1 21 1 1y y k x k x k x x x x= − ⋅ − = − + +   ( ) ( )9, , 9,M NM y N y 1 1 1 1 0 0 6,3 9 3 3 M M y y yyx x − −= =− − − 2 2 2 2 0 0 6,3 9 3 3 N N y y yyx x − −= =− − − ( )( )1 2 1 2 0 0 9 9 1 9 1 64 16 3 3 M N M N FM FN y y y y y yk k x x − −⋅ = ⋅ = =− − − − ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 22 2 1 2 1 2 2 2 9 72 189 19 1 8 9 8 9 64 9 116 3 9 16 369 72 3 1816 98 9 8 9 k kkk x x x x k k k x x x x kk k k k  − − + − + +  + + − ×   = = = = −− + +   ×  − ×  − + + +  FM FN∴ ⊥ FM FN⊥ ∴ ( ) 2 lnf x ax a x= − − a R∈ ( )f x ( ) 1f x a≥ − 0a > 0x 0x x> ( ) 0f x > 10, 2a       1 ,2a  +∞    2 ea ≥ 24 / 28 （1）求出原函数的导函数 ．可得当 时， ，函数 在 上单调 递减；当 时，令 求得 值，把定义域分段，由导函数在不同区间段内的符号，可得原函数 的单调性； （2）由 恒成立，通过分离参数法，转化成不等式 恒成立，设 ，通过导函数求出 的单调性，进而得出 的最大值，即可求出 a 的取值范围； （3）由（1）可知当 时， 在 上为减函数，在 上为增函数，再分类讨论：① 当 时，当 时， ，此时取 ；②当 时，构造新函数，利用新函数的单调性， 可得出 时， ，此时取 ，综合两种情况，即可证明出. 【详解】 解：（1） ， ， ①当 时， 恒成立，所以 在 上为减函数； ②当 时，由 ，得 ，由 ，得 ； 由 ，得 ， 所以 在 上为减函数，在 上为增函数. （2）由 得， ，即不等式 ， 恒成立， 记 ，则 ，由 得， ； 由 得， ；由 得， . 所以 在 为增函数，在 上为减函数， 22 1( ) ( 0)axf x xx −′ = > 0a ( ) 0f x′ < ( )f x (0, )+∞ 0a > ( ) 0f x′ = x ( ) 1f x a≥ − ( )2 ln 1 0xa xx +≥ > ( ) 2 ln 1xg x x += ( )g x ( )g x 0a > ( )f x 10, 2a       1 ,2a  +∞    1 2a ≥ 1x > ( ) 0f x > 0 1x = 10 2a< < 1 1x a > − ( ) 1 1 0f x f a  > − >   0 1 1x a = − ( ) 21 2 12 axf x ax x x −′ = − = 0x > 0a ≤ ( ) 0f x′ < ( )f x ( )0, ∞+ 0a > ( ) 0f x′ = 1 2x a = ( ) 0f x′ > 1 2x a > ( ) 0f x′ < 10 2x a < < ( )f x 10, 2a       1 ,2a  +∞    ( ) 1f x a≥ − 2 ln 1ax x≥ + 2 ln 1xa x +≥ 0x > ( ) 2 ln 1xg x x += ( ) 3 2ln 1xg x x − −′ = ( ) 0g x′ = 1 2x e −= ( ) 0g x′ > 1 20 x e −< < ( ) 0g x′ < 1 2x e −> ( )g x 1 20,e −      1 2e , − +∞    25 / 28 所以 ，所以 . （3）证明：由（1）知， 当 时， 在 上为减函数，在 上为增函数. ①当 ，即 时，因为 在 上为增函数， 又 ，所以，当 时， ，此时取 . ②当 ，即 时， 因为 ，所以 ， ，令 ， ，则上式 ， 记 ， ，则 ， 所以 在 上为增函数，所以 ，即 ， 因为 在 上为增函数，且 ， 所以当 时， ，此时取 . 综上，对于任意 ，存在实数 ，当 时， 恒成立. 【点睛】 本题考查利用导数研究函数的单调性、极值和最值，还运用分离参数法求解参数的取值范围，同时考查分 类讨论思想和计算能力，是中档题． （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题积分。 选修 4-4：坐标系与参数方程 ( ) 1 2 max 2 eg x g e − = =    2 ea ≥ 0a > ( )f x 10, 2a       1 ,2a  +∞    1 12a ≤ 1 2a ≥ ( )f x 1 ,2a  +∞    ( )1 0f = 1x > ( ) 0f x > 0 1x = 1 12a > 10 2a< < 1 1 1 11 2 1 1 02 2 2a a a a   − − = + − >       1 11 2a a − > 1 1 11 2 ln 1f a a a    − = − − −       1 1t a = − 1t > 1 lnt t= − − ( ) 1 lnh t t t= − − 1t > ( ) 11 0h t t ′ = − > ( )h t ( )1,+∞ ( ) ( )1 0h t h> = 1 1 0f a  − >   ( )f x 1 ,2a  +∞    1 11 2a a − > 1 1x a > − ( ) 1 1 0f x f a  > − >   0 1 1x a = − 0a > 0x 0x x> ( ) 0f x > 26 / 28 22．(本题 10 分)在平面直角坐标系中，曲线 的方程为 ，以 为极点， 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系，曲线 是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线 与曲线 交于点 . （1）求曲线 的参数方程， 的极坐标方程； （2）若 ， 是曲线 上的两点，求 的值. 【来源】2020 届西南名校联盟高考适应性月考卷(二)数学（文)试题 【答案】（1） （ 为参数）， ； （2） . 【解析】 【分析】 （1）根据椭圆的标准方程直接写出椭圆的参数方程即可，利用圆的几何性质可以求出圆的极坐标方程，把 点的坐标代入极坐标方程中，求出圆的半径，即求出圆的极坐标方程； （2）根据极坐标方程与直角坐标方程的转换公式直接求出椭圆的极坐标方程，把两点坐标代入椭圆的极坐 标方程中，最后利用同角的三角函数关系式求值即可. 【详解】 （1）曲线 的参数方程为 （ 为参数）， 设圆 的半径为 ，则圆 的方程为 ， 将点 代入得 ， 解得 ， ∴圆 的极坐标方程为 ， （2）曲线 的极坐标方程为 ， 1C 2 2 116 4 x y+ = O x 2C 4 πθ = 2C 2, 4D π     1C 2C ( )1,A ρ θ 2 , 2B πρ θ +   1C 2 2 1 2 1 1 ρ ρ+ 4cos , 2sin , x y θ θ =  = θ 2cosρ θ= 5 16 1C 4cos , 2sin , x y θ θ =  = θ 2C R 2C 2 cosRρ θ= 2, 4D π     22 2 2R= ⋅ 1R = 2C 2cosρ θ= 1C 2 2 2 2cos sin 116 4 ρ θ ρ θ+ = 27 / 28 将 ， 代入得 ， ， ∴ . 【点睛】 本题考查了椭圆标准方程转化为参数方程，考查了椭圆的极坐标方程，考查了圆的极坐标方程，考查了数 学运算能力. 选修 4-5：不等式选讲。 23．(本题 10 分)设函数 的最小值为 . （1）求 的值 （2）若 ， ， 为正实数，且 ，求证： 【来源】2020 届安徽省淮北市高三下学期第二次模拟理科数学试题 【答案】（1） （2）证明见解析； 【解析】 【分析】 （1）分类讨论去 中的绝对值，转化为分段函数，求出每段函数值的取值范围，即可求解； （2）由（1）得 ，利用已知等式有 ，再应用基本不等式， 即可证明结论. 【详解】 （1） 当 时， ；当 时， ； 当 时， ， 所以当 时， 取最小值 . （2）由（1）可知 ，因为 ， ， 为正实数， ( )1,A ρ θ 2 , 2B πρ θ +   2 2 2 1 1cos sin 116 4 ρ θ ρ θ+ = 2 2 2 2 2 2sin cos 116 4 ρ θ ρ θ+ = 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 cos sin sin cos 5 16 4 16 4 16 θ θ θ θ ρ ρ    + = + + + =       ( ) 2 2 1f x x x= + + − m m a b c 1 1 1 2 2 3 3ma mb mc + + = 2 1 9 9 3 2 a b c+ + ≥ 3m = ( )f x 3m = 2 1 1 1 1 2 9 9 3 2 2 3 9 9 3 a b c a b c a b c   + + = + + + +     ( ) 3 , 2 2 2 1 4, 2 1 3 , 1 x x f x x x x x x x − ≤ − = + + − = − + − <