人教A版高中数学选修1-1：单元质量评估（二） Word版含答案.doc

温馨提示： 此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。 关闭 Word 文档返回原板块。 单元质量评估(二) 第二章 (120 分钟　150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1.椭圆 + =1 与双曲线 - =1 有相同的焦点,则 k 应满足的条件是　(　　) A.k>3 B.2n 且 e1e2>1 B.m>n 且 e1e2n,(e1e2)2>1,所以 e1e2>1.4.(2016·潍坊高二检测)设椭圆 + =1(m>0,n>0)的右焦点与抛物线 y2=8x 的焦点相同, 离心率为 ,则此椭圆的方程为　(　　) A. + =1 B. + =1 C. + =1 D. + =1 【解析】选 B.因为 y2=8x 的焦点为(2,0), 所以 + =1 的右焦点为(2,0),所以 m>n 且 c=2. 又 e= = ,所以 m=4. 因为 c2=m2-n2=4,所以 n2=12. 所以椭圆方程为 + =1. 【补偿训练】(2016·成都高二检测)已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F( ,0),直线 y=x-1 与其相交于 M,N 两点,MN 中点的横坐标为- ,则此双曲线的方程是　(　　) A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1 【解题指南】先根据题意设出双曲线的方程 - =1,然后与直线方程联立方程组,消元得二 元一次方程,根据根与系数的关系及 MN 中点的横坐标建立 a,b 的一个方程,又双曲线中有 c2=a2+b2,则另得 a,b 的一个方程,最后解 a,b 的方程组即得双曲线方程. 【解析】选 B.设双曲线方程为 - =1, 将 y=x-1 代入 - =1, 整理得(b2-a2)x2+2a2x-a2-a2b2=0, 由根与系数的关系得 x1+x2= , 则 = =- . 又 c2=a2+b2=7,解得 a2=2,b2=5, 所以双曲线的方程为 - =1.5.P 是长轴在 x 轴上的椭圆 + =1 上的点,F1,F2 分别为椭圆的两个焦点,椭圆的半焦距为 c,则|PF1|·|PF2|的最大值与最小值之差一定是　(　　) A.1 B.a2 C.b2 D. c2 【解析】选 D.由椭圆的几何性质得 |PF1|∈, |PF1|+|PF2|=2a, 所以|PF1|·|PF2|≤ =a2, 当且仅当|PF1|=|PF2|时取等号. |PF1|·|PF2|=|PF1|(2a-|PF1|) =-|PF1|2+2a|PF1|=-(|PF1|-a)2+a2 ≥-c2+a2=b2, 所以|PF1|·|PF2|的最大值与最小值之差为 a2-b2=c2. 6.(2016·天津高二检测)已知双曲线 - =1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线 y2=2px(p>0) 的准线分别交于 A,B 两点,O 为坐标原点.若双曲线的离心率为 2, △AOB 的面积为 ,则 p=　(　　) A.1 B. C.2 D.3 【解析】选 C.因为 e=2,所以 b 2=3a2,双曲线的两条渐近线方程为 y=± x,不妨设 A= ,B ,则 AB= p,又三角形的高为 ,则 S △ AOB= × × p= ,即 p2=4,又因为 p>0,所以 p=2. 7.(2016·东营高二检测)已知点 P 是抛物线 y2=-8x 上一点,设点 P 到此抛物线准线的距离 是 d1,到直线 x+y-10=0 的距离是 d2,则 d1+d2 的最小值是　(　　) A. B.2 C.6 D.3 【解析】选 C.抛物线 y2=-8x 的焦点 F(-2,0),根据抛物线的定义知,d1+d2=|PF|+d2,显然当 由点 F 向直线 x+y-10=0 作垂线与抛物线的交点为 P 时,d1+d2 取到最小值,即 =6. 8.若直线 y=kx-2 与抛物线 y2=8x 交于 A,B 两个不同的点,且 AB 的中点的横坐标为 2,则 k 等于　(　　) A.2 或-1 B.-1 C.2 D.1± 【解析】选 C.由 消去 y 得, k2x2-4(k+2)x+4=0, 故Δ=2-4k2×4=64(1+k)>0, 解得 k>-1,由 x1+x2= =4, 解得 k=-1 或 k=2,又因为 k>-1,故 k=2. 【易错警示】本题易忽略Δ>0 而错选 A. 9.(2016·邯郸高二检测)设双曲线 - =1(a>0,b>0)的虚轴长为 2,焦距为 2 ,则双曲线 的渐近线方程为　(　　) A.y=± x B.y=± x C.y=± x D.y=±2x 【解析】选 A.由题意得 解得 所以 a= = , 因此双曲线的方程为 -y2=1, 所以渐近线方程为 y=± x. 10.(2015·福建高考)已知椭圆 E: + =1(a>b>0)的右焦点为 F,短轴的一个端点为 M,直线 l:3x-4y=0 交椭圆 E 于 A,B 两点.若|AF|+|BF|=4,点 M 到直线 l 的距离不小于 ,则椭圆 E 的 离心率的取值范围是　(　　) A. B.C. D. 【解析】选 A.不妨设左焦点为 F2,连接 AF2,BF2,由椭圆的对称性可知四边形 AFBF2 的对角线 互相平分,所以四边形 AFBF2 为平行四边形,所以 + = + =2a=4,所以 a=2,设 M(0,b),所以 d= b≥ ⇒b≥1,所以 e= = ≤ = , 又 e∈(0,1),所以 e∈ . 11.(2016·哈尔滨高二检测)已知椭圆 E: + =1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0),过点 F 的直 线交椭圆于 A,B 两点.若 AB 的中点坐标为(1,-1),则 E 的标准方程 为　(　　) A. + =1 B. + =1 C. + =1 D. + =1 【解析】选 D.设 A 点坐标为(x1,y1), B 点坐标为(x2,y2), 所以 两式相减得, = , 即 = , 因为 x1+x2=2,y1+y2=-2,所以 k= = , 又因为 k= = ,所以 = , 又因为 c2=a2-b2=2b2-b2=b2,c2=9, 所以 b2=9,a2=18, 即 E 的标准方程为 + =1. 12.(2016·宝鸡高二检测)设抛物线 C:y 2=3px(p>0)的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF|=5,若以 MF 为直径的圆过点 A(0,2),则 C 的方程为　(　　) A.y2=4x 或 y2=8x B.y2=2x 或 y2=8x C.y2=4x 或 y2=16x D.y2=2x 或 y2=16x【解析】选 C.由已知得 F ,A(0,2),M , 因为 AF⊥AM,所以 kAF·kAM=-1, 即 × =-1, 所以 -8y0+16=0,所以 y0=4,所以 M , 因为|MF|=5,所以 5= , 所以 =9. 所以 - =3 或 - =-3, 所以 9p2-36p-64=0,① 或 9p2+36p-64=0,② 由①得 p=- (舍),p= . 由②得 p= ,p=- , 所以 C 的方程为 y2=4x 或 y2=16x. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线上) 13.椭圆 mx2+ny2=1 与直线 l:x+y=1 交于 M,N 两点,过原点与线段 MN 中点的直线斜率为 , 则 =　　　　. 【解析】设 M(x1,y1),N(x2,y2), 所以 m +n =1　① m +n =1　② 又因为 =-1,所以①-②得:m=n· , 因为 = = , 所以 m= n,所以 = .答案: 14.直线 y=kx+1(k∈R)与椭圆 + =1 恒有公共点,则 m 的取值范围为　　　　. 【解析】将 y=kx+1 代入椭圆方程,消去 y 并整理,得(m+5k2)x2+10kx+5-5m=0. 由 m>0,5k2≥0,知 m+5k2>0,故 Δ=100k2-4(m+5k2)(5-5m)≥0 对 k∈R 恒成立. 即 5k2≥1-m 对 k∈R 恒成立,故 1-m≤0,所以 m≥1. 又因为 m≠5,所以 m 的取值范围是 m≥1 且 m≠5. 答案:m≥1 且 m≠5 【易错警示】本题易忽略隐含条件 m≠5 而出错. 15.(2015·山东高考)过双曲线 C: - =1(a>0,b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直 线,交 C 于点 P,若点 P 的横坐标为 2a,则 C 的离心率为　　　　　. 【解题指南】本题是双曲线性质的综合应用,应从焦点和渐近线出发构造 a,b,c 的关系,进 而求出离心率 e. 【解析】将 y= (x-c)代入 - =1 消去 y 得 - =1,因为 xP=2ab>0),F1,F2 分别是椭圆的左、右焦 点,椭圆上总存在点 P 使得 PF1⊥PF2,则椭圆的离心率的取值范围 为　(　　) A. B. C. D. 【解析】选 A.由 PF1⊥PF2,知△F1PF2 是直角三角形,所以|OP|=c≥b,即 c2≥a2-c2,所以 a≤ c, 因为 e= ,00), 因为点 在抛物线上,所以 6=2p× , 所以 p=2,所以所求抛物线方程为 y2=4x. 因为双曲线左焦点在抛物线的准线 x=-1 上, 所以 c=1,即 a2+b2=1, 又点 在双曲线上,所以 - =1,由 解得 a2= ,b2= . 所以所求双曲线方程为 4x2- y2=1. 【补偿训练】若已知椭圆 + =1 与双曲线 x2- =1 有相同的焦点,又椭圆与双曲线交于点 P ,求椭圆及双曲线的方程. 【解析】由椭圆与双曲线有相同的焦点得 10-m=1+b,即 m=9-b,① 又因为点 P 在椭圆、双曲线上,所以 y2= m,② y2= .③ 解由①②③组成的方程组得 m=1,b=8, 所以椭圆方程为 +y2=1,双曲线方程为 x2- =1. 18.(12 分)求以直线 x+2y=0 为渐近线,且截直线 x-y-3=0 所得弦长为 的双曲线的标准方 程. 【解析】由于双曲线的渐近线方程为 x+2y=0,故可设双曲线方程为 x2-4y2=λ(λ≠0). 设直线 x-y-3=0 与双曲线的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2). 联立方程组 消去 y, 整理得 3x2-24x+36+λ=0. 由Δ=(-24)2-3×4(36+λ)>0,解得λ0)上的一点,F1,F2 为椭圆的两焦点,若 PF1⊥ PF2,试求: (1)椭圆的方程. (2)△PF1F2 的面积. 【解析】(1)令 F1(-c,0),F2(c,0)(c>0), 则 b2=a2-c2.因为 PF1⊥PF2,所以 · =-1,即 · =-1, 解得 c=5,所以设椭圆方程为 + =1. 因为点 P(3,4)在椭圆上,所以 + =1. 解得 a2=45 或 a2=5. 又因为 a>c,所以 a2=5(舍去). 故所求椭圆方程为 + =1. (2)由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=6 ,① 又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=100,② ①2-②得 2|PF1|·|PF2|=80, 所以 = |PF1|·|PF2|=20. 【补偿训练】已知抛物线 C:y2=2px(p>0)过点 A(1,-2). (1)求抛物线 C 的方程,并求其准线方程. (2)是否存在平行于 OA(O 为坐标原点)的直线 l,使得直线 l 与抛物线 C 有公共点,且直线 OA 与 l 的距离等于 ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. 【解析】(1)将(1,-2)代入 y2=2px, 得(-2)2=2p·1,所以 p=2. 故所求的抛物线 C 的方程为 y2=4x,其准线方程为 x=-1. (2)假设存在符合题意的直线 l, 其方程为 y=-2x+t. 由 得 y2+2y-2t=0. 因为直线 l 与抛物线 C 有公共点, 所以Δ=4+8t≥0,解得 t≥- . 另一方面,由直线 OA 到 l 的距离 d= , 可得 = ,解得 t=±1. 因为-1∉ ,1∈ ,所以符合题意的直线 l 存在,其方程为 2x+y-1=0. 21.(12 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,它的一个顶点恰好是抛物线 y= x2 的焦点,离心率为 . (1)求椭圆 C 的标准方程. (2)过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点,交 y 轴于点 M,若 =m , =n ,求 m+n 的值. 【解析】(1)设椭圆 C 的标准方程为 + =1(a>b>0). 抛物线方程可化为 x2=4y,其焦点为(0,1), 则椭圆 C 的一个顶点为(0,1),即 b=1. 由 e= = = . 得 a2=5,所以椭圆 C 的标准方程为 +y2=1. (2)易求出椭圆 C 的右焦点 F(2,0), 设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(0,y0),显然直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y=k(x-2), 代入方程 +y2=1, 得(1+5k2)x2-20k2x+20k2-5=0. 所以 x1+x2= ,x1x2= . 又 =(x1,y1-y0), =(x2,y2-y0), =(x1-2,y1), =(x2-2,y2). 因为 =m , =n , 所以 m= ,n= , 所以 m+n= , 又 2x1x2-2(x1+x2)= =- , 4-2(x1+x2)+x1x2=4- + = , 所以 m+n=10. 22.(12 分)(2016·北京高考)已知椭圆 C: + =1 过 A(2,0),B(0,1)两点. (1)求椭圆 C 的方程及离心率. (2)设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上,直线 PA 与 y 轴交于点 M,直线 PB 与 x 轴交于点 N, 求证:四边形 ABNM 的面积为定值. 【解题指南】(1)把 A,B 两点代入可求得 a,b. (2)设 P(x0,y0),表示出直线 AP,BP 方程,求出点 M,N 坐标,表示出面积.再利用点 P 在椭圆上 化简整理为定值. 【解析】(1)把 A(2,0),B(0,1)分别代入椭圆方程得 a=2,b=1.所以椭圆 C 的方程为 +y2=1. 因为 c= = , 所以离心率 e= = . (2)设 P(x0,y0),其中 x0