人教a版数学【选修1-1】作业：第三章《导数及其应用》章末检测（b）（含答案）.doc

第三章　章末检测(B) (时间：120 分钟　满分：150 分) 一、选择题(本大题 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1. 已知函数 y＝f(x)的图象如图，则 f′(xA)与 f′(xB)的大小关系是(　　) A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)0，函数 f(x)＝－x3＋ax 在[1，＋∞)上是单调减函数，则 a 的最大值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 8．若函数 f(x)＝asin x＋1 3cos x 在 x＝π 3处有最值，那么 a 等于(　　) A. 3 3 B．－ 3 3 C. 3 6 D．－ 3 6 9．函数 y＝x－sin x，x∈[π 2，π ]的最大值是(　　) A．π－1 B.π 2－1 C．π D．π＋1 10. 函数 f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数 f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函 数 f(x)在开区间(a，b)内有极小值点(　　) 2 ,3 π π    2 ,3 π π   A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 11．函数 f(x)＝ x 1－x的单调增区间是(　　) A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(－∞，1)，(1，＋∞) D．(－∞，－1)，(1，＋∞) 12．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率成正比，比例系数 为 k (k>0)，贷款的利率为 4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为 x (x∈ (0,0.048))，则存款利率为多少时，银行可获得最大利益(　　) A．0.012 B．0.024 C．0.032 D．0.036 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13．已知函数 y＝f(x)的图象在点 M(1，f(1))处的切线方程是 y＝1 2x＋2，则 f(1)＋f′(1)＝ ________________________________________________________________________. 14．设函数 f(x)＝ax3－3x＋1 (x∈R)，若对于 x∈[－1，1]，都有 f(x)≥0，则实数 a 的值 为________________________________________________________________________． 15. 如图，内接于抛物线 y＝1－x2 的矩形 ABCD，其中 A、B 在抛物线上运动，C、D 在 x 轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________． 16．已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，x∈[－2,2]表示过原点的曲线，且在 x＝±1 处的切 线的倾斜角均为 3 4π，有以下命题： ①f(x)的解析式为 f(x)＝x3－4x，x∈[－2,2]． ②f(x)的极值点有且只有一个． ③f(x)的最大值与最小值之和等于零． 其中正确命题的序号为________． 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分) 17．(10 分)若函数 f(x)＝1 3x3－1 2ax2＋(a－1)x＋1 在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞) 上为增函数，试求实数 a 的取值范围．18．(12 分)已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c 在 x＝－2 3与 x＝1 时都取得极值． (1)求 a，b 的值与函数 f(x)的单调区间； (2)若对 x∈[－1,2]，不等式 f(x)ln 2－1 且 x>0 时，ex>x2－2ax＋1.22．(12 分)已知函数 f(x)＝x2＋ln x. (1)求函数 f(x)在[1，e]上的最大值和最小值； (2)求证：当 x∈(1，＋∞)时，函数 f(x)的图象在 g(x)＝2 3x3＋1 2x2 的下方． 第三章　导数及其应用(B) 答案 1．B　[f′(xA)和 f′(xB)分别表示函数图象在点 A、B 处的切线斜率，故 f′(xA)0，又 x≠1， ∴f(x)的单调增区间为(－∞，1)，(1，＋∞)．] 12．B　[由题意知，存款量 g(x)＝kx (k>0)，银行应支付的利息 h(x)＝xg(x)＝kx2， x∈(0，0.048)．设银行可获得收益为 y，则 y＝0.048kx－kx2.于是 y′＝0.048k－2kx，令 y′＝0，解得 x＝0.024，依题意知 y 在 x＝0.024 处取得最大值．故当存款利率为 0.024 时， 银行可获得最大收益．]13．3 解析　由切点(1，f(1))在切线 y＝1 2x＋2 上， 得 f(1)＝1 2×1＋2＝5 2.又∵f′(1)＝1 2， ∴f′(1)＋f(1)＝1 2＋5 2＝3. 14．4 解析　若 x＝0，则不论 a 取何值，f(x)≥0，显然成立； 当 x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0 可转化为 a≥3 x2－1 x3， 设 g(x)＝3 x2－1 x3，则 g′(x)＝3(1－2x) x4 ， 所以 g(x)在区间(0，1 2 )上单调递增，在区间(1 2，1 ]上单调递减， 因此 g(x)max＝g(1 2 )＝4，从而 a≥4； 当 x∈[－1,0)时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0 可转化为 a≤3 x2－1 x3， 设 g(x)＝3 x2－1 x3，则 g′(x)＝3(1－2x) x4 ， 所以 g(x)在区间[－1,0)上单调递增． 因此 g(x)min＝g(－1)＝4，从而 a≤4， 综上所述，a＝4. 15.4 3 9 解析　设 CD＝x，则点 C 坐标为(x 2，0 ). 点 B 坐标为(x 2，1－(x 2 )2)， ∴矩形 ABCD 的面积 S＝f(x)＝x·[1－(x 2 )2] ＝－x3 4＋x (x∈(0,2))． 由 f′(x)＝－3 4x2＋1＝0， 得 x1＝－ 2 3(舍)，x2＝ 2 3 ， ∴x∈(0， 2 3)时，f′(x)>0，f(x)是递增的， x∈( 2 3 ，2)时，f′(x)0， ∴a≤x2－1 x－1 ＝x＋1. 又∵x＋1∈(7，＋∞)，∴a≤7， ② ∵①②同时成立，∴5≤a≤7. 经检验 a＝5 或 a＝7 都符合题意， ∴所求 a 的取值范围为 5≤a≤7. 18．解　(1)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c， f′(x)＝3x2＋2ax＋b， 由 f′(－2 3 )＝12 9 －4 3a＋b＝0， f′(1)＝3＋2a＋b＝0 得 a＝－1 2，b＝－2. f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)， 令 f′(x)>0，得 x1， 令 f′(x)g(0)． 而 g(0)＝0，从而对任意 x∈(0，＋∞)，都有 g(x)>0， 即 ex－x2＋2ax－1>0， 故 ex>x2－2ax＋1. 22．(1)解　∵f(x)＝x2＋ln x，∴f′(x)＝2x＋1 x. ∵x>1 时，f′(x)>0， ∴f(x)在[1，e]上是增函数， ∴f(x)的最小值是 f(1)＝1，最大值是 f(e)＝1＋e2. (2)证明　令 F(x)＝f(x)－g(x) ＝1 2x2－2 3x3＋ln x， ∴F′(x)＝x－2x2＋1 x＝x2－2x3＋1 x ＝x2－x3－x3＋1 x ＝ (1－x)(2x2＋x＋1) x . ∵x>1，∴F′(x)