2021年高考数学三年真题与两年模拟考点分类解读考点17 复数的概念与运算 （新高考地区专用）（解析版）

考点 17 复数的概念与运算 1. 了解数系的扩充过程,理解复数的基本概念、代数表示法以及复数相等的充要条件 . 2. 理解复数代数形式的四则运算法则,能进行复数代数形式的四则运算 . 3. 了解复数的几何意义,了解复数代数形式的加、减运算的几何意 高考中,复数部分考查的重点是复数的有关概念、复数的代数形式的四则运算,一般以填空题的 形式出现,难度不大,预计今后的高考还会保持这个趋势 . 在复习这部分内容时,应注意避免繁琐 的计算,注重技巧训练 。 在高考中,复数每年都有考查,但都是最基本的考查 . 位置一般在填空题的前 4 题 . 考查内 容主要是复数的基本概念与四则运算,如纯虚数、实部、虚部等概念,其中复数的除法运算法则 是分母实数化。因此，在复习中要注重基础知识的复习： 1、【2020 年北京卷】在复平面内，复数 对应的点的坐标是 ，则 （ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意得 ， . 故选：B. 2、【2020 年江苏卷】已知 是虚数单位，则复数 的实部是_____. 【答案】3 z (1,2) i z⋅ = 1 2i+ 2 i− + 1 2i− 2 i− − 1 2z i= + 2iz i∴ = − i (1 i)(2 i)z = + − 考纲要求 近三年高考情况分析 三年高考真题 考点总结【解析】∵复数 ∴ ∴复数的实部为 3. 故答案为：3. 3、【2020 年全国 1 卷】若 z=1+i，则|z2–2z|=（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】由题意可得： ，则 . 故 . 故选：D. 4、【2020 年全国 3 卷】复数 的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为 ， 所以复数 的虚部为 . 故选：D. 5、【2020 年浙江卷】.已知 a∈R，若 a–1+(a–2)i(i 为虚数单位)是实数，则 a=（ ） A. 1 B. –1 C. 2 D. –2 【答案】C 【解析】因为 为实数，所以 ， 故选：C 6、【2020 年山东卷】 （ ） A. 1 B. −1 C. i D. −i 【答案】D ( )( )1 2z i i= + − 22 2 3z i i i i= − + − = + 2 ( )22 1 2z i i= + = ( )2 2 2 2 1 2z z i i− = − + = − 2 2 2 2z z− = − = 1 1 3i− 3 10 − 1 10 − 1 10 3 10 1 1 3 1 3 1 3 (1 3 )(1 3 ) 10 10 iz ii i i += = = +− − + 1 1 3z i = − 3 10 ( 1) ( 2)a a i− + − 2 0 2a a− = ∴ =， 2 i 1 2i − =+【解析】 故选：D 7、【2019 年高考北京卷理数】已知复数 ，则 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题 ，则 ，故选 D． 8、【2019 年高考全国Ⅰ卷理数】设复数 z 满足 ，z 在复平面内对应的点为(x，y)，则 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题可得 则 ．故选 C． 9、【2019 年高考全国Ⅱ卷理数】设 z=–3+2i，则在复平面内 对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】由 得 则 对 应的点（-3，-2）位于第三象限．故选 C． 10、【2019 年高考全国Ⅲ卷理数】若 ，则 z= A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ．故选 D． 11、【2018 年高考浙江卷】复数 (i 为虚数单位)的共轭复数是 A．1+i B．1−i 2 (2 )(1 2 ) 5 1 2 (1 2 )(1 2 ) 5 i i i i ii i i − − − −= = = −+ + − 2 iz = + z z⋅ = 3 5 3 5 2 iz = + (2 i)(2 i) 5z z⋅ = + − = =1iz − 2 2+1 1( )x y+ = 2 2 1( 1)x y+ =− 22 ( 1) 1yx + − = 22 ( +1) 1yx + = i, i ( 1)i,z x y z x y= + − = + − 2 2i ( 1) 1,z x y− = + − = 2 2( 1) 1x y+ − = z 3 2i,z = − + 3 2i,z = − − 3 2iz = − − (1 i) 2iz + = 1 i− − 1 i− + 1 i− 1 i+ ( ) ( 2i 2i 1 i 1 i1 i 1 i 1 i)( )z −= = = ++ + − 2 1 i−C．−1+i D．−1−i 【答案】B 【解析】 ，∴共轭复数为 ，故选 B． 12、【2018 年高考全国Ⅰ卷理数】设 ，则 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 ， 所以 ，故选 C． 13、【2018 年高考全国Ⅱ卷理数】 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可得 ，故选 D． 14、【2018 年高考全国Ⅲ卷理数】 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ，故选 D． 15、【2018 年高考北京卷理数】在复平面内，复数 的共轭复数对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 2 2(1 i) 1 i1 i 2 += = +− 1 i− 1 i 2i1 iz −= ++ | |z = 0 1 2 1 2 21 i (1 i) 2i2i +2i 2i i1 i (1 i)(1 i) 2z − − −= + = = + =+ + − 21 1| 0| z = + = 1 2i 1 2i + =− 4 3 i5 5 − − 4 3 i5 5 − + 3 4 i5 5 − − 3 4 i5 5 − + 21 2i (1 2i) 3 4i 1 2i 5 5 + + − += =− (1 i)(2 i)+ − = 3 i− − 3 i− + 3 i− 3 i+ 2(1 i)(2 i) 2 i 2i i 3 i+ − == − + − = + 1 1 i−【解析】 的共轭复数为 ， 对应点为 ，在第四象限．故选 D． 题型一 复数的相关概念 1．（2020 届山东省日照市高三上期末联考）已知复数 满足 （ 为虚数单位），则复数的模为 （ ） A．2 B． C．5 D． 【答案】D 【解析】 因为 ，所以 ． 2、（2020·山东省高三上期末）已知复数 ， 为虚数单位，则（ ） A． B． C． D． 的虚部为 【答案】B 【解析】 由题： ， 所以： ， ， ， 的虚部为 . 故选：B 3、（2020 届山东省潍坊市高三上期末）设 ，其中 x，y 是实数，则 （ ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【解析】 1 1 i 1 1 i1 i (1 i)(1 i) 2 2 += = +− − + 1 1 i2 2 − 1 1( , )2 2 − 1 3 3 iz i −= + i z i= z i= 2 1z = z i− 2 2 1 3 (1 3 )(3 ) 3 10 3=3 (3 )(3 ) 9 i i i i iz ii i i i − − − − += = = −+ + − − 1z = z i= 2 2( ) 1z i= − = − z 1− (1 ) 1i x yi+ = + | |x yi+ = 2 3 二年模拟试题由已知得 ，根据两复数相等可得： ， 所以 . 故选：B. 4、（2020·全国高三专题练习（文））已知复数 z 满足 ，则 ( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 因为 ，所以 ， 所以 . 故选：D. 5、(2019 苏北四市、苏中三市三调）已知复数 （i 是虚数单位）是纯虚数，则实数 的值为 ▲ ． 【答案】 【解析】： 由 是纯虚数，则 ，故 . 6、(2019 南京三模）若复数 z 满足 z(1＋i)＝1，其中 i 为虚数单位，则 z 在复平面内对应的点在第 ▲ 象限． 【答案】．四 【解析】因为 ，所以对应的点为（ ），故在第四象限. 7、(2019 南京、盐城二模） 若复数 z 满足 z a＋2i＝i(i 为虚数单位)，且实部和虚部相等，则实数 a 的值为 ________． 【答案】－2　 【解析】由 z a＋2i＝i 得 z＝(a＋2i)·i＝－2＋ai，又 z 实部和虚部相等，所以 a＝－2. 题型二 复数的模与复数的四则运算 1x xi yi+ = + 1x y= = | | |1 | 2x yi i+ = + = ( )1 3 4z i i+ = + | |z = 5 2 5 4 5 2 5 2 2 ( )1 3 4z i i+ = + ( )( ) ( )( ) 3 4 13 4 3 4 7 1 1 1 1 1 1 2 2 i ii iz ii i i + −+ + += = = = ++ + − + 2 2 57 1 2 2 2| | 2z    +     =   = i 1 3i az += + a 3− ( )(1 3 ) ( 3) (1 3a) 1 3 (1 3 )(1 3 ) 10 a i i a ia iz i i i + − + + −+= = =+ + − z 3 0a + = 3a = − 1 1 1 1 1 2 2 2 iz ii −= = = −+ 1 1,2 2 −1、（2020 届山东实验中学高三上期中） 是虚数单位，若复数 ，则 的虚部为（ ） A． B．0 C． D．1 【答案】A 【解析】 是虚数单位， 复数 ， 的虚部为 ． 故选： ． 2、（2020 届山东省泰安市高三上期末）已知复数 z 满足 ，则 （ ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【解析】 ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故选：D． 3、（2020·山东省高三期末）已知复数 ， 为虚数单位，则（ ） A． B． C． D． 的虚部为 【答案】B 【解析】 由题： ， 所以： ， ， ， 的虚部为 . 故选：B i 2 1z i = − z 1− i− i 2 2( 1) 2( 1) 11 ( 1)( 1) 2 i iz ii i i + += = = = − −− − + − z∴ 1− A 1 1i iz + = − z = 2 2 2 1 1i iz + = − 1 1 iz i += − ( ) ( )( ) 21 1 1 i i i += − + 1 2 1 1 ( 1) i i + −= =− − 1z = 1 3 3 iz i −= + i z i= z i= 2 1z = z i− 2 2 1 3 (1 3 )(3 ) 3 10 3=3 (3 )(3 ) 9 i i i i iz ii i i i − − − − += = = −+ + − − 1z = z i= 2 2( ) 1z i= − = − z 1−4、（2020 届山东省德州市高三上期末）已知复数 满足 （其中 为虚数单位），则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ， ，因此， . 故选：B. 5、（2020 届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知 i 是虚数单位， ，复数 ，则 （ ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【解析】 因为 ，所以 ，即 ． ， ． 故选：C. 6、（2020·河南高三期末（文））设复数 ，定义 .若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 因为 ，所以 ， 则 . z 1 3z i= − + i z z = 1 3 2 2 i− + 1 3 i2 2 − − 1 3 2 2 i+ 1 3 2 2 i− 1 3z i= − + ( ) ( )221 3 2z∴ = − + = 1 3 1 3 2 2 2 z i iz − −= = − − 1 ( 1)i 0a+ − > ( )a R∈ 2iz a= − 1 z = 1 5 5 5 5 1 ( 1)i 0a+ − > ( )a R∈ 1 0a − = 1a = 1 2 5z i= − = 1 1 1 1 5 55zz z = = = = z a bi= + ( , )a b∈R z b ai= + 1 2 z i i i =+ − z = 1 3 5 5 i− + 1 3 5 5i− 3 1 5 5 i− + 3 1 5 5 i− − 1 2 z i i i =+ − ( ) ( )( ) (1 ) 2(1 ) ( 1 )(2 ) 3 1 2 2 2 5 5 5 i i ii i i iz ii i i + ++ − + += = = = − +− − + 1 3 5 5z i= −故选：B. 7、(2019 苏锡常镇调研）已知复数 ，其中 是虚数单位，则 ＝ ． 【答案】.1 解法 1：因为复数 ，所以 。解法 2：根据复数的性质： 可得： 8、(2019 南通、泰州、扬州一调）已知复数 z＝ 2i 1－i－3i(i 为虚数单位)，则复数 z 的模为________． 【答案】. 5　 【解析】z＝ 2i 1－i－3i＝ 2i（1＋i） （1－i）（1＋i）－3i＝ －2＋2i 2 －3i＝－1－2i，所以|z|＝ （－1）2＋（－2）2 ＝ 5，故答案为 5. 9、(2019 泰州期末）复数 z 满足 zi＝4＋3i(i 是虚数单位)，则|z|＝________． 【答案】. 5　 【解析】由已知得，z＝ 4＋3i i ＝ （4＋3i）i i2 ＝ －3＋4i －1 ＝3－4i，则|z|＝ 32＋（－4）2＝5. 10、(2019 扬州期末） 若 i 是虚数单位，且复数 z 满足(1＋i)z＝2，则|z|＝________． 【答案】 2　 解法 1(定义法)　z＝ 2 1＋i＝1－i，所以|z|＝ 2. 解法 2(复数模的性质)　对(1＋i)z＝2 两边同时取模，即|(1＋i)z|＝2，结合模的运算性质有|(1＋i)||z|＝2， 即 2|z|＝2，所以|z|＝ 2. 3 4i 5iz += i z ii iz 5 3 5 4 5 43 −=+= 15 3 5 4 22 =    −+    =z 2 1 2 1 z z z z = .15 5 5 43 5 43 ==+=+= i i i iz