考点02 命题及其关系、充分条件与必要条件-备战2021年高考数学（文）一轮复习考点一遍过 附真题答案

考点 02 命题及其关系、充分条件与必要条件 考点解读 此考点在高考中经常与其他知识相结合进行考查，重点体现在： （1）理解命题的概念. （2）了解“若 p，则 q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系. （3）理解必要条件、充分条件与充要条件的意义. 一、命题及其关系 1．命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题， 判断为假的语句叫假命题． 2．四种命题及其关系 (1)四种命题 命题 表述形式 原命题 若 p，则 q 逆命题 若 q，则 p 否命题 若 ，则 逆否命题 若 ，则 (2)四种命题间的关系 (3)常见的否定词语 p¬ q¬ q¬ p¬正面词语 = >( 3 8x < − ABC△ 2 2 2AB AC BC+ = ABC△ a b∈R 2 2 0a b+ ≠ 3 28 2 4x x x< − ⇒ < − ⇒ > 2 4 2x x> ⇒ > 32 8x x< − ⇒ > 3 8x < − 3 8x < − 90B °∠ = 90°∠ =C 2 2 2AB AC BC+ = 2 2 0a b+ ≠ ⇒ a b 2 20 0a b⇒ + ≠常考题.由必要条件、充分条件与充要条件的定义分别对三个选项判断即可. 从定义来看，若 ，则 是 的充分条件，若 ，则 是 的必要条件，若 ，则 是 的充要条件；从集合的角度看，若 ，则 是 的充分条件，若 ，则 是 的必要条件，若 ， 则 是 的充要条件，若 是 的真子集，则 是 的充分而不必要条件，若 是 的真子集，则 是 的必要而不充分条件． 3．已知 a，b 为实数，则“a3＜b3”是“2a＜2b”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 典例 4 若条件 ，且 是 的充分不必要条件，则 可以是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若 是 的充分不必要条件，则区间 是 q 的真子集，本题选 B. 【名师点睛】有关探求充要条件的选择题，破题关键是：首先，判断是选项“推”题干，还是题干“推”选项； 其次，利用以小推大的技巧，即可得结论． 4．已知 ， ，若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围为 A．(-∞，3] B．[2，3] C．(2，3] D．（2，3） 考向三 充分、必要条件的应用 充分、必要条件的应用主要涉及根据充要条件求解参数的取值范围，具体解法如下： 1．解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关 系列出关于参数的不等式（组）求解. p q⇒ p q q p⇒ p q p q⇔ p q A B⊆ A B B A⊆ A B A B= A B A B A B B A A B : 1p x ≤ p¬ q q 1x > 0x > 2x ≤ 1 0x− < < p¬ q ( )1,+∞ 1: 12p x ≥− ( )2: 1q x a− < p q a2．求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取 值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象. 典例 5 设 ，푞:푥2 ― (2푚 + 1)푥 + 푚2 + 푚 ≤ 0，若푝是푞的必要不充分条件，则实数푚的取值范 围为 A．[ ―2,1] B．[ ―3,1] C．[ ―2,0) ∪ (0,1] D．[ ―2, ― 1) ∪ (0,1] 【答案】D 【解析】푝对应的集合为{푥| ― 2 ≤ 푥 < 0或 0 < 푥 ≤ 2}，푞对应的集合为{푥|푚 ≤ 푥 ≤ 푚 + 1}， ∵푝是푞的必要不充分条件，∴{ ―2 ≤ 푚 푚 + 1 < 0 或{ 0 < 푚 푚 + 1 ≤ 2 ，解得 ― 2 ≤ 푚 < ―1或0 < 푚 ≤ 1，故选 D． 5．已知非空集合 ，集合 ，命题 ，命题 ． （1）若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围； （2）当实数 为何值时， 是 的充要条件． 1．命题“若 ，则 ”的逆否命题是（ ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 2．“ ”是“ ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3 4: 02 x xp x − ≤ ( ){ }2 2 3 0A x x a a x a= − + + < 2 11 xB x x  = x a>3．已知原命题：“若 ，则 中至少有一个不小于 1”，那么原命题与其否命题的真假情况是（ ） A．原命题为真，否命题为假 B．原命题为假，否命题为真 C．原命题与否命题均为真命题 D．原命题与否命题均为假命题 4．设 为非零向量，则“ ”是“ 与 共线”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知 ，则“ ”是“ ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知 是 上的偶函数，则“ ”是“ ”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知等比数列 中， ，则“ ”是“ ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．若直线 ， ． ， 与 平行，则下列选项中正确的 （ ） A．p 是 q 的必要非充分条件 B．q 是 p 的充分非必要条件 C．p 是 q 的充分非必要条件 D．q 是 p 的非充分也非必要条件 9．已知 ： ， ： ，则 是 的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．设 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则命题 ： 的一个充分条件是（ ） A． ： ， ， B． ： ， ， C． ： ， ， D． ： ， ， 11．已知 ， ，若 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围为（ ） A． B． 2a b+  ,a b ,a b  a b a b+ = +    a b α ∈R 3cos 2 α = − 52 ,6k k Z πα π= + ∈ ( )f x R 1 2 0x x+ = ( ) ( )1 2 0f x f x− = { }na 1 0a > 1 4a a< 3 5a a< 2 1 : 3 2 0l a x y− + = 2 : 2 5 0l ax y a+ − = : 0p a = 1:q l 2l p 2 2 0x x− − > q 2 2 1 0x x− + ≤ q p¬ m n α β p m n⊥ q //α β m α⊂ n β⊥ q //α β m α⊥ n β⊥ q α β⊥ m α⊥ n//β q α β⊥ m α⊂ n//β 1: 12p x ≥− :| | 2q x a− < ( ,4]−∞ [1,4]C． D． 12．下列命题中，真命题是（ ） A．设 ，则 为实数的充要条件是 为共轭复数； B．“直线 与曲线 C 相切”是“直线 与曲线 C 只有一个公共点”的充分不必要条件； C．“若两直线 ，则它们的斜率之积等于 ”的逆命题； D． 是 R 上的可导函数，“若 是 的极值点，则 ”的否命题． 13．命题“若 都是偶数，则 是偶数”的否命题是______． 14．给出下列条件 与 ： ① ： 或 ； ： ． ② ： ， ： ． ③ ：一个四边形是矩形； ：四边形的对角线相等． 其中 是 的必要不充分条件的序号为______． 15．生活中，我们还常用“水滴石穿”、“有志者，事竟成”、“坚持就是胜利”等熟语来勉励自己和他人保持信 心、坚持不懈地努力.在这些熟语里，“石穿”、“事成”、“胜利”分别是“水滴”、“有志”、“坚持”的______ 条件，这正是我们努力的信心之源，激励着我们直面一切困难与挑战，不断取得进步。（填“充分不必 要、必要不充分、充要或者既不充分也不必要”） 16．已知集合 ， ，若 成立的一个充分不必 要条件是 ，则实数 的取值范围是 ． 17．已知 ， ， 有意义， 关于 的不等式 . （1）若 是真命题，则 的取值范围是 ； （2）若 是 的必要不充分条件，则 的取值范围是 ．. 1．【2020 年高考天津】设 ，则“ ”是“ ”的 (1,4] (1,4) 1 2,z z C∈ 1 2z z+ 1 2,z z l l 1 2l l⊥ 1− ( )f x 0x ( )f x 0( ) 0f x′ = ,a b a b+ p q p 1x = 2x = q 1 1x x− = − p 2 1 0x − = q 1 0x − = p q p q 1| 2 8,2 xA x x R = < < ∈   { }| 1 1,B x x m x R= − < < + ∈ x B∈ x A∈ m 0a > 1a ≠ ( )2:log 2 11 9ap x x− + − :q x ( )2 22 1 0x a x a a− + + + < p x p q a a ∈ R 1a > 2a a>A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．【2020 年高考浙江】已知空间中不过同一点的三条直线 l，m，n．“l ，m，n 共面”是“l ，m，n 两两相交” 的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．【2020 年高考北京】已知 ，则“存在 使得 ”是“ ”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．【2019 年高考天津文数】设 ，则“ ”是“ ”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．【2019 年高考浙江】若 a>0，b>0，则“a+b≤4”是 “ab≤4”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．【2019 年高考全国Ⅱ卷文数】设 α，β 为两个平面，则 α∥β 的充要条件是 A．α 内有无数条直线与 β 平行 B．α 内有两条相交直线与 β 平行 C．α，β 平行于同一条直线 D．α，β 垂直于同一平面 7．【2019 年高考北京文数】设函数 f（x）=cosx+bsinx（b 为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．【2018 年高考浙江】已知平面 α，直线 m，n 满足 m α，n α，则“m∥n”是“m∥α”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9．【2018 年高考天津文数】设 ，则“ ”是“ ”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．【2018 年高考北京文数】设 a,b,c,d 是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d 成等比数列”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ,α β ∈R k ∈Z π ( 1)kkα β= + − sin sinα β= x∈R 0 5x< < | 1| 1x − < ⊄ ⊂ x ∈ R 3 8x > | | 2x >C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 11．【2018 年高考北京文数】能说明“若 a﹥b，则 ”为假命题的一组 a，b 的值依次为_________. 1．【答案】B 1 1 a b < 变式拓展【解析】命题“若 ，则 ”的否命题为“若 ，则 ”，所以命题“ ，如果 ，则 ” 的否命题为“ ，如果 ，则 ”,故选 B. 2．【答案】D 【解析】①“若 ，则 互为相反数”的逆命题为若 互为相反数，则 ，命题正确； ②否命题两三角形不全等则面积不等，是假命题； ③若 ，则 有实根的原命题是真命题，则逆否命题是真命题； ④不等边三角形的三个内角相等的逆命题是：三个内角相等的三角形是不等边三角形，是假命题. 3．【答案】C 【解析】函数 在 上单调递增，则 ， 函数 在 上单调递增，则 ， 则“ ”是“ ”的充要条件. 故选：C. 【名师点睛】本题主要考查了判断充要条件，涉及了利用函数的单调性比较大小，属于中档题.利用函数 ， 的单调性，结合充分条件和必要条件的性质判断即可. 4．【答案】C 【解析】由 ，所以 ， 又 ， ， 因为 是 的充分不必要条件，所以 ，解得 ，即 ． 故选：C． 【名师点睛】本题考查充要条件的应用，分式不等式与一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于基 础题．求出 与 ，然后利用 是 的充分不必要条件，列出关系式求解即可． 5．【解析】（1）解不等式 ，即 ，解得 ，则 . 由于 是 的充分不必要条件，则  ， ， ①当 时，即当 或 时， ，不合题意； p q p¬ q¬ ,x y∀ ∈R 0xy = 0x = ,x y∀ ∈R 0xy ≠ 0x ≠ 0x y+ = ,x y ,x y 0x y+ = 1q ≤ 2 2 0x x q+ + = 3y x= R 3 3b aa b< ⇔ < 2xy = R 2 2a ba b< ⇔ < 3 3a b< 2 2a b< 3y x= 2xy = 1: 12p x −  2 3x<  ( )2: 1q x a− < 1 1a x a− < < + p q 3 1 1 2 a a < +  −  2 3a< ≤ ( ]2,3a ∈ p q p q 2 11 x x 1, 1x a= = − x a= x a> x a> x a> x a> x a>条件相互推导，根据能否推导的情况选出正确选项. 3．【答案】A 【解析】逆命题为“若 中至少有一个不小于 1，则 .”，如 ，故逆命题 为假命题. 否命题为“若 ，则 都小于 1”，如 ，故否命题为假命题， 逆否命题为“若 都小于 1，则 .” 因为 ，根据同向不等式相加得 ，故逆否命题为真命题. 其中原命题与逆否命题同真同假，逆命题和否命题同真同假， 故选：A. 【名师点睛】考查四种命题的真假关系，基础题.原命题与逆否命题同真同假，逆命题和否命题同真同假， 本题选择逆否命题和逆命题判断较为简单. 4．【答案】A 【解析】若 ，则 与 共线，且方向相同，充分性； 当 与 共线，方向相反时， ，故不必要. 故选：A. 【名师点睛】本题考查了向量共线，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.根据向量共线的性质依 次判断充分性和必要性得到答案. 5．【答案】B 【解析】cosα ，解得 α＝2kπ± ，k∈Z， ∴“cosα ”是“α＝2kπ ，k∈Z”的必要但非充分条件． 故选 B． 【名师点睛】本题考查了三角函数求值、充分必要性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．cosα ，解得 α＝2kπ± ，k∈Z，即可判断出结论． 6．【答案】A 【解析】由于函数 是 上的偶函数，由 可得出 ，则 ,a b 2a b+ ≥ 2, 1, 1a b a b= = − + = 2a b+ < ,a b 1, 3, 2a b a b+ = = = − ,a b 2a b+ < 1, 1a b< < 2a b+ < a b a b+ = +    a b a b a b a b≠+ +    3 2 = − 5 6 π 3 2 = − 5 6 π+ 3 2 = − 5 6 π ( )y f x= R 1 2 0x x+ = 2 1x x= −，则“ ” “ ”； 另一方面，由 可得 ，可得 或 ， 则“ ” “ ”. 因此，“ ”是“ ”的充分而不必要条件. 故选：B. 【名师点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断，涉及了函数奇偶性的定义的应用，考查推理能力， 属于中等题.根据充分条件、必要条件的定义以及偶函数的定义判断即可. 7．【答案】A 【解析】设等比数列 的公比为 ， 由 得： ，又 ， ，解得： ， ，充分性成立； 由 得： ，又 ， ，解得： 或 ， 当 时， ， ，必要性不成立. “ ”是“ ”的充分不必要条件. 故选：A. 【名师点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定，涉及到等比数列通项公式的应用，属于基础题.结合 等比数列通项公式可求得 的范围，可验证充分性和必要性是否成立，由此得到结果. 8．【答案】C 【解析】因为 与 平行，所以 或 . 经检验，当 或 时，两直线平行. 设 ， 或 ， 因为  , 所以 p 是 q 的充分非必要条件. 故选：C. 【名师点睛】本题主要考查两直线平行的应用，考查充分必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的 ( ) ( ) ( )2 1 1f x f x f x= − = 1 2 0x x+ = ⇒ ( ) ( )1 2 0f x f x− = ( ) ( )1 2 0f x f x− = ( ) ( )1 2f x f x= 1 2x x= 1 2x x= − ( ) ( )1 2 0f x f x− = ⇒ 1 2 0x x+ = 1 2 0x x+ = ( ) ( )1 2 0f x f x− = { }na q 1 4a a< 3 1 1a a q< 1 0a > 3 1q∴ > 1q > 2 4 3 1 1 5a a q a q a∴ = < = 3 5a a< 2 4 1 1a q a q< 1 0a > 4 2q q∴ > 1q > 1q < − 1q < − 3 4 1 0a a q= < 4 1a a∴ < ∴ 1 4a a< 3 5a a< q 1l 2l 2 5 ( 3) 2 0, 0a a a× − − × = ∴ = 6 5a = − 0a = 6 5a = − { | 0}A a a= = { | 0B a a= = 6}5a = − A B理解掌握水平.根据 与 平行，得到 或 ，再根据集合的关系判断充分性和必要性得解. 9．【答案】A 【解析】 ： 等价于 或 . 故 ： . 又 ： 等价于 . 因为 为 的真子集， 故 是 的充分不必要条件. 故选：A. 【名师点睛】算出 对应的集合，再求出 对应的集合，最后根据 、 对应集合的包含关系可 得两者之间的条件关系. （1）若 是 的必要不充分条件，则 对应集合是 对应集合的真子集； （2） 是 的充分不必要条件， 则 对应集合是 对应集合的真子集； （3） 是 的充分必要条件，则 对应集合与 对应集合相等； （4） 是 的既不充分又不必要条件， 对的集合与 对应集合互不包含． 10．【答案】A 【解析】若 的充分条件是 ，则需要满足 . 对于选项 A， ， ， ，故 ，所以满足 ，故选项 A 正确； 对于选项 B，由命题 可得 ， ，故选项 B 错误； 对于选项 C，由命题 可得 ， 的位置关系是平行或相交或异面， ，故选项 C 错误； 对于选项 D，由命题 可得 ， 的位置关系是平行或相交或异面， ，故选项 D 错误. 故选：A. 【名师点睛】本题考查直线与平面垂直、平行的性质定理与判定定理及充分必要条件的判定，意在考 查学生的空间想象能力和推断能力.若 的充分条件是 ，则需要满足 ，根据直线与平面垂直、 平行的性质定理与判定依次判断每个选项得到答案. 11．【答案】C 【解析】由 ，即 ，解得 ， 由 得 ， 若 是 的充分不必要条件，则 ， 1l 2l 0a = 6 5a = − p 2 2 0x x− − > : 1p x < − 2x > p¬ 1 2x− ≤ ≤ q 2 2 1 0x x− + ≤ : 1q x = { }1 { }1| 2x x− ≤ ≤ q p¬ ,p q p¬ q p¬ p q q p p q p q p q p q p q q p p q q p⇒ //α β m α⊂ n β⊥ m n⊥ q p⇒ q //m n q p⇒/ q m n q p⇒/ q m n q p⇒/ p q q p⇒ 1 12x ≥− 3 02 x x − ≤− 2 3x< ≤ | | 2x a− < 2 2a x a− < < + p q 2 2 2 3 a a − ≤  + >解得 ，实数 的取值范围为 ， 故选：C. 【名师点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，属于中档题.求出 ， 的等价条件，根据充 分条件和必要条件的定义即可得到结论. 12．【答案】C 【解析】对于 A 选项，若 ，则 为实数， 不一定是共轭复数，故 A 选项错误. 对于 B 选项. “直线 与曲线 C 相切”时，与曲线除了切点外，可能还有其它的公共点，故 B 选项错误. 对于 C 选项，其逆命题为“若两条直线斜率的乘积为 ，则 ”，根据两条直线相互垂直的条件可 知，这是真命题，C 选项正确. 对于 D 选项，原命题的否命题是“若 不是 的极值点，则 ”，这是错误的，如 ， 时，，而不是的极值点，因为导数为非负数，原函数在上递增.所以 原命题的否命题是假命题. 综上所述，本题选 C. 【名师点睛】本小题主要考查复数加法运算，考查充分、必要条件的判断，考查逆命题、否命题的真 假性.属于中档题.利用特殊值排除 A 选项.直线与预先相切，不一定只有一个公共点，排除 B 选项.写出 C 选项的逆命题，根据两直线垂直的条件判断 C 选项正确.写出 D 选项的否命题，根据极值点的概念，判 断 D 选项不正确. 13．【答案】若 不都是偶数，则 不是偶数 【解析】原命题的否命题为：“若 不都是偶数，则 不是偶数”. 【名师点睛】命题“若 则 ”的否命题为“若 则 ”，注意“都是”的否定是“不都是”.根据 规则可写出原命题的否命题. 14．【答案】② 【解析】对于①，在 中， ，解得 或 .故 是 的充要条件，不符合题意. 对于②，在 中， 或 ，而 中 ，所以 是 的必要不充分条件，符合题意. 对于③，由于 ，故 是 的充分不必要，不符合题意. 故填：②. 【名师点睛】本小题主要考查必要不充分条件的判断，属于基础题.根据充分、必要条件的知识，判断 1 4a< ≤ a ( ]1,4 p q 1 21, 2z z= = 1 2z z+ 1 2,z z l 1− 1 2l l⊥ 0x ( )f x ( )0 0f x′ ≠ ( ) ( )3 2, 3f x x f x x= =′ 0 0x = ,a b a b+ ,a b a b+ p q p¬ q¬ q 1 1 1 0 x x x  − = − − ≥ 1x = 2x = p q p 1x = 1x = − q 1x = p q ,p q q p⇒ ⇒ p q出符合题意的序号. 15．【答案】必要不充分 【解析】由“石穿”、“事成”、“胜利”不能推出“水滴”、“有志”、“坚持”, 如“石穿”可能推出“化学腐蚀”; 由“水滴”、“有志”、“坚持”能推出“石穿”、“事成”、“胜利” 如“水滴”可以推出“石穿”; 综上所述, “石穿”、“事成”、“胜利”是“水滴”、“有志”、“坚持”必要不充分条件. 故答案为:必要不充分. 【名师点睛】本题主要考查了充分条件与必要条件的判定,其中熟记充分条件和必要条件的判定方法是 解答的关键,着重考查了理解能,属于基础题.根据充分条件和必要条件的定义判断,即可得出答案. 16．【答案】 【解析】 因为 成立的一个充分不必要的条件是 ，所以 ，即 所以实数 的取值范围是 . 17．【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1）因为 是真命题，所以 ，即 ，解得 . 故 的取值范围为 ； （2）因为 ，即 ，所以 . 因为 是 的必要不充分条件，则  ， 由于 且 ，所以 ，解得 . 故 的取值范围为 . 【名师点睛】本题考查利用命题的真假求参数，同时也考查了利用必要不充分条件求参数，涉及一元 二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题. 2 + ∞（ ， ） 1| 2 8, { | 1 3}2 xA x x R x x = < < ∈ = −   ＜ ＜ ， x B∈ x A∈ 1 3m + ＞ 2m＞ ． m 2 + ∞（ ， ） 91, 2      71, 2      p 22 11 9 0x x− + − > 22 11 9 0x x− + < 91 2x< < x 91, 2      ( )2 22 1 0x a x a a− + + + < ( ) ( )1 0x a x a− − + 1a ≠ 1 91 2 a a > + ≤ 71 2a< ≤ a 71, 2     （1）解不等式 ，即可求得符合条件的实数 的取值范围； （2）解不等式 得出 ，由题意得出  ，可得出 关于实数 的不等式组，即可解得实数 的取值范围. 1．【答案】A 【解析】 【分析】 首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可. 【详解】求解二次不等式 可得： 或 ， 据此可知： 是 的充分不必要条件. 故选 A． 【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题. 2．【答案】B 【解析】 【分析】 将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件. 【详解】依题意， 是空间不过同一点的三条直线， 当 在同一平面时，可能 ，故不能得出 两两相交. 当 两两相交时，设 ，根据公理 可知 确定一个平面 ，而 ，根据公理 可知，直线 即 ，所以 在同一平面. 综上所述，“ 在同一平面”是“ 两两相交”的必要不充分条件. 故选 B. 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查公理 和公理 的运用，属于中档题. 3．【答案】C 【解析】 【分析】 根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断. 22 11 9 0x x− + − > x ( )2 22 1 0x a x a a− + + + < 1a x a< < + ( ), 1a a + 91, 2      a a 直通高考 2a a> 1a > 0a < 1a > 2a a> , ,m n l , ,m n l // //m n l , ,m n l , ,m n l , ,m n A m l B n l C∩ = ∩ = ∩ = 2 ,m n α ,B m C nα α∈ ⊂ ∈ ⊂ 1 BC l α⊂ , ,m n l , ,m n l , ,m n l 1 2【详解】(1)当存在 使得 时， 若 为偶数，则 ； 若 为奇数，则 ； (2)当 时， 或 ， ，即 或 ， 亦即存在 使得 ． 所以，“存在 使得 ”是“ ”的充要条件. 故选 C． 【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应 用，属于基础题. 4．【答案】B 【解析】由 可得 ， 易知由 推不出 ， 由 能推出 ， 故 是 的必要而不充分条件， 即“ ”是“ ”的必要而不充分条件. 故选 B. 【名师点睛】本题考查充分必要条件，解题的关键是由所给的不等式得到 的取值范围. 5．【答案】A 【解析】当 时， ，则当 时，有 ，解得 ，充 分性成立； 当 时，满足 ，但此时 ，必要性不成立， 综上所述，“ ”是“ ”的充分不必要条件. 故选 A. 【名师点睛】易出现的错误：一是基本不等式掌握不熟练，导致判断失误；二是不能灵活地应用“赋值 法”，通过取 的特殊值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果. k ∈Z π ( 1)kkα β= + − k ( )sin sin π sinkα β β= + = k ( ) ( ) ( )sin sin π sin 1 π π sin π sink kα β β β β= − = − + − = − =   sin sinα β= 2 πmα β= + π 2 πmα β+ = + m∈Z ( ) ( )π 1 2kk k mα β= + − = ( ) ( )π 1 2 1kk k mα β= + − = + k ∈Z π ( 1)kkα β= + − k ∈Z π ( 1)kkα β= + − sin sinα β= | 1| 1x − < 0 2x< < 0 5x< < 0 2x< < 0 2x< < 0 5x< < 0 5x< < 0 2x< < 0 5x< < | 1| 1x − < x 0, 0a > b > 2a b ab+ ≥ 4a b+ ≤ 2 4ab a b≤ + ≤ 4ab ≤ =1, =4a b 4ab ≤ =5>4a+b 4a b+ ≤ 4ab ≤ ,a b6．【答案】B 【解析】由面面平行的判定定理知： 内有两条相交直线都与 平行是 的充分条件； 由面面平行的性质定理知，若 ，则 内任意一条直线都与 平行，所以 内有两条相交直线都与 平行是 的必要条件. 故 α∥β 的充要条件是 α 内有两条相交直线与 β 平行. 故选 B． 【名师点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行的判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观 臆断. 7．【答案】C 【解析】当 时， ， 为偶函数； 当 为偶函数时， 对任意的 恒成立， 由 ，得 ， 则 对任意的 恒成立， 从而 . 故“ ”是“ 为偶函数”的充分必要条件. 故选 C. 【名师点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 8．【答案】A 【解析】因为푚⊄훼,푛 ⊂ 훼,푚//푛，所以根据线面平行的判定定理得푚//훼. 由푚//훼不能得出푚与훼内任一直线平行， 所以푚//푛是푚//훼的充分不必要条件. 故选 A. 【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法： （1）定义法：直接判断“若푝则푞”、“若푞则푝”的真假．并注意和图示相结合，例如“푝⇒푞”为真，则푝是푞 的充分条件． （2）等价法：利用푝⇒푞与非푞⇒非푝，푞⇒푝与非푝⇒非푞，푝⇔푞与非푞⇔非푝的等价关系，对于条件或结论 是否定式的命题，一般运用等价法． α β α β∥ α β∥ α β α β α β∥ 0b = ( ) cos sin cosf x x b x x= + = ( )f x ( )f x ( ) ( )f x f x− = x ( ) cos( ) sin( ) cos sinf x x b x x b x− = − + − = − cos sin cos sinx b x x b x+ = − sin 0b x = x 0b = 0b = ( )f x（3）集合法：若퐴⊆퐵，则퐴是퐵的充分条件或퐵是퐴的必要条件；若퐴＝퐵，则퐴是퐵的充要条件． 9．【答案】A 【解析】求解不等式푥3 > 8可得푥 > 2， 求解绝对值不等式|푥| > 2可得푥 > 2或푥 < ―2， 据此可知：“푥3 > 8”是“|푥| > 2” 的充分而不必要条件. 故选 A. 【名师点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法、充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转 化能力和计算求解能力. 10．【答案】B 【解析】当푎 = 4,푏 = 1,푐 = 1,푑 = 1 4时，푎,푏,푐,푑不成等比数列，所以不是充分条件； 当푎,푏,푐,푑成等比数列时，则푎푑 = 푏푐，所以是必要条件. 综上所述，“푎푑 = 푏푐”是“푎,푏,푐,푑成等比数列”的必要不充分条件. 故选 B. 【名师点睛】此题主要考查充分必要条件，实质是判断命题“푝⇒푞”以及“푞⇒푝”的真假.判断一个命题为 真命题，要给出理论依据、推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例即可，或者当一个命题 正面很难判断真假时，可利用原命题与逆否命题同真同假的特点转化问题. 11．【答案】1， ― 1（答案不唯一） 【解析】使“若푎 > 푏，则1 푎 < 1 푏”为假命题，则使“若푎 > 푏，则1 푎 ≥ 1 푏”为真命题即可， 只需取푎 = 1,푏 = ―1即可满足， 所以满足条件的一组푎,푏的值为1, ― 1（答案不唯一）. 【名师点睛】此题考查不等式的运算，解决本题的关键在于对原命题与命题的否定真假关系的灵活转 换，对不等式性质及其等价变形的充分理解，只要多取几组数值，解决本题并不困难.