专题 01 数与式问题
【考点 1】实数与数轴问题
【例 1】（2019 年大庆）实数m，n 在数轴上的对应点如图所示，则下列各式子正确的是（ ）
A．m＞n B．﹣n＞|m| C．﹣m＞|n| D．|m|＜|n|
【分析】从数轴上可以看出 m、n 都是负数，且 m＜n，由此逐项分析得出结论即可．
【解析】因为 m、n 都是负数，且 m＜n，|m|＜|n|，
A、m＞n 是错误的；
B、﹣n＞|m|是错误的；
C、﹣m＞|n|是正确的；
D、|m|＜|n|是错误的．
故选：C．【变式 1-1】（2019 年徐州）如图，数轴上有O、A、B 三点，O 为原点，OA、OB 分别表示仙女座星系、M87
黑洞与地球的距离（单位：光年）．下列选项中，与点 B 表示的数最为接近的是（ ）
A．5×106 B．107 C．5×107 D．108
【分析】先化简 2.5×106＝0.25×107，再从选项中分析即可；
【解析】2.5×106＝0.25×107，
（5×107）÷（0.25×107）＝20，
从数轴看比较接近；
故选：C．
【变式 1-2】（2019 年枣庄）点O，A，B，C 在数轴上的位置如图所示，O 为原点，AC＝1，OA＝OB．若点 C
所表示的数为 a，则点 B 所表示的数为（ ）
A．﹣（a+1） B．﹣（a﹣1） C．a+1 D．a﹣1
【分析】根据题意和数轴可以用含 a 的式子表示出点 B 表示的数，本题得以解决．
【解析】∵O 为原点，AC＝1，OA＝OB，点 C 所表示的数为 a，
∴点 A 表示的数为 a﹣1，
∴点 B 表示的数为：﹣（a﹣1），
故选：B．
【点拨】本题考查数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【考点 2】整式的求值问题
【例 2】（2019 年泰州）若 2a﹣3b＝﹣1，则代数式 4a2﹣6ab+3b 的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
【分析】将代数式 4a2﹣6ab+3b 变形后，整体代入可得结论．
【解析】4a2﹣6ab+3b，
＝2a（2a﹣3b）+3b，
＝﹣2a+3b，＝﹣（2a﹣3b），
＝1，
故选：B．
【点拨】本题考查代数式求值；熟练掌握整体代入法求代数式的值是解题的关键．
【变式 2-1】（2019 年常州）如果a﹣b﹣2＝0，那么代数式 1+2a﹣2b 的值是 5 ．
【分析】将所求式子化简后再将已知条件中 a﹣b＝2 整体代入即可求值；
【解析】∵a﹣b﹣2＝0，
∴a﹣b＝2，
∴1+2a﹣2b＝1+2（a﹣b）＝1+4＝5；
故答案为 5．
【变式 2-2】（2019•济宁）已知x﹣2y＝3，那么代数式 3﹣2x+4y 的值是（ ）
A．﹣3 B．0 C．6 D．9
【分析】将 3﹣2x+4y 变形为 3﹣2（x﹣2y），然后代入数值进行计算即可．
【解析】∵x﹣2y＝3，
∴3﹣2x+4y＝3﹣2（x﹣2y）＝3﹣2×3＝﹣3；
故选：A．
【考点 3】分式的求值问题
【例 3】（2019 年内江）若 2，则分式 的值为 ﹣4 ．
【分析】由 2，可得 m+n＝2mn；化简 ，即可求解；’
【解析】 2，可得 m+n＝2mn，
＝﹣4；
故答案为﹣4；
【点拨】本题考查分式的值；能够通过已知条件得到 m+n＝2mn，整体代入的思想是解题的关键；
【变式 3-1】（2019 年绥化）当a＝2018 时，代数式（ ） 的值是 2019 ．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将 a 的值代入化简后的式子即可解答本
题．
【解析】（ ）
＝a+1，
当 a＝2018 时，原式＝2018+1＝2019，
故答案为：2019．
【变式 3-2】（2019 年北京）如果m+n＝1，那么代数式（ ）•（m2﹣n2）的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【分析】原式化简后，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．
【解析】原式 •（m+n）（m﹣n） •（m+n）（m﹣n）＝3（m+n），
当 m+n＝1 时，原式＝3．
故选：D．
【考点 4】二次根式的性质与化简
【例 4】（2019 年绵阳）已知x 是整数，当|x |取最小值时，x 的值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】根据绝对值的意义，由与 最接近的整数是 5，可得结论．
【解析】∵ ，
∴5 ，
且与 最接近的整数是 5，
∴当|x |取最小值时，x 的值是 5，
故选：A．
【点拨】本题考查了算术平方根的估算和绝对值的意义，熟练掌握平方数是关键．【变式 4-1】（2019 年菏泽）已知x ，那么 x2﹣2 x 的值是 4 ．
【分析】根据二次根式的运算以及完全平方公式即可求出答案．
【解析】∵x ，
∴x2﹣2 x+2＝6，
∴x2﹣2 x＝4，
故答案为：4
【变式 4-2】（2019 年内江）若|1001﹣a| a，则 a﹣10012＝ 1002 ．
【分析】由二次根式有意义的条件得到 a≥1002，据此去绝对值并求得 a 的值，代入求值即可．
【解析】∵a﹣1002≥0，
∴a≥1002．
由|1001﹣a| a，得﹣1001+a a，
∴ 1001，
∴a﹣1002＝10012．
∴a﹣10012＝1002．
故答案是：1002．
【考点 5】数字的变化规律
【例 5】（2019 年河池）a1，a2，a3，a4，a5，a6，…，是一列数，已知第 1 个数 a1＝4，第 5 个数 a5＝5，且
任意三个相邻的数之和为 15，则第 2019 个数 a2019 的值是 6 ．
【分析】由任意三个相邻数之和都是 15，可知 a1、a4、a7、…a3n+1 相等，a2、a5、a8、…a3n+2 相等，a3、
a6、a9、…a3n 相等，可以得出 a5＝a2＝5，根据 a1+a2+a3＝15 得 4+5+a3＝15，求得 a3，进而按循环规律求
得结果．
【解析】由任意三个相邻数之和都是 15 可知：
a1+a2+a3＝15，
a2+a3+a4＝15，
a3+a4+a5＝15，
…
an+an+1+an+2＝15，可以推出：a1＝a4＝a7＝…＝a3n+1，
a2＝a5＝a8＝…＝a3n+2，
a3＝a6＝a9＝…＝a3n，
所以 a5＝a2＝5，
则 4+5+a3＝15，
解得 a3＝6，
∵2019÷3＝673，
因此 a2019＝a3＝6．
故答案为：6．
【变式 5-1】（2019 年益阳）观察下列等式：
①3﹣2 （ 1）2，
②5﹣2 （ ）2，
③7﹣2 （ ）2，
…
请你根据以上规律，写出第 6 个等式 __________ ．
【分析】第 n 个等式左边的第 1 个数为 2n+1，根号下的数为 n（n+1），利用完全平方公式得到第 n 个等
式右边的式子为（ ）2（n≥1 的整数）．
【解析】写出第 6 个等式为 13﹣2 （ ）2．
故答案为 13﹣2 （ ）2．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除
运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰
当的解题途径，往往能事半功倍．
【变式 5-2】（2019 年铜仁市）按一定规律排列的一列数依次为： ， ， ， ，…（a≠0），按此
规律排列下去，这列数中的第 n 个数是 _______ ．（n 为正整数）
【分析】先确定正负号与序号数的关系，再确定分母与序号数的关系，然后确定 a 的指数与序号数的关
系．【解析】第 1 个数为（﹣1）1• ，
第 2 个数为（﹣1）2• ，
第 3 个数为（﹣1）3• ，
第 4 个数为（﹣1）4• ，
…，
所以这列数中的第 n 个数是（﹣1）n• ．
故答案为（﹣1）n• ．
【点拨】本题考查了规律型：数字的变化类：寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类
问题的方法．
【考点 6】图形的变化规律
【例 6】（2019 年大庆）归纳“T”字形，用棋子摆成的“T”字形如图所示，按照图①，图②，图③的规律
摆下去，摆成第 n 个“T”字形需要的棋子个数为 ．
【分析】根据题意和图形，可以发现图形中棋子的变化规律，从而可以求得第 n 个“T”字形需要的棋子
个数．
【解析】由图可得，
图①中棋子的个数为：3+2＝5，
图②中棋子的个数为：5+3＝8，
图③中棋子的个数为：7+4＝11，
……
则第 n 个“T”字形需要的棋子个数为：（2n+1）+（n+1）＝3n+2，故答案为：3n+2．
【点拨】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中棋子的变化规律，利用数形
结合的思想解答．
【变式 6-1】（2019 年天水）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第
2019 个图形中共有 6058 个〇．
【分析】根据题目中的图形，可以发现〇的变化规律，从而可以得到第 2019 个图形中〇的个数．
【解析】由图可得，
第 1 个图象中〇的个数为：1+3×1＝4，
第 2 个图象中〇的个数为：1+3×2＝7，
第 3 个图象中〇的个数为：1+3×3＝10，
第 4 个图象中〇的个数为：1+3×4＝13，
……
∴第 2019 个图形中共有：1+3×2019＝1+6057＝6058 个〇，
故答案为：6058．
【点拨】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现图形中〇的变化规律，利用数形结
合的思想解答．
【变式 6-2】（2019 年甘肃）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第 1 幅图中有 1 个菱形，第 2 幅图
中有 3 个菱形，第 3 幅图中有 5 个菱形，如果第 n 幅图中有 2019 个菱形，则 n＝ 1010 ．
【分析】根据题意分析可得：第 1 幅图中有 1 个，第 2 幅图中有 2×2﹣1＝3 个，第 3 幅图中有 2×3﹣1
＝5 个，…，可以发现，每个图形都比前一个图形多 2 个，继而即可得出答案．
【解析】根据题意分析可得：第 1 幅图中有 1 个．
第 2 幅图中有 2×2﹣1＝3 个．
第 3 幅图中有 2×3﹣1＝5 个．第 4 幅图中有 2×4﹣1＝7 个．
…．
可以发现，每个图形都比前一个图形多 2 个．
故第 n 幅图中共有（2n﹣1）个．
当图中有 2019 个菱形时，
2n﹣1＝2019，
n＝1010，
故答案为：1010．
【点拨】本题考查规律型中的图形变化问题，难度适中，要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的
规律．
1．（2019 年北京）在数轴上，点 A，B 在原点 O 的两侧，分别表示数 a，2，将点 A 向右平移 1 个单位长度，
得到点 C，若 CO＝BO，则 a 的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1
【分析】根据 CO＝BO 可得点 C 表示的数为﹣2，据此可得 a＝﹣2﹣1＝﹣3．
【解析】∵点 C 在原点的左侧，且 CO＝BO，
∴点 C 表示的数为﹣2，
∴a＝﹣2﹣1＝﹣3．
故选：A．
2.（2019 年黄石）下列四个数：﹣3，﹣0.5， ， 中，绝对值最大的数是（ ）
A．﹣3 B．﹣0.5 C． D．
【分析】根据绝对值的性质以及正实数都大于 0，负实数都小于 0，正实数大于一切负实数，两个负实数
绝对值大的反而小判断即可．
【解析】∵|﹣3|＝3，|﹣0.5|＝0.5，| | ，| | 且 0.5 3，
∴所给的几个数中，绝对值最大的数是﹣3．
故选：A．3．（2019 年云南）按一定规律排列的单项式：x3，﹣x5，x7，﹣x9，x11，……，第 n 个单项式是（ ）
A．（﹣1）n﹣1x2n﹣1 B．（﹣1）nx2n﹣1
C．（﹣1）n﹣1x2n+1 D．（﹣1）nx2n+1
【分析】观察指数规律与符号规律，进行解答便可．
【解析】∵x3＝（﹣1）1﹣1x2×1+1，
﹣x5＝（﹣1）2﹣1x2×2+1，
x7＝（﹣1）3﹣1x2×3+1，
﹣x9＝（﹣1）4﹣1x2×4+1，
x11＝（﹣1）5﹣1x2×5+1，
……
由上可知，第 n 个单项式是：（﹣1）n﹣1x2n+1，
故选：C．
4．（2019 年黔东南州）如果 3ab2m﹣1 与 9abm+1 是同类项，那么 m 等于（ ）
A．2 B．1 C．﹣1 D．0
【分析】根据同类项的定义，含有相同的字母，并且相同字母的指数也相同，列出等式，直接计算即
可．
【解析】根据题意，得：2m﹣1＝m+1，
解得：m＝2．
故选：A．
5．（2019 年常德）观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中
的规律可得 70+71+72+…+72019 的结果的个位数字是（ ）
A．0 B．1 C．7 D．8
【分析】首先得出尾数变化规律，进而得出 70+71+72+…+72019 的结果的个位数字．
【解析】∵70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，
∴个位数 4 个数一循环，
∴（2019+1）÷4＝505，
∴1+7+9+3＝20，
∴70+71+72+…+72019 的结果的个位数字是：0．
故选：A．6．（2019 年深圳）定义一种新运算 n•xn﹣1dx＝an﹣bn，例如 2xdx＝k2﹣n2，若 x﹣2dx＝﹣2，则 m
＝（ ）
A．﹣2 B． C．2 D．
【分析】根据新运算列等式为 m﹣1﹣（5m）﹣1＝﹣2，解出即可．
【解析】由题意得：m﹣1﹣（5m）﹣1＝﹣2，
2，
5﹣1＝﹣10m，
m ，
故选：B．
7．（2019 年攀枝花）一辆货车送货上山，并按原路下山．上山速度为 a 千米/时，下山速度为 b 千米/时．则
货车上、下山的平均速度为（ ）千米/时．
A． （a+b） B． C． D．
【分析】平均速度＝总路程÷总时间，设单程的路程为 x，表示出上山下山的总时间，把相关数值代入
化简即可．
【解答】设上山的路程为 x 千米，
则上山的时间 小时，下山的时间为 小时，
则上、下山的平均速度 千米/时．
故选：D．
8．（2019 年临沂）计算 a﹣1 的正确结果是（ ）
A． B． C． D．【分析】先将后两项结合起来，然后再化成同分母分式，按照同分母分式加减的法则计算就可以了．
【解析】原式 ，
，
．
9．（2019 年舟山）数轴上有两个实数 a，b，且 a＞0，b＜0，a+b＜0，则四个数 a，b，﹣a，﹣b 的大小关
系为 b＜﹣a＜a＜﹣b （用“＜”号连接）．
【分析】根据两个负数比较大小，其绝对值大的反而小和负数都小于 0，即可得出答案．
【解析】∵a＞0，b＜0，a+b＜0，
∴|b|＞a，
∴﹣b＞a，b＜﹣a，
∴四个数 a，b，﹣a，﹣b 的大小关系为 b＜﹣a＜a＜﹣b．
故答案为：b＜﹣a＜a＜﹣b
10．（2019 年咸宁）有一列数，按一定规律排列成 1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，其中某三个相邻数的
积是 412，则这三个数的和是 ﹣384 ．
【分析】根据题目中的数字，可以发现它们的变化规律，再根据其中某三个相邻数的积是 412，可以求得
这三个数，从而可以求得这三个数的和．
【解析】∵一列数为 1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，
∴这列数的第 n 个数可以表示为（﹣2）n﹣1，
∵其中某三个相邻数的积是 412，
∴设这三个相邻的数为（﹣2）n﹣1、（﹣2）n、（﹣2）n+1，
则（﹣2）n﹣1•（﹣2）n•（﹣2）n+1＝412，
即（﹣2）3n＝（22）12，
∴（﹣2）3n＝224，
∴3n＝24，
解得，n＝8，
∴这三个数的和是：（﹣2）7+（﹣2）8+（﹣2）9＝（﹣2）7×（1﹣2+4）＝（﹣128）×3＝﹣384，故答案为：﹣384．
11．（2019 年湘潭）若 a+b＝5，a﹣b＝3，则 a2﹣b2＝ 15 ．
【分析】先根据平方差公式分解因式，再代入求出即可．
【解析】∵a+b＝5，a﹣b＝3，
∴a2﹣b2
＝（a+b）（a﹣b）
＝5×3
＝15，
故答案为：15．
12．（2019 年徐州）若 a＝b+2，则代数式 a2﹣2ab+b2 的值为 4 ．
【分析】由 a＝b+2，可得 a﹣b＝2，代入所求代数式即可．
【解析】∵a＝b+2，
∴a﹣b＝2，
∴a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2＝22＝4．
故答案为：4
13．（2019 年桂林）若 x2+ax+4＝（x﹣2）2，则 a＝ ﹣4 ．
【分析】直接利用完全平方公式得出 a 的值．
【解析】∵x2+ax+4＝（x﹣2）2，
∴a＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点拨】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
14．（2019 年咸宁）若整式 x2+my2（m 为常数，且 m≠0）能在有理数范围内分解因式，则 m 的值可以是 ﹣
1 （写一个即可）．
【分析】令 m＝﹣1，使其能利用平方差公式分解即可．
【解析】令 m＝﹣1，整式为 x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）．
故答案为：﹣1（答案不唯一）．
15．（2019 年广州）代数式 有意义时，x 应满足的条件是 x＞8 ．
【分析】直接利用分式、二次根式的定义求出 x 的取值范围．【解析】代数式 有意义时，
x﹣8＞0，
解得：x＞8．
故答案为：x＞8．
16．（2019 年枣庄）观察下列各式：
1 1+（1 ），
1 1+（ ），
1 1+（ ），
…
请利用你发现的规律，计算：
，
其结果为 2018 ．
【分析】根据题意找出规律，根据二次根式的性质计算即可．
【解析】
＝1+（1 ）+1+（ ）+…+1+（ ）
＝2018+1
＝2018 ，
故答案为：2018 ．17.（2019 年西藏）观察下列式子
第 1 个式子：2×4+1＝9＝32
第 2 个式子：6×8+1＝49＝72
第 3 个式子：14×16+1＝225＝152
……
请写出第 n 个式子： （2n+1﹣2）×2n+1+1＝（2n+1﹣1）2 ．
【分析】由题意可知：①等号左边是两个连续偶数的积（其中第二个因数比第一个因数大 2）与 1 的和；
右边是比左边第一个因数大 1 的数的平方；②第 1 个式子的第一个因数是 22﹣2，第 2 个式子的第一个因
数是 23﹣2，第 3 个式子的第一个因数是 24﹣2，以此类推，得出第 n 个式子的第一个因数是 2n+1﹣2，从
而能写出第 n 个式子．
【解析】∵第 1 个式子：2×4+1＝9＝32，即（22﹣2）×22+1＝（22﹣1）2，
第 2 个式子：6×8+1＝49＝72，即（23﹣2）×23+1＝（23﹣1）2，
第 3 个式子：14×16+1＝225＝152，即（24﹣2）×24+1＝（24﹣1）2，
……
∴第 n 个等式为：（2n+1﹣2）×2n+1+1＝（2n+1﹣1）2．
故答案为：（2n+1﹣2）×2n+1+1＝（2n+1﹣1）2．
18．（2019 年海南）有 2019 个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．如
果第一个数是 0，第二个数是 1，那么前 6 个数的和是 0 ，这 2019 个数的和是 2 ．
【分析】根据题意可以写出这组数据的前几个数，从而可以数字的变化规律，本题得以解决．
【解析】由题意可得，
这列数为：0，1，1，0，﹣1，﹣1，0，1，1，…，
∴前 6 个数的和是：0+1+1+0+（﹣1）+（﹣1）＝0，
∵2019÷6＝336…3，
∴这 2019 个数的和是：0×336+（0+1+1）＝2，
故答案为：0，2．
19.（2019 年安顺）如图，将从 1 开始的自然数按以下规律排列，例如位于第 3 行、第 4 列的数是 12，则
位于第 45 行、第 7 列的数是 2019 ．【分析】观察图表可知：第 n 行第一个数是 n2，可得第 45 行第一个数是 2025，推出第 45 行、第 7 列的
数是 2025﹣6＝2019
【解析】观察图表可知：第 n 行第一个数是 n2，
∴第 45 行第一个数是 2025，
∴第 45 行、第 7 列的数是 2025﹣6＝2019，
故答案为 2019
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