专题 02 一次方程（组）的含参及应用问题
【考点 1】一次方程的有关定义
【例 1】（2019•呼和浩特）关于 x 的方程 mx2m﹣1+（ m﹣1） x﹣2＝0 如果是一元一次方程，则其解为
________ ．
【答案】x＝2 或 x＝﹣2 或 x＝﹣3
【解析】∵关于 x 的方程 mx2m﹣1+（m﹣1）x﹣2＝0 如果是一元一次方程，
∴当 m＝1 时，方程为 x﹣2＝0，解得：x＝2；
当 m＝0 时，方程为﹣x﹣2＝0，解得：x＝﹣2；
当 2m﹣1＝0，即 m 时，方程为 x﹣2＝0，
解得：x＝﹣3，
故答案为：x＝2 或 x＝﹣2 或 x＝﹣3．
点睛：此题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键．
【变式 1-1】（2019•湘西州）若关于x 的方程 3x﹣kx+2＝0 的解为 2，则 k 的值为 ．
【答案】4
【解析】∵关于 x 的方程 3x﹣kx+2＝0 的解为 2，
∴3×2﹣2k+2＝0，解得：k＝4．
故答案为：4．
点睛：此题主要考查了一元一次方程的解，正确把已知数据代入是解题关键．
【变式 1-2】（2019•常州）若 是关于x、y 的二元一次方程 ax+y＝3 的解，则 a＝ ．
【答案】1
【解析】把 代入二元一次方程 ax+y＝3 中，
a+2＝3，解得 a＝1．
故答案是：1．
点睛：本题运用了二元一次方程的解的知识点，运算准确是解决此题的关键．
【考点 2】方程组的解法
【例 2】（2019•南通）已知a，b 满足方程组 ，则 a+b 的值为（ ）
A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4
【答案】A
【解析】 ，
①+②得：5a+5b＝10，
则 a+b＝2，
故选：A．
点睛：此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
【变式 2-1】（2019•荆门）已知实数x，y 满足方程组 则 x2﹣2y2 的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3
【答案】A
【解析】 ，
①+②×2，得 5x＝5，解得 x＝1，
把 x＝1 代入②得，1+y＝2，解得 y＝1，
∴x2﹣2y2＝12﹣2×12＝1﹣2＝﹣1．
故选：A．点睛：此题主要考查了二元一次方程组解的定义．以及解二元一次方程组的基本方法．正确解关于 x、y
的方程组是关键．
【考点 3】方程组的含参问题
【例 3】（2019•朝阳）关于x，y 的二元一次方程组 的解是 ，则 m+n 的值为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．0
【答案】D
【解析】把 代入得： ，
解得： ，
则 m+n＝0，
故选：D．
点睛：此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
【变式 3-1】（2019•菏泽）已知 是方程组 的解，则a+b 的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
【答案】A
【解析】将 代入 ，
可得： ，
两式相加：a+b＝﹣1，
故选：A．
点睛：本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法，本题属于基础题
型．
【变式 3-2】（2019•巴中）已知关于x、y 的二元一次方程组 的解是 ，则 a+b 的值是
（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．0
【答案】B
【解析】将 代入 得：
，∴a+b＝2；
故选：B．
点睛：本题考查二元一次方程组的解；熟练掌握方程组与方程组的解之间的关系是解题的关键．
【考点 4】二元一次方程的方案问题
【例 4】（2019•天门）把一根 9m 长的钢管截成 1m 长和 2m 长两种规格均有的短钢管，且没有余料，设某种
截法中 1m 长的钢管有 a 根，则 a 的值可能有（ ）
A．3 种 B．4 种 C．5 种 D．9 种
【答案】B
【解析】设 2m 的钢管 b 根，根据题意得：
a+2b＝9，
∵a、b 均为整数，
∴ ， ， ， ．
故选：B．
点睛：本题运用了二元一次方程的整数解的知识点，运算准确是解此题的关键．
【变式 4-1】（2019•齐齐哈尔）学校计划购买A 和 B 两种品牌的足球，已知一个 A 品牌足球 60 元，一个 B
品牌足球 75 元．学校准备将 1500 元钱全部用于购买这两种足球（两种足球都买），该学校的购买方案共
有（ ）
A．3 种 B．4 种 C．5 种 D．6 种
【答案】B
【解析】设购买 A 品牌足球 x 个，购买 B 品牌足球 y 个，
依题意，得：60x+75y＝1500，
∴y＝20 x．
∵x，y 均为正整数，
∴ ， ， ， ，
∴该学校共有 4 种购买方案．
故选：B．
点睛：本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程．
【考点 5】一次方程组的应用问题【例 5】（2019•娄底）某商场用 14500 元购进甲、乙两种矿泉水共 500 箱，矿泉水的成本价与销售价如表
（二）所示：
类别 成本价（元/箱） 销售价（元/箱）
甲 25 35
乙 35 48
求：（1）购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？
（2）该商场售完这 500 箱矿泉水，可获利多少元？
【答案】（1）购进甲矿泉水 300 箱，购进乙矿泉水 200 箱；
（2）该商场售完这 500 箱矿泉水，可获利 5600 元．
【解析】（1）设购进甲矿泉水 x 箱，购进乙矿泉水 y 箱，
依题意，得： ，
解得： ．
答：购进甲矿泉水 300 箱，购进乙矿泉水 200 箱．
（2）（35﹣25）×300+（48﹣35）×200＝5600（元）．
答：该商场售完这 500 箱矿泉水，可获利 5600 元．
点睛：本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式 5-1】（2019•百色）一艘轮船在相距 90 千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用 6
小时，逆流航行比顺流航行多用 4 小时．
（1）求该轮船在静水中的速度和水流速度；
（2）若在甲、乙两地之间建立丙码头，使该轮船从甲地到丙地和从乙地到丙地所用的航行时间相同，问
甲、丙两地相距多少干米？
【答案】（1）该轮船在静水中的速度是 12 千米/小时，水流速度是 3 千米/小时；
（2）甲、丙两地相距 千米．
【解析】（1）设该轮船在静水中的速度是 x 千米/小时，水流速度是 y 千米/小时，
依题意，得： ，
解得： ．
答：该轮船在静水中的速度是 12 千米/小时，水流速度是 3 千米/小时．（2）设甲、丙两地相距 a 千米，则乙、丙两地相距（90﹣a）千米，
依题意，得： ，
解得：a ．
答：甲、丙两地相距 千米．
点睛：本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关
系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
【变式 5-2】（2019•呼和浩特）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：
计费项目 里程费 时长费 远途费
单价 1.8 元/公里 0.3 元/分钟 0.8 元/公里
注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时
长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程 7 公里以内（含 7 公里）不
收远途费，超过 7 公里的，超出部分每公里收 0.8 元．
小王与小张各自乘坐满滴快车，在同一地点约见，已知到达约见地点时他们的实际行车里程分别为 6 公
里与 8.5 公里，两人付给滴滴快车的乘车费相同．
（1）求这两辆滴滴快车的实际行车时间相差多少分钟；
（2）实际乘车时间较少的人，由于出发时间比另一人早，所以提前到达约见地点在大厅等候．已知他等
候另一人的时间是他自己实际乘车时间的 1.5 倍，且比另一人的实际乘车时间的一半多 8.5 分钟，计算
俩人各自的实际乘车时间．
【答案】（1）∴这两辆滴滴快车的实际行车时间相差 19 分钟；
（2）小王的实际行车时间为 37 分钟，小张的实际行车时间为 18 分钟．
【解析】（1）设小王的实际行车时间为 x 分钟，小张的实际行车时间为 y 分钟，由题意得：
1.8×6+0.3x＝1.8×8.5+0.3y+0.8×（8.5﹣7）
∴10.8+0.3x＝16.5+0.3y
0.3（x﹣y）＝5.7
∴x﹣y＝19
∴这两辆滴滴快车的实际行车时间相差 19 分钟．（2）由（1）及题意得：
化简得
①+②得 2y＝36
∴y＝18 ③
将③代入①得 x＝37
∴小王的实际行车时间为 37 分钟，小张的实际行车时间为 18 分钟．
点睛：本题考查了二元一次方程和二元一次方程组在实际问题中的应用，根据等量关系列方程或方程组
是解题的关键．
1．（2019•南充）关于 x 的一元一次方程 2xa﹣2+m＝4 的解为 x＝1，则 a+m 的值为（ ）
A．9 B．8 C．5 D．4
【答案】C
【解析】因为关于 x 的一元一次方程 2xa﹣2+m＝4 的解为 x＝1，
可得：a﹣2＝1，2+m＝4，
解得：a＝3，m＝2，
所以 a+m＝3+2＝5，
故选：C．
点睛：此题考查一元一次方程的定义，关键是根据一元一次方程的概念和其解的概念解答．
2．（2019•阜新）某种衬衫因换季打折出售，如果按原价的六折出售，那么每件赔本 40 元；按原价的九折
出售，那么每件盈利 20 元，则这种衬衫的原价是（ ）
A．160 元 B．180 元 C．200 元 D．220 元
【答案】C
【解析】设这种衬衫的原价是 x 元，
依题意，得：0.6x+40＝0.9x﹣20，
解得：x＝200．
故选：C．
点睛：本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．3．（2019•鸡西）某学校计划用 34 件同样的奖品全部用于奖励在“经典诵读”活动中表现突出的班级，一
等奖奖励 6 件，二等奖奖励 4 件，则分配一、二等奖个数的方案有（ ）
A．4 种 B．3 种 C．2 种 D．1 种
【答案】B
【解析】设一等奖个数 x 个，二等奖个数 y 个，
根据题意，得 6x+4y＝34，
使方程成立的解有 ， ， ，
∴方案一共有 3 种；
故选：B．
点睛：本题考查二元一次方程的应用；熟练掌握二元一次方程的解法是解题的关键．
4．（2019•孝感）已知二元一次方程组 ，则 的值是（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．6
【答案】C
【解析】 ，
②﹣①×2 得，2y＝7，解得 ，
把 代入①得， x＝1，解得 ，
∴
故选：C．
点睛：此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
5．（2019•乐山）《九章算术》第七卷“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足
四．问人数、物价各几何？”译为：“今有人合伙购物，每人出 8 钱，会多 3 钱；每人出 7 钱，又差 4
钱．问人数、物价各多少？”根据所学知识，计算出人数、物价分别是（ ）
A．1，11 B．7，53 C．7，61 D．6，50
【答案】B
【解析】设有 x 人，物价为 y，可得： ，解得： ，
故选：B．
点睛：本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题
的关键．
6．（2019•台州）一道来自课本的习题：
从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走 3km，平路每小时走 4km，下坡每
小时走 5km，那么从甲地到乙地需 54min，从乙地到甲地需 42min．甲地到乙地全程是多少？
小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设未知数 x，y，已经列出一个方程 ，则另
一个方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设未知数 x，y，已经列出一个方程 ，则另一个方程正确的是： ．
故选：B．
点睛：此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意得出等式是解题关键．
7．（2019•襄阳）《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，
每人出 5 钱，会差 45 钱；每人出 7 钱，会差 3 钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为 x 人，所
列方程正确的是（ ）
A．5x﹣45＝7x﹣3 B．5x+45＝7x+3 C． D．
【答案】B
【解析】设合伙人数为 x 人，
依题意，得：5x+45＝7x+3．
故选：B．
点睛：本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关
键．
8.（2019•铁岭）若 x，y 满足方程组 ，则 x+y＝ ．
【答案】7【解析】 ，
①+②得：4x＝20，
解得：x＝5，
把 x＝5 代入②得：y＝2，
则 x+y＝2+5＝7，
故答案为：7
点睛：此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．（2019•咸宁）《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，
不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余 4.5 尺；将绳子对折再量
木 条 ， 木 条 剩 余 1 尺 ， 问 木 条 长 多 少 尺 ？ ” 如 果 设 木 条 长 x 尺 ， 绳 子 长 y 尺 ， 可 列 方 程 组 为
_____________．
【答案】
【解析】设木条长 x 尺，绳子长 y 尺，
依题意，得： ．
故答案为： ．
点睛：本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题
的关键．
10．（2019•眉山）已知关于 x，y 的方程组 的解满足 x+y＝5，则 k 的值为 ．
【答案】2
【解析】 ，
②×2﹣①，得 3x＝9k+9，解得 x＝3k+3，
把 x＝3k+3 代入①，得 3k+3+2y＝k﹣1，解得 y＝﹣k﹣2，
∵x+y＝5，∴3k+3﹣k﹣2＝5，
解得 k＝2．
故答案为：2
点睛：此题主要考查了二元一次方程组解的定义．以及解二元一次方程组的基本方法．正确解关于 x、y
的方程组是关键．
11．（2019•自贡）某活动小组购买了 4 个篮球和 5 个足球，一共花费了 466 元，其中篮球的单价比足球的
单价多 4 元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为 x 元，足球的单价为 y 元，依题意，可列方
程组为 ．
【答案】
【解析】设篮球的单价为 x 元，足球的单价为 y 元，由题意得：
，
故答案为： ，
点睛：此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关
系．
12．（2019•泰安）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十
一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金 9 枚
（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银 11 枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换 1 枚
后，甲袋比乙袋轻了 13 两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重 x 两，
每枚白银重 y 两，根据题意可列方程组为 ．
【答案】
【解析】设每枚黄金重 x 两，每枚白银重 y 两，由题意得：
，
故答案为： ．
点睛：此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关
系．
13．（2019•毕节市）某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高 40%后标价，在某次电商购物节中，为促销该商
品，按标价 8 折销售，售价为 2240 元，则这种商品的进价是 元．【答案】2000
【解析】设这种商品的进价是 x 元，
由题意得，（1+40%）x×0.8＝2240．
解得：x＝2000，
故答案为 2000
点睛：本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关
系，列方程解答．
14．（2019•南通）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一．书中记载：“今有人共买鸡，人出九，
盈十一；人出六，不足十六．问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那
么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：共有几个人？”设共有 x 个人共同出钱买鸡，
根据题意，可列一元一次方程为 ．
【答案】9x﹣11＝6x+16
【解析】设有 x 个人共同买鸡，根据题意得：
9x﹣11＝6x+16．
故答案为：9x﹣11＝6x+16．
点睛：本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关
键．
15．（2019•烟台）亚洲文明对话大会召开期间，大批的大学生志愿者参与服务工作．某大学计划组织本校
全体志愿者统一乘车去会场，若单独调配 36 座新能源客车若干辆，则有 2 人没有座位；若只调配 22 座
新能源客车，则用车数量将增加 4 辆，并空出 2 个座位．
（1）计划调配 36 座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？
（2）若同时调配 36 座和 22 座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？
【答案】（1）计划调配 36 座新能源客车 6 辆，该大学共有 218 名志愿者；
（2）需调配 36 座客车 3 辆，22 座客车 5 辆．
【解析】（1）设计划调配 36 座新能源客车 x 辆，该大学共有 y 名志愿者，则需调配 22 座新能源客车（x+4）
辆，
依题意，得： ，
解得： ．答：计划调配 36 座新能源客车 6 辆，该大学共有 218 名志愿者．
（2）设需调配 36 座客车 m 辆，22 座客车 n 辆，
依题意，得：36m+22n＝218，
∴n ．
又∵m，n 均为正整数，
∴ ．
答：需调配 36 座客车 3 辆，22 座客车 5 辆．
点睛：本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，
正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
16．（2019•淮安）某公司用火车和汽车运输两批物资，具体运输情况如下表所示：
所用火车车皮数量（节） 所用汽车数量（辆） 运输物资总量（吨）
第一批 2 5 130
第二批 4 3 218
试问每节火车车皮和每辆汽车平均各装物资多少吨？
【答案】每节火车车皮装物资 50 吨，每辆汽车装物资 6 吨
【解析】设每节火车车皮装物资 x 吨，每辆汽车装物资 y 吨，
根据题意，得 ，
∴ ，
∴每节火车车皮装物资 50 吨，每辆汽车装物资 6 吨；
点睛：本题考查二元一次方程组的应用；能够根据题意列出准确的方程组，并用加减消元法解方程组是
关键．
17．（2019•河池）在某体育用品商店，购买 30 根跳绳和 60 个毽子共用 720 元，购买 10 根跳绳和 50 个毽
子共用 360 元．
（1）跳绳、毽子的单价各是多少元？
（2）该店在“五•四”青年节期间开展促销活动，所有商品按同样的折数打折销售．节日期间购买 100
根跳绳和 100 个毽子只需 1800 元，该店的商品按原价的几折销售？
【答案】（1）跳绳的单价为 16 元/条，毽子的单件为 4 元/个；（2）该店的商品按原价的 9 折销售．
【解析】（1）设跳绳的单价为 x 元/条，毽子的单件为 y 元/个，可得： ，
解得： ，
答：跳绳的单价为 16 元/条，毽子的单件为 4 元/个；
（2）设该店的商品按原价的 a 折销售，可得：（100×16+100×4） 1800，
解得：a＝9，
答：该店的商品按原价的 9 折销售．
点睛：本题主要考查二元一次方程组及一元一次方程的应用，理解题意找到相等关系是解题关键．
18．（2019•泸州）某出租汽车公司计划购买 A 型和 B 型两种节能汽车，若购买 A 型汽车 4 辆，B 型汽车 7 辆，
共需 310 万元；若购买 A 型汽车 10 辆，B 型汽车 15 辆，共需 700 万元．
（1）A 型和 B 型汽车每辆的价格分别是多少万元？
（2）该公司计划购买 A 型和 B 型两种汽车共 10 辆，费用不超过 285 万元，且 A 型汽车的数量少于 B 型
汽车的数量，请你给出费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
【答案】（1）A 型汽车每辆的进价为 25 万元，B 型汽车每辆的进价为 30 万元；
（2）最省的方案是购买 A 型汽车 4 辆，购进 B 型汽车 6 辆，该方案所需费用为 280 万元．
【解析】（1）设 A 型汽车每辆的进价为 x 万元，B 型汽车每辆的进价为 y 万元，
依题意，得： ，
解得 ，
答：A 型汽车每辆的进价为 25 万元，B 型汽车每辆的进价为 30 万元；
（2）设购进 A 型汽车 m 辆，购进 B 型汽车（10﹣m）辆，根据题意得：
解得：3≤m＜5，
∵m 是整数，
∴m＝3 或 4，
当 m＝3 时，该方案所用费用为：25×3+30×7＝285（万元）；
当 m＝4 时，该方案所用费用为：25×4+30×6＝280（万元）．
答：最省的方案是购买 A 型汽车 4 辆，购进 B 型汽车 6 辆，该方案所需费用为 280 万元．点睛：本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出
相应的不等式组和方程组，利用方程和不等式的性质解答．
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